在同一平面内两点之间线段最短

两点之间线段最短公理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述:在几何学中，两点之间的线段最短公理是一个基础性原理，它表明在平面几何中，任意两个点之间的直线段是最短的。

这个公理是几何学中最基本的原理之一，也是许多几何性质和定理的基础。

通过这个公理，我们可以得出许多重要的定理和结论，帮助我们解决各种几何问题。

在本文中，我们将探讨两点之间线段最短公理的概念，并详细阐述如何证明这一公理。

我们还将探讨这一公理在实际生活中的应用与意义，以及对几何学习的重要性。

通过深入研究和理解这一公理，我们可以更好地理解几何学中的基本概念，为我们的学习和应用提供更多的帮助和指导。

1.2 文章结构文章结构部分主要包括文章的章节划分和各章节内容的概要描述。

在本篇文章中，结构为引言、正文和结论三个部分。

- 引言部分包括概述、文章结构和目的三小节，首先介绍了问题背景与重要性，然后说明文章将分为哪几部分展开讨论，最后明确了文章的目的和意义。

- 正文部分包括两点之间线段最短的概念、证明两点之间线段最短的公理和实际应用与意义三个章节，分别对概念、公理和应用进行深入的讨论和分析，展示了两点之间线段最短的原理和相关应用。

- 结论部分包括总结、反思和展望三个小节，对文章的主要内容进行总结概括，进行一定的思考和展望未来可能的研究方向。

1.3 目的：本文的目的在于阐述和探讨数学领域中一个重要的公理——两点之间线段最短的公理。

通过对这个公理的定义、证明以及实际应用与意义的分析，可以帮助读者更深入地理解数学中的基本原理和逻辑推理。

同时，通过学习这个公理，我们也可以更好地应用它在解决数学问题和实际生活中的实际问题中。

通过本文的阐述，读者可以了解到两点之间线段最短的公理在几何学中的重要性和作用，进一步提升自己的数学思维能力和解决问题的能力。

此外，通过对这个公理的研究，我们也可以深入了解数学中的逻辑推理和证明方法，从而拓展自己的数学知识和认识。

总的来说，本文的目的在于引导读者深入思考和探索数学中的基本概念和原理，帮助读者更好地理解和运用这些概念，从而提高自己在数学领域的学习和应用能力。

2021年七上数学期中复习-线段的性质：两点之间线段最短-单选题专训及答案线段的性质：两点之间线段最短单选题-专训1、(2020苍南.七上期末) 老爷爷从家到超市有甲、乙、丙三条路可以选择，在不考虑其它因素的情况下，他选择了乙路前往，则其中蕴含着的数学道理是( )A . 两点确定一条直线B . 两点之间线段最短C . 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短D . 在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线2、(2021慈溪.七上月试) 如图，小李同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A . 垂线段最短B . 经过一点有无数条直线C . 两点之间线段最短D . 经过两点有且仅有一条直线3、(2016平阳.七上期末) (2017七上·绍兴月考) 如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是（）A . 两点确定一条直线B . 两点之间线段最短C . 两点之间直线最短D . 垂线段最短(2016海淀.七上期末) 已知AB是圆锥（如图1）底面的直径，P是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图2所示．一只蚂蚁从A点出发，沿着圆锥侧面经过PB 上一点，最后回到A点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T（M，N，S，T均在PB上）四个点中，它最有可能经过的点是（）A . MB . NC . SD . T5、(2018大石桥.七上期末) 下列说法中正确的是（）A . 两点之间，直线最短B . 圆是立体图形C . -125与93是同类项D . 方程的解是x=36、(2019丹东.七上期末) 下列四个生产生活现象，可以用公理“两点之间，线段最短”来解释的是（）A . 用两个钉子就可以把木条固定在墙上B . 植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线C . 从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB来架设D . 打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上7、(2019鞍山.七上期末) 下列说法中：①一个有理数不是正数就是负数；②射线AB和射线BA是同一条射线；③0的相反数是它本身；④两点之间，线段最短，正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8、(2019秦淮.七上期末) 现实生活中“为何有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过？”，请用数学知识解释图中这一现象，其原因为（）.A . 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离B . 过一点有无数条直线C . 两点之间线段最短D . 两点确定一条直线(2019定安.七上期末) 如图，从A到B有①，②，③三条路线，最短的路线是①，其理由是（）A . 因为它最直B . 两点确定一条直线C . 两点间的距离的概念D . 两点之间，线段最短10、(2016莒.七上期末) 我们经常看到不文明踩踏草坪的现象，更令人痛心的是草坪是被踩出一条条直线的小路，用几何知识解释其道理正确的是（）A . 两点确定一条直线B . 两点之间线段最短C . 垂线段最短D . 三角形两边之和大于第三边11、(2016莘.七上期末) 下列说法正确的个数是（）⑴射线AB和射线BA是一条射线⑵两点之间的连线中直线最短⑶若AP=BP，则P是线段AB的中点⑷经过任意三点可画出1条或3条直线．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个12、(2016金乡.七上期末) 有下列生活，生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上．②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A . ①②B . ①③C . ②④D . ③④13、(2016昌邑.七上期末) 如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助他选择一条最近的路线（）A . A→C→D→B B . A→C→F→BC . A→C→E→F→BD . A→C→M→B14、(2017沂水.七上期末) 如图，张亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A . 经过一点有无数条直线B . 经过两点，有且仅有一条直线C . 两点间距离的定义D . 两点之间，线段最短15、(2019沙雅.七上期末) 下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是（）A . 用两个钉子就可以把木条固定在墙上B . 把弯曲的公路改直，就能缩短路程C . 利用圆规可以比较两条线段的大小关系D . 植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线16、(2019丹江口.七上期末) “在山区建设公路时，时常要打通一条隧道，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是( )A . 两点确定一条直线B . 直线比曲线短C . 两点之间，线段最短D . 垂线段最短17、(2019中山.七上期末) 下列说法正确的是（）A . 射线AB和射线BA是两条不同的射线B . 过三点可以画三条直线C . 两点之间，直线最短D . ﹣a是负数18、(2018江海.七上期末) 如图过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A . 两点确定一条直线B . 两点之间线段最短C . 垂线段最短D . 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直19、(2018罗湖.七上期末) 把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做的理由是( )A . 两点之间，直线最短B . 两点确定一条直线C . 两点之间，线段最短D . 两点确定一条线段20、(2016深圳.七上期末) 如图，现实生活中有部分行人选择横穿马路而不走天桥或斑马线，用数学知识解释这一现象的原因，可以为（）A . 过一点有无数条直线B . 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离C . 两点确定一条直线D . 两点之间，线段最短21、(2018崆峒.七上期末) “把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（）A . 两点确定一条直线B . 直线比曲线短C . 两点之间直线最短D . 两点之间线段最短22、(2019唐山.七上期中) 根据下列线段的长度，能判断A、B、C三点不在同一条直线上的是（）A . AB=10，AC=4，BC=6B . AB=10，AC=12，BC=2C . AB=2，AC=8，BC=10D . AB=8，AC=17，BC=1323、(2020甘州.七上期末) 有如下说法：①直线是一个平角；②如果线段AB＝BC，则B是线段AC的中点；③射线AB与射线BA表示同一射线；④用一个扩大2倍的放大镜去看一个角，这个角扩大2倍；⑤两点之间，直线最短；⑥120.5°＝120°30′，其中正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个24、(2020天峨.七上期末) 下列说法正确的是( )A . 射线AB和射线BA是两条不同的射线B . -a是负数C . 两点之间，直线最短D . 过三点可以画三条直线25、(2019方城.七上期末) 下列说法：①如果∠1+ ∠2+∠3=180°，那么∠1，∠2，∠3三个角互为补角；②如果∠A+ ∠B=90°，那么∠A与∠B互为余角；③“对顶角相等”成立，反之“相等的角是对顶角”也成立；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等；⑤两点之间，线段最短. 正确的个数是（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个26、(2020南京.七上期末) 下列说法：①两点之间，直线最短；②若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的说法有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个27、(2020无锡.七上期末) 下列说法错误的是（）A . 两点之间线段最短B . 对顶角相等C . 同角的补角相等D . 过一点有且只有一条直线与已知直线平行28、(2019无锡.七上期末) 下列说法中正确的是A . 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行B . 若，则点C是线段AB的中点C . 两点之间的所有连线中，线段最短D . 相等的角是对顶角29、(2020永春.七上期末) 如图，从A到B有三条路径，最短的路径是③，理由是（）A . 两点确定一条直线B . 两点之间，线段最短C . 过一点有无数条直线D . 因为直线比曲线和折线短30、(2021昌黎.七上期中) 现实生活中，总有人乱穿马路（如图中AD），却不愿从天桥（如图中）通过，请用数学知识解释这一现象，其原因是（）A . 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离B . 过一点有无数条直线C . 两点确定一条直线D . 两点之间，线段最短线段的性质：两点之间线段最短单选题-答案1.答案：B2.答案：C3.答案：B4.答案：B5.答案：C6.答案：C7.答案：B8.答案：C9.答案：D10.答案：B11.答案：A12.答案：C13.答案：B14.答案：D15.答案：B16.答案：C17.答案：A18.答案：A19.答案：C20.答案：D21.答案：D22.答案：C23.答案：A24.答案：A25.答案：A26.答案：A27.答案：D28.答案：C29.答案：30.答案：。

一．解答题（共18小题）1．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢试用所学数学知识来说明这个问题．情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：你赞同以上哪种做法你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：作图题；方案型。

分析：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间线段最短；连接AB，使AB两点同在一条直线上，与河流的交点既是最佳位置．解答：解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短；情景二：（需画出图形，并标明P点位置）理由：两点之间的所有连线中，线段最短．赞同情景二中运用知识的做法．点评：此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．2．如图所示，设l=AB+AD+CD，m=BE+CE，n=BC．试比较m，n，l的大小，并说明理由．考点：线段的性质：两点之间线段最短。

分析：此题为数学知识的应用，由图中B到C三条路径，用两点间线段最短定理来解题．解答：解：由题B到C距离，根据两点之间线段最短有：AB+AD+CD＞BE+EC＞BC，即1＞m＞n．点评：此题考查两点之间线段最短．3．如图所示，A，B是两个村庄，若要在河边L上修建一个水泵站往两村输水，问水泵站应修在河边的什么位置，才能使铺设的管道最短，并说明理由．考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：应用题。

分析：根据两点之间，线段最短，要使铺设的管道最短，关键是所铺设的管道在一条直线上即可．解答：解：如下图，过点A，B作线段AB，与直线L的交点P为所求水泵站的点，因为两点之间，线段最短．点评：本题考查两点之间线段最短的应用．4．如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由．考点：线段的性质：两点之间线段最短。

一、概述线段是几何中的基本概念之一，而两点之间的线段最短，也是初中数学中常见的知识点。

在初中阶段学习数学的过程中，学生需要掌握关于线段的相关知识，包括线段的定义、性质、构造、计算等内容。

其中，两点之间线段最短的理论和应用也是数学学习中的重要内容之一。

本文将对两点之间线段最短的相关知识进行系统的介绍和总结，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、线段的基本概念1. 线段的定义线段是指两个点之间的所有点的集合，用AB表示，其中A和B分别为线段的端点，线段的顺序是从A到B。

2. 线段的长度线段的长度是指线段所包含的所有点的集合的长度，通常用|AB|表示，表示线段AB的长度。

3. 线段的性质线段是具有一定长度的，它有起点和终点，有确定的长短，可以测量。

三、两点之间线段最短的概念1. 最短线段的定义在数学中，两点之间线段最短是指在同一平面上，两点之间的线段长度最短的线段。

即使平面上的其他路径连接这两点也是最短路径，这就是两点之间线段最短的概念。

2. 两点之间线段最短的证明我们假设两点A、B之间有一条折线段ACB连接，那么通过三角形两边之和大于第三边的原理，可以证明直线段AB的长度必然小于或等于折线段ACB的长度。

3. 两点之间线段最短的应用两点之间线段最短的概念在数学和实际生活中都有重要的应用，比如在地图制作和路径规划中，需要寻找最短的路径。

在物体移动的最短路径问题中也有涉及。

四、两点之间线段最短的计算1. 直线距离假设两点A(x1, y1)、B(x2, y2)，其中A、B分别表示两个不同的点的坐标，通过直线距离公式计算两点之间的距离d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)，即可得到两点之间的线段最短距离。

2. 弧线距离假设两点A(x1, y1)、B(x2, y2)，在坐标轴上两点之间最短的弧线长度为AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)，也是两点之间线段最短距离。

初中数学［最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用.理论依据：“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图".教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”.考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短",“垂线段最短”,“点关于线对称"，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题"，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例:已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P,使得PA+PB最小。

解:连接AB，线段AB与直线L的交点P ,就是所求。

（根据：两点之间线段最短。

）二、两点在一条直线同侧例:图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解:只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道"的对称点A′,然后连接A′B，交“街道"于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON 上各取一点B，C，组成三角形,使三角形周长最小。

解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析:当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A。

B两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E,2.连接AE交河对岸与点M，则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。

勾股定理中的四类最短路径模型勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。

人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。

对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。

对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。

模型1.圆柱中的最短路径模型【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。

注意：1)运用勾股定理计算最短路径时，按照展开-定点-连线-勾股定理的步骤进行计算；2)缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。

【最值原理】两点之间线段最短。

1(2023·广东·八年级期中)如图，一个底面圆周长为24cm，高为9cm的圆柱体，一只蚂蚁从距离上边缘4cm的点A沿侧面爬行到相对的底面上的点B所经过的最短路线长为()A.413cmB.15cmC.14cmD.13cm【答案】D【分析】将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：将圆柱体的侧面展开，连接AB，如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm，则BD=24×12=12cm，又因为AD=9-4=5cm，所以AB=122+52=13(cm)，即蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13cm．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的应用-最短路径问题．解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理进行求解．2(2023·重庆·八年级期末)如图，圆柱形玻璃杯高14cm，底面周长为18cm，在外侧距下底处1cm有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上端距开口处1cm的外侧点处有一只苍蝇，蜘蛛捕到苍蝇的最短路线长是cm．【答案】15【分析】展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，求出SE、EF，根据勾股定理求出SF即可．【详解】解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，则SE=BC=12×18=9(cm)，EF=14-1-1=12(cm)，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF=SE2+EF2=92+122=15(cm)，故答案为15．【点睛】本题考查勾股定理、平面展开-最短路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中．3(2023春·山东济宁·八年级校考期中)春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为米．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．1.(2023·湖北十堰·统考一模)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘AB= CD=20m(边缘的宽度忽略不计)，点E在CD上，CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为()A.28mB.24mC.20mD.18m【答案】C【分析】滑行的距离最短，即是沿着AE的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，A、D、E 三点构成直角三角形，AE为斜边，AD和DE为直角边，写出AD和DE的长，根据题意，由勾股定理即可得出AE的距离．【解析】解：将半圆面展开可得：AD =12米，DE =DC -CE =AB -CE =16米，在Rt △ADE 中，AE =122+162=20(米)．即滑行的最短距离为20米．故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，U 型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，矩形的长等于AB =CD =20m .本题就是把U 型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．2.(2023春·四川德阳·八年级校考期中)如图，圆柱底面半径为2πcm ，高为9cm ，点A ，B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A ，B 在同一条竖直直线上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为cm ．【答案】15【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B 的运动最短路线是：AC →CD →DB ；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A 沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为2πcm ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2π=4cm ；又∵圆柱高为9cm ，∴小长方形的一条边长是3cm ；根据勾股定理求得AC =CD =DB =32+42=5(cm )；∴AC +CD +DB =15(cm )；故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．3.(2022·山东青岛·八年级期末)如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是( )(π取3)A.60cmB.40cmC.30cmD.20cm【答案】A【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．【解析】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC2+BC2=242+182=30cm．∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，∴最短路径长为60cm.故选：A．【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．模型2.长方体中的最短路径模型【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。

初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB及直线L的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要及河垂直）解：1.将点B 沿垂直及河岸的方向平移一个河宽到E ，2.连接AE 交河对岸及点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

一．选择题（共40小题）1．“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（）A．两点确定一条直线B．直线比曲线短C．两点之间直线最短D．两点之间线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：推理填空题。

分析：根据线段的性质解答即可．解答：解：由线段的性质可知：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．故选D．点评：本题考查的是线段的性质，即两点之间线段最短．2．下列生活或生产现象中，可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线D．以上说法都不能用此公理解释考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：常规题型。

分析：根据两点确定一条直线，两点之间线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故本选项正确；C、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；D、因为B选项可以解释，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了线段的性质以及直线的性质，熟记性质公理是解题的关键，是基础题．3．如图所示，由A到B有①②③三条路线，最短路线为③的理由是（）A．因为它直B．两点确定一条直线C．两点间距离定义D．在连接两点线中，线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：综合题。

分析：根据连接两点的所有线中，线段最短解答．解答：解：根据图象，③线路最短，理由是两点之间，线段最短，故选D．点评：此题考查知识点两点之间，线段最短，难度适中．4．修路工程队在修建公路时，有时需要将弯曲的道路改直，这样做能缩短路程的依据是（）A．两点确定一条直线B．两点之间的所有连线中，直线最短C．线段有两个端点D．两点之间的所有连线中，线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。

两点之间线段最短教学目标：理解“两点之间，线段最短”的结论，并能用这一结论解释一些简单的问题。

重点：结论的应用过程和拓展问题的探究过程难点：拓展问题的探究过程教学过程设计热身准备：我想试试罗赛蒂那个说“我想试试”的小孩他将登上山巅，那个说“我不成”的小孩，在山下停步不前。

“我想试试”每天办成很多事，“我不成”就真一事无成。

因此你务必说“我想试试”，将“我不成”弃于埃尘。

二、新课教学绿地里本没有路，走的人多了……你能解释一下原因？2、数学活动：在纸上任意点两点，用线联接它们，量一下它们的长短，比较一下谁最短？得出结论2、解释、应用与交流问题1、怎样走最近？如图1，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？问题2、河道长度如图2，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化？图2问题3、九曲桥（2）如图3，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响？与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出其中的道理。

图3你还能举出一些类似的例子吗？小猫看见鱼，小狗看见骨头后会怎样运动？有人过马路到对面的商店去，但没有走人行道，为什么呢？3、拓广探索与交流蚂蚁爬行路线最短问题。

如图4，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？图4利用手中的正方体具体实验一下，告诉大家你的结论。

三、回顾、思考与交流设想自己是一名园林设计师或者是一名管理者，在进行公共绿地设计时对情境一的一些思考与探讨能给你一些什么启发。

四、作业对蚂蚁爬行最短问题的再思考：如果蚂蚁在长方体的一个顶点上，如果蚂蚁在圆柱上，这时问题发生怎样的变化？问题如何解？请把你对此问题的研究写成数学小作文，注意写出自己的情感体验《关于最短路径思考》已经学过“两点之间，线段最短”这个数学公理了。

这看似简单的八个字蕴涵着许多奥妙，将它扩展、延伸可得到一个最短路径问题、即求连接A、B两点的线段中哪一条最短。

例谈初中数学中的最值问题作者：李相伟来源：《师道·教研》2013年第05期近几年来，各地初三毕业、升学考数学试题中屡屡出现求最值问题，我们在数学教学中也经常碰到求最大（小）值的问题，这类问题往往与生活实际联系紧密，不但体现数学的思想和方法，更体现数学在实际中的应用。

在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为最值问题。

在初中阶段，如何运用数学思想和方法来解决数学最值问题是值得探讨的问题，本文结合初中数学常见的最值问题进行分析，寻求解决最值问题的一些方法。

一、利用函数自变量取值范围的限制求最值问题由于函数自变量取值范围的限制，函数图像局限于某一线段或某一部分。

这样，函数的值往往也确定在某个范围内，从而存在最值，利用函数自变量取值范围的限制求最值问题是初中数学中常见的方法之一。

二、利用配方法求最值问题配方法，主要是利用完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2的结构特征。

把待解决问题中的代数式，通过一定变形手段，构造出完全平方式：a2±2ab+b2，然后使式子表示成（a+b）2+k或几个平方的和的形式，利用平方的非负性从而得到最值。

例1.设x，y为实数，代数式5x2+4y2-8xy+2x+4的最小值为 .另外，我们经常利用二次函数的顶点性质求最值问题。

如：求面积最大值，求利润最大等。

三、利用根的判别式求最值问题通常根的判别式可以判别一元二次方程根的状况，可以用来研究二次函数图像和x轴交点个数。

在这里，我们还可以利用根的判别式求函数的最值。

例2.设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实数根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值。

分析：先由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，思考是否存在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，下面从判别式入手。

当问题分析得到二次函数的顶点式时，我们还要考虑到函数的顶点是否存在，如果顶点不可取得，那么问题变成为在a≤x≤b范围内求最值。

行测解题技巧-几何中的最短路径问题几何问题是近几年国、省考中必考的热门题型，考查频率越来越高。

其中的最短路径问题考查较多，方法性很强，通过学习可以有良好掌握，学习的性价比很高。

下面为大家具体讲解如何解决几何中的最短路径问题。

最短路径问题考查形式通常为求点之间的最短距离，核心解题方法为平面上两点之间，线段最短。

在考试中最短路径问题主要分为两大类，平面几何最短路径与立体几何最短路径。

虽然题目有多种问法，但万变不离其宗，只要知识点掌握牢固、能够融会贯通，无论如何创新如何结合，我们都可以熟练解决。

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平面几何最短路径问题1.两点异侧题型特征：求在直线异侧的两点之间的最短距离，或在直线异侧的两点到第三点的最短距离之和解题方法：两点之间，线段最短，三点共线时距离之和最短例1.【2011联考】火车站A和B与初始发车站C的直线距离都等于akm，站点A在发车站C的北偏东20度，站点B在发车站C的南偏东40度，若在站点A和站点B之间架设火车轨道，则最短的距离为：A. akmB. 3akmC. 2akmD. akm【解题思路】如图所示，根据题意中A在C点北偏东20度和B在C点南偏东40度可知，A、B、C三点构成顶角为120度的等腰三角形，且AB为底边。

过点C做AB的中垂线，交AB于点D。

根据勾股定理可得，CD=a，AD=a，则AB=2AD=a，正确答案为D。

【点评】公务员考试中，三角形求边长常用勾股定理和相似三角形。

因此建议各位考生将常见三角形边长比例熟练记忆，如30°直角三角形、等腰直角三角形、120°等腰三角形等。

本题若变形为C火车站正东建立新火车站D，求AB两点到D距离之和最短，因三点共线时距离之和最短，直接连接AB即为最短距离和。

2.两点同侧题型特征：求在直线同侧的两点到第三点的最短距离之和解题方法：将其中一点镜像对称，使三点共线例1.【2019浙江】 A、B点和墙的位置如图所示。

关于“两点之间，线段最短”的平面的实际应用数学源于生活，高于生活，又引导生活。

新课程改革就是强调数学与社会实际以及学生的生活经验息息相关，让学生真正体会到新课程标准所要求的“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步与发展。

”下面本人从一件人人皆知的生活小事谈起：1、从学校到家，有两条道路，一条是笔直的，一条是弯曲的，如果是你，将如何选择回家的路？分析：这是一个很简单的常识问题，实际上也是一道数学问题，可把学校和家看成两个点，这样，根据“两点之间，线段最短”来解决问题，就简单多了。

根据上面这个问题，我们还可以思考很多问题……2、如图：有两个村庄分别在公路的两边，他们想在公路上建一个水泵，为了节约资金，使其到两地的距离之和最短。

分析：这是第一题的很简单的实际应用，只要连接A,B 两点即可。

解：连接AB与公路的交点P就是建水泵的最好地方。

3、如图：如果把第二题的两村庄改在公路的同侧，其他问题不变，那该如何处理呢？分析：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想，往往大家不能正确的找到解题的思路。

有很多同学只知道“两点之间，线段最短”，便连接A,B两点，谁知与公路根本无交点，这是一种错误解答。

正确的解答过程应把A、B两点转化成第二题的情形，必须把A或B等距离转化，这里是把A点作关于公路的对称点A′，再连接A′B即可。

解：作A关于公路的对称点A′，连接A′B，与公路的交点P即为建水泵的的方。

4、如图：有两村庄A庄和B庄，被一条两岸平行的小河隔开，现要架一座桥CF，使由A村到B村的路程最短，问桥应架在什么地方？分析：“化未知为已知”是解题的关键，只要我们把河流变成一条直线，问题就解决了，我们不妨把A点和直线L 竖直往下平移河的宽度，问题就转化成了第三题。

解：把A点和直线L 竖直往下平移河的宽度，A点转化成A’，连接A’B与河的两个交点都可以。

最短路线一在学习几何知识时，同学们已经学过如下两个结论：（1）连结两点的所有线中，直线段是最短的；（2）直线外的一个定点与直线上的各点的连线以垂线为最短．利用这两个结论可以解决许多实际生活中求最短路线的问题．例1甲、乙两村之间隔一条河，如图13—1．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？分析：设甲、乙两村分别用点A、B表示．要在河上架桥，关键是要选取一个最佳建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短．即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长（相当于河的宽度），再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最短折线的问题．直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了．所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到C 点，如图13—2，找出C到B的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题．解：如图13—2．过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长等于河宽．连BC交与乙村的河岸于F点，作EF垂直于河的另一岸于E点，则EF为架桥的位置，也就是AE+EF+FB 是两村的最短路线．例2如图13—3，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？分析：车站建在哪里，使得A到车站与B到车站的距离之和最小，仍然是求最短折线问题，同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了．采用轴对称（直线对称）作法．解：作点B关于公路（将公路看作是一条直线）的对称点B′，如图13—4，即过B点作公路（直线）的垂线交直线于O，并延长BO到B′，使BO=OB′．连结AB′交直线于点E，连BE，则车站应建在E处，并且折线AEB为最短．为什么这条折线是最短的呢？分两步说明：（1）因为B与B′关于直线对称，根据对称点的性质知，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，有BE=B′E，所以AB′=AE+EB′=AE+EB（2）设E′是直线上不同于E的任意一点，如图13—5，连结AE′、E′B、E′B′，可得AE′+E′B=AE′+E′B′＞AB′（两点之间线段最短）上式说明，如果在E点以外的任意一点建车站，所行的路程都大于折线AEB．所以折线AEB最短．例3如图13—6，河流EF与公路FD所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角EFD内．现在要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短．分析：工人们从A出发先到河边码头，再到公路的仓库，然后回到A处，恰好走一个三角形，现在要求三角形的另外两个顶点分别建在河岸与公路的什么位置能使这个三角形的三边之和为最小，利用轴对称原理作图．解：过A分别作河岸、公路的对称点A′、A″，如图13—7，连结A′A″，交河岸于M，交公路于N，则三角形AMN各边之和等于直线A′A″的长度，所以仓库建在N处，码头建在M处，使工人们所行的路程最短．例4如图13—8是一个长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米的长方体纸盒．一只蚂蚁要从A点出发在纸盒表面上爬到B点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程．分析：因为是在长方体的表面爬行，求的是立体图形上的最短路线问题，往往可以转化为平面上的最短路线问题．将蚂蚁爬行经过的两个面展开在同一平面上，如图13—9，在展开图中，AB间的最短路线是连结这两点的直线段，但要注意，蚂蚁可沿几条路线到达B点，需对它们进行比较．解：蚂蚁从A点出发，到B点，有三条路线可以选择：（1）从A点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个平面展开在同一平面上，这时A、B间的最短路线就是连线AB，如图13—9（1），AB是直角三角形ABC 的斜边，根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=（1+2）2+42=25（2）从A点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图13—9（2），同理AB2=22+（1+4）2=29（3）从A点出发，经过上底面，然后进入右侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图13—9（3），得AB2=（2+4）2+12=37比较这三条路线，25最小，所以蚂蚁按图13—9（1）爬行的路线最短，最短路程为5分米．例5如图13—10，在圆柱形的木桶外，有一个小甲虫要从桶外的A点爬到桶内的B点．已知A点到桶口C点的距离为14厘米，B点到桶口D点的距离是10厘米，而C、D两点之间的弧长是7厘米．如果小甲虫爬行的是最短路线，应该怎么走？路程是多少？分析：先设想将木桶的圆柱展开成矩形平面，如图13—11，由于B点在桶内，不便于作图，利用轴对称原理，作点B关于直线CD的对称点B′，这就可以用B′代替B，从而找出最短路线．解：如图13—11，将圆柱体侧面展成平面图形．作点B关于直线CD的对称点B′，连结AB′，AB′是A、B′两点间的最短距离，与桶口边交于O点，则OB′=OB，AB′=AO+OB，那么A、B之间的最短距离就是AO+OB，所以小甲虫在桶外爬到O点后，再向桶内的B点爬去，这就是小甲虫爬行的最短路线．延长AC到E，使CE＝B′D，因为△AEB′是直角三角形，AB′是斜边，EB′=CD=7厘米，AE=14+10=24（厘米），根据勾股定理：AB′2=AE2+EB′2=242+72=625所以AB′=25（厘米）即小甲虫爬行的最短路程是25厘米．。