等差数列第二课时

等差数列(第二课时)【学习目标】1．认识和理解等差数列的性质，掌握运用等差数列性质进行各种运算的技巧．2．掌握如何处理等差数列的公共项问题．3．会用等差数列的知识解决简单的实际应用问题．【学习障碍】1．如何通过等差数列的运算性质，深刻认识等差数列的规律和特点，进而灵活快捷地进行运算是学生普遍感到困难的地方．2．公共项问题是数列的难点问题．由于解决该问题所涉及的知识学生相对薄弱，对能力的要求相对较高，学生往往不得要领或产生错误解法．【学习策略】Ⅰ．学习导引深入研究等差数列的性质，就能从不同角度分析有关等差数列的解题思路，“深入”才能“浅出”．下面是等差数列常用的性质：如果{a n }是公差为d 的等差数列，那么(1)a n ＝a m ＋(n －m )d ．(d ＝m n a a mn --)．(2)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；反之不一定成立．特别地，当m ＋n ＝2p 时，a m ＋a n ＝2a p ，即在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和．(3)公差为d 的等差数列{a n }，其子数列a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(m ∈N *)也成等差数列，公差为md ．(4)公差为d 的等差数列{a n }中，任意等间距的截取项数相等的若干段后，各段内诸项之和组成新的等差数列，若每段含m 项，每段间距(每段对应项的项数差)为k ，则新公差为原公差的km 倍．即新的等差数列公差为kmd ．当k ＝m 时，新数列为连续相同个数的项的和构成的等差数列，其公差为m 2d ．(5)数列{λa n ＋b }(λ，b 为常数)是公差为λd 的等差数列．证明：(1)∵a m ＝a 1＋(m －1)d ，a n ＝a 1＋(n －1)d ．∴a n －a m ＝(n －m )d ，即a n ＝a m ＋(n －m )d ．(2)∵a m ＋a n ＝［a 1＋(m －1)d ］＋［a 1＋(n －1)d ］＝2a 1＋(m ＋n －2)d ．同理，a p ＋a q ＝2a 1＋(p ＋q －2)d ．∴a m ＋a n ＝a p ＋a q ．反之，a m ＋a n ＝a p ＋a q ⇔(m ＋n －2)d ＝(p ＋q －2)d ．在d ≠0时，应该有m ＋n ＝p ＋q ；在d ＝0时，不一定有m ＋n ＝p ＋q ．(3)该条性质是第(4)条性质的特例．(4)设相邻两段间距为k ，每段含m 项，则相邻两段的对应项的差为kd ，m 个对应项的差的和为mkd ．(5)(λa n ＋1＋b )－(λa n ＋b )＝λ(a n ＋1－a n )＝λd ．∴{λa n ＋b }是公差为λd 的等差数列．Ⅱ．知识拓宽等差数列的计算问题是数学中最古老的问题之一，它的历史可以追溯到三四千年以前的古埃及．约在公元前1700年成书的莱因德(Rhi nd )《纸草算书》中已载录了两个等差数列问题．一个问题是，今有10袋麦子分给10个人，使每个人依次递减81袋，那么第一个人分得多少？在《纸草算书》上不仅有正确的答案，而且还有一个非常巧妙的解法：假设最后1人分得1袋，则各人所得依次为,813,814,815,816,817,89,810,811,8121．其总和为8125，此问题中的总数10多845．于是，为保证相邻两项的差仍为81，只须所设数列的第一项减少845÷10(＝169)，这样求得第一个人分得1169袋．类似这样按级递减分物的等差数列问题，在巴比伦晚期泥板中也有出现．我国古代数学专著很早就涉及了等差数列问题．除了《周髀算经》中记载的等差数列在研究和制定节气方面的应用之外，约在公元前50年成书的《九章算术》中也有几个关于等差数列的问题．如均输章的第19题：今有竹九节，下三节容4升，上四节容3升，中间三节均容(容积自上而下的均匀增加)，问是多少．书中给出了准确的解答．对等差数列问题的深入研究是从《张丘建算经》(约5世纪)开始的．在张丘建之后，天文学家把等差数列计算应用到了历法计算方面．唐代天文学家一行(683～727)在《大衍历》中计算行星在n 天内运行的弧长S n ，应用的公式是S n ＝n (a 1＋21-n d )，其中a 1是第一天行星运行的弧长，d 是逐日多行的弧长．而在已知a 1，d ，S n ，求天数n 时，一行的算法是n ＝]28)2([21121d d a d S d d a n --+-，这是关于n 的二次方程n 2＋d S n d d a n 221=⋅-的一个根．Ⅲ．障碍分析1．怎样用等差数列的性质解答等差数列问题？［例1］已知具有20项的等差数列(1)如果奇数项的和为100，偶数项的和为140，求公差d ；(2)如果前3项的和是20，末3项的和是60，求它的公差d ．解：(1)由已知a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19＝100， ①又a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝140 ②②－①：(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 20－a 19)＝10d ＝40，∴d ＝4．(2)a 1＋a 2＋a 3＝20，a 18＋a 19＋a 20＝60，∴(a 20－a 3)＋(a 19－a 2)＋(a 18－a 1)＝40．17d ＋17d ＋17d ＝40，∴d ＝5140．点评：本题应用了上面的性质(1)．［例2］在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求{a n }的通项公式．思路一：利用等差数列的通项公式求解．解法一：设所求的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，则⎩⎨⎧=+⋅+⋅+=+++++.28)12()7()2(,12)12()7()2(111111d a d a d a d a d a d a当d ＝53时，a 1＝－51，a n ＝－51＋(n －1)·;545353-=n 当d ＝－53时，a 1＝541，a n ＝541＋(n －1)·(－53)＝－53n ＋544思路二：把a 3，a 8，a 13看作一个整体，再利用性质(2)解题．解法二：由于a 3＋a 13＝2a 8，又a 3＋a 8＋a 13＝12，故可得a 8＝4．代入已知得⎩⎨⎧=⋅=+,17,8133133a a a a 解得⎩⎨⎧==,7,1133a a 或⎩⎨⎧==.1,7133a a 由a 3＝1，a 13＝7，可知d ＝531017313313=-=--a a ． 故a n ＝a 3＋(n －3)·53＝5453-n ． 由a 3＝7，a 13＝1，仿上可得a n ＝－54453+n ． 误区点评：在解答本题时，首先应注意到{a n }是等差数列这个大前提，否则，仅有a 3＋a 8＋a 13＝12及a 3·a 8·a 13＝28是无法算出a 3，a 8，a 13的具体值的．［例3］已知c b a 1,1,1成等差数列，求证：c b a b c a a c b +++,,也成等差数列． 思路：由于等差数列各项乘以或加上一个常数所得数列仍成等差数列(性质(5))，结合本题特征，可考虑用据此性质证明．证明：∵c b a 1,1,1成等差数列， ∴),(1),(1),(1c b a c c b a b c b a a ++++++ 即1,1,1++++++c b a b c a a c b 成等差数列． ∴c b a b c a ac b +++,,成等差数列． 点评：在解决有关等差数列问题时，既要注意直接运用统一量法转化为a 、d ，同时也要注重对其性质的运用．2．怎样求解两个等差数列的公共项问题？［例4］已知两个等差数列：5，8，11，…； ①3，7，11，…． ②它们的项数均为100项，试问它们有多少个彼此具有相同数值的项．思路一：从分析两个数列共同项组成的新数列的特征入手进行解题．解法一：设两个数列共同项组成的新数列为{c n }，易知c 1＝11，又数列5，8，11，…的通项公式为a n ＝3n ＋2，公差为3；而数列3，7，11，…的通项公式为b n ＝4n －1，公差为4．∴数列{c n }仍为等差数列，且公差为d ＝12．故数列{c n }的通项公式为c n ＝11＋(n －1)·12＝12n －1．又a 100＝302，b 100＝399，∴c n ＝12n －1≤302，得n ≤25.25所以已知两数列有25个共同的项．思路二：由数列①易得a n ＝3n ＋2．由数列②易知a m ＝4m －1，其中1≤n ，m ≤100．依题意有a n ＝a m ，即3n ＋2＝4m －1．∴n ＝34m －1．由于n 、m 均为自然数，必有m ＝3t ，t ∈N *，即n ＝4t －1．∴⎩⎨⎧≤-≤≤≤10014110031t t 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤41013100t t 也即1≤t ≤4101． 由于t 是正整数，故最大的t 值是25，所以两数列共有25个数值相同的项．误区点评：本题易出现的误解是：令a n ＝b n ，也即3n ＋2＝4n －1，解得n ＝3，故两数列中具有相同数值的项只有一项(即11)．上述错误在于误认为，两个数列相同数值的项数也应当相同，而这是题中没有要求的．Ⅳ．思维拓展［例5］已知数列a n 为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p ．(p ≠q )，求a p ＋q ．思路：本题可先转化为a 1和d 去探索，也可利用等差数列中任2项a n 和a m 的关系a n＝a m ＋(n －m )d 进行求解，还可利用一次函数图象解答．解法一：∵a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d∴⎩⎨⎧=-+=-+p d q a q d p a )1()1(11 ① 两式相减，得(p －q )d ＝q －p ，∵p ≠q ，∴d ＝－1．代入①，有a 1＋(p －1)(－1)＝q ．∴a 1＝p ＋q －1故a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝p ＋q －1＋(p ＋q －1)·(－1)＝0．解法二：∵a p ＝a q ＋(p －q )d ，∴q ＝p ＋(p －q )d ，即q －p ＝(p －q )d ，∵p ≠q ，∴d ＝－1故a p ＋q ＝a p ＋［(p ＋q )－p ］d ＝q ＋q (－1)＝0．解法三：不妨设p ＜q ，由于等差数列中，a n 关于n 的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点(p ，a p )，(q ，a q )，(p ＋q ，a p ＋q )共线．设△ABE ∽△BCF ，得FC BF EB AE =， ∴q q p m p p q p q -+-=--)(．∴1＝p mp -，得m ＝0，即a p ＋q ＝0．点评：在解决有关等差数列问题时，既要注意直接运用其定义，转化为求a 、d ，同时也要注重对其有关简单性质的使用，因为这往往有助于解题过程的简化．一般地有，设等差数列{a n }中，a m ＝p ，a n ＝q ，(m ≠n )，则a k ＝n m k m q n k p --+-)()(．对此，有兴趣的读者不妨给予证明．Ⅴ．探究学习在等差数列{a n }中对于任意的m ，n ∈N *，若a n ＋a m ＝a n ＋m 且a 1＝1问数列{a n }是一个怎样的数列？答案：解：∵a n ＋a m ＝a n ＋m∴a 1＋(n －1)d ＋a 1＋(m －1)d ＝a 1＋(n ＋m －1)d又∵a 1＝1，代入上式化简得d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ．【同步达纲练习】一、选择题1．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于A ．0B ．37C ．100D ．－372．若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39．则a 3＋a 6＋a 9的值是A ．39B ．20C ．19.5D ．333．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450．则a 2＋a 8的值等于A ．45B ．75C ．180D ．3004．设x ≠y ，若数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，b 3，…，b n ，y 都是等差数列，则1212b b a a --为A ．n mB ．11++n mC ．m nD ．11++m n二、填空题5．一个等差数列中，a 15＝33，a 25＝66，a 35＝______________．6．设{a n }是等差数列，则+⋅+⋅322111a a a a …＋n n a a ⋅-11可化简为______________．7．已知数列{a n }中，a 1＝3，111--n n a a ＝5(n ≥2)，则a n ＝______________．三、解答题8．已知：lo g a b 、－1、lo g b a 成等差数列，且a ，b 为一元二次方程：x 2－cx ＋d ＝0的两根，求c ，d 的取值范围．参考答案【同步达纲练习】一、1．C 提示：设{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2， ∵(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列．又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴a 37＋b 37＝100．2．D 提示：∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 3＝2a 2，a 4＋a 6＝2a 5，a 7＋a 9＝2a 8．∴(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝2(a 2＋a 5＋a 8)∴a 3＋a 6＋a 9＝2×39－45＝33．3．C 提示：∵a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5 ∴由已知可得：a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180．4．D 提示：设前一等差数列公差为d 1，后一等差数列公差为d 2，则：y ＝x ＋(m ＋1)d 1，y ＝x ＋(n ＋1)d 2， 于是：)1()1(21++n d m d ＝1．∴1121++=m n d d 即：111212++=--m n b b a a二、5．99 提示：∵a 25是a 15和a 35的等差中项．∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99． 6．n a a n ⋅-11提示：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵)11(1111n n nn a a d a a -=⋅-- ∴n n a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅-13221111 ＝)]11()11()11[(113221n n a a a a a a d -+⋅⋅⋅+-+-- ＝n n na a n a a d n d a a d ⋅-=⋅-⋅=-1111)1(1)11(1 7．14153-n 提示：由已知：{n a 1}是等差数列， ∴314155)1(311-=⋅-+=n n a n ，∴a n ＝14153-n三、8．由已知得：log a b ＋log b a ＝－2． 即b a a b lg lg lg lg +＝－2．从而有(l ga ＋l gb )2＝0，l ga ＝－l gb ＝l g b 1． ∴a ·b ＝1，而c ＝a ＋b ，d ＝ab ＝1， 因a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1． a ＋b ≥2ab ＝2．又a ≠1，b ≠1． 故不等式不取等号，所以，c ＞2，d ＝1．。

第二课时（两小时）教学内容: 等差数列教学目标:1.明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；2.会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题3.明确等差中项的概念.4.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式. 教学重难点:1. 等差数列的概念，等差数列的通项公式2. 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用一、基本知识点梳理1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数)) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =m n a a mn --4. 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项5. 性质：在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+二、典型例题讲解例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 解：⑴由35285,81-=-=-==d a n=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a ⑵由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项例2 在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求1a ,d ,n a a ,20 解法一：∵105=a ，3112=a ，则 ⎩⎨⎧=+=+311110411d a d a ⇒⎩⎨⎧=-=321d a∴53)1(1-=-+=n d n a a n5519120=+=d a a解法二：∵3710317512=⇒+=⇒+=d d d a a∴5581220=+=d a a 3)12(12-=-+=n d n a a n小结：第二通项公式 d m n a a m n )(-+=例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列n u 中，设数列的第s 项和第t 项分别为s u 和t u ，计算ts u u ts --的值，你能发现什么结论？并证明你的结论 解：通过计算发现ts u u ts --的值恒等于公差证明：设等差数列{n u }的首项为1u ，末项为n u ，公差为d ，⎩⎨⎧-+=-+=)2()1()1()1(11dt u u d s u u t s⑴-⑵得d t s u u t s )(-=- d ts u u ts =--∴小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率例4 梯子最高一级宽33cm ，最低一级宽为110cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度解：设{}n a 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列， 由已知条件，可知：1a =33, 12a =110，n=12∴d a a )112(112-+=,即10=33+11d 解得：7=d 因此，,61,54,47740,407335432===+==+=a a a a,103,96,89,82,75,6811109876======a a a a a a答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm ，47cm ，54cm ，61cm ，68cm ，75cm ，82cm ，89cm ，96cm ，103cm.例5 已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1--n n a a （n ≥2）是不是一个与n 无关的常数解：当n ≥2时, （取数列{}n a 中的任意相邻两项1-n a 与n a （n ≥2））])1([)(1q n p q pn a a n n +--+=--p q p pn q pn =+--+=)(为常数∴{n a }是等差数列，首项q p a +=1，公差为p 注：①若p=0，则{n a }是公差为0的等差数列，即为常数列q ，q ，q ，…②若p ≠0, 则{n a }是关于n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在y 轴上的截距为q.③数列{n a }为等差数列的充要条件是其通项n a =pn+q (p 、q 是常数)第3通项公式④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个 例6在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手…… 解：∵ {a n }是等差数列 ∴ 1a +6a =4a +3a =9⇒3a =9－4a =9－7=2 ∴ d=4a －3a =7－2=5 ∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32∴ 3a =2, 9a =32例7等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来解：1a +5a =23a⎩⎨⎧-=+-=⇒⎭⎬⎫=-=⇒-=⇒-=++82080412321a a a 515153133531a a a a a a a a a ⇒1a =－10, 5a =2 或 1a =2, 5a =－10 ∵ d=1515--a a ∴ d=3 或－3∴ n a =－10+3 (n －1) = 3n － 13 或 n a =2 －3 (n －1) = －3n+5例8在等差数列{n a }中, 已知3a ＋4a ＋5a ＋6a ＋7a ＝450, 求2a ＋8a 及前9项和9S . 解：由等差中项公式：3a ＋7a ＝25a ， 4a ＋6a ＝25a由条件3a ＋4a ＋5a ＋6a ＋7a ＝450, 得 55a ＝450, 5a ＝90, ∴2a ＋8a ＝25a ＝180.9S ＝1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＋6a ＋7a ＋8a ＋9a＝(1a ＋9a )＋(2a ＋8a )＋(3a ＋7a )＋(4a ＋6a )＋5a ＝95a ＝810.例9已知a 、b 、c 的倒数成等差数列，求证：a cb a -+，b ac b -+，cb a c-+的倒数也成等差数列分析：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数x 、y 、z 成等差数列的充要条件：x+y=2z证明：因为a 、b 、c 的倒数成等差数列∴ca b 112+=，即2ac=b(a+c) 又a a c b -++c c b a -+=acb a ac b c )()(+++-2=ac c a b a c )(22+++-2=acac a c 222++-2=ac c a 2)(+-2=)()(22c a b c a ++-2=b c a )(2+-2=b b a c )(2-+ 所以a c b a -+，b a c b -+，cb a c-+的倒数也成等差数列三、课堂练习 （一）基础训练1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项. 解：根据题意可知：1a =3,d =7－3=4.∴该数列的通项公式为：n a =3+（n －1）×4,即n a =4n －1（n ≥1,n ∈N *） ∴4a =4×4－1=15, 10a =4×10－1=39. 评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，……的第20项. 解：根据题意可知：1a =10,d =8－10=－2.∴该数列的通项公式为：n a =10+（n －1）×（－2）,即：n a =－2n +12, ∴20a =－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.解：根据题意可得：1a =2,d =9－2=7.∴此数列通项公式为：n a =2+（n －1）×7=7n －5. 令7n －5=100,解得：n =15, ∴100是这个数列的第15项. （4）－20是不是等差数列0，－321，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：由题意可知：1a =0,d =－321 ∴此数列的通项公式为：n a =－27n +27,令－27n +27=－20,解得n =747因为－27n +27=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.2.在等差数列{n a }中，（1）已知4a =10,7a =19,求1a 与d ; （2）已知3a =9, 9a =3,求12a .解：（1）由题意得：⎩⎨⎧=+=+19610311d a d a , 解之得：⎩⎨⎧==311d a .（2）解法一：由题意可得：⎩⎨⎧=+=+389211d a d a , 解之得⎩⎨⎧-==1111d a∴该数列的通项公式为：n a =11+（n －1）×（－1）=12－n ,∴12a =0 解法二：由已知得：9a =3a +6d ,即：3=9+6d ,∴d =－1 又∵12a =9a +3d ,∴12a =3+3×（－1）=0.3.在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求首项1a 与公差d解：由题意可知⎩⎨⎧=+==+=(2) 3111(1)10411215d a a d a a解之得123a d =-⎧⎨=⎩即这个数列的首项是-2，公差是3或由题意可得：d a a )512(512-+=即：31=10+7d 可求得d=3，再由d a a 415+=求得1a =-2 4. 在等差数列{}n a 中, 若 65=a 158=a 求14a 解：d a a )58(58-+= 即 d 3615+= ∴ 3=d 从而 33396)514(514=⨯+=-+=d a a5.在等差数列{}n a 中若 30521=+++a a a ，801076=+++a a a ， 求151211a a a +++解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ……∴ 11162a a a += 12272a a a += ……∴)(151211a a a +++ +=+++)(521a a a 2)(1076a a a +++ ∴151211a a a +++ =2)(1076a a a +++ -)(521a a a +++=2×80-30=130（二）培养能力1. （08陕西）．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ）A ．64B ．100C ．110D ．1202. (03北京春)在等差数列}{n a 中，已知1234520a a a a a ++++=，则3a =（ ）.A 4 .B 5.C 6 .D 73.设数列{}n a 的前n 项和为n S )(*N n ∈,关于数列{}n a 有下列四个命题：①若{}n a 既是等差数列又是等比数列，则)(*1N n a a n n ∈=+； ②若),(2R b a bn an S n ∈+=，则{}n a 是等差数列； ③,,a b c 成等差数列的充要条件是2a cb +=。