七年级数学上册-考点训练：两点之间线段最短-课后练习

2021年七上数学期中复习-线段的性质：两点之间线段最短-单选题专训及答案线段的性质：两点之间线段最短单选题-专训1、(2020苍南.七上期末) 老爷爷从家到超市有甲、乙、丙三条路可以选择，在不考虑其它因素的情况下，他选择了乙路前往，则其中蕴含着的数学道理是( )A . 两点确定一条直线B . 两点之间线段最短C . 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短D . 在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线2、(2021慈溪.七上月试) 如图，小李同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A . 垂线段最短B . 经过一点有无数条直线C . 两点之间线段最短D . 经过两点有且仅有一条直线3、(2016平阳.七上期末) (2017七上·绍兴月考) 如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是（）A . 两点确定一条直线B . 两点之间线段最短C . 两点之间直线最短D . 垂线段最短(2016海淀.七上期末) 已知AB是圆锥（如图1）底面的直径，P是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图2所示．一只蚂蚁从A点出发，沿着圆锥侧面经过PB 上一点，最后回到A点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T（M，N，S，T均在PB上）四个点中，它最有可能经过的点是（）A . MB . NC . SD . T5、(2018大石桥.七上期末) 下列说法中正确的是（）A . 两点之间，直线最短B . 圆是立体图形C . -125与93是同类项D . 方程的解是x=36、(2019丹东.七上期末) 下列四个生产生活现象，可以用公理“两点之间，线段最短”来解释的是（）A . 用两个钉子就可以把木条固定在墙上B . 植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线C . 从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB来架设D . 打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上7、(2019鞍山.七上期末) 下列说法中：①一个有理数不是正数就是负数；②射线AB和射线BA是同一条射线；③0的相反数是它本身；④两点之间，线段最短，正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8、(2019秦淮.七上期末) 现实生活中“为何有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过？”，请用数学知识解释图中这一现象，其原因为（）.A . 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离B . 过一点有无数条直线C . 两点之间线段最短D . 两点确定一条直线(2019定安.七上期末) 如图，从A到B有①，②，③三条路线，最短的路线是①，其理由是（）A . 因为它最直B . 两点确定一条直线C . 两点间的距离的概念D . 两点之间，线段最短10、(2016莒.七上期末) 我们经常看到不文明踩踏草坪的现象，更令人痛心的是草坪是被踩出一条条直线的小路，用几何知识解释其道理正确的是（）A . 两点确定一条直线B . 两点之间线段最短C . 垂线段最短D . 三角形两边之和大于第三边11、(2016莘.七上期末) 下列说法正确的个数是（）⑴射线AB和射线BA是一条射线⑵两点之间的连线中直线最短⑶若AP=BP，则P是线段AB的中点⑷经过任意三点可画出1条或3条直线．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个12、(2016金乡.七上期末) 有下列生活，生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上．②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A . ①②B . ①③C . ②④D . ③④13、(2016昌邑.七上期末) 如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助他选择一条最近的路线（）A . A→C→D→B B . A→C→F→BC . A→C→E→F→BD . A→C→M→B14、(2017沂水.七上期末) 如图，张亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A . 经过一点有无数条直线B . 经过两点，有且仅有一条直线C . 两点间距离的定义D . 两点之间，线段最短15、(2019沙雅.七上期末) 下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是（）A . 用两个钉子就可以把木条固定在墙上B . 把弯曲的公路改直，就能缩短路程C . 利用圆规可以比较两条线段的大小关系D . 植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线16、(2019丹江口.七上期末) “在山区建设公路时，时常要打通一条隧道，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是( )A . 两点确定一条直线B . 直线比曲线短C . 两点之间，线段最短D . 垂线段最短17、(2019中山.七上期末) 下列说法正确的是（）A . 射线AB和射线BA是两条不同的射线B . 过三点可以画三条直线C . 两点之间，直线最短D . ﹣a是负数18、(2018江海.七上期末) 如图过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A . 两点确定一条直线B . 两点之间线段最短C . 垂线段最短D . 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直19、(2018罗湖.七上期末) 把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做的理由是( )A . 两点之间，直线最短B . 两点确定一条直线C . 两点之间，线段最短D . 两点确定一条线段20、(2016深圳.七上期末) 如图，现实生活中有部分行人选择横穿马路而不走天桥或斑马线，用数学知识解释这一现象的原因，可以为（）A . 过一点有无数条直线B . 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离C . 两点确定一条直线D . 两点之间，线段最短21、(2018崆峒.七上期末) “把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（）A . 两点确定一条直线B . 直线比曲线短C . 两点之间直线最短D . 两点之间线段最短22、(2019唐山.七上期中) 根据下列线段的长度，能判断A、B、C三点不在同一条直线上的是（）A . AB=10，AC=4，BC=6B . AB=10，AC=12，BC=2C . AB=2，AC=8，BC=10D . AB=8，AC=17，BC=1323、(2020甘州.七上期末) 有如下说法：①直线是一个平角；②如果线段AB＝BC，则B是线段AC的中点；③射线AB与射线BA表示同一射线；④用一个扩大2倍的放大镜去看一个角，这个角扩大2倍；⑤两点之间，直线最短；⑥120.5°＝120°30′，其中正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个24、(2020天峨.七上期末) 下列说法正确的是( )A . 射线AB和射线BA是两条不同的射线B . -a是负数C . 两点之间，直线最短D . 过三点可以画三条直线25、(2019方城.七上期末) 下列说法：①如果∠1+ ∠2+∠3=180°，那么∠1，∠2，∠3三个角互为补角；②如果∠A+ ∠B=90°，那么∠A与∠B互为余角；③“对顶角相等”成立，反之“相等的角是对顶角”也成立；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等；⑤两点之间，线段最短. 正确的个数是（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个26、(2020南京.七上期末) 下列说法：①两点之间，直线最短；②若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的说法有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个27、(2020无锡.七上期末) 下列说法错误的是（）A . 两点之间线段最短B . 对顶角相等C . 同角的补角相等D . 过一点有且只有一条直线与已知直线平行28、(2019无锡.七上期末) 下列说法中正确的是A . 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行B . 若，则点C是线段AB的中点C . 两点之间的所有连线中，线段最短D . 相等的角是对顶角29、(2020永春.七上期末) 如图，从A到B有三条路径，最短的路径是③，理由是（）A . 两点确定一条直线B . 两点之间，线段最短C . 过一点有无数条直线D . 因为直线比曲线和折线短30、(2021昌黎.七上期中) 现实生活中，总有人乱穿马路（如图中AD），却不愿从天桥（如图中）通过，请用数学知识解释这一现象，其原因是（）A . 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离B . 过一点有无数条直线C . 两点确定一条直线D . 两点之间，线段最短线段的性质：两点之间线段最短单选题-答案1.答案：B2.答案：C3.答案：B4.答案：B5.答案：C6.答案：C7.答案：B8.答案：C9.答案：D10.答案：B11.答案：A12.答案：C13.答案：B14.答案：D15.答案：B16.答案：C17.答案：A18.答案：A19.答案：C20.答案：D21.答案：D22.答案：C23.答案：A24.答案：A25.答案：A26.答案：A27.答案：D28.答案：C29.答案：30.答案：。

1.A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：2.从A地到B地有五条道路，时间紧急，张先生要从B地赶往A地乘车，问：此时张先生应该怎么走？3.已知正方体的棱长是10cm，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5厘米，3厘米和1厘米，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。

请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线是多少？5.有一圆柱形油罐，底面圆的周长为24米，高为6米，一只老鼠从距底面1米的A处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？6.不大，可看成圆柱体。

测得树干的周长为3米，高位20米。

有一紫藤自树的根部均匀地盘绕在树干上，恰好绕7周到达树干的顶部。

紫藤长多少7.小丽自己动手做一顶圆锥形的圣诞帽，她想在帽子上缠一根漂亮的丝带，从A出发绕帽子侧面一周，请用图形表示出需要最短丝带。

8.已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上。

一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示。

若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，请画出所得侧面展开图。

9.如图，有座山大致是圆锥形，山脚是圆形，半径是4千米，山高是4√15千米，在山坡SA的中点C有一联络站，要从山脚A修一盘山公路，绕山坡一周将物资运往SA的中点C处，这条公路的最短路程是多少？10.有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？11.如图，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接A B①②③⑤④CAlBAABSCAPB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为 cm （结果不取近似值）．（11） （12）12. 如图，已知梯形ABCD ，AD BC ∥，4AD DC ==，8BC =，点N 在BC 上，2CN =，E 是AB 中点，在AC 上找一点M 使 EM MN +的值最小，此时其最小值一定等于13. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD=1, ∠B=60°,直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC+PD 的最小值为14. 如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷。

两点之间线段最短的习题一．选择题（共20小题）1．已知线段AB的中点是C，BC的中点是D，AD的中点是E，则AE等于AB的（）A．B．C．D．2．已知线段AB=5厘米，线段BC=3厘米，则线段AC的长为（）A．8厘米B．2厘米C．2厘米或8厘米D．不能确定3．如图所示，甲、乙之间有四条路可走，那么最短线路的序号是（）A．①B．②C．③D．④4．按下面长度，A、B、C不在同一直线上的为（）A．AB=5cm，BC=15cm，AC=20cm B．AB=8cm，BC=6cm，AC=10cmC．AB=11cm，BC=21cm，AC=10cm D．AB=30cm，BC=16cm，AC=14cm5．如图所示，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他应该走（）A．①B．②C．③D．④6．下列生活或生产现象中，可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线D．以上说法都不能用此公理解释7．已知M、N、P三点在同一条直线上，如果线段MN=6cm，NP=2cm，那么M，P两点的距离是（）A．8cm B．4cm C．8cm或4cm D．无法确定8．下列说法：①把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间线段最短；②若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点；③射线AB与射线AD是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线．其中说法正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是（）A．两点之间，直线最短B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短D．两点确定一条线段10．已知：如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，AB=20cm，那么线段AD等于（）A．16cm B．5 cmC．10cm D．15cm11．如图所示，A、B两点所对的数分别为a、b，则AB的距离为（）A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b12．把原来弯曲的河道改直，两地间的河道长度会变短，这其中蕴含的数学道理是（）A．两地之间线段最短B．直线比曲线短C．两点之间直线最短D．两点确定一条直线13．“把弯曲的河道改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（）A．直线比曲线短B．两点之间线段最短C．两点之间直线最短D．两点确定一条直线14．下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是（）A．把弯曲的公路改直，就能缩短路程B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上C．利用圆规可以比较两条线段的大小关系D．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线15．如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．两点之间直线最短D．垂线段最短16．如图，C、M是线段AB上的两点，且点M是线段AC的中点，若AB=8cm，BC=2cm，则AM的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm17．下列说法中：①过两点有且只有一条直线；②两点之间选段最短；③在平面内有一点P使得PA=PB，那么，点P就是线段AB的中点；④连接两点的线段叫两点之间的距离；其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．如图，小红同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．过一点，有无数条直线D．连接两点之间的线段叫做两点间的距离19．已知点在线段上，下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是（）A．AC=BC B．AB=2AC C．AC+BC=AB D．20．已知A，B，C三点在同一条直线上，M，N分别为线段AB，BC的中点，且AB=60，BC=40，则MN的长为（）A．10 B．50 C．10或50 D．无法确定二．填空题（共20小题）21．如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=4cm，BC=2cm，那么A、C两点之间的距离为多少？22．如图，AB=12cm，M点是线段AB的中点，点C将线段MB分成MC：CB=1：2则线段AC的长度是cm．23．两点之间的所有连线中，线段最短．简单地说：，线段最短．两点之间线段的叫做这两点之间的距离．24．已知把一段弯曲的公路改成直道可以缩短路程，这样做的数学道理是．25．在桌面上放了一个正方体的盒子，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B 处，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？．26．如图，用“＞”、“＜”或“=”连接下列各式，并说明理由．AB+BC AC，AC+BC AB，BC AB+AC，理由是．27．如图，已知C、D是线段AB上的两点，且AC=AB，BD=BC，图中一共有条线段；若所有线段的长度的总和为31，则AD=．28．线段AB=9cm，点C在AB上，且AC=AB，M是AB的中点，那么MC=．29．如图所示，设L=AB+AD+CD，M=BE+CE，N=BC．试比较M、N、L的大小：．30．如图，从城市A到城市B有三种不同的交通工具：汽车、火车、飞机，除去速度因素，坐飞机的时间最短是因为．31．线段AB=8cm，C是AB的中点，D是BC的中点，A、D两点间的距离是cm．32．某工程队在修建高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直以缩短路程，这样的理论依据是．33．如图，BC=4，BD=7，且D是AC的中点，则AC=．34．如图，C、D是线段AB上的点，D为BC的中点，AB=12cm，AC=AB，则CD=cm．35．若将弯曲的河道改直，可以缩短航程，根据是．36．已知线段AB=6cm，AB所在直线上有一点C，若AC=2BC，则线段AC的长为cm．37．为抄近路践踏草坪是一种不文明现象．请你用几何知识解释出现这一种现象的原因：．38．某乡在重修通往县城的公路时，把原来弯曲的路改直，其中蕴含的数学道理是．39．如图，点C在线段AB的延长线上，BC=2AB，点D是线段AC的中点，AB=2cm，则BD的长度是．40．如图，M是线段AC的中点，N是线段CB的中点．如果AB=14cm，那么MN=．三．解答题（共10小题）41．如图，（1）一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？（2）如果要爬行到顶点C呢？说出你的理由．42．如图，点B在线段AD上，C是线段BD的中点，AD=10，BC=3．求线段CD、AB的长度．43．已知线段AB=5cm，回答下列问题：是否存在一点C，使它到A、B两点的距离之和等于4？44．在已知直线MN的两侧各有一个点A和B，在MN上找出一个点C，使点C到A、B的距离为最短，画出图形，并说明为什么最短？45．如图所示，已知A、B、C、D，请在图中找出一点P，使PA+PB+PC+PD最小．46．画图并计算：已知线段AB=10cm．（1）在线段AB上画线段BC=4cm，求线段AC的长；（2）在直线AB上画线段BC=4cm，求线段AC的长．47．如图，C是线段BD的中点，AD=3，AC=7，求线段AB的长．48．如图，A，B，C是一条公路上的三个村庄，A，B间的路程为100km，A，C 间的路程为40km，现在A，B之间设一个车站P，设P，C之间的路程为xkm．（1）用含x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和；（2）当x=10km时，车站到三个村庄的路程之和是多少千米？（3）若要使车站到三个村庄的路程总和最短，问车站应设在何处？最小值是多少？49．如图，公园里设计了曲折迂回的九曲桥，与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出其中的道理．50．如图，已知AD=6cm，B是AC的中点，，求AB、BC、CD的长．两点之间线段最短的习题参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．已知线段AB的中点是C，BC的中点是D，AD的中点是E，则AE等于AB的（）A．B．C．D．【分析】根据中点的性质，即可推出AB=2BC，BC=AC=2CD，由此可得AB=4CD，AD=3CD，可得，AB=AD，然后根据AD=2AE，即可推出AE与AB的数量关系．【解答】解：∵线段AB的中点是C，BC的中点是D，AD的中点是E，∴AB=2BC，BC=AC=2CD，AD=2AE，∴AB=AD，∵AD=2AE，∴AE=AB．故选C．【点评】本题主要考查线段中点的性质，关键在于根据中点的性质推出AB=AD，AD=2AE，再进行正确等量代换．2．已知线段AB=5厘米，线段BC=3厘米，则线段AC的长为（）A．8厘米B．2厘米C．2厘米或8厘米D．不能确定【分析】分两种情况讨论：①A、B、C三点共线，②A、B、C三点不共线，从而可得出答案．【解答】解：①A、B、C三点共线时，AC=2厘米或8厘米；②A、B、C三点不共线时，AC的长度没办法确定．综上可得AC的长没办法确定．故选D．【点评】本题主要考查两点间的距离的知识点，由于没有说明AB与BC的位置，故不能确定A，C两点的距离．3．如图所示，甲、乙之间有四条路可走，那么最短线路的序号是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据线段的性质（两点之间线段最短）进行解答即可．【解答】解：由图可知，甲乙两地之间的四条路只有③是线段，故最短路线的序号是③；故选C．【点评】本题考查的是线段的性质，即两点之间线段最短．4．按下面长度，A、B、C不在同一直线上的为（）A．AB=5cm，BC=15cm，AC=20cm B．AB=8cm，BC=6cm，AC=10cmC．AB=11cm，BC=21cm，AC=10cm D．AB=30cm，BC=16cm，AC=14cm【分析】根据两点间的距离公式对各选项进行逐一解答即可．【解答】解：A、∵AB=5cm，BC=15cm，AC=20cm，∴AB+BC=AC，故本选项正确；B、∵AB=8cm，BC=6cm，AC=10cm，∴AC+BC≠AB，故本选项错误；C、∵AB=11cm，BC=21cm，AC=10cm，∴AB+AC=BC，故本选项正确；D、∵AB=30cm，BC=16cm，AC=14cm，∴BC+AC=AB，故本选项正确．故选B．【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知同一直线上两点间的距离公式是解答此题的关键．5．如图所示，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他应该走（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据“两点之间线段最短”的性质进行解答．【解答】解：∵小明到小颖家的四条路中只有②是线段，∴第②条路最近．故选B．【点评】本题考查的是线段的性质，熟知“两点之间线段最短”的知识是解答此题的关键．6．下列生活或生产现象中，可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线D．以上说法都不能用此公理解释【分析】根据两点确定一条直线，两点之间线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故本选项正确；C、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；D、因为B选项可以解释，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了线段的性质以及直线的性质，熟记性质公理是解题的关键，是基础题．7．已知M、N、P三点在同一条直线上，如果线段MN=6cm，NP=2cm，那么M，P两点的距离是（）A．8cm B．4cm C．8cm或4cm D．无法确定【分析】画出图形，则有：（1）M、P在N的同侧，（2）M、P在N的两侧．【解答】解：如图所示，可知：（1）M、P在N的同侧，则M，P两点的距离是6﹣2=4cm；（2）若M、P在N的两侧，则M，P两点的距离是6+2=8cm．故选C．【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．8．下列说法：①把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间线段最短；②若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点；③射线AB与射线AD是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线．其中说法正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据线段的性质及两点间距离的定义对各小题进行逐一分析即可．【解答】解：①符合两点之间线段最短，故本小题正确；②当ABC不共线时，点C不是线段AB的中点，故本小题错误；③射线AB与射线AD可能是两条不同的射线，故本小题错误；④连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，故本小题错误；⑤符合两点确定一条直线，故本小题正确．故选B．【点评】本题考查的是线段的性质，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．9．如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是（）A．两点之间，直线最短B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短D．两点确定一条线段【分析】此题为数学知识的应用，由题意弯曲的河道改直，肯定为了尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【解答】解：因为两点之间线段最短，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．故选：C．【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．10．已知：如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，AB=20cm，那么线段AD等于（）A．16cm B．5 cmC．10cm D．15cm【分析】根据线段中点的定义得到BC=AB=×20cm=10cm，BD=BC=×10cm=5cm，然后利用AD=AB﹣BD计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，AB=20cm，∴BC=AB=×20cm=10cm，∵点D是线段BC的中点，∴BD=BC=×10cm=5cm，∴AD=AB﹣BD=20cm﹣5cm=15cm．故选D．【点评】本题考查了两点间的距离：两点之间的连线段长叫这两点之间的距离．也考查了线段中点的定义．11．如图所示，A、B两点所对的数分别为a、b，则AB的距离为（）A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b【分析】根据AB两点之间的距离即为0到B的距离与0到A的距离之和，由数轴可知a＜0，b＞0，得出AB的距离为b﹣a．【解答】解：∵A、B两点所对的数分别为a、b，∵a＜0，b＞0，∴AB之间的距离为b﹣a，故选C．【点评】本题考查了两点之间的距离，图形结合，判断出a、b的符号，难度适中．12．把原来弯曲的河道改直，两地间的河道长度会变短，这其中蕴含的数学道理是（）A．两地之间线段最短B．直线比曲线短C．两点之间直线最短D．两点确定一条直线【分析】直接利用线段的性质进而分析得出答案．【解答】解：把原来弯曲的河道改直，两地间的河道长度会变短，这其中蕴含的数学道理是两地之间线段最短．故选：A．【点评】本题考查的是线段的性质，正确掌握两点之间线段最短是解题关键．13．“把弯曲的河道改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（）A．直线比曲线短B．两点之间线段最短C．两点之间直线最短D．两点确定一条直线【分析】根据线段的性质即可得出结论．【解答】解：∵两点之间线段最短，∴把弯曲的河道改直，就能缩短路程．故选：B．【点评】本题考查的是线段的性质，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．14．下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是（）A．把弯曲的公路改直，就能缩短路程B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上C．利用圆规可以比较两条线段的大小关系D．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线【分析】利用直线的性质以及线段的性质分别分析得出答案．【解答】解：A、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释，故此选项正确；B、用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用两点确定一条直线，故此选项错误；C、利用圆规可以比较两条线段的大小关系，是比较线段大小，不是两点之间，线段最短，故此选项错误；D、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，利用两点确定一条直线，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．15．如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．两点之间直线最短D．垂线段最短【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答．【解答】解：把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是两点之间线段最短，故选：B．【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短，是需要记忆内容．16．如图，C、M是线段AB上的两点，且点M是线段AC的中点，若AB=8cm，BC=2cm，则AM的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【分析】由图形可知AC=AB﹣BC，依此求出AC的长，再根据中点的定义可得AM 的长．【解答】：由图形可知AC=AB﹣BC=8﹣2=6cm，∵M是线段AC的中点，∴AM=AC=3cm．故AM的长为3cm．故选B．【点评】考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段AC的长是解决本题的突破点．17．下列说法中：①过两点有且只有一条直线；②两点之间选段最短；③在平面内有一点P使得PA=PB，那么，点P就是线段AB的中点；④连接两点的线段叫两点之间的距离；其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】分别利用直线的性质以及两点之间距离和线段的性质分别判断得出即可．【解答】解：①过两点有且只有一条直线，正确；②两点之间线段最短，正确；③若AC=BC，则点C是线段AB的中点，C可能在线段垂直平分线上，故此选项错误．④连接两点的线段的长叫两点的距离，是线段的长，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了直线的性质以及两点之间距离和线段的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．18．如图，小红同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．过一点，有无数条直线D．连接两点之间的线段叫做两点间的距离【分析】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．【解答】解：∵用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，故选A．【点评】本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．19．已知点在线段上，下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是（）A．AC=BC B．AB=2AC C．AC+BC=AB D．【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A、B、D 都可以确定点C是线段AB中点【解答】解：解：A、AC=BC，则点C是线段AB中点；B、AB=2AC，则点C是线段AB中点；C、AC+BC=AB，则C可以是线段AB上任意一点；D、BC=AB，则点C是线段AB中点．故选C．【点评】本题主要考查线段中点，解决此题时，能根据各选项举出一个反例即可．20．已知A，B，C三点在同一条直线上，M，N分别为线段AB，BC的中点，且AB=60，BC=40，则MN的长为（）A．10 B．50 C．10或50 D．无法确定【分析】根据题意画出图形，再根据图形求解即可．【解答】解：（1）当C在线段AB延长线上时，如图1，∵M、N分别为AB、BC的中点，∴BM=AB=30，BN=BC=20；∴MN=50．（2）当C在AB上时，如图2，同理可知BM=30，BN=20，∴MN=10；所以MN=50或10，【点评】本题考查线段中点的定义，比较简单，注意有两种可能的情况；解答这类题目，应考虑周全，避免漏掉其中一种情况．二．填空题（共20小题）21．如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=4cm，BC=2cm，那么A、C两点之间的距离为多少？【分析】分类讨论：当点C在线段AB上，则有AC=AB﹣BC；当点C在线段AB 的延长线上，则AC=AB+BC，然后把AB=4cm，BC=2cm分别定义计算即可．【解答】解：当点C在线段AB上，则AC=AB﹣BC=4cm﹣2cm=2cm；当点C在线段AB的延长线上，则AC=AB+BC=4cm+2cm=6cm，所以A、C两点之间的距离为2cm或6cm．【点评】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．22．如图，AB=12cm，M点是线段AB的中点，点C将线段MB分成MC：CB=1：2则线段AC的长度是8cm．【分析】设MC=xcm，由MC：CB=1：2得到CB=2xcm，则MB=3x，根据M点是线段AB的中点，AB=12cm，得到AM=MB=AB=×12=3x，可求出x的值，又AC=AM+MC=4x，即可得到AC的长．【解答】解：设MC=xcm，则CB=2xcm，∴MB=3x，∵M点是线段AB的中点，AB=12cm，∴AM=MB=AB=×12=3x，而AC=AM+MC，∴AC=3x+x=4x=4×2=8（cm）．故答案为8．【点评】本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离．也考查了方程思想的运用．23．两点之间的所有连线中，线段最短．简单地说：两点之间，线段最短．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离．【分析】根据线段的性质与两点间的距离的定义填空．【解答】解：两点之间的所有连线中，线段最短．简单地说：两点之间，线段最短．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离．故答案为：两点之间；长度．【点评】本题考查了线段的性质，以及两点间的距离的定义，是基础题，需熟记．24．已知把一段弯曲的公路改成直道可以缩短路程，这样做的数学道理是两点之间的连线中，线段最短．【分析】此题为数学知识的应用，由题意把一段弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，就用到两点间线段最短定理．【解答】解：弯曲的道路改直，使两点处于同一条线段上，两点之间线段最短．【点评】本题主要考查两点之间线段最短．25．在桌面上放了一个正方体的盒子，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B 处，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？蚂蚁可由：点A﹣点EF的中点（或CE的中点）﹣B点．【分析】考查最短路径问题．【解答】解：因为两点之间线段最短，所以蚂蚁可沿点A﹣点EF的中点（或CE 的中点）﹣B点．【点评】熟练掌握最短路径问题，能够应用到生活中一些简单的例子．26．如图，用“＞”、“＜”或“=”连接下列各式，并说明理由．AB+BC＞AC，AC+BC ＞AB，BC＜AB+AC，理由是两点之间的所有连线中，线段最短．【分析】两点之间的所有连线中，线段最短．【解答】解：AB+BC＞AC，AC+BC＞AB，BC＜AB+AC；在两点之间的所有连线中，线段最短．【点评】掌握两点之间，线段最短．27．如图，已知C、D是线段AB上的两点，且AC=AB，BD=BC，图中一共有6条线段；若所有线段的长度的总和为31，则AD=7．【分析】从图可知，小线段一共有3条，根据线段的计数方法可得：线段总条数就是3+2+1=6条；将所有线段加起来可得3AB+CD=31，从而根据题意可判断出AB的取值．【解答】解：如图，图中的线段的条数为：3+2+1=6（条）；∵AC=AB，BD=BC，∴AB=CD．根据题意可得：AC+AD+AB+CD+CB+DB=31，即（AC+CB）+（AD+DB）+（AB+CD）=31，∴3AB+CD=31，即CD=1，解得，CD=4，则AB=9，AC=3，∴AD=AC+CD=3+4=7．故填：7．【点评】本题考查了两点间的距离．此题易错的地方是所有线段的长度的总和为31，同学们解题时，往往认为线段AB的长度是31．28．线段AB=9cm，点C在AB上，且AC=AB，M是AB的中点，那么MC= 1.5cm．【分析】先根据“AC=AB，M是AB的中点”求出AC、AM的长度，然后两者相减即可求解．【解答】解：如图，∵AC=AB，M是AB的中点，AB=9cm，∴AC=×9=3cm，AM=×9=4.5cm，∴CM=AM﹣AC=4.5﹣3=1.5cm．故答案为：1.5cm．【点评】本题考查了线段长度的计算，画出图形更加形象直观，并且有助于问题的解决．29．如图所示，设L=AB+AD+CD，M=BE+CE，N=BC．试比较M、N、L的大小：L＞M＞N．【分析】根据连接两点的所有线中，直线段最短的性质解答．【解答】解：∵AB+AE＞BE，CD+DE＞CE，∴AB+AE+CD+DE＞BE+CE，即l＞m，又BE+CE＞BC，即m＞n，∴l＞m＞n．【点评】此题考查知识点两点之间，线段最短．30．如图，从城市A到城市B有三种不同的交通工具：汽车、火车、飞机，除去速度因素，坐飞机的时间最短是因为两点之间，线段最短．【分析】此题为数学知识的应用，由题意从城市A到城市B，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【解答】解：因为坐飞机是从城市A到城市B，是一条线段上，沿直线走，A和B处于一条线段上，两点之间，线段最短．【点评】本题主要考查两点之间线段最短．31．线段AB=8cm，C是AB的中点，D是BC的中点，A、D两点间的距离是6 cm．【分析】可依据题意作出简单的图形，进而结合图形求解线段的长度．【解答】解：如图∵AB=8cm，C是AB的中点，∴AC=4cm，又D是BC的中点，∴CD=BC=2cm∴AD=AC+CD=6cm．【点评】会求解一些简单的两点间的距离问题．32．某工程队在修建高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直以缩短路程，这样的理论依据是两点之间线段最短．【分析】此题为数学知识的应用，由题意将弯曲的道路改直以缩短路程，就用到两点间线段最短定理．【解答】解：弯曲的道路改直，使两点处于同一条线段上，两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．【点评】本题主要考查两点之间线段最短．33．如图，BC=4，BD=7，且D是AC的中点，则AC=6．【分析】根据CD=BD﹣BC代入数据求出CD，再根据线段中点的定义解答．【解答】解：∵BC=4，BD=7，∴CD=BD﹣BC=7﹣4=3，∵D是AC的中点，∴AC=2CD=2×3=6．故答案为：6．【点评】本题考查了两点间距离，熟记中点的定义是解题的关键．34．如图，C、D是线段AB上的点，D为BC的中点，AB=12cm，AC=AB，则CD=cm．【分析】先根据AB=12cm，AC=AB求出AC的长，进而得出线段BC的长，根据D为BC的中点即可得出结论．【解答】解：∵AB=12cm，AC=AB，∴AC=×12=cm，∴BC=12﹣=cm，∵D为BC的中点，∴CD=×=cm．故答案为：．【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．35．若将弯曲的河道改直，可以缩短航程，根据是两点之间线段最短．【分析】根据两点之间线段最短解答．【解答】解：将弯曲的河道改直，可以缩短航程，根据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．【点评】本题考查了线段的性质，是基础题，熟记两点之间线段最短是解题的关键．36．已知线段AB=6cm，AB所在直线上有一点C，若AC=2BC，则线段AC的长为4或12cm．【分析】有两种情况：当C在AB的延长线上时，当C在线段AB上时，根据已知求出即可．【解答】解：如图，有两种情况：当C在AB的延长线上时，如图①，∵AB=6cm，AC=2BC，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm；当C在线段AB上时，如图②∵AB=6cm，AC=2BC，∴AC=4cm；。

数学考点---最短距离问题1.我们常利用“两点之间线段最短”解决两条线段和最小的相关问题，下面是熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）2.作图题（不写作法，保留作图痕迹）：（1）如图①，点A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（2）如图②，点A、B在直线l的同一侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（3）如图③，点A是锐角三角形MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B、C，与点A组成三角形，使三角形周长最小；（4）如图④，AB是锐角三角形MON内部一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C、D组成四边形，使四边形周长最小；（5）如图，连结M、N与直线l相交于点O，当两直线的夹角等于450，且OM=6，MN=2时，PM+PN的最小值是3.（1）如图，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使得四边形APBC的周长最小，请写出作法（2）AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小．（如图所示）4.已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（）D．（）5.(1)如图，A、B两村位于一条河的两岸，假定河的两岸笔直且平行，现要在河上垂直于河岸建一座桥.问：应把桥建在什么位置，才能使A村经过这座桥到B村的路程最短？请画出草图，并简要说明作法及理由(2)A、B两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥．（1）要使这两村A、B之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来．（2）若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米，河宽为30米，AC=40米，你能求出两村的最短路程吗？若能，请求出来6.在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），当四边形ABCD的周长最短时，求m／n 的值7.如图，已知平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3）、B（4，﹣1）．（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求x值；（2）若C（a，0）、D（a+3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M、N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）和（0，π），使四边形ABMV周长最短，若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由8.在平面直角坐标系中，点A（2，1）、B（4，2），坐标原点为O点．（1）在y轴上有一动点C，求当AC+BC最小时，C点的坐标；（2）在直线y=x上有一动点D，求当AD+BD最小时，D点的坐标；（3）在x轴上有两个点E（m，0）、F（m+1，0），求当四边形CEFD周长最小时，m的值9.已知线段AB在x轴上（A在B的左边），且AB=3，点C（2，-4）、点D（4，-1），当AC+BD最小时，点A的坐标是（） A（0,0） B（1，0） C（1.2,0） D（2，0）10.如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（结果保留根号）11.如图1，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B 处．（1）如图2是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P，使蚂蚁沿A-P-B路线爬行，距离最短．（2）结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长12.如图，长方体的长BE=5cm，宽AB=3cm，高BC=4cm，一只小蚂蚁从长方体表面由A点爬到D点去吃食物，则小蚂蚁走的最短路程是 cm13.如图，长方体的长BE=7，宽AB=5，高BC=5，一只小蚂蚁从A点爬到棱BC上，再爬到D点去吃糖，则小蚂蚁走的最短路程是14.如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=6，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为15.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，=6，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值（）A．8 B．6 C．2+2D．416.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（2，0），B（6，0）是x轴上的两点，则PA+PB 的最小值为17.如图，∠MON=90°，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为18.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（）A． B．C．2 D．数学考点---最短距离问题答案1.解：（1）∵点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值，∴EP+CP的最小值=AE=；（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，∵点C'坐标为（0，﹣2），点A坐标为（6，4），∴直线C'A的解析式为：y=x﹣2，故点D的坐标为（2，0）；（3）分别作点A关于OM的对称点A'、关于ON的对称点A''，连接A'A''，则A'A''与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置；如图所示：点B、C即为所求作的点．2.解：（1）如图①，连接两点与直线的交点即为所求作的点P，则点P即为所求；（2）如图②，过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′交直线l于P点，则点P即为所求；（3）作A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，与OM、ON相交于B、C，连接AB，BC，AC，则△ABC即为所求三角形；（4）作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，CD，BD，则四边形ABCD即为所求；（5）作出点M关于直线l的对称点M′，连结M′N交直线l于点P；∵两直线的夹角等于45°，且OM=6，MN=2，∴∠MOP=45°，OM=OM′=6，NO=8，∴∠NOM′=90°，∴M′N==10，故答案为：103.解：(1)作点A关于直线l的对称点A′，②连接A′B于直线l交于P，则点P就是所求作的点．(2)解：如图，作A关于OM的对称点E,再作B关于ON的对称点F，连接EF即可．如图．ABCD便是周长最小的．4.解：找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴的交于M点，连接BM，此时|AM|+|BM|为最短，由B 与B′关于x轴对称，B（2，2），所以B′（2，﹣2），又A（﹣3，8），则直线AB′的方程为y+2=（x﹣2）化简得：y=﹣2x+2，令y=0，解得x=1，所以M（1，0）故选：B5.(1)先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．(2)解：（1）桥应该建在如图所示MN处，四边形AMKN是平行四边形．（2）作MH⊥BC垂足为H．两村A、B之间的最短路程=AN+KN+BK，∵四边形AMKN是平行四边形，∴AN=MK，在RT△BMH中，∵BH=70，MH=40，∴BM==10，∴AN+KN+BK=BM+KN=10+30，∴两村的最短路程为（10+30）米6.解：根据题意，作出如图所示的图象,过点B作B关于y轴的对称点B′、过点A关于x轴的对称点A′，连接A′B′，直线A′B′与坐标轴交点即为所求．设过A′与B′两点的直线的函数解析式为y=kx+b．∵A（﹣8，3），B（﹣4，5），∴A′（﹣8，﹣3），B′（4，5），依题意得：，解得，所以，C（0，n）为（0，）．D（m，0）为（﹣，0）所以，=﹣．故答案为﹣7.解：（1）设点B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），设直线AB'的解析式为y=kx+b，把A （2，﹣3），B'（4，1）代入得：，解得，∴y=2x﹣7，令y=0，得x=，即当△PAB的周长最短时，x=．（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．那么A'（2，3）．直线A'F 的解析式为y﹣1=•（x﹣1），即y=4x﹣5，∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F上，∴0=4a﹣5，解得a=．∴当四边形ABDC的周长最短时，a=．（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），∴直线A′B′的解析式为：y=x﹣，∴M（，0），N（0，﹣）．∴m=，n=﹣8.解：（1）如图1，作A点关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于C，∴AC=A′C，∴AC+BC=A′C+BC=A′B，根据两点之间线段最短可知A′B就是AC+BC的最小值，∵点A（2，1），∴A′（﹣2，1），∵B（4，2），设直线A′B的解析式为y=kx+b，∴-2k+b=1,4k+b=2，解得k=1／6，b=4／3．∴直线A′B的解析式为y=x+，∴C （0，）；（2）如图2，作A点关于直线y=x的对称点A″，连接A″B，交直线y=x于D，∴AD=DA″，∴AD+BD=DA″+BD=A″B，根据两点之间线段最短可知A″B就是AD+BD的最小值，∵点A（2，1），∴A″（1，2），∵B（4，2），∴直线BA″∥x轴，∴y=2，代入y=x中得x=2，∴D（2，2）；（3）作点C关于x轴的对称点C′，则C′的坐标为（0，﹣），把C′向右平移1个单位得到点D'（1，﹣），连接DD′，与x轴交于点F，如图3，∴C′E=CE，又∵点E（m，0）、F（m+1，0），∴EF=1，∴C′D′∥EF，∴四边形C′D′FE为平行四边形，∴C′E=D′F，∴CE=D′F，∴CE+DF=DD′，此时CE+DF最小，而CD与EF的长一定，∴此时四边形CEFD周长最短．设直线DD′的解析式为y=k′x+n，把D（2，2）、D′（1，﹣）分别代入得2k′+n=2，k′+n= -4／3，解得k′=，n=﹣，∴直线DD′的解析式为y=x﹣，令y=0，则x ﹣=0，解得x=，∴D点坐标为（，0），∴m+1=，∴m=10.解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，A′C2=A′D2+CD2=82+122=208，∴CA′=4cm答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是4cm12.解：（1）如图（1），AD==；（2）如图（2），AD==；（3）如图（3），AD===4．可见，AD的最小值为．故选C．13.解：AE=AB+BE=5+7=12．DE=BC=5．AD===13．蚂蚁爬的最短路径长为1314.解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵AB=8，AE=6，∴DE=BQ+QE==10，∵AB=8，AE=6，∴BE=2，∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=10+2=1215.解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，连接OC交C′D于N，连接OD，∵AB是⊙O的直径，=6，∴，∵，∴，∴OC⊥C′D，C′D=2DN，∴∠COD=60°，∴∠D=30°，∵AB=8，∴OD=4，∴DN=OD•sin60°=2，∴C′D=4．∴CM+DM的最小值=4．故选：D16.解：如图所示：作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，∵OA′=2，BO=6，∴PA+PB=A′B==2．故答案为：217.解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，∵△ABC是等边三角形，∴CD==2，∵∠MON=900，∴OD=AB==2，由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，最大值为2+2．故答案为：2+218.解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，∵∠MON=90°，∴OE=AE=AB=×2=1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=，在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE===2，由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，此时，OD=OE+DE=1+2=3，过点A作AF⊥OD于F，则cos∠ADE==，即=，解得DF=，∵OD=3，∴点F是OD的中点，∴AF垂直平分OD，∴OA=AD=．故选：B．。

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4．2 直线、射线、线段（3）课后作业
1．如图，在三角形ABC中，AC＋BC与AB哪个大？理由是什么？
2．判断：A、B两点的距离是线段AB．( )
3．已知线段AB＝2，在延长线段AB到点C，使AC＝6，求AB的中点与AC的中点的距离．
4．在一个正方体盒子上，一只蚂蚁在A处，发现C处有一只虫子，立即前往捕捉，你知道它怎样爬行最省时间吗？请在图中画出它的爬行路线．
如果这只虫子正沿着CG爬行，蚂蚁要在CG的中点M处将其捕获，蚂蚁应怎么走？请画出它的最短爬行路线．
5对蚂蚁爬行最短问题的再思考：如果蚂蚁在长方体的一个顶点上，如果蚂蚁在圆柱上，这时问题发生怎样的变化？问题如何解？。

七上数学每日一练：线段的性质：两点之间线段最短练习题及答案_2020年填空题版答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析2020年七上数学：图形的性质_图形认识初步_线段的性质：两点之间线段最短练习题1.(2020通榆.七上期末) 把一条弯路改成直道，可以缩短路程，其数学道理是________。

考点： 线段的性质：两点之间线段最短;2.(2020安图.七上期末) 如图，甲、乙两地之间有多条路可走，其中最短路线的走法序号是②-④，其理由是________.考点： 线段的性质：两点之间线段最短;3.(2020南京.七上期末) 如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是________.考点： 线段的性质：两点之间线段最短;4.(2020西湖.七上期末) 下列说法：①两点确定一条直线；②射线OA 和射线AO 是同一条射线；③对顶角相等；④三角形任意两边和大于第三边的理由是两点之间线段最短.正确的序号是________.考点： 直线、射线、线段;直线的性质：两点确定一条直线;线段的性质：两点之间线段最短;对顶角、邻补角;5.(2020南京.七上期末) 下列三个日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；③体育课上，老师测量某名同学的跳远成绩．其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是________ .(填序号)考点： 直线的性质：两点确定一条直线;线段的性质：两点之间线段最短;6.(2020安陆.七上期末) 如图，从A 到B 有多条道路，人们通常会走中间的直路，而不走其他的路，这其中的道理是________ ．考点： 线段的性质：两点之间线段最短;7.(2020洛宁.七上期末) 把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程.用几何知识解释其道理是________.考点： 线段的性质：两点之间线段最短;答案解析答案解析答案解析8.(2019兴隆台.七上期末) 修路时，通常把弯曲的公路改直，这样可以缩短路程，其根据的数学道理是________.考点： 线段的性质：两点之间线段最短;9.(2019法库.七上期末) 将弯曲的河道改直，可以缩短航程，其中的道理是________.考点： 线段的性质：两点之间线段最短;10.(2019鼓楼.七上期末)下列三个现象：用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上； 从A 地到B 地架设电线，只要尽可能沿着线段AB 架设，就能节省材料； 植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上.其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有________ 填序号考点： 直线的性质：两点确定一条直线;线段的性质：两点之间线段最短;2020年七上数学：图形的性质_图形认识初步_线段的性质：两点之间线段最短练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：。

两点之间线段最短和垂线段最短综合1．如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（）A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释2．自习课上，老师出示这样一道题目：如图，AB是一条河流．要铺设管道将河水引到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过点C、D画AB的垂线，垂足为E、F，沿CE、DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？总结学生的回答，有以下几种答案，你认为正确的答案是（）A．方案一节省材料，理由是两点之间线段最短B．方案二节省材料，理由是两点之间线段最短C．方案一节省材料，理由是垂线段最短D．方案二节省材料，理由是两点确定一条直线3．下列三个日常现象：其中，可以用“垂线段最短”来解释的是_____ （填序号）．4．如图，在公园绿化时，需要把管道l中的水引到A，B两处．工人师傅设计了一种又快又节省材料的方案如下：画法：如图，（1）连接AB；（2）过点A画线段AC 直线l于点C，所以线段AB和线段AC即为所求．请回答：工人师傅的画图依据是______．5．在数学课上，王老师提出如下问题：如图，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．小李同学的作法如下：①连接AB；②过点A作AC⊥直线l于点C；则折线段B﹣A﹣C为所求．王老师说：小李同学的方案是正确的．请回答：该方案最节省材料的依据是垂线段最短和______．6．如图，汽车站、高铁站分别位于A、B两点，直线a和b分别表示公路与铁路．（1）从汽车站到高铁站怎样走最近？画出图形，理由是．（2）从高铁站到公路怎样走最近？画出图形，理由是．7．如图，为解决A、B、C、D四个村庄的用水问题．政府准备投资修建一个蓄水池．（1）若使蓄水池与四个村庄的距离的和最小，请画出蓄水池P的位置；（2）为把河道l中的水引入蓄水池P中，需要再修建一条引水渠．若使引水渠的长度最小，请画出引水渠PQ的修建线路．8．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行探索【回顾】（1）如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄.现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由【探索】（2）如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B 两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置（3）如图③，A、B是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且A村到B村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）9．在如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D在方格纸中小正方形的顶点上．（1）画线段AB；（2）画图并说理：①画出点C到线段AB的最短线路CE，理由是；②画出一点P，使AP DP CP EP+++最短，理由是．10．（1）如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站C，使它到A、B两村庄的距离的和最小，请在图中画出点C的位置，并保留作图痕迹．【探索】（2）如图，C、B两个村庄在一条笔直的马路的两端，村庄A在马路外，要在马路上建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，请在图中画出点O的位置．（3）如图，现有A、B、C、D四个村庄，如果要建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，请在图中画出点O的位置．11．如图，A、B、C是平面内三点.（1）按要求作图：①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁；②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连结线段AP、PQ；（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间+的最小值为_______，依据是_______.的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP PQ12．如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，()1不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．()2另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．13．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________．(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________．14．如图，直线l是某天然气公司的主输气管道，点A、B是在l异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设支管道，有以下两个方案：方案一：只取一个连接点P，使得向两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中画出点P的位置，依据是.方案二：取两个连接点M和N，使得点M到A小区铺设的支管道最短，使得点N到B小区铺设的管道最短，在图中画出M、N的位置，依据是.设方案一中铺设的支管道总长度为m，方案二中铺设的支管道总长度为n，则m与n的大小关系为：m n（填“＞”、“=”或“＜”）.15．我国“十一五”规划其中一重要目标是，建设社会主义新农村，国家对农村公路建设投资近1000亿人民币．西部的某落后山村准备在A、B两个村庄间修一条公路，再从村庄B修一条公路到河n，如图所示，如何修路才能使公路最短？画出图形并说明理由．16．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．（1）设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最近，请你在AB 上分别画出P，Q两点的位置．（2）设汽车行驶到R点位置时，离村庄M与村庄N的距离和最短，请你在AB上分别画出R点的位置．17．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．18．如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由．（2）从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．答案与解析1．如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（）A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释【答案】C【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案．【详解】解：现象1：测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直，可用“垂线段最短”来解释；现象2：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释，故选：C．【点睛】此题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．2．自习课上，老师出示这样一道题目：如图，AB是一条河流．要铺设管道将河水引到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过点C、D画AB的垂线，垂足为E、F，沿CE、DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？总结学生的回答，有以下几种答案，你认为正确的答案是（）A．方案一节省材料，理由是两点之间线段最短B．方案二节省材料，理由是两点之间线段最短C．方案一节省材料，理由是垂线段最短D．方案二节省材料，理由是两点确定一条直线【答案】C【分析】垂线段的性质：垂线段最短，根据垂线段的性质解答即可．【详解】解：∵CE⊥AB，根据垂线段的性质可知，CE＜CP，同理，DF＜DP，∴方案一更节省材料．故选：C．【点睛】本题考查了垂线段的性质，垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．3．下列三个日常现象：其中，可以用“垂线段最短”来解释的是_____ （填序号）．【答案】①【分析】根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论．【详解】解：可以用“垂线段最短”来解释①，可以“两点之间线段最短” 来解释②，可以用“两点确定一条直线” 来解释③，故答案为：①．【点睛】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．4．如图，在公园绿化时，需要把管道l中的水引到A，B两处．工人师傅设计了一种又快又节省材料的方案如下：画法：如图，（1）连接AB；（2）过点A画线段AC 直线l于点C，所以线段AB和线段AC即为所求．请回答：工人师傅的画图依据是______．【答案】两点之间，线段最短；垂线段最短【分析】根据两点之间线段最短以及垂线段最短即可判断．【详解】解：由于两点之间距离最短，故连接AB，由于垂线段最短可知，过点A作AC⊥直线l于点C，此时AC最短，故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是正确两点之间线段最短以及垂线段最短，本题属于基础题型．5．在数学课上，王老师提出如下问题：如图，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．小李同学的作法如下：①连接AB；②过点A作AC⊥直线l于点C；则折线段B﹣A﹣C为所求．王老师说：小李同学的方案是正确的．请回答：该方案最节省材料的依据是垂线段最短和______．【答案】两点之间线段最短【分析】根据两点之间线段最短即可得到答案．【详解】解：由题意得可知：该方案最节省材料的依据是垂线段最短和两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短．【点睛】本题主要考查了垂线段最短和两点之间线段最短，熟知二者的定义是解题的关键．三、解答题6．如图，汽车站、高铁站分别位于A、B两点，直线a和b分别表示公路与铁路．（1）从汽车站到高铁站怎样走最近？画出图形，理由是．（2）从高铁站到公路怎样走最近？画出图形，理由是．【答案】（1）连接AB，两点之间，线段最短；（2）过B作BC⊥a，垂线段最短．【分析】（1）连接AB，根据两点之间，线段最短；（2）过B作BC⊥a，根据垂线段最短．【详解】解：如图所示：（1）沿AB走，两点之间线段最短；（2）沿BC走，垂线段最短．【点睛】此题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握线段的性质和垂线段的性质．7．如图，为解决A、B、C、D四个村庄的用水问题．政府准备投资修建一个蓄水池．（1）若使蓄水池与四个村庄的距离的和最小，请画出蓄水池P的位置；（2）为把河道l中的水引入蓄水池P中，需要再修建一条引水渠．若使引水渠的长度最小，请画出引水渠PQ的修建线路．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用两点之间距离线段最短，进而得出答案；（2）利用点到直线的距离垂线段最短，即可得出答案．【详解】解答：解：（1）如图所示：由两点之间，线段最短，连接AC、BD交点即为P点，（2）如图所示：由垂线段最短，过P作PQ⊥河道l，垂足即为Q点．【点睛】本题主要考查了应用设计与作图，正确掌握点与点以及点到直线的距离定义是解题关键．8．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行探索【回顾】（1）如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄.现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由【探索】（2）如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B 两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置（3）如图③，A、B是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且A村到B村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）连接AB交直线l于点C，点C即为所求作．（2）根据两点之间线段最短解决问题．（3）作AA′//CD，且AA′＝1，连接BA′得到点C，作线段CD⊥河岸即可．【详解】（1）如图，点C即为所求作．理由：两点之间，线段最短.（2）如图，点C即为所求作．（3）如图，线段CD可即为所求作．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，垂线段最短，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．在如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D在方格纸中小正方形的顶点上．（1）画线段AB；（2）画图并说理：①画出点C到线段AB的最短线路CE，理由是；②画出一点P，使AP DP CP EP+++最短，理由是．【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，点到直线的距离垂线段最短；（3）图见解析，两点之间线段最短．【分析】（1）根据题意画图即可；（2）①借助网格作CE⊥AB，根据点到直线距离垂线段最短可得符合条件的E点；+++=+．②连接AD和CE交于P点，根据两点之间线段最短可得AP DP CP EP AD CE【详解】（1）连接AB如下图所示；（2）①如图所示CE为最短路径，理由是点到直线的距离垂线段最短，故答案为：点到直线的距离垂线段最短；②如图所示P点为AP DP CP EP+++最短，理由是：两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短．【点睛】本题考查两点之间的距离，垂线段最短和根据要求画线段．理解点到直线的距离垂线段最短和两点之间线段最短是解题关键．10．（1）如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站C，使它到A、B两村庄的距离的和最小，请在图中画出点C的位置，并保留作图痕迹．【探索】（2）如图，C、B两个村庄在一条笔直的马路的两端，村庄A在马路外，要在马路上建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，请在图中画出点O的位置．（3）如图，现有A、B、C、D四个村庄，如果要建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，请在图中画出点O的位置．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接AB，交l于点C即可；（2）根据BO＋CO=BC为定长，故需保证AO最小即可，根据垂线段最短，过点A作AO⊥BC于O 即可；（3）根据两点之间线段最短，故连接AC、BD交于点O即可．【详解】解：（1）连接AB，交l于点C，此时AC＋BC=AB，根据两点之间线段最短，AB即为AC＋BC的最小值，如下图所示：点C即为所求；（2）∵点O在BC上∴BO＋CO=BC∴AO+BO+CO=AO＋BC，而BC为定长，∴当AO+BO+CO最小时，AO也最小过点A作AO⊥BC于O，根据垂线段最短，此时AO最小，AO+BO+CO也最小，如下图所示：点O 即为所求；（3）根据两点之间线段最短，若使AO＋CO最小，连接AC，点O应在线段AC上；若使BO＋DO 最小，连接BD，点O应在线段BD上，∴点O应为AC和BD的交点如下图所示：点O即为所求．【点睛】此题考查的是两点之间线段最短和垂线段最短的应用，掌握根据两点之间线段最短和垂线段最短，找出最值所需点是解决此题的关键．11．如图，A、B、C是平面内三点.（1）按要求作图：①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁；②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连结线段AP、PQ；（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间+的最小值为_______，依据是_______.的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP PQ【答案】（1）见解析；（2）5；两点之间，线段最短；垂线段最短.【分析】（1）根据直线、射线、线段的特点按要求作图即可；（2）根据两点之间，线段最短和点到直线的距离垂线段最短回答即可．【详解】（1）如图所示.+的最小值为点A到直线BC的距离，所以是5.（2）AP PQ依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短.【点睛】本题考查直线、射线、线段以及两点之间，线段最短，点到直线的距离，解题关键是掌握直线、射线、线段的特点，牢记两点之间，线段最短，垂线段最短．12．如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，()1不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．()2另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．【答案】(1)作图见解析；（2）垂线段最短．【分析】（1）线段AC和BD的交点即是水厂的位置．（2）过点H作直线EF的垂线段即可．【详解】解：()1连接AC和BD，线段AC和BD的交点H点就是水厂的位置．()2理由是：垂线段最短．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短和垂线段最短在生活中的应用，解题时要注意它们的综合应用．13．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________．(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________．【答案】垂线段最短两点之间，线段最短【分析】(1)过A作AC⊥MN，AC最短；(2)连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短．【详解】(1)过A作AC⊥MN，根据垂线段最短，故答案为垂线段最短；(2)连接AB交MN于D，根据是两点之间线段最短，故答案为两点之间线段最短．【点睛】本题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间线段最短．14．如图，直线l是某天然气公司的主输气管道，点A、B是在l异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设支管道，有以下两个方案：方案一：只取一个连接点P，使得向两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中画出点P的位置，依据是.方案二：取两个连接点M和N，使得点M到A小区铺设的支管道最短，使得点N到B小区铺设的管道最短，在图中画出M、N的位置，依据是.设方案一中铺设的支管道总长度为m，方案二中铺设的支管道总长度为n，则m与n的大小关系为：m n（填“＞”、“=”或“＜”）.【答案】两点之间，线段最短；垂线段最短；＞【分析】根据题目要求直接连接AB，以及分别过A，B向直线l作垂线即可，利用直角三角形中斜边大于直角边进而得出答案即可．【详解】解：方案一、连接AB交直线l于点P，依据是两点之间，线段最短；方案二、分别过A，B向直线l作垂线即可，如图，AM、BN即为所求，依据是垂线段最短；方案一中m=AP+PB，方案二中n=AM+BN，在Rt∆AMP与Rt∆BNP中，AM<AP，BN<BP，∴AM+BN<AP+BP，即m>n，故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短；>．【点睛】题目主要考查两点之间线段最短及垂线段最短，直角三角形斜边大于直角边等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．15．我国“十一五”规划其中一重要目标是，建设社会主义新农村，国家对农村公路建设投资近1000亿人民币．西部的某落后山村准备在A、B两个村庄间修一条公路，再从村庄B修一条公路到河n，如图所示，如何修路才能使公路最短？画出图形并说明理由．【答案】见解析；两点之间线段最短；垂线段最短【分析】由两点之间线段最短；垂线段最短即可作出图形：连接AB；过点B作l的垂线段．【详解】解：如图所示：AB、BC为所求．作图理由：两点之间线段最短；垂线段最短．【点睛】此题考查了作图能力，掌握：两点之间线段最短、垂线段最短是解题的关键．16．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．（1）设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最近，请你在AB 上分别画出P，Q两点的位置．（2）设汽车行驶到R点位置时，离村庄M与村庄N的距离和最短，请你在AB上分别画出R点的位置．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作MP⊥AB垂足为P，NQ⊥AB垂足为Q，点p、Q就是所求的点；（2）连接MN交直线AB于点R，点R就是所求．【详解】（1）作MP⊥AB垂足为P，NQ⊥AB垂足为Q，点p、Q就是所求的点．如图所示：（2）连接MN交AB于点R，点R就是所求的点．如图所示：．【点睛】本题考查了两点之间线段最短、垂线段最短，记住这两个性质是解题的关键．17．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．【答案】见解析【分析】根据两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短即可得到答案.【详解】解；如图所示：连接AB，是两点之间线段最短；作BC垂直于河岸，是垂线段最短．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.18．如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由．（2）从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．【答案】（1）沿线段AB走，见解析，两点之间，线段最短；（2）沿垂线段BD走，见解析，垂线段最短【分析】（1）根据两点之间线段最短解决问题即可．（2）根据垂线段最短解决问题即可．【详解】解：（1）如图，沿线段AB走，理由：两点之间，线段最短．（2）如图，沿垂线段BD走，理由：垂线段最短．【点睛】本题考查了“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”两个知识，熟知两个知识点并正确作图是解题关键．。

线段的性质：两点之间线段最短（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2019秋•西城区期末）如图，点、在直线上，点是直线外一点，可知，其依据是 A ．两点之间，线段最短B ．两点确定一条直线C ．两点之间，直线最短D ．直线比线段长 2．（2019秋•顺义区期末）把弯曲的河道改直，能够缩短船舶航行的路程，这样做的道理是A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．两点之间，直线最短D ．两点之间，线段最短 3．（2018秋•延庆区期末）兴延高速是世界园艺博览会重点配套工程，2019年1月1日，兴延高速正式通车．石峡隧道是兴延高速项目中最长的隧道，也是北京市最长的公路隧道，总长约5.8公里．正因为穿越的隧道多，所以兴延高速最大的特点是“直”，明显缩短了北京市区到延庆的距离，其主要依据是A ．两点确定一条直线B ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．垂线段最短D ．两点之间，线段最短二．填空题（共5小题）4．（2019秋•怀柔区期末）如图是一个正方形，把此正方形沿虚线剪去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长 原来正方形的周长．（填“大于”“小于”或“等于” ，理由是 ．5．（2019秋•房山区期末）如下图，从小华家去学校共有4条路，第 条路最近，理由是 ．A B l C l CA CB AB +>()()()AB )6．（2018秋•昌平区期末）现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．如图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路，走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路线”．请你用数学知识解释出现这一现象的原因是 ．7．（2018秋•北京期末）如图是北京地铁的路线图，佳佳家住建国门，打算趁着新年放假去复兴门玩，看了路线图后，佳佳打算乘坐①号线地铁去，用几何知识解释他这样做的依据是 ．8．（2018秋•通州区期末）从小华家去图书馆共有三条路，你认为第 条路最短，理由是： ．三．解答题（共2小题）9．（2018秋•海淀区校级月考）如图，在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并说明你作图的理论依据．10．（2017秋•石景山区期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，要在，两个小区和公路之间修建地下管道，请你设计一种线路最短的修建方AC AC ABCD O OA OB OC OD +++A B l根据以上信息，你认为 同学的方案最节省材料，理由是 ．线段的性质：两点之间线段最短（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2019秋•西城区期末）如图，点、在直线上，点是直线外一点，可知，其依据是 A ．两点之间，线段最短B ．两点确定一条直线C ．两点之间，直线最短D ．直线比线段长 【分析】依据线段的性质，即可得出结论．【解答】解：点、在直线上，点是直线外一点，可知，其依据是：两点之间，线段最短， 故选：．【点评】本题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．2．（2019秋•顺义区期末）把弯曲的河道改直，能够缩短船舶航行的路程，这样做的道理是 A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．两点之间，直线最短D ．两点之间，线段最短 【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．【解答】解：由两点之间线段最短可知，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是两点之间线段最短，故选：．【点评】本题考查了线段的性质，属于概念题，关键是掌握两点之间线段最短．3．（2018秋•延庆区期末）兴延高速是世界园艺博览会重点配套工程，2019年1月1日，兴延高速正式通车．石峡隧道是兴延高速项目中最长的隧道，也是北京市最长的公路隧道，总长约5.8公里．正因为穿越的隧道多，所以兴延高速最大的特点是“直”，明显缩短了北京市区到延庆的距离，其主要依据是 A B l C l CA CB AB +>()A B l C l CA CB AB +>A ()D ()A ．两点确定一条直线B ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．垂线段最短D ．两点之间，线段最短【分析】直接利用线段的性质分析得出答案．【解答】解：兴延高速最大的特点是“直”，明显缩短了北京市区到延庆的距离，其主要依据是：两点之间，线段最短．故选：．【点评】此题主要考查了线段的性质，正确理解题意是解题关键．二．填空题（共5小题）4．（2019秋•怀柔区期末）如图是一个正方形，把此正方形沿虚线剪去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长　小于　原来正方形的周长．（填“大于”“小于”或“等于” ，理由是 ．【分析】利用两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，可以得出结论．【解答】解：将正方形沿虚线裁去一个角得到五边形，则这个五边形的周长小于原来正方形的周长，理由是两点之间线段最短．故答案为：小于；两点之间线段最短．【点评】本题主要考查了线段的性质，正确掌握线段的性质是解题关键．5．（2019秋•房山区期末）如下图，从小华家去学校共有4条路，第　③　条路最近，理由是 ．【分析】根据两点之间线段最短的性质作答．【解答】解：从小华家去学校共有4条路，第③条路最近，理由是两点之间，线段最短．D AB )【点评】此题考查知识点两点间线段最短．6．（2018秋•昌平区期末）现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．如图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路，走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路线”．请你用数学知识解释出现这一现象的原因是　两点之间，线段最短　．【分析】根据线段的性质，可得答案．【解答】解：为了抄近道而避开横平竖直的路，走“捷径”，用数学知识解释出现这一现象的原因是两点之间，线段最短．故答案为两点之间，线段最短．【点评】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质是解题关键．7．（2018秋•北京期末）如图是北京地铁的路线图，佳佳家住建国门，打算趁着新年放假去复兴门玩，看了路线图后，佳佳打算乘坐①号线地铁去，用几何知识解释他这样做的依据是　两点之间，线段最短　．【分析】两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．【解答】解：由图可得，他这样做的依据是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．【点评】本题主要考查了线段的性质：两点之间，线段最短．8．（2018秋•通州区期末）从小华家去图书馆共有三条路，你认为第　②　条路最短，理由是： ．【分析】两点之间，线段最短，根据线段的性质即可得出答案．【解答】解：从小华家去图书馆共有三条路，选择第②条路最短，理由：两点之间线段最短．故答案为：②，两点之间线段最短．AC AC AC【点评】本题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．三．解答题（共2小题）9．（2018秋•海淀区校级月考）如图，在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并说明你作图的理论依据．【分析】连接、相交于点，则点就是所要找的点；取不同于点的任意一点，连接、、、，根据三角形任意两边之和大于第三边可得，，然后结合图形即可得到，从而可得点就是所要找的四边形内符合要求的点．【解答】解：要使最小，则点是线段、的交点．理由如下：如果存在不同于点的交点，连接、、、，那么，即，同理，，，即点是线段、的交点时，之和最小．【点评】本题考查了三角形的任意两边之和大于第三边的性质，作出图形更助于问题的解决，把问题转化为求两条线段的和是解决问题的关键．10．（2017秋•石景山区期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，要在，两个小区和公路之间修建地下管道，请你设计一种线路最短的修建方ABCD O OA OB OC OD +++AC BD O O O P PA PB PC PD PA PC AC +>PB PD BD +>PA PB PC PD OA OB OC OD +++>+++O ABCD OA OB OC OD +++O AC BD O P PA PB PC PD PA PC AC +>PA PC OA OC +>+PB PD OB OD +>+PA PB PC PD OA OB OC OD ∴+++>+++O AC BD OA OB OC OD +++A B l案．根据以上信息，你认为　小力　同学的方案最节省材料，理由是 ．【分析】根据两点之间线段最短和直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短得出即可．【解答】解：小力同学的方案最节省材料，理由是：（1）两点之间线段最短，（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．故答案为：小力，两点之间线段最短，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．【点评】本题考查了两点之间线段最短和直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短等知识点，能灵活运用定理进行说理是解此题的关键．。