新高考文科数学二轮培优教程文档：第二编 专题七 选修4 第2讲

第2讲　不等式选讲「考情研析」 不等式选讲主要考查平均值不等式的应用，绝对值三角不等式的理解及应用、含绝对值不等式的解法、含参不等式解法和恒成立问题以及不等式的证明方法(比较法、综合法、分析法、放缩法)及它们的应用．其中绝对值不等式的解法及证明方法的应用是重点．难度不大，分值10分，一般会出现在选考部分第二题的位置.核心知识回顾1.绝对值的三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．□01 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )□02 ≥0时，等号成立．2．|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c (c >0)⇔－c ≤ax ＋b ≤c .□01 (2)|ax ＋b |≥c (c >0)⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .□02 3．|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想．(2)利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．(3)通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想．4．证明不等式的基本方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；□01 □02 □03 (4)反证法；(5)放缩法．□04 □05 5．二维形式的柯西不等式若a ，b ，c ，d都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，□01 □02 等号成立．热点考向探究考向1 绝对值不等式的解法及应用角度1　绝对值不等式的解法例1　(2019·乌鲁木齐高三第二次质量检测)已知函数f (x )＝2|x ＋1|－|x －a |，a ∈R .(1)当a ＝1时，求不等式f (x )<0的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<x 有实数解，求实数a 的取值范围．解　(1)当a ＝1时，f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|，当x ＜－1时，由f (x )＜0得－2(x ＋1)＋(x －1)＜0，即－x －3＜0，得x ＞－3，此时－3＜x ＜－1，当－1≤x ≤1，由f (x )＜0得2(x ＋1)＋(x －1)＜0，即3x ＋1＜0，得x ＜－，此时－1≤x ＜－，1313当x ＞1时，由f (x )＜0得2(x ＋1)－(x －1)＜0，即x ＋3＜0，得x ＜－3，此时无解，综上，不等式的解集为Error!.(2)∵f (x )＜x ⇔2|x ＋2|－x ＜|x －a |有解，等价于函数y ＝2|x ＋2|－x 的图象上存在点在函数y ＝|x －a |的图象下方，由函数y ＝2|x ＋2|－x 与函数y ＝|x －a |的图象可知，a ＞0或a ＜－4.解绝对值不等式的步骤和方法(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点．②划区间、去绝对值号．③分别解去掉绝对值的不等式．④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法求解不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．(3)用绝对值不等式的几何意义求解．(1)解关于x 的不等式x |x ＋4|＋3<0；(2)关于x 的不等式|x |＋2|x －9|<a 有解，求实数a 的取值范围．解　(1)原不等式等价于Error!或Error!解得x <－2－或－3<x <－1，7所以原不等式的解集是(－∞，－2－)∪(－3，－1)．7(2)令f (x )＝|x |＋2|x －9|，则关于x 的不等式|x |＋2|x －9|<a 有解等价于a >f (x )min .f (x )＝Error!所以f (x )的最小值为9.所以a >9，即实数a 的取值范围为(9，＋∞)．角度2　绝对值不等式恒成立(或存在性)问题例2　(2019·德阳市高三第二次诊断)已知函数f (x )＝|x －a |－|x ＋2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≤－x 的解集；(2)若f (x )≤a 2＋1恒成立，求a 的取值范围．解　(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|－|x ＋2|，即f (x )＝Error!不等式f (x )≤－x 即为Error!或Error!或Error!即有x ≤－3或－1≤x ＜1或1≤x ≤3，得x ≤－3或－1≤x ≤3，所以不等式的解集为{x |x ≤－3或－1≤x ≤3}．(2)因为|x －a |－|x ＋2|≤|x －a －x －2|＝|a ＋2|，所以f (x )≤|a ＋2|，若f (x )≤a 2＋1恒成立，则|a ＋2|≤a 2＋1，即Error!或Error!解得a ≤或a ≥，1－521＋52解答含参数的绝对值不等式应熟记的几个转化f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a .(2019·宣城市高三第二次调研)已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝2x ＋1.(1)解关于x 的不等式g (x )≥|x －1|；(2)如果对∀x ∈R ，不等式|g (x )|－c ≥|x －1|恒成立，求实数c 的取值范围．解　(1)由题意可得，g (x )＝2x －1，所以g (x )≥|x －1|即2x －1≥|x －1|.①当x ≥1时，2x －1≥x －1，解得x ≥0，所以x ≥1；②当x <1时，2x －1≥1－x ，解得x ≥，所以≤x <1.2323考向2 绝对值不等式的证明例3　已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |－|x －b |.(1)当a ＝1，b ＝1时，解关于x 的不等式f (x )>1；(2)若函数f (x )的最大值为2，求证：＋≥2.1a 1b 解　(1)当a ＝1，b ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝Error!①当x ≥1时，f (x )＝2>1，不等式恒成立，此时不等式的解集为{x |x ≥1}；②当－1≤x <1时，f (x )＝2x >1，所以x >，12此时不等式的解集为Error!；③当x <－1时，f (x )＝－2>1，不等式不成立，此时无解．综上所述，不等式f (x )>1的解集为Error!.(2)证法一：由绝对值三角不等式可得|x ＋a |－|x －b |≤|a ＋b |，a >0，b >0，∴a ＋b ＝2，∴＋＝(a ＋b )＝≥2，1a 1b 12(1a ＋1b )12(2＋b a ＋a b )当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．证法二：∵a >0，b >0，∴－a <0<b ，∴函数f (x )＝|x ＋a |－|x －b |＝|x －(－a )|－|x －b |＝Error!结合图象易得函数f (x )的最大值为a ＋b ，∴a ＋b ＝2.∴＋＝(a ＋b )＝≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．1a 1b 12(1a ＋1b )12(2＋b a ＋a b )不等式证明的常用方法(1)不等式的证明常利用综合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法．(2)证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法：①利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．②利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明．③转化为函数问题，利用数形结合进行证明．(2019·延安市高考模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤，|2y ＋1|≤，求证：f (x )≤.131656解　(1)因为f (x )<|x |＋1，所以|2x －1|<|x |＋1，即Error!或Error!或Error!解得≤x <2或0<x <或∅.1212所以不等式的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：因为|x －y －1|≤，|2y ＋1|≤，1316所以f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|≤2×＋＝.131656考向3 柯西不等式的应用例4　已知a ，b ，c >0，a ＋b ＋c ＝1.求证：(1)＋＋≤ ；a b c 3(2)＋＋≥.13a ＋113b ＋113c ＋132证明　(1)由柯西不等式得(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)[()a b c a b c a 2＋()2＋()2]＝3，当且仅当＝＝，即a ＝b ＝c ＝时等号成立，∴＋＋≤ b c 1a 1b 1c 13a b c .3(2)证法一：∵＋(3a ＋1)43a ＋1≥2＝4，43a ＋1·(3a ＋1)(当且仅当3a ＋1＝43a ＋1时取等号)∴≥3－3a .同理得≥3－3b ，≥3－3c ，43a ＋143b ＋143c ＋1以上三式相加得，4≥9－3(a ＋b ＋c )＝6(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)，(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)∴＋＋≥.13a ＋113b ＋113c ＋132证法二：由柯西不等式得[(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)]≥Error!＋·＋(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)3b ＋113b ＋1·Error!2＝9，3c ＋1(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)又a ＋b ＋c ＝1，∴6≥9，(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)∴＋＋≥.13a ＋113b ＋113c ＋132柯西不等式的应用方法(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a ＋a ＋…＋a )2122n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意(1a 21＋1a 2＋…＋1a 2n )等号成立的条件．(2019·南通市高三下学期模拟)已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋2b ＋4c ＝3，求＋1a ＋1＋的最小值，并指出取得最小值时a ，b ，c 的值．1b ＋11c ＋1解　因为a ＋2b ＋4c ＝3，所以(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10，因为a ，b ，c 为正数，所以由柯西不等式得，[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·＋1a ＋1＋≥(1＋＋2)2，1b ＋11c ＋12当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2等式成立，所以＋＋≥，1a ＋11b ＋11c ＋111＋6210所以＋＋的最小值是，1a ＋11b ＋11c ＋111＋6210此时a ＝，b ＝，c ＝.23－1027152－1778－527真题押题『真题模拟』1．(2019·哈尔滨市第六中学高三第二次模拟)设函数f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋1|－a .(1)当a ＝4时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若函数f (x )的定义域为R ，求a 的取值范围．解　(1)当a ＝4时，f (x )＞0为|2x －1|＋2|x ＋1|>4，当x ≤－1时，1－2x －2x －2>4⇒x <－；54当－1<x <时，1－2x ＋2x ＋2>4，无解；12当x ≥时，2x －1＋2x ＋2>4⇒x >.1234综上，f (x )>0的解集为（－∞，－）∪（，＋∞）.5434(2)由题意得|2x －1|＋2|x ＋1|>a 恒成立，a <(|2x －1|＋2|x ＋1|)min .|2x －1|＋2|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|(2x －1)－(2x ＋2)|＝3，∴a <3.2．(2019·赤峰市高三模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，g (x )＝x 2－2x －1.(1)若m ，n ∈R ，不等式f (m )≥g (n )恒成立，求实数n 的取值范围；(2)设a >0，b >0，且a ＋b ＝2，求证：＋≤2.a ＋1b ＋1f (x )解　(1)由f (m )＝|m －1|＋|m ＋1|≥|(m －1)－(m ＋1)|＝2，∴f (m )min ＝2，∴n 2－2n －1≤2，∴－1≤n ≤3，所以n 的取值范围是[－1,3]．(2)证明：由(1)可知，2≥2，f (x )2∴(＋)2＝a ＋b ＋2＋2≤4＋(a ＋1)＋(b ＋1)＝8，∴＋a ＋1b ＋1(a ＋1)(b ＋1)a ＋1≤2，b ＋12当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，∴＋≤2.a ＋1b ＋1f (x )3．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明：(1)＋＋≤a 2＋b 2＋c 2；1a 1b 1c (2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明　(1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝＝＋＋.ab ＋bc ＋ca abc 1a 1b 1c 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以＋＋≤a 2＋b 2＋c 2.1a 1b 1c (2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )3(a ＋b )3(b ＋c )3(c ＋a )3≥3×(2)×(2)×(2)＝24.ab bc ca 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.『金版押题』(1)若不等式f (x )≤a 的解集是空集，求实数a 的取值范围；(2)若存在x 0∈R ，使得2f (x 0)≤－t 2＋4|t |成立，求实数t 的取值范围．解　(1)f (x )＝|2x －3|－|x ＋1|＝Error!y ＝f (x )的图象如图所示，易得f (x )min ＝－.52∵不等式f (x )≤a 的解集是空集，∴a 的取值范围为.(－∞，－52)(2)∃x 0∈R ，使得2f (x 0)≤－t 2＋4|t |成立，即2f (x )min ≤－t 2＋4|t |，由(1)知f (x )min ＝－，52∴t 2－4|t |－5≤0，解得－5≤t ≤5，∴t 的取值范围为[－5,5]．配套作业1．(2019·西安八校高三联考)已知a ，b 均为实数，且|3a ＋4b |＝10.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若|x ＋3|－|x －2|≤a 2＋b 2对任意的a ，b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围．解　(1)因为102＝(3a ＋4b )2≤(32＋42)(a 2＋b 2)＝25(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2≥4，当且仅当＝，a b 34即Error!或Error!时取等号，即a 2＋b 2的最小值为4.(2)由(1)知|x ＋3|－|x －2|≤a 2＋b 2对任意的a ，b ∈R 恒成立⇔|x ＋3|－|x －2|≤4⇔Error!或Error!或Error!⇔x <－3或－3≤x ≤⇔x ≤，所以实数x 的取3232值范围为（－∞，].32(1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥2的解集；(2)若f (x )≥5－x 对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．解　(1)当a ＝3时，即求解|2x －3|＋|x －1|≥2，①当x ≥时，2x －3＋x －1≥2，∴x ≥2；32②当1<x <时，3－2x ＋x －1≥2,2－x ≥2，x ≤0，无解；32③当x ≤1时，3－2x ＋1－x ≥2，∴3x ≤2，∴x ≤.23综上，解集为Error!.(2)f (x )≥5－x 恒成立，即|2x －a |≥5－x －|x －1|恒成立，令g (x )＝5－x －|x －1|＝Error!则函数图象如图．∴≥3，∴a ≥6.a 23．已知函数f (x )＝|x －5|－|x －2|.(1)若∃x ∈R ，使得f (x )≤m 成立，求m 的范围；(2)求不等式x 2－8x ＋15＋f (x )≤0的解集．解　(1)f (x )＝|x －5|－|x －2|＝Error!其对应图象如图所示．易知f (x )min ＝－3，∴m ≥－3，即m 的取值范围为[－3，＋∞)．(2)x 2－8x ＋15＋f (x )＝Error!①x ≤2，x 2－8x ＋18≤0，解集为∅.②2<x <5，x 2－10x ＋22≤0,5－≤x <5.3③x ≥5，x 2－8x ＋12≤0,5≤x ≤6.综上所述，不等式的解集为{x |5－≤x ≤6}．34．(1)解不等式：|2x －1|－|x |<1；(2)设f (x )＝x 2－x ＋1，实数a 满足|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．解　(1)当x <0时，原不等式可化为－2x ＋x <0，解得x >0，所以x 不存在；当0≤x <时，原不等式可化为－2x －x <0，12解得x >0，所以0<x <；12当≤x 时，原不等式可化为2x －1－x <1，12解得x <2，所以≤x <2.12综上，原不等式的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：因为|f (x )－f (a )|＝|x 2－x －a 2＋a |＝|x －a |·|x ＋a －1|<|x ＋a －1|＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)，所以|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．5．(2019·益阳市高三4月模拟)已知f (x )＝|2x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≤2的解集；(2)当x ∈(－，0)时，不等式f (x )>2x 成立，求a 的取值范围．12解　(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝Error!由f (x )≤2，得Error!或Error!或Error!解得x ∈∅或－≤x ≤或－4≤x <－，1223126．已知函数f (x )＝|x －m |，m <0.(1)当m ＝－1时，解不等式f (x )＋f (－x )≥2－x ；(2)若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，求m 的取值范围．解　(1)当m ＝－1时，f (x )＋f (－x )＝|x ＋1|＋|x －1|，设F (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝Error!当x <－1时，－2x ≥2－x ，解得x ≤－2；当－1≤x <1时，2≥2－x ，解得0≤x <1；当x ≥1时，2x ≥2－x ，解得x ≥1.综上，原不等式的解集为{x |x ≤－2或x ≥0}．(2)f (x )＋f (2x )＝|x －m |＋|2x －m |，m <0.设g (x )＝f (x )＋f (2x )，当x ≤m 时，g (x )＝m －x ＋m －2x ＝2m －3x ，则g (x )≥－m ；当m <x <时，g (x )＝x －m ＋m －2x ＝－x ，则－<g (x )<－m ；m 2m 2当x ≥时，g (x )＝x －m ＋2x －m ＝3x －2m ，则g (x )≥－.m 2m 2则g (x )的值域为，[－m 2，＋∞)由题知不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，则1>－，解得m >－2，由于m <0，故m 的取m 2值范围是(－2，0)．7．(2019·宝鸡市高考模拟)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋3|.(1)求不等式f (x )≤2的解集；(2)若不等式f (x )<a 2＋6a 的解集非空，求实数a 的取值范围．解　(1)由f (x )＝|x －2|－|x ＋3|≤2可化为：Error!或Error!或Error!解得x ∈∅或－≤x ≤2或x >2，32(2)因为|f (x )|＝||x －2|－|x ＋3||≤|x －2－x －3|＝5，所以－5≤f (x )≤5，即f (x )min ＝－5；要使不等式f (x )<a 2＋6a 解集非空，需f (x )min <a 2＋6a ，从而a 2＋6a ＋5>0，解得a <－5或a >－1，所以a 的取值范围为(－∞，－5)∪(－1，＋∞)．8．(2019·太原市高三模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋1|.(1)求不等式f (x )≤5的解集；(2)若存在实数x 0，使得f (x 0)≤5＋m －m 2成立的m 的最大值为M ，且实数a ，b 满足a 3＋b 3＝M ，证明：0<a ＋b ≤2.解　(1)∵f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋1|≤5，∴x －＋|x ＋1|≤，1252由绝对值的几何意义可得x ＝－和x ＝1时上述不等式中的等号成立，32∴3≤5＋m －m 2，∴－1≤m ≤2，∴M ＝2，∴a 3＋b 3＝2，∵2＝a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)，a 2－ab ＋b 2≥0，∴a ＋b >0，∵2ab ≤a 2＋b 2，∴4ab ≤(a ＋b )2，∴ab ≤，(a ＋b )24∵2＝a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b )[(a ＋b )2－3ab ]≥(a ＋b )143，∴a ＋b ≤2，∴0<a ＋b ≤2.。

参数方程专题[基础达标](35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.已知曲线C的参数方程为x=2cos t，y=2sin t(t为参数)，C在点(1，1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为() A.ρ=2sin θ+π4B.ρsin θ+π4=2C.ρsin θ+π4=2D.ρ=sin θ+π4B【解析】把曲线C的参数方程x=2cos t，y=2sin t(t为参数)消去参数，化为普通方程为x2+y2=2，曲线C在点(1，1)处的切线为l：x+y=2，化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=2，即ρsin θ+π4=2.2x=t cosα，y=t sinα(t是参数)与圆x=4+2cosθ，y=2sinθ(θ是参数)相切，则直线的倾斜角α为()A.π6B.5π6C.π6或5π6D.π2C【解析】直线x=t cosα，y=t sinα(t是参数)的普通方程为y=x tanα，圆x=4+2cosθ，y=2sinθ(θ是参数)的普通方程为(x-4)2+y2=4，由于直线与圆相切，则1+tan2α=2，即tan2α=13，解得tan α=±33，由于α∈[0，π)，故α=π6或5π6.二、填空题(每小题5分，共10分)3.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ，直线l的参数方程为x=t+a，y=-22t(t为参数)，若直线l将曲线C的周长分为1∶5，则实数a=.-1或5【解析】曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x，标准方程为(x-2)2+y2=4，直线l的普通方程为x+y-a=0，直线l将曲线C的周长分为1∶5，则弦所对的圆心角是60°，则圆心(2，0)到直线l的距离为3，即3=3，解得a=-1或5.4.以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线x=7cosφ，y=7sinφ(φ为参数，φ∈R)上的点到曲线ρ(cosθ+sinθ)=4(ρ，θ∈R)的最短距离是.22−7【解析】曲线x=7cosφ，y=7sinφ的普通方程为x2+y2=7，曲线ρ(cosθ+sinθ)=4的直角坐标方程为x+y=4，圆心(0，0)到直线x+y=4的距离d=2>，所以圆x2+y2=7上的点到直线x+y=4的最短距离为d-r=2−.三、解答题(共50分)5.(10分C的直角坐标方程是x2+y2=2x，直线l的参数方程是x=32t+m，y=12t(t为参数).(1)求直线l的普通方程；(2)设点P(m，0)，若直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|·|PB|=1，求实数m 的值.【解析】(1)直线l的参数方程是x=32t+m，y=12t(t为参数)，消去参数t可得x=3y+m.(2)把x=32t+m，y=12t(t为参数)代入方程x2+y2=2x，得t2+(3m-3)t+m2-2m=0，由Δ>0，解得-1<m<3，∴t1t2=m2-2m.∵|PA|·|PB|=1=|t1t2|，∴m2-2m=±1，解得m=1±2，1.又∵Δ>0，∴实数m=1±2，1.6.(10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=2-k，y=3-2k(k为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系.圆C的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点M的坐标为(2，3)，求|MA|·|MB|的值.【解析】(1)由ρ=2sin θ得ρ2=2ρsin θ，即x2+y2-2y=0，标准方程为x2+(y-1)2=1.故圆C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1.(2)直线l的参数方程为x=2-k，y=3-2k(k为参数)，可化为x=2-55t，y=3-255t其中k=55t ，代入圆C的直角坐标方程，得2-55t2+2-255t2=1，即t2-1255t+7=0.由于Δ=12552-4×7=45>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1+t2=1255，t1·t2=7，又直线l过点M(2，3)，故由上式及t的几何意义，得|MA|·|MB|=|t1|·|t2|=7.7.(10分xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为x=t，y=at(t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ-4sinθ)=12，定点A(6，0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点.(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；(2)直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围.【解析】(1)根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-4y=12，设点P(x'，y')，Q(x，y).根据中点坐标公式，得x'=2x-6，y'=2y，代入x2+y2-4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x-3)2+(y-1)2=4. (2)直线l的直角坐标方程为y=ax，根据题意，得圆心(3，1)到直线的距离d≤22-(3)2=1，即2≤1，解得0≤a≤34，∴实数a的取值范围为0，34.8.(10分xOy中，曲线C1：x=t cosα，y=t sinα(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sin θ，C3：ρ=23cos θ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0，曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立x2+y2-2y=0，x2+y2-23x=0，解得x=0，y=0或x=32，y=32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23cos α，α).所以|AB|=|2sin α-23cos α|=4sin α-π3.当α=5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.9.(10分)已知直线l的参数方程为x=-1-32t，y=3+12t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ-π6.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)点P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin θ-π6的公共点，求3x+y的取值范围.【解析】(1)因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ-π6，所以ρ2=4ρsin θ-π6=4ρ32sinθ-12cosθ .又ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以x2+y2=23y-2x，所以圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x-23y=0.(2)设z=3x+y，由圆C的方程x2+y2+2x-23y=0，得(x+1)2+(y-3)2=4，所以圆C的圆心是(-1，3)，半径是2.将x=-1-32t，y=3+12t代入z=3x+y，得z=-t.又由题可知点P在圆C内，所以有-1-32t+12+3+12t-32≤4，解得-2≤t≤2，所以-2≤-t≤2，即3x+y的取值范围是[-2，2].[高考冲关](20分钟45分)1.(5分C：ρ=2sin θ，A，B为曲线C上的两点，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴的直角坐标系中，曲线E：x=4t+2，y=-3t-3上一点P，则∠APB的最大值为()A.π4B.π3C.π2D.2π3B【解析】曲线C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1，曲线E的普通方程为3x+4y+6=0，易得直线E与圆C相离，且圆心C到直线E的距离d=2，则∠APB 取最大值时，PA，PB与圆C相切，且PC最短，此时在Rt△PAC中，sin ∠APC=12，故∠APC=π6，所以∠APB=π3.2.(10分)已知直线C1：x=1+t cosα，y=t sinα(t为参数)，曲线C2：x=cosθ，y=sinθ(θ为参数).(1)当α=π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.【解析】(1)当α=π3时，C1的普通方程为y=3(x-1)，C2的普通方程为x2+y2=1，联立方程组y=3(x-1)，x2+y2=1，解得C1与C2的交点坐标分别为(1，0)，12，-32.(2)依题意，C1的普通方程为x sinα-y cosα-sin α=0，则A点的坐标为(sin2α，-sin αcosα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为x=12sin2α，y=-12sinαcosα(α为参数)，所以1-4x=cos2α，-4y=sin2α，所以P点轨迹的普通方程为 x-142+y2=116.故P点的轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆.3.(10分)已知曲线C1的参数方程是x=2cosφ，y=3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为2，π3.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.【解析】(1)由已知可得A2cosπ3，2sinπ3，B2cosπ3+π2，2sinπ3+π2，C2cosπ3+π ，2sinπ3+π ，D2cosπ3+3π2，2sinπ3+3π2，即A(1，3)，B(-3，1)，C(-1，-3)，D(3，-1).(2)设P(2cos φ，3sin φ)，令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2，则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32，52].4.(10分C ：x 24+y 29=1，直线l ：x =2+t ，y =2-2t(t为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA|的最大值与最小值.【解析】(1)曲线C 的参数方程为 x =2cos θ，y =3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d= 55|4cos θ+3sin θ-6|. 则|PA|=dsin 30°=2 55|5sin(θ+α)-6|，其中α为锐角，且tan α=43，当sin(θ+α)=-1时，|PA|取得最大值，最大值为22 55；当sin(θ+α)=1时，|PA|取得最小值，最小值为2 55.5.(10分l ： x =1+12t ，y = 32t (t 为参数)，曲线C 1：x =cos θ，y =sin θ(θ为参数).(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB|；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的 32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 【解析】(1)由题意得l 的普通方程为y= 3(x-1)，C 1的普通方程为x 2+y 2=1. 联立方程y = 3(x -1)，x 2+y 2=1，解得l 与C 1的交点为A (1，0)，B 12，-32，则|AB|=1.(2)由题意可得C2的参数方程为x=12cosθ，y=32sinθ(θ为参数)，故点P的坐标是12cosθ，32sinθ .从而点P到直线l的距离d=32cosθ-32sinθ-32=342sin θ-π4+2，当sin θ-π4=-1时，d取得最小值，最小值为64(2-1).。

x＝acos φ ＝1(a＞b＞0)．其参数方程为 y＝bsin φ
(φ 为参数)，其中参数 φ 称
y2 x2 为离心角；焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是 2＋ 2＝1(a＞b＞0)， a b
x＝bcos φ 其参数方程为 y＝asin φ
(φ 为参数)， 其中参数 φ 仍为离心角， 通常
)
1－t
解析：由题意得 x∈R，y≤1，故可排除 A，C，D.故选 B. 答案：B
2 x＝3t ＋2 2．参数方程为 2 y＝t －1
(0≤t≤5)的曲线为线的一支 D．射线
解析：化为普通方程为 x＝3(y＋1)＋2 即 x－3y－5＝0 由于 x＝3t2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．选 A. 答案：A
三、圆的参数方程 如图所示，设圆 O 的半径为 r，点 M 从初始位置 M0 出发，按逆 时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动，设 M(x，y)，则 (θ 为参数)．
x＝rcos θ y＝rsin θ
这就是圆心在原点 O， 半径为 r 的圆的参数方程， 其中 θ 的几何 意义是 OM0 绕点 O 逆时针 旋转到 OM 的位置时，OM0 转过的角度． 圆心为(a，b)，半径为 r 的圆的普通方程是 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
二、参数方程和普通方程的互化 1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地 可以通过 消去参数 而从参数方程得到普通方程． 2．如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t) ， 把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)
x＝ft y＝gt
规定参数 φ 的范围为 φ∈[0,2π)．
x2 2 4．点 P(x，y)在椭圆 ＋y ＝1 上，则 x＋y 的最大值为( 4 A. 5 C．3 B. 7 D．6 (φ 为参数)，

第2讲 选修4－5 不等式选讲含绝对值不等式的解法(5年7考)[高考解读] 以解答题的形式考查绝对值不等式的解集、有限制条件的恒成立、有解等问题、考查学生的等价转化能力和数学运算能力，难度中等.1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． [解](1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＜0的解集；(2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )＜0，求a 的取值范围． [解](1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)．当x ＜1时，f (x )＝－2(x －1)2＜0；当x ≥1时，f (x )≥0.所以，不等式f (x )＜0的解集为(－∞，1)．(2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)＜0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞)．[教师备选题](2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．[解](1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＞12.(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时，|ax －1|＜1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax －1|≥1；若a ＞0，|ax －1|＜1的解集为00＜x ＜2a ，所以2a≥1，故0＜a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点；(2)划区间、去绝对值符号； (3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．1．(有解问题)已知f (x )＝|x |＋2|x －1|. (1)解不等式f (x )≥4；(2)若不等式f (x )≤|2a ＋1|有解，求实数a 的取值范围． [解](1)不等式f (x )≥4，即|x |＋2|x －1|≥4，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜02－3x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12－x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞13x －2≥4⇒x ≤－23或无解或x ≥2.故不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[2，＋∞)． (2)f (x )≤|2a ＋1|有解等价于f (x )min ≤|2a ＋1|.f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x x ＜，2－xx ，3x －x ＞，故f (x )的最小值为1，所以1≤|2a ＋1|，得2a ＋1≤－1或2a ＋1≥1，解得a ≤－1或a ≥0， 故实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[0，＋∞)． 2．(恒成立问题)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )＞2；(2)若g (x )＝f (x )＋f (－x )，且对任意x ∈R ，都有|k －1|＜g (x )，求实数k 的取值范围．[解](1)依题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－12，x ＋2，－12＜x ＜1，3x ，x ≥1.于是得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12－3x ＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12＜x ＜1x ＋2＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x ＞2，解得x ＜－23或0＜x ＜1或x ≥1.故不等式f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜－23或x ＞0.(2)g (x )＝f (x )＋f (－x )＝|x －1|＋|x ＋1|＋(|2x ＋1|＋|2x －1|)≥|(x －1)－(x ＋1)|＋|(2x ＋1)－(2x －1)|＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，x －2x ＋，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时取等号，若对任意的x ∈R ，不等式|k －1|＜g (x )恒成立，则|k －1|＜g (x )min ＝4， 所以－4＜k －1＜4，解得－3＜k ＜5，即实数k 的取值范围为(－3,5).不等式的证明(5年3考)[高考解读] 以解答的形式考查学生应用比较法、基本不等式等证明不等式，考查学生的逻辑推理及数学运算能力.(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.[证明](1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有 (a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥ 33a ＋b3b ＋c3a ＋c3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac ) ＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24. [教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． [证明](1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ， 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2，因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 2．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.[证明](1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋a ＋b24(a ＋b )＝2＋a ＋b34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.不等式证明的常用方法是：比较法、综合法与分析法．其中运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式证明，与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式．证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形．1．(用基本不等式证明不等式)已知函数f (x )＝|x －2|. (1)求不等式f (x )＞4－|x ＋1|的解集；(2)设a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2b ＝10，求证：a ＋b 2≥27. [解](1)f (x )＞4－|x ＋1|可化为|x －2|＞4－|x ＋1|，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－x －＞4＋x ＋或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜2，－x －＞4－x ＋或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2＞4－x ＋解得x ＜－32或x ∈或x ＞52.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.(2)因为a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以1a ＞2，2b ＞4. 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2b＝1a－2＋2b －2＝10，即1a ＋2b＝14.由基本不等式得，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝2＋b 2a ＋2a b ≥2＋2b 2a ·2ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ b 2a ＝2a b ，1a ＋2b ＝14，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝17，b ＝27时取等号．所以14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≥4，即a ＋b 2≥27.2．(用绝对值不等式的性质证明不等式)已知函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b )． [解](1)由题意，|x ＋1|＜|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2， 解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2， 此时不等式无解； ③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2， 即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0， 即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立.与代数式有关的最值问题(5年3考)[高考解读] 以解答题的形式考查代数式含绝对值不等式的最值求法，考查学生应用均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式的几何意义等工具分析问题和解决问题的能力，考查逻辑推理的数学素养.1．(2019·全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.[解](1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)·(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，所以由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)·(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]， 所以由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥＋a 23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．所以(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为＋a 23.由题设知＋a 23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1. 2．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．[解](1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.[教师备选题]若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．[解](1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43＞6，从而不存在a ，b ，使得2a＋3b ＝6.1．形如f (x )＝|Ax ＋B |＋|Ax ＋C |的最值．因为|Ax ＋B |＋|Ax ＋C |≥|Ax ＋B －(Ax ＋C )|＝|B －C |，当且仅当(Ax ＋B )(Ax ＋C )≤0时取“＝”，所以f (x )min ＝[|Ax ＋B |＋|Ax ＋C |]min ＝|B －C |.2．形如f (x )＝|Ax ＋B |－|Ax ＋C |的最值．因为||Ax ＋B |－|Ax ＋C ||≤|Ax ＋B －Ax －C |＝|B －C |，当且仅当(Ax ＋B )(Ax ＋C )≥0时取“＝”，所以f (x )max ＝[|Ax ＋B |－|Ax ＋C |]max ＝|B －C |，f (x )min ＝[|Ax ＋B |－|Ax ＋C |]min ＝－|B －C |.3．形如f (x )＝|Ax ＋B |＋|Cx ＋D |或f (x )＝|Ax ＋B |－|Cx ＋D |的最值由绝对值的几何意义作图可知．1．(求最值问题)设函数f (x )＝|x ＋1|－|x |的最大值为m . (1)求m 的值；(2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值．[解](1)|x ＋1|－|x |≤|x ＋1－x |＝1，f (x )的最大值为1，∴m ＝1.(2)由(1)可知，a ＋b ＝1，∴a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋1＋b 2a ＋1[(a ＋1)＋(b ＋1)]＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2a ＋b ＋1＋b 2b ＋a ＋1＋a 2＋b 2≥13(2ab ＋a 2＋b 2)＝13(a ＋b )2＝13， 当且仅当a ＝b ＝12时取等号，∴a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13. 2．(求参数问题)设函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋a |.(1)当a ＝1时，求f (x )的图象与直线y ＝3围成区域的面积； (2)若f (x )的最小值为1，求a 的值． [解](1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ＜12，3x ，x ≥12，如图，作出函数f (x )的图象与直线y ＝3，结合图象可知所求面积为12×[1－(－1)]×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32＝32. (2)法一：(借助分段函数的性质) 当－a ＞12，即a ＜－12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a ＋1，x ＜12，x －a －1，12≤x ＜－a ，3x ＋a －1，x ≥－a ，则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－a －1＝1，所以a ＝－32.当－a ≤12，即a ≥－12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a ＋1，x ＜－a ，－x ＋a ＋1，－a ≤x ＜12，3x ＋a －1，x ≥12，则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3×12＋a －1＝1，所以a ＝12.综上，a ＝－32或a ＝12.法二：(解恒成立问题)∵f (x )＝|2x －1|＋|x ＋a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12，当且仅当x ＝12时取等号．令⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝1，得a ＝12或a ＝－32. 3．(与恒成立交汇)已知函数f (x )＝x |x －a |，a ∈R . (1)当f (1)＋f (－1)＞1时，求a 的取值范围；(2)若a ＞0，x ，y ∈(－∞，a ]，不等式f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |恒成立，求a 的取值范围．[解](1)f (1)＋f (－1)＝|1－a |－|1＋a |＞1， 若a ≤－1，则1－a ＋1＋a ＞1，得2＞1，即a ≤－1；若－1＜a ＜1，则1－a －(1＋a )＞1，得a ＜－12，即－1＜a ＜－12；若a ≥1，则－(1－a )－(1＋a )＞1，得－2＞1，此时不等式无解．综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12.(2)由题意知， 要使不等式恒成立，只需f (x )max ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |min . 当x ∈(－∞，a ]时，f (x )＝－x 2＋ax ，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24. 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋54，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋54(y －a )≤0，即－54≤y ≤a 时等号成立， 所以当y ∈(－∞，a ]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋54＝a ＋54. 于是a 24≤a ＋54，解得－1≤a ≤5. 又a ＞0，所以a 的取值范围是(0,5]．。