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2.2.1 等差数列第2课时 等差数列的性质[教材·要点]等差数列的常用性质(1)对称性：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…；(2)m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q ；(3)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 也成等差数列；(4)a n ＝a m ＋(n －m )d ；(5)若数列{a n }成等差数列，则a n ＝pn ＋q (p ，q ∈R )；(6)若数列{a n }成等差数列，则数列{λa n ＋b }(λ，b 为常数)仍为等差数列；(7){a n }和{b n }均为等差数列，则{a n ±b n }也是等差数列；(8){a n }的公差为d ，若d ＞0⇔{a n }为递增数列；d ＜0⇔{a n }为递减数列；d ＝0⇔{a n }为常数列．[问题·引入]1．如果等差数列{a n }中，m ＋n ＝2w (m ，n ，w ∈N ＋)，那么a m ＋a n ＝2a w 是否成立？[提示] 如果等差数列的项的序号成等差数列，那么对应的项也成等差数列，事实上，若m ＋n ＝2w (m ，n ，w ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝[a 1＋(m －1)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]＝2[a 1＋12(m ＋n －2)d ] ＝2[a 1＋(w －1)d ]＝2a w .2．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，能利用等差数列的性质求a 3＋a 9的值吗？[提示] ∵a 3＋a 9＝a 2＋a 10＝2a 6.∴a 6＝13，∴a 3＋a 9＝2×13＝23. 探究一 等差数列性质的应用例1 (1)已知在等差数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x －1＝0的两根，求a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11的值．(2)已知{a n }为等差数列，a 10＝5，a 30＝20，求a 50.解 (1)由已知条件得a 3＋a 15＝6＝2a 9，解得a 9＝3.因此a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝5a 9＝15.(2)法一：∵{a n }为等差数列，∴a 10，a 20，a 30，a 40，a 50也成等差数列，设其公差为d ，∴a 30＝a 10＋2d ，∴d ＝152，a 50＝a 30＋2d ＝35. 法二：∵a 30为a 10和a 50的等差中项，∴2a 30＝a 10＋a 50，∴a 50＝35.法三：设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝5，a 30＝a 1＋29d ＝20， 解得⎩⎨⎧ a 1＝－74，d ＝34.∴a 50＝a 1＋49d ＝35.规律总结 等差数列的“子数列”的性质若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则(1){a n }去掉前几项后余下的项仍组成公差为d 的等差数列；(2)奇数项数列{a 2n －1}是公差为2d 的等差数列；偶数项数列{a 2n }是公差为2d 的等差数列；(3)若{k n }成等差数列，则{ak n }也是等差数列．变式训练1．(1)设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，求a 37＋b 37；(2)在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求公差d .解 (1)设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100，c 2＝a 2＋b 2＝100，∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0.∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100.(2)∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，∴a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝17.又a 2·a 5＝52，∴a 2＝13，a 5＝4或a 2＝4，a 5＝13.当a 2＝13，a 5＝4时，d ＝－3；当a 2＝4，a 5＝13时，d ＝3.探究二 等差数列的运算例2 (1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解 (1)法一：设等差数列的等差中项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意，3a ＝6且a (a －d )(a ＋d )＝－24，所以a ＝2，代入a (a －d )(a ＋d )＝－24，化简得d 2＝16，于是d ＝±4，故这三个数为－2,2,6或6,2，－2.法二：设首项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a ，a ＋d ，a ＋2d ，依题意，3a ＋3d ＝6，且a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24，所以a ＝2－d ，代入a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24，得2(2－d )(2＋d )＝－24，整理得4－d 2＝－12，即d 2＝16，于是d ＝±4，所以，这三个数为－2,2,6或6,2，－2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )，依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8， 得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8，即1－94d 2＝－8， 化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2，故所求的四个数为－2,0,2,4.规律总结利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．变式训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这5个数成等差数列，则插入的三个数为 ________．【解析】法一：设a 1＝－1，a 5＝7.∴7＝－1＋(5－1)d ⇒d ＝2.∴所求的数列为－1,1,3,5,7.法二：∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋72＝3. 又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.【答案】1,3,53．已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数． 解 设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d . 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧ (a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859. ∴⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859.∴a ＝1，d ＝±23. 所以当d ＝23时，这5个数分别是 －13，13，1，53，73. 当d ＝－23时，这5个数分别是 73，53，1，13，－13. 探究三 等差数列的实际应用 例3 某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解 由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，每年获利构成等差数列{a n }，且当a n <0时，该公司会出现亏损．设从第1年起，第n 年的利润为a n ，则a 1＝200，a n －a n －1＝－20，n ≥2，n ∈N ＋.所以每年的利润a n 可构成一个等差数列{a n }，且公差d ＝－20.从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n .若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．规律总结求解与等差数列有关的应用性问题，最关键的是从实际问题中提炼出适合实际问题的等差数列模型，将实际问题转化为一个等差数列的问题进行求解．变式训练4．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．试问在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大的利润？(设最低档次为第一档次)解 设在相同的时间内，从低到高每档产品生产件数分别为a 1，a 2，…，a 10.对应每档产品的利润分别为b 1，b 2，…，b 10.则{a n }，{b n }均为等差数列且a 1＝60，d ＝－3，b 1＝8，d ′＝2.所以a n ＝60－3(n －1)＝－3n ＋63，b n ＝8＋2(n －1)＝2n ＋6.所以利润f (n )＝a n b n ＝(－3n ＋63)(2n ＋6)＝－6n 2＋108n ＋378＝－6(n －9)2＋864.∵n ＝1,2， (10)∴当n ＝9时，f (n )max ＝f (9)＝864.故在相同时间内，生产第9档次的产品可以获得最大利润.[随堂体验落实]1．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )A ．3B ．±3C ．－33D ．－3【解析】由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan2a 7＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.【答案】D2．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升B ．6766升C ．4744升D ．3733升 【解析】设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4， 即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4. 解得⎩⎨⎧ a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766， 故第5节的容积为6766升． 【答案】B3．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．10【解析】由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8) ＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8. 【答案】C4．在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，则a 5＋a 8＝________.【解析】由已知得a 3＋a 10＝3.又数列{a n }为等差数列，∴a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3.【答案】35．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，求a 5＋a 8.解 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋9d ＋a 1＋10d＝4a 1＋22d ＝36，∴2a 1＋11d ＝18，∴a 5＋a 8＝2a 1＋11d ＝18.法二：∵a 2＋a 11＝a 3＋a 10＝a 5＋a 8，∴2(a 5＋a 8)＝36， ∴a 5＋a 8＝18.[感悟高手解题]已知等差数列{a n }的首项a 1＝125，a 10是第一个比1大的项，求此等差数列公差d 的取值范围．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 10＞1，a 9≤1.即⎩⎨⎧ 125＋9d ＞1，125＋8d ≤1.解得⎩⎨⎧ d ＞875，d ≤325.，∴875＜d ≤325. 故公差d 的取值范围为⎝⎛⎦⎤875，325.[点评] 将题设误解为a 10＞1，而忽视了“a 10是第一个比1大的项”，即“a 9≤1”，从而造成条件遗漏．这是容易出错的地方．。
2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1.知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列, 学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具, 探究等差数列的性质, 同时进一步培养学生归纳, 总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、 新知探究（一） 等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义: 由三个数 组成的等差数列是最简单的等差数列, 此时 叫做 和 的等差中项.同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二） 等差数列的性质列举几个数列, 观察数列的特点, 研究公差与数列单调性的关系.问题1: 数列1: 1,3,5,7,9,11, ……数列2: 30, 25,20, 15,10,5, ……数列3: 8,8,8,8,8,8, ……引导学生观察, 得到等差数列的一个性质.性质1：若数列 是等差数列, 公差为 .若 >0,则是 递增数列；若 <0,则 是递减数列；若 =0,则 是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明: 由等差数列的通项公式 得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3: 在等差数列 中, 若 ,则 一定成立吗?特别地, ,则 成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。
