线段的数量计算(两点之间线段最短)

两之间线段最短求最值四大类型【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。

【方法技巧】模型一“一线两点”型(一动＋两定)类型一异侧线段和最小值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．【解题思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．类型二同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l 的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P.类型三同侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P 三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.类型四异侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．模型二“一点两线”型(两动＋一定)问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．【解题思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．模型三“两点两线”型(两动＋两定)问题：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．【解题思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．【典例分析】【典例1-1】基本模型问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧试确定点P的位置，使AP+BP的值最小．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB′，与直线l交于点P；二证：验证当A，P，B'三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例1-2】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧，在直线l上确定点P的位置，使|P A ﹣PB|的值最大．解题思路：一找：连接AB并延长，交直线l于点P；二证：验证当A，B，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-3】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使AP+BP 的值最小．解题思路：一找：连接AB交直线l于点P；二证：验证当A，P，B三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-4】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使|P A﹣PB|的值最大．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长，交直线于点P；二证：验证当A，B'，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式1-1】如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为．【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点O是对角线BD的中点，E是AB 边上一点，且AE＝1，P是CD边上一点，则|PE﹣PO|的最大值为．【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠DAB＝60°，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在BD，AB上，且BF＝DE＝4．点P为AC上一点，则|PF﹣PE|的最大值为．【变式1-4】结论：如图，抛物线y＝ax2﹣bx﹣4与x轴交于，A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA+MC 的最小值为．【典例2】模型分析问题：点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别为OA，OB上的动点，试确定点M，N 的位置，使△PMN的周长最小．解题思路：一找：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P“，连接P'P“，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，P″四点共线时，△PMN的周长最小．三计算．注：当三个点均为动点时，先假定一个点为定点，再将其特化为“一定两动“问题请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，点M、N分别在BC、CD上，（1）当∠MAN＝∠C时，∠AMN+∠ANM＝°；（2）当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝°．【变式2-2】如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN周长的最小值为．【典例3】模型分析问题：点P，Q是∠AOB内部的两定点，点M，N分别是OA，OB上的动点，试确定点M，N的位置，使四边形PMNQ的周长最小．解题思路：一找：作点P关于OA的对称点P'，点Q关于OB的对称点Q′，连接P′Q′，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，Q′四点共线时，四边形PQNM的周长最小．三计算．请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式3-1】如图，已知正方形ABCD的边长为5，AE＝2DF＝2，点G，H分别在CD，BC 边上，则四边形EFGH周长的最小值为．【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB的中点，若点P，Q分别是边BC，CD上的动点，则四边形AEPQ周长的最小值为．【典例4-1】基本模型问题：如图，点A，B为直线l同侧两定点，M，N为直线l上的动点，且MN的长度为定值，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边．构造▱AMNA′，作点A′关于直线l的对称点A“，连接A “B，交直线l于点N，再确定点M；二证：验证当A“，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例4-2】模型演变问题：如图，直线a∥b，定点A，B分别位于直线a的上方和直线b的下方，M，N分别为直线a，b上的动点，且MN⊥a，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边构造▱AMNA′，连接A'B；二证：验证当A'，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式4-1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AM+CN的最小值为．【变式4-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB方向平移得到△A'B'D'，连接B'C，D'C，求B'C+D'C的最小值．专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（知识解读）【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。

“直线、射线、线段”第三课时教学背景:这节课是“直线、射线、线段”第三课时，对于“两点之间线段最短”这一事实的讲解中发生的一个热烈的争论，从同学们的讨论中发现在理论，现实和情理也是有争议的；同学们对这一事实十分肯定，但从这一案例中也发现学生的思想和价值观的形成过程。

新课标中提倡每个人能在数学中获得发展------知识，思维，情感，价值观。

【案例简述】本节课是在学习直线、射线、线段两课时的基础上进一步探究“两之间线段最短”这一事实。

书128页思考如图 4.2-12，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线。

••A B学生很容易的就画出了线段AB。

为了使这节课能够更加富有情趣，和意义我又设计了以下情景：如果你在上学的路上要路过一块草坪你应该怎么走？学生1：“直接穿过去。

”师：“能否画出你走的路线？”学生1画好之后补充：“两点之间线段最短。

”师：回答的很好！于是我再接着设置了一个情景师：“从她身边跑过一只小狗，从她刚画的路线跑了过去。

”。

（同学们通过思考后）此时几个学生似乎明白了什么，一直再举手。

学生2：“老师！我觉得不应该踩踏草坪，我应该沿着草坪边走。

”学生3：“对的，如果我们为了走近路就去践踏草坪，我们就和狗一样了！”此时一片掌声。

学生4：“我觉得狗都知道两点之间线段最短何况人呢？”学生5：“你那样说不对，人是要有道德的，不能不讲道德践踏草坪”学生6:“老师！您是给我们设定了情景，如果学校着火了，学生的地方是消防车，那我觉得应该从草坪直接穿过去，人的生命最重要，草可以再种而生命不能再生。

”学生又是一片掌声。

学生7：。

此时课堂达到一定高潮！学生都能说出自己的看法。

师：“老师很高兴，你说的太好了，老师给你们一个赞！！”结论：本案例虽然是个比较简单事实的认可过程，但是内初班同学在老师的情景设定，大胆自发表自己的看法和意见，并且在此基础上有所拓展，得到了知识，方法，情感的发展。

一．解答题（共18小题）1．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢试用所学数学知识来说明这个问题．情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：你赞同以上哪种做法你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：作图题；方案型。

分析：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间线段最短；连接AB，使AB两点同在一条直线上，与河流的交点既是最佳位置．解答：解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短；情景二：（需画出图形，并标明P点位置）理由：两点之间的所有连线中，线段最短．赞同情景二中运用知识的做法．点评：此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．2．如图所示，设l=AB+AD+CD，m=BE+CE，n=BC．试比较m，n，l的大小，并说明理由．考点：线段的性质：两点之间线段最短。

分析：此题为数学知识的应用，由图中B到C三条路径，用两点间线段最短定理来解题．解答：解：由题B到C距离，根据两点之间线段最短有：AB+AD+CD＞BE+EC＞BC，即1＞m＞n．点评：此题考查两点之间线段最短．3．如图所示，A，B是两个村庄，若要在河边L上修建一个水泵站往两村输水，问水泵站应修在河边的什么位置，才能使铺设的管道最短，并说明理由．考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：应用题。

分析：根据两点之间，线段最短，要使铺设的管道最短，关键是所铺设的管道在一条直线上即可．解答：解：如下图，过点A，B作线段AB，与直线L的交点P为所求水泵站的点，因为两点之间，线段最短．点评：本题考查两点之间线段最短的应用．4．如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由．考点：线段的性质：两点之间线段最短。

线段的长短比较-重难点题型【例1】（2021•鼓楼区校级模拟）如图，C是线段AB的中点，D是CB上一点，下列说法中错误的是（）A．CD＝AC﹣BD B．CD=12BC C．CD=12AB﹣BD D．CD＝AD﹣BC【变式1-1】（2021秋•荔湾区期末）延长线段AB到C，使BC=12AB，反向延长AC到D，使AD=12AC，若AB＝8cm，则CD＝cm．【变式1-2】（2021春•长兴县月考）如图，在线段AB上有C、D两点，CD长度为1cm，AB长为整数，则以A，B，C，D为端点的所有线段长度和不可能为（）A．16cm B．21cm C．22cm D．31cm【变式1-3】（2021秋•天津期末）如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM＝6cm．求CM和AD的长．【题型2 线段中点的有关计算】【例2】（2021春•松北区期末）如图，点G是AB的中点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，则下列式子不成立的是（）A．MN＝GB B．CN=12(AG−GC)C．GN=12(BG+GC)D．MN=12(AC+GC)【变式2-1】（2021秋•邵阳县期末）如图，点C 、D 是线段AB 上任意两点，点M 是AC 的中点，点N 是DB 的中点，若AB ＝a ，MN ＝b ，则线段CD 的长是（ ）A ．2b ﹣aB ．2（a ﹣b ）C ．a ﹣bD ．12（a +b ）【变式2-2】（2021秋•奉化区校级期末）两根木条，一根长10cm ，另一根长12cm ，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（ ） A ．1cmB ．11cmC ．1cm 或11cmD ．2cm 或11cm【变式2-3】（2021秋•江岸区校级月考）如图，点M 在线段AN 的延长线上，且线段MN ＝20，第一次操作：分别取线段AM 和AN 的中点M 1，N 1；第二次操作：分别取线段AM 1和AN 1的中点M 2，N 2；第三次操作：分别取线段AM 2和AN 2的中点M 3，N 3；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M 1N 1+M 2N 2+…+M 10N 10＝（ ）A ．20（12+122+123+⋯+1210） B ．20+1029 C ．20−10210 D ．20+10210 【题型3 线段n 等分点的有关计算】【例3】（2021春•东平县期末）如图，已知AB 和CD 的公共部分BD =13AB =14CD ，线段AB ，CD 的中点E ，F 之间的距离是10cm ，则AB 的长是 ．【变式3-1】（2021春•奉贤区期末）如图，已知BD ＝16cm ，BD =25AB ，点C 是线段BD 的中点，那么AC ＝ cm ．【变式3-2】（2021秋•宝鸡期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝12cm，M、N两点分别从P、B出发以1cm/s、3cm/s的速度同时向左运动（M在线段AP上，N在线段BP上），运动时间为ts．（1）若M、N运动1s时，且PN＝3AM，求AP的长；（2）若M、N运动到任一时刻时，总有PN＝3AM，AP的长度是否变化？若不变，请求出AP的长；若变化，请说明理由；（3）在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ＝PQ+BQ，求PQ的长．【变式3-3】（2021秋•甘井子区期末）已知，点D是射线AB上的点，线段AB＝4a，BD ＝nAB（0＜n＜1），点C是线段AD的中点．（1）如图1，若点D在线段AB上，当a＝1，n=12时，求线段CD的长；（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，当n=12时，求线段CD的长；（用含a的式子表示）（3）若点D在射线AB上，请直接写出线段CD的长．（用含a和n的式子表示）【题型4 线段的数量关系】【例4】（2021秋•江门期末）如图，点B 在线段AC 上，D 是AC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则BD ＝（ ）A ．12b −12a B ．12a −12bC ．b −12aD ．a −12b【变式4-1】（2021秋•沙湾区期末）如图，已知A ，B ，C ，D 是同一直线上的四点，看图填空：AC ＝ +BC ，BD ＝AD ﹣ ，AC ＜ ．【变式4-2】（2021春•莱阳市期末）线段AB 的长为2cm ，延长AB 到点C ，使AC ＝3AB ，再延长BA 到点D ，使BD ＝2BC ，则线段CD 的长为 cm ．【变式4-3】（2021秋•成都期末）已知点C 在线段AB 上，AC ＝2BC ，点D ，E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧．若AB ＝15，DE ＝6，线段DE 在线段AB 上移动． ①如图1，当E 为BC 中点时，求AD 的长；②点F （异于A ，B ，C 点）在线段AB 上，AF ＝3AD ，CF ＝3，求AD 的长；【题型5 两点之间线段最短】【例5】（2021春•莱州市期末）如图，A ，C 两村相距6km ，B ，D 两村相距5km ．现要建一个自来水厂，使得该厂到四个村的距离之和最小．下列说法正确的是（ ）A ．自来水厂应建在AC 的中点B ．自来水厂应建在BD 的延长线上C ．自来水厂到四个村的距离之和最小为11kmD ．自来水厂到四个村的距离之和可能小于11km【变式5-1】（2021秋•丛台区校级期末）下列生活，生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（）A．①②B．①③C．②④D．③④【变式5-2】（2021秋•兴义市期末）如图，一只蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处，有多条爬行线路，其中沿AC爬行一定是最短路线，其依据的数学道理是．【变式5-3】（2021秋•渠县期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？【题型6 两点间的距离】【例6】（2021秋•罗湖区校级期末）如果在数轴上的A、B两点所表示的有理数分别是x，y，且|x|＝3，|y|＝1，则A，B两点间的距离是（）A．4B．2C．4或2D．以上都不对【变式6-1】（2021秋•奉化区校级期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，点C在线段AB上，且BC＝4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过多少时间线段PQ的长为5厘米．【变式6-2】（2021秋•秦淮区期末）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC=12AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC=12AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．（1）MP＝cm；（2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度．【变式6-3】（2021秋•姜堰区期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts．（1）当t＝1时，求MN的长；（2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．【题型7 简单的线段的长短比较】【例7】（2021秋•攀枝花校级期中）从A地到B地有两条路，第一条从A地直接到B地，第二条从A地经过C，D到B地，两条路相比，第一条的长度第二条的长度（填“＜”“＞”“＝”）【变式7-1】（2021秋•双流区期末）体育课上，小明在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（）A．M B．N C．P D．Q【变式7-2】（2021秋•南海区期末）我们知道，比较两条线段的长短有两种方法：一种是度量法，是用刻度尺量出它们的长度，再进行比较；另一种方法是叠合法，就是把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较．（1）已知线段AB，C是线段AB上一点（如图①）．请你应用叠合法，用尺规作图的方法，比较线段AC与BC的长短，并简单说明理由（要求保留作图痕迹）；（2）如图②，小明用刻度尺量得AC＝4cm，BC＝3cm，若D是AC的中点，E是BC的中点，求DE的长．【变式7-3】（2021秋•宁波期末）已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足a ＜b＜c、abc＜0和a+b+c＝0．那么线段AB与BC的大小关系是（）A．AB＞BC B．AB＝BC C．AB＜BC D．不确定的【题型8 与线段的长短比较有关的应用】【例8】（2021秋•南沙区期末）如图，某工厂有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工15人、20人、45人，且这三个区在一条大道上（A、B、C三点共线），已知AB＝1500m，BC＝1000m，为了方便职工上下班，该工厂打算从以下四处中选一处设置接送车停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．A住宅区B．B住宅区C．C住宅区D．B、C住宅区中间D处【变式8-1】（2021秋•海淀区校级期中）如图，在公路MN两侧分别有A1，A2…A7，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（）①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A．①B．②C．①③D．②③【变式8-2】一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k＝1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼米处．【变式8-3】（2021•烟台）先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形．如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离．如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，A2处最合适，因为如果P不放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到P的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处最佳选择．不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．问题：（1）有n台机床时，P应设在何处？（2）根据（1）的结论，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣617|的最小值．。

v1.0 可编辑可修改一．选择题（共40小题）1．“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（）A．两点确定一条直线B．直线比曲线短C．两点之间直线最短D．两点之间线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：推理填空题。

分析：根据线段的性质解答即可．解答：解：由线段的性质可知：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．故选D．点评：本题考查的是线段的性质，即两点之间线段最短．2．下列生活或生产现象中，可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线D．以上说法都不能用此公理解释考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：常规题型。

分析：根据两点确定一条直线，两点之间线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故本选项正确；C、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；D、因为B选项可以解释，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了线段的性质以及直线的性质，熟记性质公理是解题的关键，是基础题．3．如图所示，由A到B有①②③三条路线，最短路线为③的理由是（）A．因为它直B．两点确定一条直线C．两点间距离定义D．在连接两点线中，线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：综合题。

分析：根据连接两点的所有线中，线段最短解答．解答：解：根据图象，③线路最短，理由是两点之间，线段最短，故选D．点评：此题考查知识点两点之间，线段最短，难度适中．4．修路工程队在修建公路时，有时需要将弯曲的道路改直，这样做能缩短路程的依据是（）A．两点确定一条直线B．两点之间的所有连线中，直线最短C．线段有两个端点D．两点之间的所有连线中，线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。

“两点之间，线段最短”在立体图形中的应用丁万永丁万永 邹平县孙镇中学邹平县孙镇中学 256210 新人教版八年级下册第十八章复习题18中有这么一个问题：中有这么一个问题：已知圆柱的底面半径为6cm ，高为10cm ，蚂蚁从A 点爬到B 点的最短路程是多少厘米（结果保留小数点后1位）？位）？分析：蚂蚁爬过圆柱侧面的一半，将它展开，找到A 、B 、C 、D 对应的位置（如图），所求最短路程就是线段AB 之 长。

长。

解：在R t △ABC 中，∠中，∠C=90C=900，BC 是底面周长的一半，是底面周长的一半，p p 66221=´´=BC ，AC=10cm ∴∴)(3.2122cm AC BC AB »+=答：蚂蚁从答：蚂蚁从A 点爬到B 点的最短距离是21.3cm 21.3cm。

反思：从解题过程中，从解题过程中，我们可以看到解题思路是把立体图形展成平面图形，我们可以看到解题思路是把立体图形展成平面图形，我们可以看到解题思路是把立体图形展成平面图形，然后然后利用平面上“两点之间，线段最短”这一结论找到最短路线，借助勾股定理解决。

下面是我遇到的与上题类似的一道题目：有一圆柱体的底面周长为24cm 24cm，高，高AB 为4cm 4cm，，BC 是直径，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的表面爬行到点C 的最短路程是多少？（保留小数点后一位） C A B D A C 解：解： R t △ABC 中，∠中，∠B=90B=900，BC 是底面周长的一半，是底面周长的一半，BC=12cm BC=12cm，，AB=4cm∴∴)(6.1210422cm BC AB AC »=+=答：最短路程是12.6cm 12.6cm。

后来，在翻看答案时，发现有较大出入，于是我开始仔细的推敲。

终于是功夫不负有心人，我找到了那条真正的最短路线。

即先从点A 竖直向上爬到点B ，再沿直径BC 爬行到C 点，可求得此时路程)(6.11244cm BC AB »+=+p反思：同样的问题，为什么找到的最短路线不是一样的呢?我们可以看到两个圆柱条件是不一样的，形状一个属于“细长型”，一个属于“矮胖型”，所以具体问题要具体分析。

一、概述线段是几何中的基本概念之一，而两点之间的线段最短，也是初中数学中常见的知识点。

在初中阶段学习数学的过程中，学生需要掌握关于线段的相关知识，包括线段的定义、性质、构造、计算等内容。

其中，两点之间线段最短的理论和应用也是数学学习中的重要内容之一。

本文将对两点之间线段最短的相关知识进行系统的介绍和总结，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、线段的基本概念1. 线段的定义线段是指两个点之间的所有点的集合，用AB表示，其中A和B分别为线段的端点，线段的顺序是从A到B。

2. 线段的长度线段的长度是指线段所包含的所有点的集合的长度，通常用|AB|表示，表示线段AB的长度。

3. 线段的性质线段是具有一定长度的，它有起点和终点，有确定的长短，可以测量。

三、两点之间线段最短的概念1. 最短线段的定义在数学中，两点之间线段最短是指在同一平面上，两点之间的线段长度最短的线段。

即使平面上的其他路径连接这两点也是最短路径，这就是两点之间线段最短的概念。

2. 两点之间线段最短的证明我们假设两点A、B之间有一条折线段ACB连接，那么通过三角形两边之和大于第三边的原理，可以证明直线段AB的长度必然小于或等于折线段ACB的长度。

3. 两点之间线段最短的应用两点之间线段最短的概念在数学和实际生活中都有重要的应用，比如在地图制作和路径规划中，需要寻找最短的路径。

在物体移动的最短路径问题中也有涉及。

四、两点之间线段最短的计算1. 直线距离假设两点A(x1, y1)、B(x2, y2)，其中A、B分别表示两个不同的点的坐标，通过直线距离公式计算两点之间的距离d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)，即可得到两点之间的线段最短距离。

2. 弧线距离假设两点A(x1, y1)、B(x2, y2)，在坐标轴上两点之间最短的弧线长度为AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)，也是两点之间线段最短距离。

2024成都中考数学二轮复习微专题利用两点之间线段最短解决最值问题模型一“一线两点”型(一个动点＋两个定点)类型一线段和最小值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．解题思路：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．模型演变问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．解题思路：将两定点同侧转化为异侧问题，同“模型分析”即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′，与直线l交于点P.注：也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l交于点P′.模型应用1.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC＝63，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD＋PE的最小值为________．第1题图S矩形ABCD，2.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是矩形内一动点，满足S△P AB＝13则PA＋PB的最小值为________．第2题图模型迁移3.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象相交于A(3，5)、B(a，－3)两点，与x轴交于点C.第3题图(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P为y轴上的动点，当PB＋PC取最小值时，求△BPC的面积．4.如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．第4题图类型二线段差最大值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．解题思路：根据两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即AB的长，连接AB并延长，与直线l交于点P，点P即为所求．模型演变问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．解题思路：将两定点异侧转化为同侧问题，同“模型分析”即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′并延长与直线l交于点P.模型应用5.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，点P是EF上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．第5题图6.如图，在等边△ABC中，AB＝4，AD是中线，点E是AD的中点，点P是AC上一动点，则BP－EP的最大值为________．第6题图7.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC 边上，且BM＝6，P为对角线BD上一动点，则PM－PN的最大值为________．第7题图模型迁移8.已知抛物线y＝x2－2x－8与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，P 是抛物线对称轴上的一个动点，当|PB－PC|有最大值时，求点P的坐标．模型二“一点两线”型(两个动点＋一个定点)类型一两条线段的和最小值问题模型分析问题：点P是∠AOB的边OB上一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PM ＋MN的值最小．解题思路：要使PM＋MN的值最小，设法将PM、MN转化到同一条直线上，利用垂线段最短即可解决．作点P关于OA的对称点P′，过点P′作OB的垂线，分别与OA，OB交于点M、N.模型应用9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q 分别是AD，AC上的动点，则PC＋PQ的最小值为________．第9题图10.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝120°，点M，N分别为BD，CD上的动点，则CM＋MN的最小值为________．第10题图类型二周长最小值问题模型分析问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN 的周长最小．解题思路：要使△PMN的周长最小，即PM＋MN＋PN的值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可解决．分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″交OA、OB于点M、N.模型应用11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AB上一定点，点E，F分别为边AC，BC上的动点，当△DEF的周长最小时，则∠FDE＝________．第11题图12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上，且AD＝4，点E，F分别为边AC，AB上的动点，则△DEF周长的最小值为________．第12题图模型三“一定长＋两定点”型类型一异侧线段和最小值问题(“造桥”问题)模型分析问题：已知l1∥l2，l1，l2之间距离为d，在l1，l2上分别找M，N两点，使得MN⊥l1，且AM ＋MN＋NB的值最小．解题思路：要求AM＋MN＋NB的最小值，MN为定值，即要求AM＋NB的最小值，通过平移构造平行四边形，将AM、NB转化到同一条直线上．将点A向下平移d个单位到点A′，连接A′B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1于点M.模型应用13.如图，已知直线a∥b，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到直线b的距离为2，PQ＝241.在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，且PA ＋AB＋BQ最小，则PA＋BQ＝________．第13题图类型二同侧线段和最小值问题(平移型问题)模型应用14.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF＝1，则DE＋BF的最小值为________．第14题图15.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，BC＝12，∠ABC＝60°，点E、F是AD边上的动点，且EF＝2，则四边形BEFC周长的最小值为________．第15题图模型迁移16.如图，已知点A(3，1)，B(1，0)，PQ是直线y＝x上的一条动线段，且PQ＝2(点Q在点P的下方)，当AP＋PQ＋QB取得最小值时，求点Q的坐标．第16题图参考答案1.33【解析】如解图，连接DE ，则PD ＋PE ≥DE ，设DE 交AC 于点M ，当点P 与点M 重合时PD ＋PE 取得最小值，且最小值为DE .∵在菱形ABCD 中，AC ＝63，BD ＝6，∴AO ＝33，OD ＝3，AC ⊥BD ，∴AD ＝OA 2＋OD 2＝6，∴AD ＝BD ＝AB ，∴∠BAD ＝60°，∵点E 为AB 的中点，∴DE ⊥AB ，∴DE ＝AD ·sin60°＝3 3.第1题解图2.41【解析】如解图，设△PAB 底边AB 上的高为h ，∵S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，∴12AB ·h ＝13AB ·AD ，∴h ＝2，即h 为定值，在AD 上截取AE ＝2，作EF ∥AB ，交CB 于点F ，故点P 在直线EF 上运动，作点A 关于直线EF 的对称点A ′，连接A ′B ，交直线EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，即为A ′B 的长．由对称得AA ′＝2AE ＝4，∴A ′B ＝AA ′2＋AB 2＝42＋52＝41，即PA ＋PB 的最小值为41.第2题解图3.解：(1)把点A (3，5)代入y ＝m x可得m ＝3×5＝15，∴反比例函数的表达式为y ＝15x，把点B (a ，－3)代入y ＝15x，可得a ＝－5，∴B (－5，－3)．把点A (3，5)，B (－5，－3)代入y ＝kx ＋b k ＋b ＝55k ＋b ＝－3＝1＝2，∴一次函数的表达式为y ＝x ＋2；(2)∵一次函数的表达式为y ＝x ＋2，令y ＝0，则x ＝－2，∴C (－2，0)，如解图，作点C 关于y 轴的对称点C ′，则C ′(2，0)，即CC ′＝4，连接BC ′交y 轴于点P ，此时PC ＋PB 有最小值，最小值为BC ′，设直线BC ′的表达式为y ＝k ′x ＋b ′，5k ′＋b ′＝－3k ′＋b ′＝0，′＝37′＝－67，则BC ′的表达式为y ＝37x －67，∴P (0，－67)，即OP ＝67，此时S △BPC ＝S △BCC ′－S △PCC ′＝12×4×3－12×4×67＝307.第3题解图4.解：当y ＝0时，－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴点A 坐标为(－3，0)，点B 坐标为(1，0)．当x ＝0时，y ＝3，∴点C 坐标为(0，3)．∵△PBC 的周长为PB ＋PC ＋BC ，BC 为定值，∴当PB ＋PC 最小时，△PBC 的周长最小．∵点A ，点B 关于抛物线的对称轴l 对称，∴连接AC ，交l 于点P ，点P 即为所求的点．∵AP ＝BP ，∴PB ＋PC ＋BC ＝AC ＋BC .∵A (－3，0)，B (1，0)，C (0，3)，∴AC ＝32，BC ＝10，∴△PBC 周长的最小值为32＋10.5.3【解析】如解图，延长BA 交EF 于P ′，当点P 位于P ′处时|PA －PB |的值最大，∴|PA －PB |的最大值为AB ＝3.第5题解图6.7【解析】如解图，连接BE 并延长交AC 于点P ′，此时BP －EP 取得最大值为BE ，在等边△ABC 中，AD 是中线，∴BD ＝DC ＝2，∴AD ＝BD ·tan60°＝2×3＝23，∵E 为AD的中点，∴DE ＝12AD ＝3.∴在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝22＋（3）2＝7，∴BP －EP 的最大值为7.第6题解图7.2【解析】如解图，以BD 为对称轴作点N 的对称点N ′，连接MN ′并延长交BD 于点P ，连接NP ，根据轴对称性质可知PN ＝PN ′，∴PM －PN ＝PM －PN ′≤MN ′，当P ，M ，N ′三点共线时，PM －PN 取得最大值，最大值为MN ′的长，∵正方形的边长为8，∴AC ＝2AB ＝82，∵O 为AC 中点，∴AO ＝OC ＝42，∵N 为OA 中点，∴ON ＝22，∴ON ′＝CN ′＝22，∴AN ′＝62，∵BM ＝6，∴CM ＝AB －BM ＝8－6＝2，∴CM BM ＝CN ′AN ′＝13，∵∠MCN ′＝∠BCA ，∴△CMN ′∽△CBA ，∴∠CMN ′＝∠CBA ＝90°，∵∠N ′CM ＝45°，∴△N ′CM 为等腰直角三角形，∴MN ′＝CM ＝2，即PM －PN 的最大值为2.第7题解图8.解：如解图，连接PA ，则PA ＝PB ，当x ＝0时，y ＝x 2－2x －8＝－8，则C (0，－8)，当y ＝0时，x 2－2x －8＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4，则A (－2，0)，B (4，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴|PB －PC |＝|PA －PC |≤AC (当点A 、C 、P 共线时取等号)，延长AC 交直线x ＝1于点P ′，设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，把A (－2，0)，C (0，－8)代入得2m ＋n ＝0＝－8＝－4＝－8，∴直线AC 的解析式为y ＝－4x －8，当x ＝1时，y ＝－4－8＝－12，即P ′(1，－12)，∴当|PB －PC |有最大值时，点P 的坐标为(1，－12)．第8题解图9.245【解析】如解图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC 于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ＝PM，∴PC＋PQ＝PC＋PM＝CM，根据垂线段最短可知，此时PC＋PQ有最小值，即为CM，∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10，∵S△ABC＝12AB·CM＝12AC·BC，∴CM＝AC·BCAB＝6×810＝245.第9题解图10.33【解析】如解图，过点A作CD的垂线，垂足为N，与DB的交点记为M，∵四边形ABCD为菱形，∴点A与点C关于对角线BD对称，∴AM＝CM，∴CM＋MN＝AM＋MN ＝AN，根据垂线段最短可知，此时CM＋MN有最小值，最小值为AN.∵AB＝6，∠A＝120°，∴∠ADC＝60°，AD＝6，∴AN＝AD·sin60°＝33，∴CM＋MN的最小值为3 3.第10题解图11.90°【解析】如解图，作D关于AC的对称点D′，关于BC的对称点D″，连接D′D″交AC于点E，交BC于点F，此时，△DEF的周长最小，最小为D′D″，∵AB＝AC，∠BAC ＝90°，∴∠B＝45°，DD′⊥AC，DD″⊥BC，∴∠BDD′＝45°，∴∠D′DD″＝135°，∴∠D′＋∠D″＝45°，∵ED′＝ED，DF＝D″F，∴∠D′＝∠D′DE，∠D″＝∠D″DF，∴∠D″DF＋∠D′DE＝45°，∴∠FDE＝90°.第11题解图12.4【解析】如解图，作点D关于直线AC的对称点D′，点D关于直线AB的对称点D″，连接D′D″交AC于点E，交AB于点F，此时△DEF的周长最小，最小值为D′D″的长，连接AD′、AD″，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝30°，∵∠DAB＝∠D″AB，∠DAC＝∠D′AC，∴∠D′AD″＝2∠BAC＝60°，∵AD′＝AD，AD″＝AD，∴AD′＝AD″，∴△AD′D″是等边三角形，∴D′D″＝AD′＝AD＝4，∴△DEF的周长的最小值为4.第12题解图13.10【解析】如解图，过点P作PF⊥b交a于点E，交b于点F，在PF上截取PC＝4，连接QC交b于点B，过点B作BA⊥a于点A，此时PA＋AB＋BQ最短．过点Q作QD⊥PF 于点D.在Rt△PQD中，∵∠D＝90°，PQ＝241，PD＝10，∴DQ＝PQ2－PD2＝8，CD ＝PD－PC＝6，∵AB＝PC＝4，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA＝BC，∴PA ＋BQ＝CB＋BQ＝QC＝DQ2＋CD2＝10.第13题解图14.10【解析】如解图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于点F，连接BD，∵DM∥AC，∴∠BDM＝90°，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE＋BF＝FM＋FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE＋FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM＝12＋32＝10，∴DE＋BF的最小值为10.第14题解图15.14＋237【解析】如解图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B′，作点B′关于AD的对称点B″，连接CB″，交AD于点F，在AD上截取EF＝2，连接B′F，四边形EBB′F为平行四边形，则BE＝B′F，B″F＝B′F，此时四边形BEFC的周长为BE＋EF＋FC＋BC＝B″F＋EF＋FC＋BC＝B″C＋EF＋BC，当点C、F、B″三点共线时，四边形BEFC的周长最小．∵AB＝4，BB′＝2，∠ABC＝60°，∴B′B″经过点A.∴AB′＝2 3.∴B′B″＝4 3.∵BC＝12，∴B ′C ＝10.∴B ″C ＝B ′B ″2＋B ′C 2＝237.∴B ″C ＋EF ＋BC ＝14＋237.∴四边形BEFC 周长的最小值为14＋237.第15题解图16.解：如解图，过点A 作直线MN ∥直线y ＝x ，将点A (3，1)沿MN 向下平移2个单位后得到A ′(2，0)，作点B (1，0)关于直线y ＝x 的对称点B ′(0，1)，连接A ′B ′交直线y ＝x 于点Q .∵AA ′＝PQ ＝2，AA ′∥PQ ，∴四边形APQA ′是平行四边形，∴AP ＝A ′Q .∴AP ＋PQ ＋QB ＝A ′Q ＋PQ ＋B ′Q ，且PQ ＝2，∴当A ′Q ＋B ′Q 值最小时，AP ＋PQ ＋QB 值最小，根据两点之间线段最短，即A ′，Q ，B ′三点共线时A ′Q ＋B ′Q 值最小．∵B ′(0，1)，A ′(2，0)，∴直线A ′B ′的解析式y ＝－12x ＋1，＝x＝－12x ＋1，＝23＝23，∴点Q 的坐标为(23，23)．第16题解图。

利用 两点之间线段最短 解决最值问题陈礼弦(贵州省贵安新区普贡中学ꎬ贵州贵安新区５６１１１３)摘㊀要:文章立足于初中数学教学实践ꎬ结合典型实例详细论述了利用 两点之间线段最短 结论解决最值问题的主要思路ꎬ旨在于为初中数学教学提供崭新思路.与此同时ꎬ通过解题活动ꎬ提高学生分析问题和解决问题的能力ꎬ提升其数学核心素养.关键词:初中数学ꎻ核心素养ꎻ线段最短ꎻ最值问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０８－００１３－０３收稿日期:２０２３－１２－１５作者简介:陈礼弦(１９７１.１２ )ꎬ男ꎬ贵州省清镇人ꎬ本科ꎬ高级教师ꎬ从事初中数学解题研究.㊀㊀与线段之和或差有关的几何最值问题是中考热点ꎬ通常以中考压轴题的形式出现ꎬ具有一定的选拔性功能ꎬ对学生而言具有一定的难度.这类问题是教学的难点ꎬ是核心素养的重点考查对象[１].在初中数学教学中ꎬ教师该如何引导学生利用 两点之间线段最短 解决最值问题呢?根据笔者多年的教学经验ꎬ只要弄清三个数学模型ꎬ学生在解决这类问题时便会收到事半功倍之效.１模型１ 一线两点 型１.１利用 两点之间线段最短 求线段和的最小值１.１.１点在直线两侧时ꎬ线段和的最小值问题例１㊀如图１ꎬ两定点Ｃ㊁Ｄ位于直线ａ两侧ꎬ在直线ａ上找一点Ｍꎬ使得ＭＣ＋ＭＤ的值最小.图１㊀点在线段两侧示意图㊀㊀㊀图２㊀ＭＣ＋ＭＤ取最小值示意图解析㊀如图２ꎬ连接ＣＤ交直线ａ于点Ｍꎬ点Ｍ就是所找的点.理由是 两点之间线段最短 .１.１.２点在直线同侧时ꎬ线段和的最小值问题例２㊀如图３ꎬ两定点Ｃ㊁Ｄ位于直线ａ的同侧ꎬ在直线ａ上找一点Ｍꎬ使得ＭＣ＋ＭＤ的值最小.图３㊀点在直线同侧示意图㊀㊀图４㊀ＭＣ＋ＭＤ取最小值示意图解析㊀如图４ꎬ作点Ｄ关于直线ａ的对称点Ｄᶄꎬ连接ＣＤᶄ与直线ａ交于点Ｍꎬ点Ｍ就是所找的点.显然ꎬ将直线ａ同侧两个定点转化为两侧两个定点ꎬ便可以利用点在直线两侧时线段和的最小值问题的处理方法解决最值问题.１.１.３模型应用例３㊀如图５ꎬ已知әＤＥＦ中ꎬＤＥ＝ＤＥꎬＧＨ是ＤＥ的垂直平分线ꎬＭ是ＧＨ上一动点ꎬ点Ｎ是ＥＦ的中点ꎬ如果ＤＥ＝１３ꎬәＤＥＦ的周长是３６ꎬ求ＥＭ＋ＭＮ的最小值.解析㊀如图６ꎬ连接ＤＭꎬＭＮ.因为ＤＥ＝ＤＦ＝１３ꎬәＤＥＦ的周长是３６ꎬ所以ＥＦ＝３６－２ˑ１３３１图５㊀例３题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图６㊀例３解析图＝１０.又因为Ｎ是ＥＦ的中点ꎬ所以ＥＮ＝１２ＥＦ＝５.又因为әＤＥＦ是等腰三角形ꎬ点Ｎ是ＥＦ的中点ꎬＤＮʅＥＦꎬ所以ＤＮ＝ＤＥ２－ＥＮ２＝１３２－５２＝１２.又因为ＧＨ是ＤＥ的垂直平分线ꎬ所以ＭＤ＝ＭＥꎬ所以ＥＭ＋ＭＮ＝ＤＭ＋ＭＮȡＤＮꎬ所以ＤＮ的长为ＥＭ＋ＭＮ的最小值ꎬ所以ＥＭ＋ＭＮ的最小值为１２.１.２利用 两点之间线段最短 求线段差最大值１.２.１点在直线同侧时ꎬ线段差的最大值问题例４㊀如图７ꎬ两定点ＭꎬＮ位于直线ｂ的同侧ꎬ在直线ｂ上找一点Ｈꎬ使得｜ＨＭ－ＨＮ｜的值最大.㊀图７㊀点在直线同侧示意图㊀图８㊀｜ＨＭ－ＨＮ｜的最大值示意图解析㊀如图８ꎬ连接ＭＮ并延长与直线ｂ交于点Ｈꎬ点Ｈ就是所找的点.１.２.２点在直线两侧时ꎬ线段差的最大值问题例５㊀如图９ꎬ两定点ＢꎬＣ位于直线ｌ的两侧ꎬ在直线ｎ上找一点Ｍꎬ使得︱ＭＢ－ＭＣ｜的值最大.图９㊀点在直线两侧示意图㊀㊀图１０︱ＭＢ－ＭＣ｜的最大值示意图解析㊀如图１０ꎬ作点Ｃ关于直线ｎ的对称点Ｃᶄꎬ连接ＢＣᶄ并延长与直线ｎ交于点Ｍꎬ点Ｍ就是所找的点.显然ꎬ将已知直线两侧的两个定点转化为同侧的两个定点ꎬ便可以用同侧线段差最大值的方法解决问题.１.２.３模型应用例６㊀如图１１ꎬ在正方形ＤＥＦＧ中ꎬＤＥ＝６ꎬ点Ｉ是对角线ＥＧ上靠近点Ｅ的三等分点ꎬ点Ｈ是ＤＧ边上的一点ꎬ且ＧＨ＝２.Ｊ为ＥＦ上一点ꎬ连接ＪＨ㊁ＪＩ.①在图中画ＪＨ－ＪＩ的最大值时点Ｊ的位置(为区分点Ｊꎬ请用字母Ｊ 标记)ꎻ②求ＪＨ－ＪＩ的最大值.图１１㊀例６题图㊀㊀㊀㊀㊀图１２㊀例６解析图解析㊀如图１２ꎬ连接ＨＩ并延长交ＢＣ于点Ｊᶄꎬ则点Ｊᶄ即为所求作的点.如图１２ꎬ过点Ｉ作ＩＫʅＤＧ于点Ｋꎬ延长ＫＩ交ＥＦ于点Ｌꎬ所以ＪＨ－ＪＩ的最大值即为ＨＩ的长.因为四边形ＤＥＦＧ为正方形ꎬ所以ＤＧ//ＥＦꎬＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＤ＝６ꎬ所以四边形ＤＥＬＫ是矩形ꎬәＧＨＩ为等腰直角三角形ꎬＥＧ＝６２.因为点Ｉ是对角线ＥＧ上的三等分点ꎬ所以ＧＩ＝２３ＥＧ＝４２ꎬ所以ＫＩ＝ＧＫ＝４ꎬ所以ＨＫ＝ＧＫ－ＧＨ＝２ꎬ所以ＨＩ＝ＫＩ２＋ＨＫ２＝４２＋２２＝２５.２模型２ 一定两线 型２.１利用 两点之间线段最短 求周长最小值例７㊀如图１３ꎬ点Ｄ是øＢＯＣ的内部一定点ꎬ在ＯＢ上找一点Ｎꎬ在ＯＣ上找一点Ｍꎬ使得әＤＭＮ的周长最小.解析㊀如图１４ꎬ分别作点Ｄ关于ＯＢ㊁ＯＣ的对称点Ｄᶄ㊁Ｄᵡꎬ连接ＤᶄＤᵡꎬ交ＯＢ㊁ＯＣ于点Ｎ㊁Ｍꎬ点Ｎ㊁Ｍ便是所找的点.２.２利用 两点之间线段最短 求线段和的最小值例８㊀如图１５ꎬ点Ｍ是øＤＥＦ的内部一定点Ｍꎬ在ＥＤ上找一点Ａꎬ在ＥＦ上找一点Ｂꎬ使得ＭＢ＋ＡＢ的值最小.４１图１３㊀例７题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１４㊀例７解析图图１５㊀例８题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１６㊀例８解析图解析㊀如图１６ꎬ作点Ｍ关于ＥＦ的对称点Ｍᶄꎬ过点Ｍᶄ作ＥＤ的垂线ꎬ分别与ＥＤ㊁ＥＦ交于点Ａ㊁Ｂꎬ点Ａ㊁Ｂ是所找的点.２.３模型应用例９㊀如图１７ꎬ在ＲｔәＢＣＤ中ꎬøＢＣＤ＝９０ʎꎬＤＣ＝６ꎬＢＣ＝８ꎬＤＥ是øＢＤＣ的平分线.若Ｍ㊁Ｎ分别是ＤＣ㊁ＤＥ上的动点ꎬ求ＮＣ＋ＮＭ的最小值.图１７㊀例９题图㊀㊀㊀㊀㊀图１８㊀例９解析图解析㊀如图１８ꎬ作点Ｍ关于ＤＥ的对称点Ｍᶄꎬ因为ＤＥ是øＢＤＣ的平分线ꎬ所以Ｍᶄ在ＤＢ上ꎬ连接ＣＭᶄꎬＮＭᶄꎬ所以ＮＭᶄ＝ＮＭꎬ所以ＮＣ＋ＮＭ＝ＮＣ＋ＮＭᶄȡＣＭᶄꎬ所以当ＣＭᶄ垂直ＡＢ时ꎬＣＭᶄ为最小值ꎬ所以ＮＣ＋ＮＭ为最小值ꎬ在ＲｔәＤＣＢꎬøＤＣＢ＝９０ʎꎬＤＣ＝６ꎬＢＣ＝８ꎬ所以ＤＢ＝ＤＣ２＋ＢＣ２＝１０ꎬ因为１２ＤＣ ＢＣ＝１２ＤＢ ＣＭᶄꎬ所以ＣＭᶄ＝２４５ꎬ所以ＮＣ＋ＮＭ的最小值为２４５.３模型３ 一定长ꎬ两定点 型３.１异侧线段和最小值问题例１０㊀如图１９ꎬ已知直线ａʊｂꎬ直线ａ和直线ｂ之间距离为ｃꎬ在直线ａ和直线ｂ上分别找点Ａ㊁Ｂ两点ꎬ使ＡＢʅａꎬ且ＭＡ＋ＡＢ＋ＢＮ的值最小.解析㊀如图２０ꎬ将点Ｍ向下平移ｃ个单位到Ｍᶄꎬ连接ＭᶄＮ交直线ｂ于点Ｂꎬ过点Ｂ作ＢＡʅｌ１于点Ａꎬ点Ａ㊁Ｂ两点是所找的点.图１９㊀例１０题图㊀㊀㊀㊀㊀图２０㊀例１０解析图３.２同侧线段和的最小值问题例１１㊀如图２１ꎬ在直线ａ上找Ａ㊁Ｂ两点(Ａ在Ｂ左侧)ꎬ使得ＡＢ＝ｋꎬ且ＭＡ＋ＡＢ＋ＢＮ的值最小.解析㊀如图２２ꎬ将点Ｍ向右平移ｋ个单位到点Ｍᶄꎬ作点Ｍᶄ关于直线ａ的对称点Ｍᵡꎬ连接ＭᵡＮ交直线ａ于点Ｂꎬ将点Ｂ向左平移ｋ个单位到点ＡꎬＡ㊁Ｂ两点是所找的点.图２１㊀例１１题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２２㊀例１１解析图４结束语在初中数学教学中ꎬ教师引导学生经历并弄清 一线两点 型㊁ 一定两线 型㊁ 一定长ꎬ两定点 型最值问题的求解方法ꎬ不仅能够提高学生分析问题和解决问题的能力ꎬ而且能够使教师的教学效果达到 教是为了不教 之目的[２].参考文献:[１]孔令志ꎬ马学斌.２０２０年中考数学压轴题高频热点问题赏析(４)线段和的最小值问题:两点之间线段最短[Ｊ].中小学数学(初中版)ꎬ２０２０(１２):３７－４０.[２]叶婷婷.初中几何 线段最值 问题的求解策略[Ｊ].启迪与智慧(上)ꎬ２０２０(４):９６.[责任编辑:李㊀璟]５１。

两点之间线段最短教学目标：理解“两点之间，线段最短”的结论，并能用这一结论解释一些简单的问题。

重点：结论的应用过程和拓展问题的探究过程难点：拓展问题的探究过程教学过程设计热身准备：我想试试罗赛蒂那个说“我想试试”的小孩他将登上山巅，那个说“我不成”的小孩，在山下停步不前。

“我想试试”每天办成很多事，“我不成”就真一事无成。

因此你务必说“我想试试”，将“我不成”弃于埃尘。

二、新课教学绿地里本没有路，走的人多了……你能解释一下原因？2、数学活动：在纸上任意点两点，用线联接它们，量一下它们的长短，比较一下谁最短？得出结论2、解释、应用与交流问题1、怎样走最近？如图1，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？问题2、河道长度如图2，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化？图2问题3、九曲桥（2）如图3，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响？与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出其中的道理。

图3你还能举出一些类似的例子吗？小猫看见鱼，小狗看见骨头后会怎样运动？有人过马路到对面的商店去，但没有走人行道，为什么呢？3、拓广探索与交流蚂蚁爬行路线最短问题。

如图4，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？图4利用手中的正方体具体实验一下，告诉大家你的结论。

三、回顾、思考与交流设想自己是一名园林设计师或者是一名管理者，在进行公共绿地设计时对情境一的一些思考与探讨能给你一些什么启发。

四、作业对蚂蚁爬行最短问题的再思考：如果蚂蚁在长方体的一个顶点上，如果蚂蚁在圆柱上，这时问题发生怎样的变化？问题如何解？请把你对此问题的研究写成数学小作文，注意写出自己的情感体验《关于最短路径思考》已经学过“两点之间，线段最短”这个数学公理了。

这看似简单的八个字蕴涵着许多奥妙，将它扩展、延伸可得到一个最短路径问题、即求连接A、B两点的线段中哪一条最短。

两点之间，线段最短引言在线段几何中，寻找两点之间的最短线段是一项经典的问题。

这个问题在很多领域都有广泛的应用，如计算机图形学、路径规划等。

在本文中，我们将探讨一些常见的解决方法，并比较它们的优劣。

问题定义给定二维平面上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们的目标是找到从A到B 的最短线段。

解决方法方法一：勾股定理最直观的方法是使用勾股定理计算两点之间的距离，然后直接连接这两点。

假设A和B的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么我们可以计算出线段AB的长度d：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)这种方法的优点是简单直接，计算速度快。

然而它的缺点是不能处理复杂的几何形状，如多边形、曲线等。

方法二：分治法分治法是一种常用的解决几何问题的方法。

我们可以将问题分解为更小的子问题，然后递归求解。

具体步骤如下：1.将所有点按照横坐标排序。

2.如果点集的规模较小（小于等于某个阈值），则直接使用方法一计算。

3.将点集分为两个较小的子集。

4.对每个子集递归应用分治法，分别计算出最短线段。

5.计算出横跨两个子集的最短线段。

6.返回最短线段。

使用分治法的优点是可以处理复杂的几何形状，它的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是点集的大小。

方法三：动态规划动态规划是一种解决最优化问题的常用方法。

我们可以使用动态规划来寻找两点之间的最短线段。

具体步骤如下：1.创建一个二维数组dist，dist[i][j]表示从点i到点j的最短线段的长度。

2.初始化dist[i][j]为正无穷大（表示无法连接）。

3.对于每个点i，遍历所有点j（j != i）：–如果点i和点j之间的距离小于dist[i][j]，则更新dist[i][j]的值。

–如果点i和点j可以连接（即线段不与其他线段相交），则将dist[i][j]的值更新为点i和点j之间的距离。

4.返回dist[0][1]，即起点到终点的最短线段的长度。

最短路线一在学习几何知识时，同学们已经学过如下两个结论：（1）连结两点的所有线中，直线段是最短的；（2）直线外的一个定点与直线上的各点的连线以垂线为最短．利用这两个结论可以解决许多实际生活中求最短路线的问题．例1甲、乙两村之间隔一条河，如图13—1．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？分析：设甲、乙两村分别用点A、B表示．要在河上架桥，关键是要选取一个最佳建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短．即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长（相当于河的宽度），再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最短折线的问题．直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了．所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到C 点，如图13—2，找出C到B的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题．解：如图13—2．过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长等于河宽．连BC交与乙村的河岸于F点，作EF垂直于河的另一岸于E点，则EF为架桥的位置，也就是AE+EF+FB 是两村的最短路线．例2如图13—3，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？分析：车站建在哪里，使得A到车站与B到车站的距离之和最小，仍然是求最短折线问题，同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了．采用轴对称（直线对称）作法．解：作点B关于公路（将公路看作是一条直线）的对称点B′，如图13—4，即过B点作公路（直线）的垂线交直线于O，并延长BO到B′，使BO=OB′．连结AB′交直线于点E，连BE，则车站应建在E处，并且折线AEB为最短．为什么这条折线是最短的呢？分两步说明：（1）因为B与B′关于直线对称，根据对称点的性质知，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，有BE=B′E，所以AB′=AE+EB′=AE+EB（2）设E′是直线上不同于E的任意一点，如图13—5，连结AE′、E′B、E′B′，可得AE′+E′B=AE′+E′B′＞AB′（两点之间线段最短）上式说明，如果在E点以外的任意一点建车站，所行的路程都大于折线AEB．所以折线AEB最短．例3如图13—6，河流EF与公路FD所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角EFD内．现在要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短．分析：工人们从A出发先到河边码头，再到公路的仓库，然后回到A处，恰好走一个三角形，现在要求三角形的另外两个顶点分别建在河岸与公路的什么位置能使这个三角形的三边之和为最小，利用轴对称原理作图．解：过A分别作河岸、公路的对称点A′、A″，如图13—7，连结A′A″，交河岸于M，交公路于N，则三角形AMN各边之和等于直线A′A″的长度，所以仓库建在N处，码头建在M处，使工人们所行的路程最短．例4如图13—8是一个长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米的长方体纸盒．一只蚂蚁要从A点出发在纸盒表面上爬到B点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程．分析：因为是在长方体的表面爬行，求的是立体图形上的最短路线问题，往往可以转化为平面上的最短路线问题．将蚂蚁爬行经过的两个面展开在同一平面上，如图13—9，在展开图中，AB间的最短路线是连结这两点的直线段，但要注意，蚂蚁可沿几条路线到达B点，需对它们进行比较．解：蚂蚁从A点出发，到B点，有三条路线可以选择：（1）从A点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个平面展开在同一平面上，这时A、B间的最短路线就是连线AB，如图13—9（1），AB是直角三角形ABC 的斜边，根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=（1+2）2+42=25（2）从A点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图13—9（2），同理AB2=22+（1+4）2=29（3）从A点出发，经过上底面，然后进入右侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图13—9（3），得AB2=（2+4）2+12=37比较这三条路线，25最小，所以蚂蚁按图13—9（1）爬行的路线最短，最短路程为5分米．例5如图13—10，在圆柱形的木桶外，有一个小甲虫要从桶外的A点爬到桶内的B点．已知A点到桶口C点的距离为14厘米，B点到桶口D点的距离是10厘米，而C、D两点之间的弧长是7厘米．如果小甲虫爬行的是最短路线，应该怎么走？路程是多少？分析：先设想将木桶的圆柱展开成矩形平面，如图13—11，由于B点在桶内，不便于作图，利用轴对称原理，作点B关于直线CD的对称点B′，这就可以用B′代替B，从而找出最短路线．解：如图13—11，将圆柱体侧面展成平面图形．作点B关于直线CD的对称点B′，连结AB′，AB′是A、B′两点间的最短距离，与桶口边交于O点，则OB′=OB，AB′=AO+OB，那么A、B之间的最短距离就是AO+OB，所以小甲虫在桶外爬到O点后，再向桶内的B点爬去，这就是小甲虫爬行的最短路线．延长AC到E，使CE＝B′D，因为△AEB′是直角三角形，AB′是斜边，EB′=CD=7厘米，AE=14+10=24（厘米），根据勾股定理：AB′2=AE2+EB′2=242+72=625所以AB′=25（厘米）即小甲虫爬行的最短路程是25厘米．。

一．选择题（共40小题）1．“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（）A．两点确定一条直线B．直线比曲线短C．两点之间直线最短D．两点之间线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：推理填空题。

分析：根据线段的性质解答即可．解答：解：由线段的性质可知：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．故选D．点评：本题考查的是线段的性质，即两点之间线段最短．2．下列生活或生产现象中，可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线D．以上说法都不能用此公理解释考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：常规题型。

分析：根据两点确定一条直线，两点之间线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故本选项正确；C、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；D、因为B选项可以解释，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了线段的性质以及直线的性质，熟记性质公理是解题的关键，是基础题．3．如图所示，由A到B有①②③三条路线，最短路线为③的理由是（）A．因为它直B．两点确定一条直线C．两点间距离定义D．在连接两点线中，线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。

专题：综合题。

分析：根据连接两点的所有线中，线段最短解答．解答：解：根据图象，③线路最短，理由是两点之间，线段最短，故选D．点评：此题考查知识点两点之间，线段最短，难度适中．4．修路工程队在修建公路时，有时需要将弯曲的道路改直，这样做能缩短路程的依据是（）A．两点确定一条直线B．两点之间的所有连线中，直线最短C．线段有两个端点D．两点之间的所有连线中，线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。

七年级数学上册 4.2《两点之间线段最短》课案（教师用）新人教版4．2两点之间线段最短(新授课)【理论支持】1．国家数学课程标准指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展．它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展．2．初一学生从基础知识，基本技能和思维水平以及学习方式等方面有一个逐步适应和提高的过程．因此，在进行教学设计时，必须时时考虑到新初一学生的学习实际，既不能盲目拔高，也不能搞简单化的结论式教学．在新课改的过程中，教学设计应立足于学生实际，从大处着眼，深入挖掘教材内容的素质教育功能．3．数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程．数学教学应从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习．4．本课题通过对内容的挖掘与整理，采用“问题情境──建立模型──解释、应用与拓展”的模式展开教学，让学生经历“从生活中发现数学──在教室里学习数学──到生活中运用数学” 这样一个过程，从而更好地理解数学知识的意义，发展应用数学知识的意识与能力，进一步增强学好数学的愿望和信心．学生通过本节从具体情境发现并提出数学问题的学习活动，进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值．在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题．体会在解决问题中与他人合作的重要性．体会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识．【教学目标】【教学重难点】重点：结论的应用过程和拓展问题的探究过程难点：拓展问题的探究过程关键：建立数学模型【课时安排】一课时【教学设计】课前延伸【预习思考】公安部门准备抓捕一名犯罪嫌疑人．如图，犯罪嫌疑人在B处活动，你作为一名公安干警在A处．听到抓捕指令后，你如何采取行动？〖设计意图〗通过预习思考让学生初步形成两点之间线段最短的印象．课内探究一、情境创设学生朗读——我想试试我想试试罗赛蒂那个说“我想试试”的小孩他将登上山巅；那个说“我不成”的小孩，在山下停步不前．“我想试试”每天办成很多事，“我不成”就真一事无成．因此你务必说“我想试试”，将“我不成”弃于埃尘．〖设计意图〗以这首小诗，激发学生大胆参与课堂探究的勇气．二、探索新知环节1 绿地问题出示幻灯片：提示语：绿地里本没有路，走的人多了便成了路……在这里，人们大路不走走小路，原因何在？教师提出问题，学生独立思考，小组交流后回答．〖设计意图〗以实际问题情境引入，激发学生学习兴趣，引入本节课题．环节2 数学活动：怎样走最近？如图，从A地到B地有几条线路？如果再修一条从A地到B地的路，你认为怎样修才能使所修道路最短？A出示投影：使学生通过直观的观察得到信息．注：教师布置数学活动．学生分组进行活动，思考、讨论，发表看法，给出探究结论．〖设计意图〗动手具体做一做，在活动中领悟数学．出示课题：两点之间，线段最短．(板书课题)两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．通过观察实验得出两点之间，线段最短的性质．两点间的距离是一个数量概念，是指边接两点的线的长度，而不是线段本身，要把连接两点的线段与两点的距离区别开来．教师注意对学生几何语言的训练(强调“连接AB”)．〖设计意图〗在解释、应用与交流中理解数学内容．环节3 河道问题如图，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化？学生独立思考、小组讨论、组间交流，发表看法，相互评价．〖设计意图〗设置三个问题，通过解释、应用与交流活动，强化理解所学新知．理解的四个层次：1、可以结合自己的体验或用自己的话阐述复杂概念；2、进行联想、比喻及推论；3、在新环境中能解决问题；4、做出创新．环节4 九曲桥问题如图，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响？与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出其中的道理．湖水九曲桥湖水〖设计意图〗通过实例，加深对结论的理解．环节5 你还能举出一些类似的例子吗？如：小猫看见鱼，小狗看见骨头后会怎样运动？有人过马路到对面的商店去，但没有走人行道，为什么呢？等等．〖设计意图〗举例也是考察学生对事物真正理解与否的方式之一．三、运用新知蚂蚁爬行路线最短问题如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？利用手中的正方体具体实验一下，告诉大家你的结论．学生独立思考，小组实验、探究与交流，组间相互评价．〖设计意图〗利用本题渗透转化思想，通过动手实验，自主探究，合作交流，发表观点，引发思考．引导探究继续深入，引发对问题的深层思考，达到理解的第三层次．力争达到第四层次，学生作出创新．道理暂时说不出不要紧．关键是在活动中获得的副产品．四、回顾、思考与交流设想自己是一名园林设计师或者是一名管理者，在进行公共绿地设计时，对环节1的一些思考与探讨，能给你一些什么启发？学习思考，组内交流，组间交流．〖设计意图〗道理暂时说不出不要紧．关键是在活动中获得的副产品．五、作业：对蚂蚁爬行最短问题的再思考：如果蚂蚁在长方体的一个顶点上，如果蚂蚁在圆柱上，这时问题发生怎样的变化？问题如何解？请把你对此问题的研究写成数学小作文，注意写出自己的情感体验．〖设计意图〗学习、反思，提高、升华．课后提升1．如图，在三角形ABC中，AC＋BC与AB哪个大？理由是什么？2．判断：A、B两点的距离是线段AB．( )3．已知线段AB＝2，在延长线段AB到点C，使AC＝6，求AB的中点与AC的中点的距离．4．在一个正方体盒子上，一只蚂蚁在A处，发现C处有一只虫子，立即前往捕捉，你知道它怎样爬行最省时间吗？请在图中画出它的爬行路线．如果这只虫子正沿着CG爬行，蚂蚁要在CG的中点M处将其捕获，蚂蚁应怎么走？请画出它的最短爬行路线．〖设计意图〗教师对课后练习题进行批改检查，然后将具体情况记录在教案上，主要包括整体完成情况、学生答题存在的主要问题及形成原因，同时设计适量的有针对性的变式训练及时纠偏．板书设计两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．环节1 绿地问题环节2 怎样走最近？环节3 河道问题环节4 九曲桥问题环节5 举例蚂蚁爬行路线最短问题。

专题4.2 比较线段的长短【十大题型】【北师大版】【题型1 线段中点的有关计算】 (1)【题型2 线段的和差】 (2)【题型3 线段的数量关系】 (3)【题型4 简单线段的长短比较】 (3)【题型5 两点间的距离】 (4)【题型6 线段n等分点的有关计算】 (5)【题型8 线段中的动点问题】 (7)【题型9 尺规作线段】 (8)【题型10 线段中的对折问题】 (9)【知识点比较线段的长短】（1）两点的所有连线中，线段最短。

简称：两点之间，线段最短。

连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。

（2）线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.【题型1线段中点的有关计算】【例1】（2023春·山东烟台·七年级统考期中）已知线段AB=12cm，点C为直线AB上一点，且AC=4cm，点D为线段BC的中点，则线段AD的长为（ ）A．4cm B．8cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm【变式1-1】（2023秋·福建三明·七年级统考期中）如图，C是AB的中点，点D，E分别在AC，BC上，且AD+BE=8，AE+BD=12，则CB的长为．【变式1-2】（2023秋·山东德州·七年级统考期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC=12cm，CB=8 cm，D、E分别是AC、AB的中点．求：(1)求AD的长度；(2)求DE 的长度；(3)若M 在直线AB 上，且MB =6cm ，求AM 的长度．【变式1-3】（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M 在线段AN 的延长线上，且线段MN =10，第一次操作：分别取线段AM 和AN 的中点M 1、N 1；第二次操作：分别取线段AM 1和AN 1的中点M 2，N 2；第三次操作：分别取线段AM 2和AN 2的中点M 3，N 3；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M 1N 1+M 2N 2+⋅⋅⋅+M 2023N 2023=（ ）A ．10+522022B ．10+522023C ．10−522022D ．10−522023【题型2 线段的和差】【例2】（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C 、D 是线段AB 上两点，M 、N 分别是线段AD 、BC 的中点，下列结论：①若AD =BM ，则AB =3BD ；②若AC =BD ，则AM =BN ；③AC−BD =2(MC−DN )；④2MN =AB−CN ．其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．③④C ．①②④D ．①②③④【变式2-1】（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）两根木条，一根长10cm ，另一根长8cm ，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为 cm ．【变式2-2】（2023秋·江苏南京·七年级校考期末）如图，C 为线段AD 上一点，点B 为CD 的中点，且AD =26cm ，BC =6cm ．(1)图中共有 条线段？(2)求AC 的长．(3)若点E 在直线AD 上，且EA =8cm ，求BE 的长．【变式2-3】（2023秋·安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期末）已知B 、C 在线段AD 上．(1)如图，图中共有 条线段，AD ＝ ＋ － ；(2)如图，若AB:BD =2:5．AC:CD =4:1．且BC =18，求AD 的长度．【题型3线段的数量关系】AB，点N是直线AB 【例3】（2023秋·江西九江·七年级统考期末）已知点M是线段AB上一点，若AM=14=．上的一动点，且AN−BN=MN，则MNAB【变式3-1】（2023秋·江苏·七年级期末）如图，C、D是线段AB上两点，且CD=3AD−2BC，则AC与BD 的关系是（）A．AC=BD B．2AC=BD C．3AC=2BD D．4AC=3BD【变式3-2】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，已知点C为线段AB的中点，D为CB上一点，下列关系表示错误的是（ ）A．CD＝AC﹣DB B．BD+AC＝2BC﹣CDC．2CD＝2AD﹣AB D．AB﹣CD＝AC﹣BD【变式3-3】（2023春·浙江·七年级期中）如图1，AB是一条拉直的细绳，C,D两点在AB上，且AC:BC=2:3，AD:BD=3:7．则（1）CD:AD=；（2）若将点C固定，将AC折向BC，使得AC落在BC上（如图2），再从点D处剪断，使细绳分成三段，分成的三段细绳的长度由小到大之比为．【题型4简单线段的长短比较】【例4】（2023春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走：①为折线段ABCDEFG，②为折线段AIG，③为折线段AJHG．三条路的长依次为a、b、c，则（ ）A．a＞b＞c B．a＝b＞c C．a＞c＞b D．a＝b＜c【变式4-1】（2023秋·七年级课时练习）如图，已知三角形ABC，下列比较线段AC和AB长短的方法中，可行的有（）①用直尺度量出AB和AC的长度；②用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位置；③沿点A折叠，使AB和AC重合，观察点B的位置．A．0个B．1个C．2个D．3个【变式4-2】（2023秋·云南楚雄·七年级统考期末）如图，B，C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点，(1)图中以C为端点的线段共有______条.(2)若AB=CD，①比较线段的长短：AC______BD；AN______DM（填：“>”、“=”或“<”）②若AD=21，AB:BC=2:3，求MN的长度.【变式4-3】（2023秋·浙江杭州·七年级统考期末）如图，已知直线AB，射线AC，线段BC．(1)用无刻度的直尺和圆规作图：延长BC到点D，使CD=AC，连接AD．(2)比较AB+AD与BC+AC的大小，并说明理由．【题型5 两点间的距离】【例5】（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，在线段MN上有P、Q两点，PQ长度为2cm，MN长为整数，则以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为（）A．19cm B．20cm C．21cm D．22cm【变式5-1】（2023秋·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有A,B,C,D不重合的四个点，AB=8,BC=3,CD=5，则AD的长为．【变式5-2】（2023秋·福建福州·七年级统考期末）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AB=2a,AC=a+6,BC=3a+1，则这三点的位置关系是（）A．点A在B、C两点之间B．点B在A、C两点之间C．点C在A、B两点之间D．无法确定【变式5-3】（2023秋·辽宁大连·七年级统考期末）如图，A、B、C、D、E是直线l上的点，线段AB=12 cm，点D、E分别是线段AC、BC的中点．(1)求线段DE的长；(2)若BC=4cm，点O在直线AB上，AO=5cm，求线段OE的长；(3)若BC=m cm，点O在直线AB上，AO=n cm，请直接写出线段OE的长 cm．（用含m、n的式子表示）【题型6线段n等分点的有关计算】【例6】（2023·全国·七年级假期作业）如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，点P是AB的四等分点，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中的一段长为30cm，则这条绳子的原长为cm．【变式6-1】（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）如图B、C两点把线段AD分成2:3:4的三部分，M是AD 的中点，CD=8，求MC的长．【变式6-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，线段AB和线段CD的公共部分是线段BD，点E、F分别是AB、CD的中点，若BF:DE=5:2，BC−EF=3，AE=6，则AC的长为．【变式6-3】（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=6，AC=2，求MN的长．(1)根据题意，小明求得MN =______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN 的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB =a ，C 是线段AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN =______．②如图2，M ，N 分别是AC ，BC 的三等分点，即AM =13AC ，BN =13BC ，求MN 的长．③若M ，N 分别是AC ，BC 的n (n ≥2)等分点，即AM =1n AC ，BN =1n BC ，则MN =______．【题型7 与线段的长短比较有关的应用】【例7】（2023春·北京海淀·七年级首都师范大学附属中学校考开学考试）如图，在公路MN 两侧分别有A 1，A 2，⋯，A 7七个工厂，各工厂与公路MN （图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN 上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”，由以上几个描述①车站的位置设在C 点好于B 点；②车站的位置在B 点与C 点之间任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长短无关．其中，正确的是 ．【变式7-1】（2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考开学考试）如图所示，某公司有三个住宅区，A 、B 、C 各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A ，B ，C 三点共线），已知AB ＝100米，BC ＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）A．点A B．点B C．A，B之间D．B，C之间【变式7-2】（2023春·浙江宁波·七年级校考开学考试）一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k=1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼米处．【变式7-3】（2023秋·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）在一条直线上有依次排列的n(n>1)台机床在工作，我们需要设置零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小．要解决这个问题，先要分析比较简单的情形：如果直线上只有2台机床A1，A2时，很明显供应站P设在A1和A2之间的任何地方都行，距离之和等于A1到A2的距离；如果直线上有3台机床A1、A2、A3，供应站P应设在中间一台机床A2处最合适，距离之和恰好为A1到A3的距离；如果在直线上4台机床，供应站P应设在第2台与第3台之间的任何地方；如果直线上有5台机床，供应站P应设在第3台的地方；(1)阅读递推：如果在直线上有7台机床，供应站P应设在（）处．A．第3台B．第3台和第4台之间C．第4台D．第4台和第5台之间(2)问题解决：在同一条直线上，如果有n台机床，供应站P应设在什么位置？(3)问题转化：在数轴上找一点P，其表示的有理数为x．当x=_______时，代数式|x−1|+|x−2|+|x−3| +⋯+|x−99|取到最小值，此时最小值为___________．【题型8线段中的动点问题】【例8】（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=14厘米，点C在线段AB上，且BC=3厘米．点P、点Q是直线AB上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过秒时线段PQ的长为6厘米．【变式8-1】（2023秋·湖南益阳·七年级校联考期末）已知点M是线段AB上一点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，C，D两点分别从点M，B出发，以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动．(1)若AB =10cm ，当点C ，D 运动了2s 时，点C ，D 的位置如图①所示，求AC +MD 的值；(2)若点C ，D 在没有运动到点A 和点M 时，总有MD =3AC ，试说明此时有AM =14AB ；(3)如图②，若AM =14AB ，点N 是直线AB 上一点，且AN−BN =MN ，求MN AB 的值．【变式8-2】（2023·全国·七年级专题练习）如图，P 是线段AB 上一点，AB =18cm ，C ，D 两动点分别从点P ，B 同时出发沿射线BA 向左运动，到达点A 处即停止运动．(1)若点C ，D 的速度分别是1cm/s ，2cm/s ．①当动点C ，D 运动了2s ，且点D 仍在线段PB 上时，AC +PD =_________cm ；②若点C 到达AP 中点时，点D 也刚好到达BP 的中点，则AP:PB =_________；(2)若动点C ，D 的速度分别是1cm/s ，3cm/s ，点C ，D 在运动时，总有PD =3AC ，求AP 的长【变式8-3】（2023秋·陕西西安·七年级统考期末）如图，已知线段AB =24，动点P 从A 出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB 方向运动，运动时间为t 秒（t >0），点M 为AP 的中点．（1）当t =3时，求线段MB 的长度；（2）当t 为何值时，点P 恰好是MB 的中点？（3）当t 为何值时，AM =2PB ？【题型9 尺规作线段】【例9】（2023秋·福建厦门·七年级统考期末）如图，点C 在线段AB 上，点M 是线段AB 的中点，AB =6．(1)尺规作图：延长线段AB，并在延长线上作一点D，使得BD+BC=AB；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若CM=2AC，求线段AD的长度．【变式9-1】（2023春·福建·七年级校考开学考试）如图，已知线段a，b，利用尺规作线段AB，使得AB=2a−b．（不写作法，保留作图痕迹）【变式9-2】（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）如图,B,C两点在射线AM上，AC>BC，用圆规在射线BM上作一点D,使得BD=AC−BC．(不写作法，保留作图痕迹)【变式9-3】（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）已知线段a，b，c，求作：线段m，使m=a+c−b．【题型10线段中的对折问题】【例10】（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）如图，将一段长为30厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠.若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A′，B′处.(1)如图2，若A′，B′恰好重合于点O处，展开拉直后如图3，求MN的长；(2)若点A′落在B′的左侧，且A′B′=10cm，画出展开拉直后的图形，并求MN的长度；(3)若点A′落在B′的右侧，且A′B′=10cm，画出展开拉直后的图形，并求MN的长度.【变式10-1】（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，有公共端点C的两条线段AC，BC组成一条折线A−C−B，若该折线A−C−B上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”．（1）若AC=BC，点D与重合（填A、B、C）；（2）若E为线段AC中点，EC=5cm，CD=2cm，则BC的长为．【变式10-2】（2023秋·河北保定·七年级统考期末）如图1，线段OP表示一条拉直的绳子，A，B两点在线段OP上，OP=a，OA:AP=3:7，B为OA的中点．固定点A，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上（如图2所示）．（1）若a=10．①绳子折叠前，AB的长为；②绳子折叠后，OP的长为；（2）若从如图2所示的点B及与点B重叠处一起剪开，使得绳子分成三段，三段绳子由小到大的长度比为．【变式10-3】（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）学校举行叠被子比赛，最后成品要求如图1所示．图2是被子的平面图（长方形ABCD），被子的长度AD=200cm，宽度AB=150cm，具体折法如下：首先把被子平铺分成五份（图2），将长方形NBCK向上翻折作为中间层，再将长方形AEHD向下翻折作为上层，折MN），接着按照如图3方式折叠，最终折成如图1叠时需要考虑被子的厚度和平整性（AE=FM=NB+12所示．折完后被子高度是24cm，假设被子的厚度是均匀的，且不考虑折叠中间缝隙，则未折叠时被子的厚度为cm，图3中长方形FMQP的面积为cm2．。