等差数列的性质第二课时 +

2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1.知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列, 学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具, 探究等差数列的性质, 同时进一步培养学生归纳, 总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、 新知探究（一） 等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义: 由三个数 组成的等差数列是最简单的等差数列, 此时 叫做 和 的等差中项.同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二） 等差数列的性质列举几个数列, 观察数列的特点, 研究公差与数列单调性的关系.问题1: 数列1: 1,3,5,7,9,11, ……数列2: 30, 25,20, 15,10,5, ……数列3: 8,8,8,8,8,8, ……引导学生观察, 得到等差数列的一个性质.性质1：若数列 是等差数列, 公差为 .若 >0,则是 递增数列；若 <0,则 是递减数列；若 =0,则 是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明: 由等差数列的通项公式 得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3: 在等差数列 中, 若 ,则 一定成立吗?特别地, ,则 成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。

4．2.1 第二课时 等差数列的性质[A 级 基础巩固]1．已知等差数列{a n }:1,0,－1,－2,…;等差数列{b n }:0,20,40,60,…,则数列{a n ＋b n }是( ) A ．公差为－1的等差数列 B ．公差为20的等差数列 C ．公差为－20的等差数列D ．公差为19的等差数列详细解析:选D (a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝(a 2－a 1)＋(b 2－b 1)＝－1＋20＝19. 2．在等差数列{a n }中,a 1＝2,a 3＋a 5＝10,则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．14详细解析:选B 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10,又因为a 1＝2,所以a 7＝8. 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32,若a m ＝8,则m 等于( ) A ．8 B ．4 C ．6D ．12详细解析:选A 因为a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 8＝32,所以a 8＝8,即m ＝8. 4．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0,则有( ) A ．a 1＋a 101＞0 B ．a 2＋a 101＜0 C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51详细解析:选C 根据性质得:a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝…＝a 50＋a 52＝2a 51,由于a 1＋a 2＋…＋a 101＝0,所以a 51＝0,又因为a 3＋a 99＝2a 51＝0,故选C.5．《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ) A ．1升 D ．6766升 C.4744升 D ．3733升详细解析:选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766,故第5节的容积为6766升．6．若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为________． 详细解析:设这三个数为a －d ,a ,a ＋d ,则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3,－1.∴它们的积为－21. 答案:－217．若a ,b ,c 成等差数列,则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________． 详细解析:∵a ,b ,c 成等差数列,∴2b ＝a ＋c , ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 答案:1或28．已知数列{a n }满足a 1＝1,若点⎝⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上,则a n＝________. 详细解析:由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0,即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列,且首项为1,故通项公式a nn ＝n ,所以a n ＝n 2. 答案:n 29．在等差数列{a n}中,若a1＋a2＋…＋a5＝30,a6＋a7＋…＋a10＝80,求a11＋a12＋…＋a15.解:法一:由等差数列的性质得a1＋a11＝2a6,a2＋a12＝2a7,…,a5＋a15＝2a10.∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.法二:∵数列{a n}是等差数列,∴a1＋a2＋…＋a5,a6＋a7＋…＋a10,a11＋a12＋…＋a15也成等差数列,即30,80,a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80,∴a11＋a12＋…＋a15＝130.10．有一批豆浆机原销售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销:买一台单价为780元,买两台单价都为760元,依次类推,每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低价不能低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类豆浆机,问去哪家商场买花费较少．解:设单位需购买豆浆机n台,在甲商场购买每台售价不低于440元,售价依台数n成等差数列．设该数列为{a n}．a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n,解不等式a n≥440,即800－20n≥440,得n≤18.当购买台数小于等于18台时,每台售价为(800－20n)元,当台数大于18台时,每台售价为440元．到乙商场购买,每台售价为800×75%＝600元．作差:(800－20n)n－600n＝20n(10－n),当n<10时,600n<(800－20n)n,当n＝10时,600n＝(800－20n)n,当10<n≤18时,(800－20n)n<600n,当n>18时,440n<600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少,当购买10台时到两商场购买花费相同,当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．[B级综合运用]11．(多选)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题,正确的是( )A ．数列{a n }是递增数列B ．数列{na n }是递增数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列D ．数列{a n ＋3nd }是递增数列详细解析:选AD a n ＝a 1＋(n －1)d ,d ＞0,∴a n －a n －1＝d ＞0,A 正确; na n ＝na 1＋n (n －1)d ,∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小关系和a 1的取值情况有关． 故数列{na n }不一定递增,B 不正确; 对于C:a n n ＝a 1n ＋n －1n d , ∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋d n (n －1),当d －a 1＞0,即d ＞a 1时,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 递增,但d ＞a 1不一定成立,C 不正确; 对于D:设b n ＝a n ＋3nd ,则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0. ∴数列{a n ＋3nd }是递增数列,D 正确．12．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m －n |＝( )A ．1 D ．34C.12D ．38详细解析:选C 设方程的四个根a 1,a 2,a 3,a 4依次成等差数列,则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2,再设此等差数列的公差为d ,则2a 1＋3d ＝2, ∵a 1＝14,∴d ＝12,∴a 2＝14＋12＝34,a 3＝14＋1＝54,a 4＝14＋32＝74,∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3| ＝⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12.13．已知数列{a n }是等差数列,若a 4＋a 7＋a 10＝17,a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77,则a 7＋a 9＝________,若a k ＝13,则k ＝________.详细解析:∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7,∴a 7＝173. ∵a 4＋a 5＋…＋a 14＝11a 9,∴a 9＝7, ∴a 7＋a 9＝383,d ＝23.∴a k －a 9＝(k －9)d ,即13－7＝(k －9)×23,解得k ＝18.答案:3831814．数列{a n }为等差数列,b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ,又已知b 1＋b 2＋b 3＝218,b 1b 2b 3＝18,求数列{a n }的通项公式． 解:∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 3＝218,b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18,∴a 1＋a 2＋a 3＝3. ∵a 1,a 2,a 3成等差数列,∴a 2＝1,故可设a 1＝1－d ,a 3＝1＋d , 由⎝⎛⎭⎫121－d ＋12＋⎝⎛⎭⎫121＋d ＝218, 得2d ＋2－d ＝174,解得d ＝2或d ＝－2. 当d ＝2时,a 1＝1－d ＝－1,a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3;当d＝－2时,a1＝1－d＝3,a n＝3－2(n－1)＝－2n＋5.[C级拓展探究]15．下表是一个“等差数阵”:ij(1)写出a45的值;(2)写出a ij的计算公式,以及2 020这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．解:通过每行、每列都是等差数列求解．(1)a45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行,由题意4,7,…,a15,…成等差数列,公差d＝7－4＝3,则a15＝4＋(5－1)×3＝16.再看第2行,同理可得a25＝27.最后看第5列,由题意a15,a25,…,a45成等差数列,所以a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4,公差为3的等差数列a1j＝4＋3(j－1); 第2行是首项为7,公差为5的等差数列a2j＝7＋5(j－1);…第i 行是首项为4＋3(i －1),公差为2i ＋1的等差数列, ∴a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .要求2 020在该“等差数阵”中的位置,也就是要找正整数i ,j ,使得i (2j ＋1)＋j ＝2 020,∴j ＝2 020－i2i ＋1.又∵j ∈N *,∴当i ＝1时,得j ＝673. ∴2 020在“等差数阵”中的一个位置是第1行第673列．。

第2课时　等差数列的性质学习目标　1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算．知识点一　等差数列通项公式的变形及推广设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则①a n＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②a n＝a m＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝a n－a mn－m(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的几何意义是点(n，a n)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.③可用来由等差数列任两项求公差．知识点二　等差数列的性质1．若{a n}，{b n}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋a n}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·a n}公差为cd的等差数列(c为任一常数){a n＋a n＋k}公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*){pa n＋qb n}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)2.下标性质：在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有a m＋a n＝2a p.3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．4．等差数列{a n}的公差为d，则d>0⇔{a n}为递增数列；d<0⇔{a n}为递减数列；d＝0⇔{a n}为常数列．思考　若{a n}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则a m＋a n＝a p一定成立吗？答案　不一定．如常数列{a n},1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3.1．在等差数列{a n}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于( )A．5 B．8 C．10 D．14答案　C解析　a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10.2．在等差数列{a n }中，a 100＝120，a 90＝100，则公差d 等于( )A ．2B ．20C ．100D ．不确定答案　A解析　∵a 100－a 90＝10d ，∴10d ＝20，即d ＝2.3．在等差数列{a n }中，若a 5＝6，a 8＝15，则a 14＝________.答案　33解析　由题意得d ＝a 8－a 58－5＝15－68－5＝3.∴a 14＝a 8＋6d ＝15＋18＝33.4．已知在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________.答案　15解析　由等差数列的性质，得a 7＋a 9＝a 4＋a 12＝16，又∵a 4＝1，∴a 12＝15.一、a n ＝a m ＋(n －m )d 的应用例1　已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.解　方法一　(利用a n ＝a m ＋(n －m )d )设数列 {a n }的公差为d ，则a 60＝a 15＋(60－15)d ＝8＋45d ，所以d ＝20－845＝1245＝415，所以a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.方法二　(利用隔项成等差数列)因为{a n }为等差数列，所以a 15，a 30，a 45，a 60，a 75也成等差数列，设其公差为d ，a 15为首项，则a 60为第四项，所以a 60＝a 15＋3d ，得d ＝4，所以a 75＝a 60＋d ＝24.反思感悟　灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m ＝1，a n ＝a m ＋(n －m )d 即变为a n＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．跟踪训练1　已知{b n}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.答案　8解析　方法一　∵{b n}为等差数列，∴可设其公差为d，则d＝b10－b310－3＝12－(－2)7＝2，∴b n＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.方法二　由b8－b38－3＝b10－b310－3＝d，得b8＝b10－b310－3×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.二、等差数列性质的应用例2　(1)已知数列{a n}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于( )A．7 B．14 C．21 D．7(n－1)答案　B解析　因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.(2)已知数列{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{a n＋b n}的第37项为( )A．0 B．37 C．100 D．－37答案　C解析　设等差数列{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，则(a n＋1＋b n＋1)－(a n＋b n)＝(a n＋1－a n)＋(b n＋1－b n)＝d1＋d2，所以数列{a n＋b n}仍然是等差数列．又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.反思感悟　等差数列运算的两种常用思路(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．(2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q＝2a r.跟踪训练2　(1)数列{a n}满足3＋a n＝a n＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是( )A．－2 B．－12C．2 D.12答案　C解析　由3＋a n＝a n＋1，得a n＋1－a n＝3.所以{a n}是公差为3的等差数列．又a2＋a4＋a6＝9，且a2＋a6＝2a4，所以3a4＝9，则a4＝3，所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2.(2)设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.答案　35解析　因为数列{a n}，{b n}都是等差数列，所以数列{a n＋b n}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.三、等差数列中对称设项法的应用例3　(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解　(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，则Error!解得Error!所以这三个数为4,3,2.(2)设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.反思感悟　等差数列的设项方法和技巧(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式．(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出．(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出．跟踪训练3　已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．解　设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .由已知有Error!整理得Error!解得a ＝1，d ＝±23.当d ＝23时，这5个数分别是－13，13，1，53，73；当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.数列问题如何选择运算方法典例　在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＋2a 15＝40，求a 10.解　方法一　设数列{a n }的公差为d .则a 3＋a 7＋2a 15＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋2(a 1＋14d )＝4a 1＋36d ＝4(a 1＋9d )＝4a 10＝40，∴a 10＝10.方法二　∵a 3＋a 7＋2a 15＝a 3＋a 7＋a 15＋a 15＝a 10＋a 10＋a 10＋a 10＝40，∴a 10＝10.[素养提升]　(1)等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量(a 1，d ，n )，然后解方程(组)；二是借助等差数列的性质简化计算．前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法．(2)本例中明确题目的运算对象，选择适当的运算方法，灵活运用运算技巧，充分体现数学运算的数学核心素养．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( )A ．3B ．－6C ．4D ．－3答案　B解析　由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，所以d＝－20－105＝－6.2．在等差数列{a n}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( )A．3 B．－3 C.32D．－32答案　A解析　由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3.3．在等差数列{a n}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则a1＋a13的值为( )A．20 B．30 C．40 D．50答案　C解析　∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴a1＋a13＝2a7＝40.4．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，a n组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是( )A．新数列不是等差数列B．新数列是公差为d的等差数列C．新数列是公差为2d的等差数列D．新数列是公差为3d的等差数列答案　C解析　因为(a n＋1＋a n＋3)－(a n＋a n＋2)＝(a n＋1－a n)＋(a n＋3－a n＋2)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．5．在等差数列{a n}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝________.答案　10解析　由5是a3和a6的等差中项，可得a3＋a6＝2×5＝10，则由等差数列的性质可得a1＋a8＝a3＋a6＝10.1．知识清单：(1)等差数列通项公式的变形运用．(2)等差数列的性质．(3)等差数列中项的设法.2．方法归纳：解方程组法．3．常见误区：(1)对等差数列的性质不理解而致错．(2)不注意运用性质而出错或解法烦琐．1．已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m的值为( ) A．12 B．8 C．6 D．4答案　B解析　由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.2．已知数列{a n}，{b n}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2a n－3b n}的公差为( )A．7 B．5C．3 D．1答案　D解析　由于{a n}，{b n}为等差数列，故数列{2a n－3b n}的公差d＝(2a n＋1－3b n＋1)－(2a n－3b n)＝2(a n＋1－a n)－3(b n＋1－b n)＝2d1－3d2＝1.3．若等差数列{a n}的首项a1＝5，a m＝3，则a m＋2等于( )A．13 B．3－4m－1C．3－2m－1D．5－2m－1答案　B解析　设等差数列{a n}的公差为d，因为a1＝5，a m＝3，所以d＝a m－a1m－1＝－2m－1.所以a m＋2＝a m＋2d＝3＋－4m－1＝3－4m－1.4．(多选)若{a n}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的是( )A．{|a n|} B．{a n＋1－a n}C．{pa n＋q}(p，q为常数) D．{2a n＋n}答案　BCD解析　数列－1,1,3是等差数列，取绝对值后：1,1,3不是等差数列，A不成立．若{a n}是等差数列，利用等差数列的定义，{a n＋1－a n}为常数列，故是等差数列，B成立．若{a n}的公差为d，则(pa n＋1＋q)－(pa n＋q)＝p(a n＋1－a n)＝pd为常数，故{pa n＋q}是等差数列，C成立．(2a n＋1＋n＋1)－(2a n＋n)＝2(a n＋1－a n)＋1＝2d＋1，故{2a n＋n}是等差数列，D成立．5．已知等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( ) A．无实根B．有两个相等的实根C．有两个不等的实根D．不能确定有无实根答案　A解析　因为a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a2＋a5＋a8＝3a5＝9，所以a5＝3，则方程为x2＋6x＋10＝0，因为Δ＝62－4×10＝－4<0，所以方程无实根．6．已知数列{a n}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a15 ＝________，若a k＝15，则k＝________.答案　11　21解析　∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝17 3 .又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.故d＝a9－a79－7＝7－1732＝23.∴a15＝a9＋(15－9)d＝7＋6×23＝11，∵a k ＝a 9＋(k －9)d ＝15，∴15－7＝(k －9)×23，∴k ＝21.7．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．答案　－21解析　设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则Error!解得Error!或Error!∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.8．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．答案　1或2解析　∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2.9．在等差数列{a n }中．(1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13；(2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求公差d .解　(1)根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，得4a 13＝48，∴a 13＝12.(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，得2(a 2＋a 5)＝34，即a 2＋a 5＝17，由Error!解得Error!或Error!∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.10．四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数．解　设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，得Error!解得Error!或Error!又四个数成递减等差数列，所以d <0，所以d ＝－32，故所求的四个数为11,8,5,2.11．设等差数列的公差为d ，若数列{}12n a a 为递减数列，则( )A ．d >0B ．d <0C ．a 1d >0D ．a 1d <0答案　D解析　由数列{}12n a a 为递减数列，得11122,n n a a a a <－再由指数函数性质得a 1a n －1>a 1a n ，由等差数列的公差为d 知，a n －a n －1＝d ，所以a 1a n －1>a 1a n ⇒a 1a n －a 1a n －1<0⇒a 1(a n －a n －1)<0⇒a 1d <0.12．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14 B ．15 C ．16 D ．17答案　C解析　设公差为d ，∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，∴5a 8＝120，a 8＝24，∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.13．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 101<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51答案　C解析　由等差数列的性质得：a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝…＝a 50＋a 52＝2a 51，由于a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，所以a 51＝0，故a 3＋a 99＝2a 51＝0.14．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17等于较小的两份之和，则最小的一份为( )A.53B.103C.56D.116答案　A 解析　设五个人所分得的面包个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，其中d >0，则(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5a ＝100，∴a ＝20.由17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ，得3a ＋3d ＝7(2a －3d )，∴24d ＝11a ，∴d ＝556，∴最小的一份为a －2d ＝20－1106＝53.15．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R ，且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，则数列的公差d ＝________，m ＋n 的值为________．答案　16　3172解析　设x 2－x ＋m ＝0，x 2－x ＋n ＝0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1(且1－4m >0,1－4n >0)．设数列的首项为x 1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x 2.由题意知x 1＝14，∴x 2＝34，数列的公差d ＝34－144－1＝16，∴数列的中间两项分别为14＋16＝512，512＋16＝712.∴x 1·x 2＝m ＝316，x 3·x 4＝n ＝512×712＝35144.∴m ＋n ＝316＋35144＝3172.16．已知两个等差数列{a n }：5,8,11，…与{b k }：3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？解　由题意，知a n ＝3n ＋2(n ∈N *)，b k ＝4k －1(k ∈N *)，两数列的共同项可由3n ＋2＝4k －1求得，所以n＝43k－1.而n∈N*，k∈N*，所以设k＝3r(r∈N*)，得n＝4r－1.由已知Error!且r∈N*，可得1≤r≤25.所以共有25个相同数值的项.。

2.2.2等差数列的性质
一、教学目标：
1.明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,
2.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能运用等差数列的性质解决某些问题。

二、教学重点难点：
教学重点：等差数列的定义及性质的理解与应用
教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
三、教学策略及设计
“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。

基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，重视学生在学习过程中，能否运用等差数列的定义发现和推导等差数列的性质。

设计流程如下:
四、教学过程：。