两点之间线段最短专题训练

微专题 利用“两点之间，线段最短”解决线段最值问题 模型一 “一线两点”型（一动+两定）类型一异侧线段和最小值问题 问题：两定点A , B 位于直线I 异侧，在直线I 上找一点P ,使P 冊PB 值最小. 【解题思路】根据两点之间线段最短，PA + PB 的最小值即为线段AB 的长•连接 AB 交直线I 于点P ,点P 即为所求. 连接4*史直 -1* ______ 线#于点尸.9li 1 \针对训练：1、如图，等边△ ABC 勺边长为4, AD 是BC 边上的中线，F是AD 边上的动点，E 是AB 边上一点，且 AE= 2,则线段EF + CF 的最小值为 .类型二同侧线段和最小值问题（将军饮马模型）问题：两定点A , B 位于直线I 同侧，在直线I 上找一点P ,使得PA + PB 值最小.【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决.作点 B 关于I 2、如图，在Rt A ABC 中，AC = BC -4,点D , E 分别是AB, AC 边的中点，在CD 上找一点P ,使PA + PE 的值最小，则这个最小值为 ____________.3、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，/ DAB= 60°, E 是AB 边上的一点，且 AE - 1,点Q 为对角线AC 上的动点，则△ BEQ 周长的最小值为 _________ .类型三 同侧差最大值问题问题：两定点A , B 位于直线I 同侧，在直线I 上找一点P ,使得|PA — PB|的值最 大.【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA — PB|< AB,当A , B , P 点共线时，等号成立，即|PA — PB|的最大值为线段AB 的长.连接AB 并延长, 与直线I 的交点即为点P.A 连接M £* *林 并 芷长1与直线厂苍交于点P 针对训练： 4、如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3, AD = 4,连接AC,点0是AC 的中点，M 是AD 上一点, 且MD =1, P 是BC 上一动点，贝U PM — P0的最大值为 _______________ 。

智能一对一，解决作业难题，提高数学成绩 /【考点训练】线段的性质：两点之间线段最短-1一、选择题（共5小题）1．（2006•巴中）巴广高速路的设计者准备在西华山再设计修建一个隧道，以缩短两地之间的里程，其主要依据是2．（2003•湘潭）如图，从A 地到B 地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路，这是因为（ ）3．（2005•襄阳）下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A 地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB 架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，4．（2007•威海）如图，一条街道旁有A ，B ，C ，D ，E 五幢居民楼．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表：5．（2010•泸州）已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）．C D ．二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．（2011•广西）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是_________．7．（2005•广元）在连接两点的所有线中，最短的是_________．8．（2013•德州）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因_________．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）9．如图所示，工厂A与工厂B想在公路m旁修建一座共用的仓库O，并且要求O到A与O到B的距离之和最短，请你在m上确定仓库应修建的O点位置，同时说明你选择该点的理由．10．画一画如下图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似地看成是两条折线段（图中l），A、B分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向A、B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从B 向河道作垂线交l于P，则点P为水泵站的位置．（1）你是否同意甲的意见？_________（填“是”或“否”）；（2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据．【考点训练】线段的性质：两点之间线段最短-1参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．（2006•巴中）巴广高速路的设计者准备在西华山再设计修建一个隧道，以缩短两地之间的里程，其主要依据是2．（2003•湘潭）如图，从A地到B地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路，这是因为（）3．（2005•襄阳）下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，4．（2007•威海）如图，一条街道旁有A，B，C，D，E五幢居民楼．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表：5．（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）．C D．二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．（2011•广西）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是两点之间线段最短．7．（2005•广元）在连接两点的所有线中，最短的是线段．8．（2013•德州）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因两点之间线段最短．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）9．如图所示，工厂A与工厂B想在公路m旁修建一座共用的仓库O，并且要求O到A与O到B的距离之和最短，请你在m上确定仓库应修建的O点位置，同时说明你选择该点的理由．10．画一画如下图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似地看成是两条折线段（图中l），A、B分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向A、B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从B 向河道作垂线交l于P，则点P为水泵站的位置．（1）你是否同意甲的意见？否（填“是”或“否”）；（2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据．。

1.A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：2.从A地到B地有五条道路，时间紧急，张先生要从B地赶往A地乘车，问：此时张先生应该怎么走？3.已知正方体的棱长是10cm，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5厘米，3厘米和1厘米，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。

请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线是多少？5.有一圆柱形油罐，底面圆的周长为24米，高为6米，一只老鼠从距底面1米的A处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？6.不大，可看成圆柱体。

测得树干的周长为3米，高位20米。

有一紫藤自树的根部均匀地盘绕在树干上，恰好绕7周到达树干的顶部。

紫藤长多少7.小丽自己动手做一顶圆锥形的圣诞帽，她想在帽子上缠一根漂亮的丝带，从A出发绕帽子侧面一周，请用图形表示出需要最短丝带。

8.已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上。

一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示。

若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，请画出所得侧面展开图。

9.如图，有座山大致是圆锥形，山脚是圆形，半径是4千米，山高是4√15千米，在山坡SA的中点C有一联络站，要从山脚A修一盘山公路，绕山坡一周将物资运往SA的中点C处，这条公路的最短路程是多少？10.有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？11.如图，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接A B①②③⑤④CAlBAABSCAPB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为 cm （结果不取近似值）．（11） （12）12. 如图，已知梯形ABCD ，AD BC ∥，4AD DC ==，8BC =，点N 在BC 上，2CN =，E 是AB 中点，在AC 上找一点M 使 EM MN +的值最小，此时其最小值一定等于13. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD=1, ∠B=60°,直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC+PD 的最小值为14. 如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷。

两点之间线段最短的习题一．选择题（共20小题）1．已知线段AB的中点是C，BC的中点是D，AD的中点是E，则AE等于AB的（）A．B．C．D．2．已知线段AB=5厘米，线段BC=3厘米，则线段AC的长为（）A．8厘米B．2厘米C．2厘米或8厘米D．不能确定3．如图所示，甲、乙之间有四条路可走，那么最短线路的序号是（）A．①B．②C．③D．④4．按下面长度，A、B、C不在同一直线上的为（）A．AB=5cm，BC=15cm，AC=20cm B．AB=8cm，BC=6cm，AC=10cmC．AB=11cm，BC=21cm，AC=10cm D．AB=30cm，BC=16cm，AC=14cm5．如图所示，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他应该走（）A．①B．②C．③D．④6．下列生活或生产现象中，可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线D．以上说法都不能用此公理解释7．已知M、N、P三点在同一条直线上，如果线段MN=6cm，NP=2cm，那么M，P两点的距离是（）A．8cm B．4cm C．8cm或4cm D．无法确定8．下列说法：①把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间线段最短；②若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点；③射线AB与射线AD是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线．其中说法正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是（）A．两点之间，直线最短B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短D．两点确定一条线段10．已知：如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，AB=20cm，那么线段AD等于（）A．16cm B．5 cmC．10cm D．15cm11．如图所示，A、B两点所对的数分别为a、b，则AB的距离为（）A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b12．把原来弯曲的河道改直，两地间的河道长度会变短，这其中蕴含的数学道理是（）A．两地之间线段最短B．直线比曲线短C．两点之间直线最短D．两点确定一条直线13．“把弯曲的河道改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（）A．直线比曲线短B．两点之间线段最短C．两点之间直线最短D．两点确定一条直线14．下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是（）A．把弯曲的公路改直，就能缩短路程B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上C．利用圆规可以比较两条线段的大小关系D．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线15．如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．两点之间直线最短D．垂线段最短16．如图，C、M是线段AB上的两点，且点M是线段AC的中点，若AB=8cm，BC=2cm，则AM的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm17．下列说法中：①过两点有且只有一条直线；②两点之间选段最短；③在平面内有一点P使得PA=PB，那么，点P就是线段AB的中点；④连接两点的线段叫两点之间的距离；其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．如图，小红同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．过一点，有无数条直线D．连接两点之间的线段叫做两点间的距离19．已知点在线段上，下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是（）A．AC=BC B．AB=2AC C．AC+BC=AB D．20．已知A，B，C三点在同一条直线上，M，N分别为线段AB，BC的中点，且AB=60，BC=40，则MN的长为（）A．10 B．50 C．10或50 D．无法确定二．填空题（共20小题）21．如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=4cm，BC=2cm，那么A、C两点之间的距离为多少？22．如图，AB=12cm，M点是线段AB的中点，点C将线段MB分成MC：CB=1：2则线段AC的长度是cm．23．两点之间的所有连线中，线段最短．简单地说：，线段最短．两点之间线段的叫做这两点之间的距离．24．已知把一段弯曲的公路改成直道可以缩短路程，这样做的数学道理是．25．在桌面上放了一个正方体的盒子，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B 处，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？．26．如图，用“＞”、“＜”或“=”连接下列各式，并说明理由．AB+BC AC，AC+BC AB，BC AB+AC，理由是．27．如图，已知C、D是线段AB上的两点，且AC=AB，BD=BC，图中一共有条线段；若所有线段的长度的总和为31，则AD=．28．线段AB=9cm，点C在AB上，且AC=AB，M是AB的中点，那么MC=．29．如图所示，设L=AB+AD+CD，M=BE+CE，N=BC．试比较M、N、L的大小：．30．如图，从城市A到城市B有三种不同的交通工具：汽车、火车、飞机，除去速度因素，坐飞机的时间最短是因为．31．线段AB=8cm，C是AB的中点，D是BC的中点，A、D两点间的距离是cm．32．某工程队在修建高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直以缩短路程，这样的理论依据是．33．如图，BC=4，BD=7，且D是AC的中点，则AC=．34．如图，C、D是线段AB上的点，D为BC的中点，AB=12cm，AC=AB，则CD=cm．35．若将弯曲的河道改直，可以缩短航程，根据是．36．已知线段AB=6cm，AB所在直线上有一点C，若AC=2BC，则线段AC的长为cm．37．为抄近路践踏草坪是一种不文明现象．请你用几何知识解释出现这一种现象的原因：．38．某乡在重修通往县城的公路时，把原来弯曲的路改直，其中蕴含的数学道理是．39．如图，点C在线段AB的延长线上，BC=2AB，点D是线段AC的中点，AB=2cm，则BD的长度是．40．如图，M是线段AC的中点，N是线段CB的中点．如果AB=14cm，那么MN=．三．解答题（共10小题）41．如图，（1）一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？（2）如果要爬行到顶点C呢？说出你的理由．42．如图，点B在线段AD上，C是线段BD的中点，AD=10，BC=3．求线段CD、AB的长度．43．已知线段AB=5cm，回答下列问题：是否存在一点C，使它到A、B两点的距离之和等于4？44．在已知直线MN的两侧各有一个点A和B，在MN上找出一个点C，使点C到A、B的距离为最短，画出图形，并说明为什么最短？45．如图所示，已知A、B、C、D，请在图中找出一点P，使PA+PB+PC+PD最小．46．画图并计算：已知线段AB=10cm．（1）在线段AB上画线段BC=4cm，求线段AC的长；（2）在直线AB上画线段BC=4cm，求线段AC的长．47．如图，C是线段BD的中点，AD=3，AC=7，求线段AB的长．48．如图，A，B，C是一条公路上的三个村庄，A，B间的路程为100km，A，C 间的路程为40km，现在A，B之间设一个车站P，设P，C之间的路程为xkm．（1）用含x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和；（2）当x=10km时，车站到三个村庄的路程之和是多少千米？（3）若要使车站到三个村庄的路程总和最短，问车站应设在何处？最小值是多少？49．如图，公园里设计了曲折迂回的九曲桥，与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出其中的道理．50．如图，已知AD=6cm，B是AC的中点，，求AB、BC、CD的长．两点之间线段最短的习题参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．已知线段AB的中点是C，BC的中点是D，AD的中点是E，则AE等于AB的（）A．B．C．D．【分析】根据中点的性质，即可推出AB=2BC，BC=AC=2CD，由此可得AB=4CD，AD=3CD，可得，AB=AD，然后根据AD=2AE，即可推出AE与AB的数量关系．【解答】解：∵线段AB的中点是C，BC的中点是D，AD的中点是E，∴AB=2BC，BC=AC=2CD，AD=2AE，∴AB=AD，∵AD=2AE，∴AE=AB．故选C．【点评】本题主要考查线段中点的性质，关键在于根据中点的性质推出AB=AD，AD=2AE，再进行正确等量代换．2．已知线段AB=5厘米，线段BC=3厘米，则线段AC的长为（）A．8厘米B．2厘米C．2厘米或8厘米D．不能确定【分析】分两种情况讨论：①A、B、C三点共线，②A、B、C三点不共线，从而可得出答案．【解答】解：①A、B、C三点共线时，AC=2厘米或8厘米；②A、B、C三点不共线时，AC的长度没办法确定．综上可得AC的长没办法确定．故选D．【点评】本题主要考查两点间的距离的知识点，由于没有说明AB与BC的位置，故不能确定A，C两点的距离．3．如图所示，甲、乙之间有四条路可走，那么最短线路的序号是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据线段的性质（两点之间线段最短）进行解答即可．【解答】解：由图可知，甲乙两地之间的四条路只有③是线段，故最短路线的序号是③；故选C．【点评】本题考查的是线段的性质，即两点之间线段最短．4．按下面长度，A、B、C不在同一直线上的为（）A．AB=5cm，BC=15cm，AC=20cm B．AB=8cm，BC=6cm，AC=10cmC．AB=11cm，BC=21cm，AC=10cm D．AB=30cm，BC=16cm，AC=14cm【分析】根据两点间的距离公式对各选项进行逐一解答即可．【解答】解：A、∵AB=5cm，BC=15cm，AC=20cm，∴AB+BC=AC，故本选项正确；B、∵AB=8cm，BC=6cm，AC=10cm，∴AC+BC≠AB，故本选项错误；C、∵AB=11cm，BC=21cm，AC=10cm，∴AB+AC=BC，故本选项正确；D、∵AB=30cm，BC=16cm，AC=14cm，∴BC+AC=AB，故本选项正确．故选B．【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知同一直线上两点间的距离公式是解答此题的关键．5．如图所示，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他应该走（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据“两点之间线段最短”的性质进行解答．【解答】解：∵小明到小颖家的四条路中只有②是线段，∴第②条路最近．故选B．【点评】本题考查的是线段的性质，熟知“两点之间线段最短”的知识是解答此题的关键．6．下列生活或生产现象中，可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线D．以上说法都不能用此公理解释【分析】根据两点确定一条直线，两点之间线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故本选项正确；C、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；D、因为B选项可以解释，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了线段的性质以及直线的性质，熟记性质公理是解题的关键，是基础题．7．已知M、N、P三点在同一条直线上，如果线段MN=6cm，NP=2cm，那么M，P两点的距离是（）A．8cm B．4cm C．8cm或4cm D．无法确定【分析】画出图形，则有：（1）M、P在N的同侧，（2）M、P在N的两侧．【解答】解：如图所示，可知：（1）M、P在N的同侧，则M，P两点的距离是6﹣2=4cm；（2）若M、P在N的两侧，则M，P两点的距离是6+2=8cm．故选C．【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．8．下列说法：①把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间线段最短；②若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点；③射线AB与射线AD是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线．其中说法正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据线段的性质及两点间距离的定义对各小题进行逐一分析即可．【解答】解：①符合两点之间线段最短，故本小题正确；②当ABC不共线时，点C不是线段AB的中点，故本小题错误；③射线AB与射线AD可能是两条不同的射线，故本小题错误；④连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，故本小题错误；⑤符合两点确定一条直线，故本小题正确．故选B．【点评】本题考查的是线段的性质，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．9．如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是（）A．两点之间，直线最短B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短D．两点确定一条线段【分析】此题为数学知识的应用，由题意弯曲的河道改直，肯定为了尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【解答】解：因为两点之间线段最短，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．故选：C．【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．10．已知：如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，AB=20cm，那么线段AD等于（）A．16cm B．5 cmC．10cm D．15cm【分析】根据线段中点的定义得到BC=AB=×20cm=10cm，BD=BC=×10cm=5cm，然后利用AD=AB﹣BD计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，AB=20cm，∴BC=AB=×20cm=10cm，∵点D是线段BC的中点，∴BD=BC=×10cm=5cm，∴AD=AB﹣BD=20cm﹣5cm=15cm．故选D．【点评】本题考查了两点间的距离：两点之间的连线段长叫这两点之间的距离．也考查了线段中点的定义．11．如图所示，A、B两点所对的数分别为a、b，则AB的距离为（）A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b【分析】根据AB两点之间的距离即为0到B的距离与0到A的距离之和，由数轴可知a＜0，b＞0，得出AB的距离为b﹣a．【解答】解：∵A、B两点所对的数分别为a、b，∵a＜0，b＞0，∴AB之间的距离为b﹣a，故选C．【点评】本题考查了两点之间的距离，图形结合，判断出a、b的符号，难度适中．12．把原来弯曲的河道改直，两地间的河道长度会变短，这其中蕴含的数学道理是（）A．两地之间线段最短B．直线比曲线短C．两点之间直线最短D．两点确定一条直线【分析】直接利用线段的性质进而分析得出答案．【解答】解：把原来弯曲的河道改直，两地间的河道长度会变短，这其中蕴含的数学道理是两地之间线段最短．故选：A．【点评】本题考查的是线段的性质，正确掌握两点之间线段最短是解题关键．13．“把弯曲的河道改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（）A．直线比曲线短B．两点之间线段最短C．两点之间直线最短D．两点确定一条直线【分析】根据线段的性质即可得出结论．【解答】解：∵两点之间线段最短，∴把弯曲的河道改直，就能缩短路程．故选：B．【点评】本题考查的是线段的性质，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．14．下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是（）A．把弯曲的公路改直，就能缩短路程B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上C．利用圆规可以比较两条线段的大小关系D．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线【分析】利用直线的性质以及线段的性质分别分析得出答案．【解答】解：A、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释，故此选项正确；B、用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用两点确定一条直线，故此选项错误；C、利用圆规可以比较两条线段的大小关系，是比较线段大小，不是两点之间，线段最短，故此选项错误；D、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，利用两点确定一条直线，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．15．如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．两点之间直线最短D．垂线段最短【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答．【解答】解：把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是两点之间线段最短，故选：B．【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短，是需要记忆内容．16．如图，C、M是线段AB上的两点，且点M是线段AC的中点，若AB=8cm，BC=2cm，则AM的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【分析】由图形可知AC=AB﹣BC，依此求出AC的长，再根据中点的定义可得AM 的长．【解答】：由图形可知AC=AB﹣BC=8﹣2=6cm，∵M是线段AC的中点，∴AM=AC=3cm．故AM的长为3cm．故选B．【点评】考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段AC的长是解决本题的突破点．17．下列说法中：①过两点有且只有一条直线；②两点之间选段最短；③在平面内有一点P使得PA=PB，那么，点P就是线段AB的中点；④连接两点的线段叫两点之间的距离；其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】分别利用直线的性质以及两点之间距离和线段的性质分别判断得出即可．【解答】解：①过两点有且只有一条直线，正确；②两点之间线段最短，正确；③若AC=BC，则点C是线段AB的中点，C可能在线段垂直平分线上，故此选项错误．④连接两点的线段的长叫两点的距离，是线段的长，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了直线的性质以及两点之间距离和线段的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．18．如图，小红同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．过一点，有无数条直线D．连接两点之间的线段叫做两点间的距离【分析】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．【解答】解：∵用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，故选A．【点评】本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．19．已知点在线段上，下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是（）A．AC=BC B．AB=2AC C．AC+BC=AB D．【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A、B、D 都可以确定点C是线段AB中点【解答】解：解：A、AC=BC，则点C是线段AB中点；B、AB=2AC，则点C是线段AB中点；C、AC+BC=AB，则C可以是线段AB上任意一点；D、BC=AB，则点C是线段AB中点．故选C．【点评】本题主要考查线段中点，解决此题时，能根据各选项举出一个反例即可．20．已知A，B，C三点在同一条直线上，M，N分别为线段AB，BC的中点，且AB=60，BC=40，则MN的长为（）A．10 B．50 C．10或50 D．无法确定【分析】根据题意画出图形，再根据图形求解即可．【解答】解：（1）当C在线段AB延长线上时，如图1，∵M、N分别为AB、BC的中点，∴BM=AB=30，BN=BC=20；∴MN=50．（2）当C在AB上时，如图2，同理可知BM=30，BN=20，∴MN=10；所以MN=50或10，【点评】本题考查线段中点的定义，比较简单，注意有两种可能的情况；解答这类题目，应考虑周全，避免漏掉其中一种情况．二．填空题（共20小题）21．如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=4cm，BC=2cm，那么A、C两点之间的距离为多少？【分析】分类讨论：当点C在线段AB上，则有AC=AB﹣BC；当点C在线段AB 的延长线上，则AC=AB+BC，然后把AB=4cm，BC=2cm分别定义计算即可．【解答】解：当点C在线段AB上，则AC=AB﹣BC=4cm﹣2cm=2cm；当点C在线段AB的延长线上，则AC=AB+BC=4cm+2cm=6cm，所以A、C两点之间的距离为2cm或6cm．【点评】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．22．如图，AB=12cm，M点是线段AB的中点，点C将线段MB分成MC：CB=1：2则线段AC的长度是8cm．【分析】设MC=xcm，由MC：CB=1：2得到CB=2xcm，则MB=3x，根据M点是线段AB的中点，AB=12cm，得到AM=MB=AB=×12=3x，可求出x的值，又AC=AM+MC=4x，即可得到AC的长．【解答】解：设MC=xcm，则CB=2xcm，∴MB=3x，∵M点是线段AB的中点，AB=12cm，∴AM=MB=AB=×12=3x，而AC=AM+MC，∴AC=3x+x=4x=4×2=8（cm）．故答案为8．【点评】本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离．也考查了方程思想的运用．23．两点之间的所有连线中，线段最短．简单地说：两点之间，线段最短．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离．【分析】根据线段的性质与两点间的距离的定义填空．【解答】解：两点之间的所有连线中，线段最短．简单地说：两点之间，线段最短．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离．故答案为：两点之间；长度．【点评】本题考查了线段的性质，以及两点间的距离的定义，是基础题，需熟记．24．已知把一段弯曲的公路改成直道可以缩短路程，这样做的数学道理是两点之间的连线中，线段最短．【分析】此题为数学知识的应用，由题意把一段弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，就用到两点间线段最短定理．【解答】解：弯曲的道路改直，使两点处于同一条线段上，两点之间线段最短．【点评】本题主要考查两点之间线段最短．25．在桌面上放了一个正方体的盒子，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B 处，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？蚂蚁可由：点A﹣点EF的中点（或CE的中点）﹣B点．【分析】考查最短路径问题．【解答】解：因为两点之间线段最短，所以蚂蚁可沿点A﹣点EF的中点（或CE 的中点）﹣B点．【点评】熟练掌握最短路径问题，能够应用到生活中一些简单的例子．26．如图，用“＞”、“＜”或“=”连接下列各式，并说明理由．AB+BC＞AC，AC+BC ＞AB，BC＜AB+AC，理由是两点之间的所有连线中，线段最短．【分析】两点之间的所有连线中，线段最短．【解答】解：AB+BC＞AC，AC+BC＞AB，BC＜AB+AC；在两点之间的所有连线中，线段最短．【点评】掌握两点之间，线段最短．27．如图，已知C、D是线段AB上的两点，且AC=AB，BD=BC，图中一共有6条线段；若所有线段的长度的总和为31，则AD=7．【分析】从图可知，小线段一共有3条，根据线段的计数方法可得：线段总条数就是3+2+1=6条；将所有线段加起来可得3AB+CD=31，从而根据题意可判断出AB的取值．【解答】解：如图，图中的线段的条数为：3+2+1=6（条）；∵AC=AB，BD=BC，∴AB=CD．根据题意可得：AC+AD+AB+CD+CB+DB=31，即（AC+CB）+（AD+DB）+（AB+CD）=31，∴3AB+CD=31，即CD=1，解得，CD=4，则AB=9，AC=3，∴AD=AC+CD=3+4=7．故填：7．【点评】本题考查了两点间的距离．此题易错的地方是所有线段的长度的总和为31，同学们解题时，往往认为线段AB的长度是31．28．线段AB=9cm，点C在AB上，且AC=AB，M是AB的中点，那么MC= 1.5cm．【分析】先根据“AC=AB，M是AB的中点”求出AC、AM的长度，然后两者相减即可求解．【解答】解：如图，∵AC=AB，M是AB的中点，AB=9cm，∴AC=×9=3cm，AM=×9=4.5cm，∴CM=AM﹣AC=4.5﹣3=1.5cm．故答案为：1.5cm．【点评】本题考查了线段长度的计算，画出图形更加形象直观，并且有助于问题的解决．29．如图所示，设L=AB+AD+CD，M=BE+CE，N=BC．试比较M、N、L的大小：L＞M＞N．【分析】根据连接两点的所有线中，直线段最短的性质解答．【解答】解：∵AB+AE＞BE，CD+DE＞CE，∴AB+AE+CD+DE＞BE+CE，即l＞m，又BE+CE＞BC，即m＞n，∴l＞m＞n．【点评】此题考查知识点两点之间，线段最短．30．如图，从城市A到城市B有三种不同的交通工具：汽车、火车、飞机，除去速度因素，坐飞机的时间最短是因为两点之间，线段最短．【分析】此题为数学知识的应用，由题意从城市A到城市B，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【解答】解：因为坐飞机是从城市A到城市B，是一条线段上，沿直线走，A和B处于一条线段上，两点之间，线段最短．【点评】本题主要考查两点之间线段最短．31．线段AB=8cm，C是AB的中点，D是BC的中点，A、D两点间的距离是6 cm．【分析】可依据题意作出简单的图形，进而结合图形求解线段的长度．【解答】解：如图∵AB=8cm，C是AB的中点，∴AC=4cm，又D是BC的中点，∴CD=BC=2cm∴AD=AC+CD=6cm．【点评】会求解一些简单的两点间的距离问题．32．某工程队在修建高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直以缩短路程，这样的理论依据是两点之间线段最短．【分析】此题为数学知识的应用，由题意将弯曲的道路改直以缩短路程，就用到两点间线段最短定理．【解答】解：弯曲的道路改直，使两点处于同一条线段上，两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．【点评】本题主要考查两点之间线段最短．33．如图，BC=4，BD=7，且D是AC的中点，则AC=6．【分析】根据CD=BD﹣BC代入数据求出CD，再根据线段中点的定义解答．【解答】解：∵BC=4，BD=7，∴CD=BD﹣BC=7﹣4=3，∵D是AC的中点，∴AC=2CD=2×3=6．故答案为：6．【点评】本题考查了两点间距离，熟记中点的定义是解题的关键．34．如图，C、D是线段AB上的点，D为BC的中点，AB=12cm，AC=AB，则CD=cm．【分析】先根据AB=12cm，AC=AB求出AC的长，进而得出线段BC的长，根据D为BC的中点即可得出结论．【解答】解：∵AB=12cm，AC=AB，∴AC=×12=cm，∴BC=12﹣=cm，∵D为BC的中点，∴CD=×=cm．故答案为：．【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．35．若将弯曲的河道改直，可以缩短航程，根据是两点之间线段最短．【分析】根据两点之间线段最短解答．【解答】解：将弯曲的河道改直，可以缩短航程，根据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．【点评】本题考查了线段的性质，是基础题，熟记两点之间线段最短是解题的关键．36．已知线段AB=6cm，AB所在直线上有一点C，若AC=2BC，则线段AC的长为4或12cm．【分析】有两种情况：当C在AB的延长线上时，当C在线段AB上时，根据已知求出即可．【解答】解：如图，有两种情况：当C在AB的延长线上时，如图①，∵AB=6cm，AC=2BC，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm；当C在线段AB上时，如图②∵AB=6cm，AC=2BC，∴AC=4cm；。

一、选择题1. 图中，从点A到直线BE的4条线段中，最短的一条是线段( )．A．ABB．ACC．AD2. 小丽去奶奶家，最近的路线是（）。

A．B．C．3. 在一组平行线之间有4条线段，线段的两个端点都在平行线上，长度分别为7.5厘米、6.4厘米、6厘米、5.8厘米，其中有一条是与平行线垂直的线段，它是（）厘米。

A．7.5 B．6.4 C．6 D．5.84. 星期六上午9：00至10：00，文文去艺海艺术中心学画画，走（）条路最近。

A．①B．②C．③5. 小明欲从A点走到BC段的对岸，请问最短距离是（）。

A．AC的连线B．AB的连线C．作A到BC的垂线二、填空题6. 从学校经少年宫到植物园，共有( )条路可走，其中走( )最近（用字母表示）。

7. 如下图，淘气要从家到公路上，走线段( )最近。

8. 修隧道不绕路是因为( )。

9. 如下图，点O到直线b的距离是线段( )的长度．10. 在公路上有三条小路通往小明家，它们的长度分别是125米，207米，112米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是___米。

三、解答题11. （1）小兔和小猴是好朋友，它们经常到对方家里去做客，于是两个好朋友商量，要在两家之间修一条最近的路，请你将两家门口A、B的最短路线画一画，并说明这样画的理由____________________。

（2）如果小兔和小猴分别从水管主道接一条水管到自己家，怎样接用的材料最少？请你画一画。

12. 银河路与世纪大道互相垂直，并相交于明珠广场．（如图，测量数据保留整厘米数．）（1）邮电局位于明珠广场（）偏（）（）°方向（）米处．（2）邮电局需往世纪大道建造一条道路，怎样建最短，请在图中画出来．（3）教育局位于明珠广场南偏东30°方向1千米处，请在图中标出教育局的位置．13. 小明家有一块三角形的菜地，菜地的最大角是120°，是最小角的4倍。

（1）这块三角形菜地其它角的度数是多少？（2）如果从小明家到菜地，有如图三条路线，你会选择哪一条？为什么？14. 东东和芳芳家分别住在育英小学和汇育学校附近，他们放学同时从树人小学出发步行回家。

2024成都中考数学二轮复习微专题利用两点之间线段最短解决最值问题模型一“一线两点”型(一个动点＋两个定点)类型一线段和最小值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．解题思路：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．模型演变问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．解题思路：将两定点同侧转化为异侧问题，同“模型分析”即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′，与直线l交于点P.注：也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l交于点P′.模型应用1.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC＝63，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD＋PE的最小值为________．第1题图S矩形ABCD，2.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是矩形内一动点，满足S△P AB＝13则PA＋PB的最小值为________．第2题图模型迁移3.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象相交于A(3，5)、B(a，－3)两点，与x轴交于点C.第3题图(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P为y轴上的动点，当PB＋PC取最小值时，求△BPC的面积．4.如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．第4题图类型二线段差最大值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．解题思路：根据两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即AB的长，连接AB并延长，与直线l交于点P，点P即为所求．模型演变问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．解题思路：将两定点异侧转化为同侧问题，同“模型分析”即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′并延长与直线l交于点P.模型应用5.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，点P是EF上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．第5题图6.如图，在等边△ABC中，AB＝4，AD是中线，点E是AD的中点，点P是AC上一动点，则BP－EP的最大值为________．第6题图7.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC 边上，且BM＝6，P为对角线BD上一动点，则PM－PN的最大值为________．第7题图模型迁移8.已知抛物线y＝x2－2x－8与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，P 是抛物线对称轴上的一个动点，当|PB－PC|有最大值时，求点P的坐标．模型二“一点两线”型(两个动点＋一个定点)类型一两条线段的和最小值问题模型分析问题：点P是∠AOB的边OB上一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PM ＋MN的值最小．解题思路：要使PM＋MN的值最小，设法将PM、MN转化到同一条直线上，利用垂线段最短即可解决．作点P关于OA的对称点P′，过点P′作OB的垂线，分别与OA，OB交于点M、N.模型应用9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q 分别是AD，AC上的动点，则PC＋PQ的最小值为________．第9题图10.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝120°，点M，N分别为BD，CD上的动点，则CM＋MN的最小值为________．第10题图类型二周长最小值问题模型分析问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN 的周长最小．解题思路：要使△PMN的周长最小，即PM＋MN＋PN的值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可解决．分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″交OA、OB于点M、N.模型应用11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AB上一定点，点E，F分别为边AC，BC上的动点，当△DEF的周长最小时，则∠FDE＝________．第11题图12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上，且AD＝4，点E，F分别为边AC，AB上的动点，则△DEF周长的最小值为________．第12题图模型三“一定长＋两定点”型类型一异侧线段和最小值问题(“造桥”问题)模型分析问题：已知l1∥l2，l1，l2之间距离为d，在l1，l2上分别找M，N两点，使得MN⊥l1，且AM ＋MN＋NB的值最小．解题思路：要求AM＋MN＋NB的最小值，MN为定值，即要求AM＋NB的最小值，通过平移构造平行四边形，将AM、NB转化到同一条直线上．将点A向下平移d个单位到点A′，连接A′B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1于点M.模型应用13.如图，已知直线a∥b，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到直线b的距离为2，PQ＝241.在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，且PA ＋AB＋BQ最小，则PA＋BQ＝________．第13题图类型二同侧线段和最小值问题(平移型问题)模型应用14.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF＝1，则DE＋BF的最小值为________．第14题图15.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，BC＝12，∠ABC＝60°，点E、F是AD边上的动点，且EF＝2，则四边形BEFC周长的最小值为________．第15题图模型迁移16.如图，已知点A(3，1)，B(1，0)，PQ是直线y＝x上的一条动线段，且PQ＝2(点Q在点P的下方)，当AP＋PQ＋QB取得最小值时，求点Q的坐标．第16题图参考答案1.33【解析】如解图，连接DE ，则PD ＋PE ≥DE ，设DE 交AC 于点M ，当点P 与点M 重合时PD ＋PE 取得最小值，且最小值为DE .∵在菱形ABCD 中，AC ＝63，BD ＝6，∴AO ＝33，OD ＝3，AC ⊥BD ，∴AD ＝OA 2＋OD 2＝6，∴AD ＝BD ＝AB ，∴∠BAD ＝60°，∵点E 为AB 的中点，∴DE ⊥AB ，∴DE ＝AD ·sin60°＝3 3.第1题解图2.41【解析】如解图，设△PAB 底边AB 上的高为h ，∵S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，∴12AB ·h ＝13AB ·AD ，∴h ＝2，即h 为定值，在AD 上截取AE ＝2，作EF ∥AB ，交CB 于点F ，故点P 在直线EF 上运动，作点A 关于直线EF 的对称点A ′，连接A ′B ，交直线EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，即为A ′B 的长．由对称得AA ′＝2AE ＝4，∴A ′B ＝AA ′2＋AB 2＝42＋52＝41，即PA ＋PB 的最小值为41.第2题解图3.解：(1)把点A (3，5)代入y ＝m x可得m ＝3×5＝15，∴反比例函数的表达式为y ＝15x，把点B (a ，－3)代入y ＝15x，可得a ＝－5，∴B (－5，－3)．把点A (3，5)，B (－5，－3)代入y ＝kx ＋b k ＋b ＝55k ＋b ＝－3＝1＝2，∴一次函数的表达式为y ＝x ＋2；(2)∵一次函数的表达式为y ＝x ＋2，令y ＝0，则x ＝－2，∴C (－2，0)，如解图，作点C 关于y 轴的对称点C ′，则C ′(2，0)，即CC ′＝4，连接BC ′交y 轴于点P ，此时PC ＋PB 有最小值，最小值为BC ′，设直线BC ′的表达式为y ＝k ′x ＋b ′，5k ′＋b ′＝－3k ′＋b ′＝0，′＝37′＝－67，则BC ′的表达式为y ＝37x －67，∴P (0，－67)，即OP ＝67，此时S △BPC ＝S △BCC ′－S △PCC ′＝12×4×3－12×4×67＝307.第3题解图4.解：当y ＝0时，－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴点A 坐标为(－3，0)，点B 坐标为(1，0)．当x ＝0时，y ＝3，∴点C 坐标为(0，3)．∵△PBC 的周长为PB ＋PC ＋BC ，BC 为定值，∴当PB ＋PC 最小时，△PBC 的周长最小．∵点A ，点B 关于抛物线的对称轴l 对称，∴连接AC ，交l 于点P ，点P 即为所求的点．∵AP ＝BP ，∴PB ＋PC ＋BC ＝AC ＋BC .∵A (－3，0)，B (1，0)，C (0，3)，∴AC ＝32，BC ＝10，∴△PBC 周长的最小值为32＋10.5.3【解析】如解图，延长BA 交EF 于P ′，当点P 位于P ′处时|PA －PB |的值最大，∴|PA －PB |的最大值为AB ＝3.第5题解图6.7【解析】如解图，连接BE 并延长交AC 于点P ′，此时BP －EP 取得最大值为BE ，在等边△ABC 中，AD 是中线，∴BD ＝DC ＝2，∴AD ＝BD ·tan60°＝2×3＝23，∵E 为AD的中点，∴DE ＝12AD ＝3.∴在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝22＋（3）2＝7，∴BP －EP 的最大值为7.第6题解图7.2【解析】如解图，以BD 为对称轴作点N 的对称点N ′，连接MN ′并延长交BD 于点P ，连接NP ，根据轴对称性质可知PN ＝PN ′，∴PM －PN ＝PM －PN ′≤MN ′，当P ，M ，N ′三点共线时，PM －PN 取得最大值，最大值为MN ′的长，∵正方形的边长为8，∴AC ＝2AB ＝82，∵O 为AC 中点，∴AO ＝OC ＝42，∵N 为OA 中点，∴ON ＝22，∴ON ′＝CN ′＝22，∴AN ′＝62，∵BM ＝6，∴CM ＝AB －BM ＝8－6＝2，∴CM BM ＝CN ′AN ′＝13，∵∠MCN ′＝∠BCA ，∴△CMN ′∽△CBA ，∴∠CMN ′＝∠CBA ＝90°，∵∠N ′CM ＝45°，∴△N ′CM 为等腰直角三角形，∴MN ′＝CM ＝2，即PM －PN 的最大值为2.第7题解图8.解：如解图，连接PA ，则PA ＝PB ，当x ＝0时，y ＝x 2－2x －8＝－8，则C (0，－8)，当y ＝0时，x 2－2x －8＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4，则A (－2，0)，B (4，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴|PB －PC |＝|PA －PC |≤AC (当点A 、C 、P 共线时取等号)，延长AC 交直线x ＝1于点P ′，设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，把A (－2，0)，C (0，－8)代入得2m ＋n ＝0＝－8＝－4＝－8，∴直线AC 的解析式为y ＝－4x －8，当x ＝1时，y ＝－4－8＝－12，即P ′(1，－12)，∴当|PB －PC |有最大值时，点P 的坐标为(1，－12)．第8题解图9.245【解析】如解图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC 于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ＝PM，∴PC＋PQ＝PC＋PM＝CM，根据垂线段最短可知，此时PC＋PQ有最小值，即为CM，∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10，∵S△ABC＝12AB·CM＝12AC·BC，∴CM＝AC·BCAB＝6×810＝245.第9题解图10.33【解析】如解图，过点A作CD的垂线，垂足为N，与DB的交点记为M，∵四边形ABCD为菱形，∴点A与点C关于对角线BD对称，∴AM＝CM，∴CM＋MN＝AM＋MN ＝AN，根据垂线段最短可知，此时CM＋MN有最小值，最小值为AN.∵AB＝6，∠A＝120°，∴∠ADC＝60°，AD＝6，∴AN＝AD·sin60°＝33，∴CM＋MN的最小值为3 3.第10题解图11.90°【解析】如解图，作D关于AC的对称点D′，关于BC的对称点D″，连接D′D″交AC于点E，交BC于点F，此时，△DEF的周长最小，最小为D′D″，∵AB＝AC，∠BAC ＝90°，∴∠B＝45°，DD′⊥AC，DD″⊥BC，∴∠BDD′＝45°，∴∠D′DD″＝135°，∴∠D′＋∠D″＝45°，∵ED′＝ED，DF＝D″F，∴∠D′＝∠D′DE，∠D″＝∠D″DF，∴∠D″DF＋∠D′DE＝45°，∴∠FDE＝90°.第11题解图12.4【解析】如解图，作点D关于直线AC的对称点D′，点D关于直线AB的对称点D″，连接D′D″交AC于点E，交AB于点F，此时△DEF的周长最小，最小值为D′D″的长，连接AD′、AD″，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝30°，∵∠DAB＝∠D″AB，∠DAC＝∠D′AC，∴∠D′AD″＝2∠BAC＝60°，∵AD′＝AD，AD″＝AD，∴AD′＝AD″，∴△AD′D″是等边三角形，∴D′D″＝AD′＝AD＝4，∴△DEF的周长的最小值为4.第12题解图13.10【解析】如解图，过点P作PF⊥b交a于点E，交b于点F，在PF上截取PC＝4，连接QC交b于点B，过点B作BA⊥a于点A，此时PA＋AB＋BQ最短．过点Q作QD⊥PF 于点D.在Rt△PQD中，∵∠D＝90°，PQ＝241，PD＝10，∴DQ＝PQ2－PD2＝8，CD ＝PD－PC＝6，∵AB＝PC＝4，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA＝BC，∴PA ＋BQ＝CB＋BQ＝QC＝DQ2＋CD2＝10.第13题解图14.10【解析】如解图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于点F，连接BD，∵DM∥AC，∴∠BDM＝90°，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE＋BF＝FM＋FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE＋FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM＝12＋32＝10，∴DE＋BF的最小值为10.第14题解图15.14＋237【解析】如解图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B′，作点B′关于AD的对称点B″，连接CB″，交AD于点F，在AD上截取EF＝2，连接B′F，四边形EBB′F为平行四边形，则BE＝B′F，B″F＝B′F，此时四边形BEFC的周长为BE＋EF＋FC＋BC＝B″F＋EF＋FC＋BC＝B″C＋EF＋BC，当点C、F、B″三点共线时，四边形BEFC的周长最小．∵AB＝4，BB′＝2，∠ABC＝60°，∴B′B″经过点A.∴AB′＝2 3.∴B′B″＝4 3.∵BC＝12，∴B ′C ＝10.∴B ″C ＝B ′B ″2＋B ′C 2＝237.∴B ″C ＋EF ＋BC ＝14＋237.∴四边形BEFC 周长的最小值为14＋237.第15题解图16.解：如解图，过点A 作直线MN ∥直线y ＝x ，将点A (3，1)沿MN 向下平移2个单位后得到A ′(2，0)，作点B (1，0)关于直线y ＝x 的对称点B ′(0，1)，连接A ′B ′交直线y ＝x 于点Q .∵AA ′＝PQ ＝2，AA ′∥PQ ，∴四边形APQA ′是平行四边形，∴AP ＝A ′Q .∴AP ＋PQ ＋QB ＝A ′Q ＋PQ ＋B ′Q ，且PQ ＝2，∴当A ′Q ＋B ′Q 值最小时，AP ＋PQ ＋QB 值最小，根据两点之间线段最短，即A ′，Q ，B ′三点共线时A ′Q ＋B ′Q 值最小．∵B ′(0，1)，A ′(2，0)，∴直线A ′B ′的解析式y ＝－12x ＋1，＝x＝－12x ＋1，＝23＝23，∴点Q 的坐标为(23，23)．第16题解图。

线段的性质：两点之间线段最短（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2019秋•西城区期末）如图，点、在直线上，点是直线外一点，可知，其依据是 A ．两点之间，线段最短B ．两点确定一条直线C ．两点之间，直线最短D ．直线比线段长 2．（2019秋•顺义区期末）把弯曲的河道改直，能够缩短船舶航行的路程，这样做的道理是A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．两点之间，直线最短D ．两点之间，线段最短 3．（2018秋•延庆区期末）兴延高速是世界园艺博览会重点配套工程，2019年1月1日，兴延高速正式通车．石峡隧道是兴延高速项目中最长的隧道，也是北京市最长的公路隧道，总长约5.8公里．正因为穿越的隧道多，所以兴延高速最大的特点是“直”，明显缩短了北京市区到延庆的距离，其主要依据是A ．两点确定一条直线B ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．垂线段最短D ．两点之间，线段最短二．填空题（共5小题）4．（2019秋•怀柔区期末）如图是一个正方形，把此正方形沿虚线剪去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长 原来正方形的周长．（填“大于”“小于”或“等于” ，理由是 ．5．（2019秋•房山区期末）如下图，从小华家去学校共有4条路，第 条路最近，理由是 ．A B l C l CA CB AB +>()()()AB )6．（2018秋•昌平区期末）现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．如图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路，走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路线”．请你用数学知识解释出现这一现象的原因是 ．7．（2018秋•北京期末）如图是北京地铁的路线图，佳佳家住建国门，打算趁着新年放假去复兴门玩，看了路线图后，佳佳打算乘坐①号线地铁去，用几何知识解释他这样做的依据是 ．8．（2018秋•通州区期末）从小华家去图书馆共有三条路，你认为第 条路最短，理由是： ．三．解答题（共2小题）9．（2018秋•海淀区校级月考）如图，在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并说明你作图的理论依据．10．（2017秋•石景山区期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，要在，两个小区和公路之间修建地下管道，请你设计一种线路最短的修建方AC AC ABCD O OA OB OC OD +++A B l根据以上信息，你认为 同学的方案最节省材料，理由是 ．线段的性质：两点之间线段最短（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2019秋•西城区期末）如图，点、在直线上，点是直线外一点，可知，其依据是 A ．两点之间，线段最短B ．两点确定一条直线C ．两点之间，直线最短D ．直线比线段长 【分析】依据线段的性质，即可得出结论．【解答】解：点、在直线上，点是直线外一点，可知，其依据是：两点之间，线段最短， 故选：．【点评】本题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．2．（2019秋•顺义区期末）把弯曲的河道改直，能够缩短船舶航行的路程，这样做的道理是 A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．两点之间，直线最短D ．两点之间，线段最短 【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．【解答】解：由两点之间线段最短可知，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是两点之间线段最短，故选：．【点评】本题考查了线段的性质，属于概念题，关键是掌握两点之间线段最短．3．（2018秋•延庆区期末）兴延高速是世界园艺博览会重点配套工程，2019年1月1日，兴延高速正式通车．石峡隧道是兴延高速项目中最长的隧道，也是北京市最长的公路隧道，总长约5.8公里．正因为穿越的隧道多，所以兴延高速最大的特点是“直”，明显缩短了北京市区到延庆的距离，其主要依据是 A B l C l CA CB AB +>()A B l C l CA CB AB +>A ()D ()A ．两点确定一条直线B ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．垂线段最短D ．两点之间，线段最短【分析】直接利用线段的性质分析得出答案．【解答】解：兴延高速最大的特点是“直”，明显缩短了北京市区到延庆的距离，其主要依据是：两点之间，线段最短．故选：．【点评】此题主要考查了线段的性质，正确理解题意是解题关键．二．填空题（共5小题）4．（2019秋•怀柔区期末）如图是一个正方形，把此正方形沿虚线剪去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长　小于　原来正方形的周长．（填“大于”“小于”或“等于” ，理由是 ．【分析】利用两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，可以得出结论．【解答】解：将正方形沿虚线裁去一个角得到五边形，则这个五边形的周长小于原来正方形的周长，理由是两点之间线段最短．故答案为：小于；两点之间线段最短．【点评】本题主要考查了线段的性质，正确掌握线段的性质是解题关键．5．（2019秋•房山区期末）如下图，从小华家去学校共有4条路，第　③　条路最近，理由是 ．【分析】根据两点之间线段最短的性质作答．【解答】解：从小华家去学校共有4条路，第③条路最近，理由是两点之间，线段最短．D AB )【点评】此题考查知识点两点间线段最短．6．（2018秋•昌平区期末）现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．如图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路，走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路线”．请你用数学知识解释出现这一现象的原因是　两点之间，线段最短　．【分析】根据线段的性质，可得答案．【解答】解：为了抄近道而避开横平竖直的路，走“捷径”，用数学知识解释出现这一现象的原因是两点之间，线段最短．故答案为两点之间，线段最短．【点评】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质是解题关键．7．（2018秋•北京期末）如图是北京地铁的路线图，佳佳家住建国门，打算趁着新年放假去复兴门玩，看了路线图后，佳佳打算乘坐①号线地铁去，用几何知识解释他这样做的依据是　两点之间，线段最短　．【分析】两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．【解答】解：由图可得，他这样做的依据是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．【点评】本题主要考查了线段的性质：两点之间，线段最短．8．（2018秋•通州区期末）从小华家去图书馆共有三条路，你认为第　②　条路最短，理由是： ．【分析】两点之间，线段最短，根据线段的性质即可得出答案．【解答】解：从小华家去图书馆共有三条路，选择第②条路最短，理由：两点之间线段最短．故答案为：②，两点之间线段最短．AC AC AC【点评】本题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．三．解答题（共2小题）9．（2018秋•海淀区校级月考）如图，在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并说明你作图的理论依据．【分析】连接、相交于点，则点就是所要找的点；取不同于点的任意一点，连接、、、，根据三角形任意两边之和大于第三边可得，，然后结合图形即可得到，从而可得点就是所要找的四边形内符合要求的点．【解答】解：要使最小，则点是线段、的交点．理由如下：如果存在不同于点的交点，连接、、、，那么，即，同理，，，即点是线段、的交点时，之和最小．【点评】本题考查了三角形的任意两边之和大于第三边的性质，作出图形更助于问题的解决，把问题转化为求两条线段的和是解决问题的关键．10．（2017秋•石景山区期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，要在，两个小区和公路之间修建地下管道，请你设计一种线路最短的修建方ABCD O OA OB OC OD +++AC BD O O O P PA PB PC PD PA PC AC +>PB PD BD +>PA PB PC PD OA OB OC OD +++>+++O ABCD OA OB OC OD +++O AC BD O P PA PB PC PD PA PC AC +>PA PC OA OC +>+PB PD OB OD +>+PA PB PC PD OA OB OC OD ∴+++>+++O AC BD OA OB OC OD +++A B l案．根据以上信息，你认为　小力　同学的方案最节省材料，理由是 ．【分析】根据两点之间线段最短和直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短得出即可．【解答】解：小力同学的方案最节省材料，理由是：（1）两点之间线段最短，（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．故答案为：小力，两点之间线段最短，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．【点评】本题考查了两点之间线段最短和直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短等知识点，能灵活运用定理进行说理是解此题的关键．。

一．选择题（共40小题）1．“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（）A．两点确定一条直线B．直线比曲线短C．两点之间直线最短D．两点之间线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：推理填空题。

分析：根据线段的性质解答即可．解答：解：由线段的性质可知：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．故选D．点评：本题考查的是线段的性质，即两点之间线段最短．2．下列生活或生产现象中，可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线D．以上说法都不能用此公理解释考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：常规题型。

分析：根据两点确定一条直线，两点之间线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故本选项正确；C、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；D、因为B选项可以解释，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了线段的性质以及直线的性质，熟记性质公理是解题的关键，是基础题．3．如图所示，由A到B有①②③三条路线，最短路线为③的理由是（）A．因为它直B．两点确定一条直线C．两点间距离定义D．在连接两点线中，线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：综合题。

分析：根据连接两点的所有线中，线段最短解答．解答：解：根据图象，③线路最短，理由是两点之间，线段最短，故选D．点评：此题考查知识点两点之间，线段最短，难度适中．4．修路工程队在修建公路时，有时需要将弯曲的道路改直，这样做能缩短路程的依据是（）A．两点确定一条直线B．两点之间的所有连线中，直线最短C．线段有两个端点D．两点之间的所有连线中，线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。

两点之间线段最短问题专项训练1．【问题提出】（1）如图①，某牧马人要从A地前往B地，途中要到旁边一条笔直的河边l喂马喝一次水，经测量A点到河边的距离AC为300米，B点到河边的距离BD为900米，且点C、D间距离为900米，请计算该牧马人的最短路径长；【问题探究】（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F，△ABC的面积为24，若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，请求出△CDM周长的最小值；【问题解决】（3）如图③所示，某工厂生产车间的平面示意图为四边形ABCD，∠C＝∠D＝90°，AD＝70m，CD＝60m，BC＝110m，在AB的中点处有一个出货口M，在BC上有一个质检口N，点D为货物包装口．为了使得该生产车间出货——质检——包装过程达到最高效率，现要求从出货口M到质检口N的距离MN与质检口到包装口D的距离ND之和最短（即MN+ND最短）．请根据要求计算出MN+ND的最小值为多少？2．如图①，在菱形ABCD中，BD为对角线，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，其中2BE＝BC，DF＝．（1）求EF的长；（2）如图②，点G为CD上一点，过点G作GH⊥AD于点H，交BD于点M，在AE 上取点N，使AN＝2HM，连接BN，CM，求证：BN＝CM；（3）如图③，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，连接A'C，A'D，B'C，求A'C+A'D的最小值．3．（1）如图①，在等边△ABC中，BC＝4，点P是BC上一动点，点P关于直线AB，AC 的对称点分别为点M，N，连接MN．①当点P与点B重合时，线段MN的长是，当AP的长最小时，线段MN的长是；②如图②，PM，PN分别交AB，AC于点D，E．当PB＝1时，求线段MN的长；（2）如图③，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，点P，Q，R分别为边BC，AB，AC上（均不与端点重合）的动点，当△PQR的周长最小时，求∠PQR+∠PRQ的度数．4．如图①，在正方形ABCD中，点E为AB上的一个点，作射线DE交CB的延长线于点F，过点C作CM⊥DE交AD于点M，交DE于点N，连接AF．（1）当点E为AB的中点时．①求证：DE＝CM；②若点G，H分别为AC，DC上一点，AB＝2，求△MGH周长的最小值；（2）如图②，若点P，Q分别为AF，BC的中点，连接PQ交DF于点O，求证：OQ＝OF．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在AB上，且AE＝1，点F，G分别为BC，DC上的动点，连接EC，FE，FG，点M为△EBC的外心．（1）求点M到AB的距离；（2）若EF⊥FG，且FC＝2BF，求DG的长；（3）连接AG，求四边形AEFG周长的最小值．6．（1）如图①，在四边形ABCE中，∠E＝90°，∠B＝∠BCE＝60°，AB＝4，D是边AB的中点，连接CA，若CA恰好平分∠BCE．①求EC的长；②若P，Q分别是边BC，EC上的动点（不与端点重合），试求DP+PQ+AQ的最小值；（2）如图②，在四边形MNPQ中，MN＝4，MQ＝5，∠N＝∠Q＝90°，∠M＝60°，点A，B，C，D分别在边MQ，MN，NP，QP上，若AQ＝1，求四边形ABCD周长的最小值．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E，F分别是AB，CD边上的点（不与点B，D重合），且EF⊥AC，EF与AC交于点O．（1）请在①OA＝OC；②∠EFC＝∠ECF；③AF∥CE；④AF＝AE中选择一个条件（填序号），使得四边形AECF为菱形，并加以证明（选择一个即可）；（2）求EF的值；（3）求AF+EF+CE的最小值．8．如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点（均不与正方形的顶点重合），且∠EAF＝45°，连接EF．（1）求证．EF＝BE+DF；（2）如图②，点P是EF的中点，连接AP，作点E关于直线AB的对称点E'，作点F 关于直线AD的对称点F'，连接E'F'，求证：E'F'＝2AP；（3）如图③，正方形ABCD是李叔叔家菜地示意图，其中AB＝800米，李叔叔计划在菜地中开拓一条小路EM﹣MN﹣NF，其中点E为AB的中点，点F为CD边上一点，且CF＝300米，点M，N在线段BC上（点M在点N的左侧），且MN＝100米．为了尽可能少的破坏植物，需要以最小长度来修建，请你帮李叔叔计算这条小路长度的最小值．（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）。