“两点之间,线段最短”在最短距离问题中的运用

两点之间直线最短的运用
两点之间直线最短的原理是指两点之间最短路径是直线，这是由欧几里得定理得出的结论。

欧几里得定理是一种数学定理，它规定：在平面直角坐标系中，两点之间的距离公式为：
d=√((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)
其中，d是两点之间的距离，(x_1,y_1)和(x_2,y_2)是两点的坐标。

因此，当两点之间的距离最小时，它们之间的路径就是直线。

这一原理在许多领域中都有广泛应用，例如在地理学中，可以用来确定两个城市之间最短的飞行路线；在机械设计中，可以用来设计最短的传送带；在电路设计中，可以用来确定两个元件之间连线的最短路径等等。

关于“两点之间，线段最短”的平面的实际应用数学源于生活，高于生活，又引导生活。

新课程改革就是强调数学与社会实际以及学生的生活经验息息相关，让学生真正体会到新课程标准所要求的“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步与发展。

”下面本人从一件人人皆知的生活小事谈起：1、从学校到家，有两条道路，一条是笔直的，一条是弯曲的，如果是你，将如何选择回家的路？分析：这是一个很简单的常识问题，实际上也是一道数学问题，可把学校和家看成两个点，这样，根据“两点之间，线段最短”来解决问题，就简单多了。

根据上面这个问题，我们还可以思考很多问题……2、如图：有两个村庄分别在公路的两边，他们想在公路上建一个水泵，为了节约资金，使其到两地的距离之和最短。

分析：这是第一题的很简单的实际应用，只要连接A,B两点即可。

解：连接AB与公路的交点P就是建水泵的最好地方。

3、如图：如果把第二题的两村庄改在公路的同侧，其他问题不变，那该如何处理呢？分析：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想，往往大家不能正确的找到解题的思路。

有很多同学只知道“两点之间，线段最短”，便连接A,B两点，谁知与公路根本无交点，这是一种错误解答。

正确的解答过程应把A、B两点转化成第二题的情形，必须把A或B等距离转化，这里是把A点作关于公路的对称点A′，再连接A′B即可。

解：作A关于公路的对称点A′，连接A′B，与公路的交点P即为建水泵的的方。

4、如图：有两村庄A庄和B庄，被一条两岸平行的小河隔开，现要架一座桥CF，使由A村到B村的路程最短，问桥应架在什么地方？分析：“化未知为已知”是解题的关键，只要我们把河流变成一条直线，问题就解决了，我们不妨把A点和直线L 竖直往下平移河的宽度，问题就转化成了第三题。

解：把A点和直线L 竖直往下平移河的宽度，A点转化成A’，连接A’B 与河的两个交点都可以。

「初中数学」勾股定理与最短距离问题勾股定理与最短路径问题最短路径问题的核心理论是：两点之间线段最短，但在不同情形中，会以不同的方式出现，也就会涉及到不同的思路和方法，比如在【几何模型】“将军饮马”问题——作一首小诗这一讲中，主要利用到两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边(三角形的三边关系本质上还是两点之间线段最短)，而这一讲，我们主要涉及到立体图形的最短路径问题。

一、立体图形的最短路径问题的解决思路对于立体图形的最短路径问题，我们一般是利用横切或展开等手段，将其转换到平面图形中解决，而这种情形不免会在直角三角形中解决，也自然会和勾股定理扯上关系二、利用横切，转换成平面图形【例】如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一只14cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为多少？(注：内径即底面直径)【分析】若使吸管露出杯口最短，自然留在杯中最长，而最长莫过于下列情况：这样，按照上图将圆柱横切，就可以将其转换到RT△ACB 中解决，而AB可有勾股定理解得：AB=13cm，所以吸管露出杯口的最短长度AD=BD-AB=1cm【练习题】如图，将一根25cm长的细木棒，放入长、宽、高分别为8cm、6cm、10cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少？(保留1位小数)。

三、利用展开，转换成平面图形这类问题又可以细分为两种情形：直面(正方体或长方体)和曲面(圆柱)，但无论直面或曲面，一般都是展开为矩形，进而利用勾股定理解决【例】直面(正方体或长方体）【分析】研究在表面从点M到点C的最短路径，可以将正方体表面局部展开：根据“两点之间线段最短，可知最短路径，即为线段MC。

进而，在RT△CGM中，利用勾股定理，可求MC 【练习题】【例】曲面(圆柱)如图，圆柱高15cm,底面半径为8/兀cm，一蚂蚁从B点爬到A点的最短路径为多少?【分析】请注意：此题的易错点是，很多同学直接连接AB，认为此时线段AB即为最短路径。

“两点一线”求“最值”在初中数学学习中，我们时常会遇到求距离的“最”值，此类问题会用许多实际问题作为包装，但其本质上还是一个求极值的问题。

它们看起来很复杂，其实只需一个数学上最基本的原理――“两点之间，线段最短”。

当然，为了利用这一原理来解决问题，我们还时常需要创造一定的条件，才能使问题得以解决，下面我们就讲解一下常见的两种类型最值的求法。

一、距离之“和最小”问题原型：如图1，点A、B在直线l的两侧，试在直线l上求作一点P，使PA+PB最小？解决思路：连接AB交直线l于点P，则点P即为所求。

我们可以做如下证明：如图2，在直线l上任取异于点P一点P'，连接P'A、P'B，可知P'A+P'B>AB，（两点之间线段最短）所以P'A+P'B>PA+PB，所以点P即为所求做的使PA+PB最短的点。

问题变形一：如图3，点A、B在直线l的同侧，试在直线l上求作一点P，使PA+PB最小？解决思路：相比较图2，本题中两点A、B分别位于直线l的同侧，欲参照图2作法求作距离和最小的点，需使两点位于直线的两侧，且不能影响到两点中与直线上任一点的距离，这一要求可由我们学过的轴对称来实现，所以我们可用如下办法来寻找点P的位置：作点B 关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，则点P即为所求。

我们可作如下证明：如图4，在直线l上任取异于点P的一点P'，连接P'A、P'B、P'B'，因为点B，B'关于直线l对称，由对称的性质可知PB=PB'，P'B=P'B'，如图可知：P'A+P'B=P'A+P'B'>AB'=PA+PB'=PA+PB，所以P'A+P'B>PA+PB，故点P即为所求。

初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ，2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

两点之间，线段最短引言在线段几何中，寻找两点之间的最短线段是一项经典的问题。

这个问题在很多领域都有广泛的应用，如计算机图形学、路径规划等。

在本文中，我们将探讨一些常见的解决方法，并比较它们的优劣。

问题定义给定二维平面上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们的目标是找到从A到B 的最短线段。

解决方法方法一：勾股定理最直观的方法是使用勾股定理计算两点之间的距离，然后直接连接这两点。

假设A和B的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么我们可以计算出线段AB的长度d：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)这种方法的优点是简单直接，计算速度快。

然而它的缺点是不能处理复杂的几何形状，如多边形、曲线等。

方法二：分治法分治法是一种常用的解决几何问题的方法。

我们可以将问题分解为更小的子问题，然后递归求解。

具体步骤如下：1.将所有点按照横坐标排序。

2.如果点集的规模较小（小于等于某个阈值），则直接使用方法一计算。

3.将点集分为两个较小的子集。

4.对每个子集递归应用分治法，分别计算出最短线段。

5.计算出横跨两个子集的最短线段。

6.返回最短线段。

使用分治法的优点是可以处理复杂的几何形状，它的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是点集的大小。

方法三：动态规划动态规划是一种解决最优化问题的常用方法。

我们可以使用动态规划来寻找两点之间的最短线段。

具体步骤如下：1.创建一个二维数组dist，dist[i][j]表示从点i到点j的最短线段的长度。

2.初始化dist[i][j]为正无穷大（表示无法连接）。

3.对于每个点i，遍历所有点j（j != i）：–如果点i和点j之间的距离小于dist[i][j]，则更新dist[i][j]的值。

–如果点i和点j可以连接（即线段不与其他线段相交），则将dist[i][j]的值更新为点i和点j之间的距离。

4.返回dist[0][1]，即起点到终点的最短线段的长度。

A B C DA B C DABABL图(2)EBDA CP图(3)DO CP中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段(之和)最短问题；二、原理：两点之间,线段最短;垂线段最短.(构建“对称模型”实现转化）三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3，BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3,两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P,使PA+PB的和最小.请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为 . 四、练习题（巩固提高）(一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4,假设一只蚂蚁在点A处,它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计),圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm,底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为 .4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点,DN＋MN的最小值为。

第4题第5题第6题第7题5、在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为。

两点之间线段最短在生活中的应用在生活中，我们经常会遇到需要找到两点之间最短路径的问题，这个问题的解决方法之一就是找到两点之间的线段最短路径。

尽管这个问题听起来可能有些抽象，但实际上，在我们的日常生活中，有许多实际的应用场景可以与之对应。

本文将介绍一些常见的生活应用场景，并说明在这些场景中如何使用两点之间线段最短来解决问题。

第一个应用场景是旅行规划。

当我们计划旅行时，通常会有多个目的地需要考虑。

而我们希望在有限的时间内尽可能多地游览这些目的地。

这时，我们就可以使用两点之间线段最短的概念来帮助我们规划路线。

以一个城市为例，我们可以将每个景点看作一个点，而景点之间的路径看作线段。

通过计算出所有景点之间的线段最短路径，我们可以找到游览所有景点所需的最短路线。

这样，我们就可以在有限的时间内尽可能多地游览景点，提高旅行的效率。

第二个应用场景是物流配送。

在物流配送过程中，我们常常需要将货物从一个地方运送到另一个地方。

而我们希望在最短的时间内完成配送任务，以提高效率。

这时，我们就可以使用两点之间线段最短的概念来帮助我们确定最佳的配送路线。

以一个城市为例，我们可以将每个配送点看作一个点，而配送点之间的路径看作线段。

通过计算出所有配送点之间的线段最短路径，我们可以找到最佳的配送路线，从而在最短的时间内完成配送任务。

第三个应用场景是交通规划。

在城市交通规划中，我们常常需要考虑如何设计道路网络，以提高交通的效率。

而在道路网络的设计中，我们希望能够找到最短的路径连接各个重要节点，以缩短人们的出行时间。

这时，我们就可以使用两点之间线段最短的概念来帮助我们确定道路网络的布局。

通过计算出各个重要节点之间的线段最短路径，我们可以确定最佳的道路布局，从而提高交通的效率。

第四个应用场景是电子设备布线。

在电子设备布线中，我们常常需要将各个设备连接起来，以实现数据传输或信号传输。

而我们希望在布线过程中尽可能减少线缆的长度，以降低成本和功耗。