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2.2 等差数列1、等差数列的概念：1 2,n n d a a n n N d -=-≥∈（）为常数（用来判断数列是否为等差数列）2、等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a ；推广：d m n a a m n )(-+=，从而mn a a d mn --=。
3、等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++=+≥⇔=+课堂训练 一.选择题。
1.2005是数列7,13,19,25,31,, 中的第（ ）项. A. 332 B. 333 C. 334 D. 3352.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是（ ）A.公差为2的等差数列B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列3.若a ∈、b 、c R ，则“2b a c =+”是“a 、b 、c 成等差数列”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4.等差数列3,7,11,,--- 的一个通项公式为（ ）A. 47n -B. 47n --C. 41n +D. 41n -+5.首项为24-的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ） A. 83d >B. 3d <C. 833d ≤<D. 833d <≤ 6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++， ，32313n n n a a a --++，是（ ）A.一定不是等差数列B. 一定是递增数列C.一定是等差数列D. 一定是递减数列二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上. 7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a = . 8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = .9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = .10.如果等差数列{}n a 的第5项为5，第10项为5-，则此数列的第1个负数项是第 项. 【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,--- 中的项，若是，是第几项？12.已知(1)2f =，2()1(1)()2f n f n n N +++=∈，求(101)f .同步提升例1若{a n }是等差数列,a 15＝8,a 60＝20,求a 75.【解答】设{a n }的公差为d .方法一由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415.∴a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24.方法二∵a 60＝a 15＋(60－15)d ,∴d ＝a 60－a 1560－15＝20－860－15＝415,∴a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.【总结】方法一.先求出a 1,d ,然后求a 75;方法二.应用通项公式的变形公式a n ＝a m ＋(n －m )d 求解.【变式1】在等差数列{a n }中,已知a m ＝n ,a n ＝m ,求a m ＋n 的值.【变式1】在等差数列{a n }中,已知a m ＝n ,a n ＝m ,求a m ＋n 的值.【解答】方法一设公差为d ,则d ＝a m －a n m －n ＝n －mm －n＝－1, 从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0.方法二设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b (a ,b 为常数), 则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝am ＋b ＝n ，a n ＝an ＋b ＝m ，得a ＝－1,b ＝m ＋n .∴a m ＋n ＝a (m ＋n )＋b ＝0. 二.等差数列的性质例2已知等差数列{a n }中,a 1＋a 4＋a 7＝15,a 2a 4a 6＝45,求此数列的通项公式. 【解答】∵a 1＋a 7＝2a 4,a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15, ∴a 4＝5.又∵a 2a 4a 6＝45,∴a 2a 6＝9,即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9, (5－2d )(5＋2d )＝9,解得d ＝±2. 若d ＝2,a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3; 若d ＝－2,a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .【总结】要求通项公式,需要求出首项a 1和公差d ,由a 1＋a 4＋a 7＝15,a 2a 4a 6＝45直接求解很困难,我们可以换个思路,利用等差数列的性质,注意到a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝2a 4问题就简单了.【变式2】成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数. 【解答】设这四个数为a －3d ,a －d ,a ＋d ,a ＋3d ,则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.∴这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.三.等差数列的判断例3已知数列{a n }满足a 1＝4,a n ＝4－4a n －1 (n ≥2),令b n ＝1a n －2.(1)求证:数列{b n }是等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.分析计算b n ＋1－b n ＝常数,然后求出b n ,最后再由a n 与b n 的关系求出a n .(1)证明∵a n ＝4－4a n －1 (n ≥2),∴a n ＋1＝4－4a n(n ∈N *). ∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12.∴b n ＋1－b n ＝12,n ∈N *.∴{b n }是等差数列,首项为12,公差为12.(2)解b 1＝1a 1－2＝12,d ＝12.∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n2.∴1a n －2＝n 2,∴a n ＝2＋2n. 【总结】判断一个数列{a n }是否是等差数列,关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数.【变式3】若1b ＋c , 1c ＋a , 1a ＋b 是等差数列,求证:a 2,b 2,c 2成等差数列. 证明∵1b ＋c , 1c ＋a , 1a ＋b 是等差数列,∴1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a .∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2＋c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2∴a 2＋c 2＝2b 2,∴a 2,b 2,c 2成等差数列. 【小结】1.证明数列{a n }为等差数列的方法(1)定义法:a n ＋1－a n ＝d (d 为常数,n ≥1)⇔{a n }为等差数列或a n －a n －1＝d (d 为常数, n ≥2)⇔{a n }为等差数列.(2)等差中项法: 2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列.(3)通项法:a n ＝pn ＋q (p 、q ∈R )⇔{a n }是等差数列,只要说明a n 为n 的一次函数, 就可下结论说{a n }是等差数列.2.三个数成等差数列可设为:a －d ,a ,a ＋d 或a ,a ＋d ,a ＋2d ;四个数成等差数列可设为: a －3d ,a －d ,a ＋d ,a ＋3d 或a ,a ＋d ,a ＋2d ,a ＋3d . 一.选择题1.在等差数列{a n }中,a 1＋3a 8＋a 15＝120,则2a 9－a 10的值为( ) A.24 B.22 C.20 D.－8 【解答】A2.已知等差数列{a n }中,a 2＝－9, a 3a 2＝－23,则a n 为( )A.14n ＋3B.16n －4C.15n －39D.15n ＋8 【解答】C解析∵a 2＝－9, a 3a 2＝－23,∴a 3＝－23×(－9)＝6,∴d ＝a 3－a 2＝15,∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝－9＋(n －2)·15＝15n －39.3.等差数列{a n }的公差d <0,且a 2·a 4＝12,a 2＋a 4＝8,则数列{a n }的通项公式是( )A.a n ＝2n －2 (n ∈N *)B.a n ＝2n ＋4 (n ∈N *)C.a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *)D.a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *) 【解答】D解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，a 4＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ,即a n ＝8＋(n －1)(－2),得a n ＝－2n ＋10.4.等差数列{a n }中,若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450,则a 2＋a 8等于( ) A.45 B.75 C.180 D.300 【解答】C解析方法一设{a n }首项为a 1,公差为d ,a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＋a 1＋5d ＋a 1＋6d ＝5a 1＋20d 即5a 1＋20d ＝450,a 1＋4d ＝90,∴a 2＋a 8＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋8d ＝180.方法二∵a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 2＋a 8,∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝52(a 2＋a 8)＝450,∴a 2＋a 8＝180.5.一个等差数列的首项为a 1＝1,末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数,那么项数n 的取值个数是( )A.6B.7C.8D.不确定 【解答】B解析由a n ＝a 1＋(n －1)d ,得41＝1＋(n －1)d ,d ＝40n －1为整数.则n ＝3,5,6,9,11,21,41共7个.二.填空题6.若m ≠n ,两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差分别为d 1和d 2,则d 1d 2的值为______.【解答】43解析n －m ＝3d 1,d 1＝13(n －m ).又n －m ＝4d 2,d 2＝14(n －m ).∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43.7.已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列,且a 4＝6,a 6＝4,则a 10＝______.【解答】125解析 1a 6－1a 4＝14－16＝2d ,即d ＝124.∴1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512,∴a 10＝125. 8.已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m －n |＝______.【解答】12解析由题意设这4个根为14, 14＋d , 14＋2d , 14＋3d .则14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋3d ＝2,∴d ＝12,∴这4个根依次为14, 34, 54, 74, ∴n ＝14×74＝716,m ＝34×54＝1516或n ＝1516,m ＝716,∴|m －n |＝12.三.解答题9.等差数列{a n }的公差d ≠0,试比较a 4a 9与a 6a 7的大小. 【解答】设a n ＝a 1＋(n －1)d ,则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11da 1＋30d 2)＝－6d 2<0,∴a 4a 9<a 6a 7.10.已知数列{a n }满足a 1＝15,且当n >1,n ∈N *时,有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ,设b n ＝1a n,n ∈N *.(1)求证:数列{b n }为等差数列.(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.(1)证明当n >1,n ∈N *时, a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4,且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是等差数列,且公差为4,首项为5.(2)解由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.∴a n ＝1b n＝14n ＋1,n ∈N *. ∵a 1＝15,a 2＝19,∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145,∴n ＝11.即a 1a 2＝a 11,∴a 1a 2是数列{a n }中的项,是第11项.2.2 等差数列课堂训练参考答案：1.C2.A3.C4.D5.D6.C7.108.219.23n - 10.811.由题意知27n a n =-,由2752n -=,得29.5n N *=∉,∴52不是该数列中的项. 又由2727n k -=+解得7n k N *=+∈,∴27k +是数列{}n a 中的第7k +项.12.∵(1)2f =，2()1(1)2f n f n ++=，∴1(1)()2f n f n +-=，∴{}()f n 是以2为首项，12为公差的等差数列，∴13()22f n n =+，∴(101)52f =.。
