2.2等差数列第二课时教案

2.2.2 等差数列（二）教学要求：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；并能运用所学知识解决一些生活中的等差数列.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教学过程：一、复习准备：1. 练习：在等差数列{}n a 中, 若 32a = 813a =-， 求公差d 及14a .2. 提问：如果三角形的三个内角的度数成等差数列，那么中间的角是多少度？二、讲授新课：1. 教学等差中项的概念：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？ 由定义得A-a =b -A ，即：2b a A +=；反之，若2b a A +=，则A-a =b -A. 由此可可得：,,2b a b a A ⇔+=成等差数列.例1：求下列两个数的等差中项①5+2,34a b a b +-.2. 生活中的等差数列：例2、某市居民生活用水的计费标准如下：若居民在某月用水量不超过5吨，则统一收取水费6元，否则超过部分则按1.35元/吨的标准收取水费. 如果己知某户居民该月用水量为18吨，问他此月需支付多少水费？（学生自练→学生演板→教师点评）例3、某地区1997年底沙漠面积为52910hm ⨯. 地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变观测结果记录如下表：00 7999请（1）如果不采取任何措施，到2010年底，这个地区的沙漠面积将大约变为多少2hm ？（2）如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造80002hm 沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将小于22910hm ⨯？3. 小结：等差中项的概念，等差数列的公差、首项、项数及通项公式间的关系，等差数列的性质及其应用.三、巩固练习：1. 有30根水泥电线杆，要运往1000m远的地方开始安装，在1000m处放一根，以后每50m 放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少km？2. 作业：教材P46 第4、5题。

课§2.2.2 等差数列（二）周次第____ 周星期____ 时间___________ 月____ 日课型①新授课（√）②习题课（）③复习课（）④讲评课（）⑤实验课（）教学目标知识与技能1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律；2．理解等差数列的性质3．掌握等差数列的性质及其应用．过程与方法通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想．情感、态度与价值观通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。

教材分析重点等差数列的性质及证明.难点运用等差数列定义及性质解题．课时数 1 教法教学手段教学过程设计教学环节教师活动学生活动(一)知识链接（1）等差数列{a n}中，对于任意正整数n，都有a n＋1－a n＝________.（2）等差数列{a n}中，对于任意正整数n，都有2a n＋1－a n＝________.基础较差的同学回答【答案】（1）d；（2）a n+2教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探究探究一.等差数列通项公式的推广问题1. 若已知等差数列{a n}中的第m项a m和公差d，如何表示通项a n？自主推导，自主回答.【解析】设等差数列的首项为a1，则a m＝a1＋(m－1)d，得a1＝a m－(m－1)d，∴a n＝a1＋(n－1)d＝a m－(m－1)d＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d.【获取新知】（1）广义的等差数列通项公式：a n＝a m＋(n－m)d；（2）由任意两项和公差：.例1.若数列{a n}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．快速口答【解析】由题意，该数列的公差∴变式 1. 等差数列{a n}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于()A．2 B．20 C．100 D．不确定快速口答【答案】A教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探究探究二.等差数列与一次函数的关系问题2.（1）等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d与一次函数有什么关系？（2）若数列{a n}的通项公式是一次函数a n＝pn＋q，其中p、q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？小组讨论，展示成果.【解析】（1）∵数列是关于序号n的函数，为此将数列的通项公式变形为关于n的函数：.显然，当时，是关于序号n的一次函数，其图象是直线上一系列孤立的点，d为该直线的斜率，a1－d是该直线在y轴上的截距.（2）取数列{a n}中任意两项a n和a n－1(n>1)，则a n－a n－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝p．显然，这是一个与n无关的常数，所以{a n}是等差数列．将一次函数变形为等差数列通项公式的形式为：a n ＝pn＋q＝(q＋p)＋(n－1)p，所以该数列的首项a1＝p＋q，公差d＝p.【获取新知】（1）当公差d＝0时，等差数列是常函数，不是一次函数；（2）当公差d≠0时，等差数列是关于n的一次函数，且其斜率即为公差d，在y轴上的截距为a1－d．基础较好的同学，作最后总结.教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探究探究三. 等差数列的单调性问题3. 根据等差数列与一次函数的关系，你能根据等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d判断它的单调性吗？小组讨论，展示成果.答：当时，数列为常数列；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列．例2. 已知递增数列{a n}满足，则__________快速求解，同学甲回答.【答案】【解析】由得，即，解得又{a n}是递增数列，所以，所以变式2.若是递增数列，则的取值范围____________.小组讨论，展示成果.【答案】【解析】由得.教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探究探究四. 等差数列的性质（一）等差数列的项与序号的关系问题4. 已知数列{a n}是等差数列（1）是否成立？呢？为什么？（2）是否成立？据此你能得到什么结论？是否成立？你又能得到什么结论？小组讨论，展示成果.答：在等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则a m＋a n＝a p＋a q . 特别地，若m+n=2p，则a m＋a n＝2a p .【解题反思】（1）由a m＋a n＝a p＋a q能推出m+n=p+q吗？（2）由m+n=p能推出a m＋a n＝a p 吗？小组讨论，展示成果.答：（1）当等差数列{a n}是常数列时，由a m＋a n＝a p＋a q不能推出m+n=p+q；当等差数列{a n}不是常数列时，由a m＋a n＝a p＋a q一定能推出m+n=p+q.（2）由m+n=p 不能推出a m＋a n＝a p.例3. 已知数列{a n}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝_______.快速解答，同学乙回答思路和结论.【答案】234【解析】∵a3＋a15＝a1＋a17＝a5＋a13∴a9＝117 ∴a3＋a15＝a9＋a9＝234.变式3.已知等差数列{a n}中，a2＋a6＋a10＝1，则a3＋a9＝______.快速求解，快速抢答.【答案】【解析】由等差数列的性质，知a2＋a10＝2a6，又a2＋a6＋a10＝1. ∴3a6＝1，a6＝∴a3＋a9＝2a6＝.教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探（二）等差数列的子列的性质究（二）等差数列的子列的性质问题5. 已知一个无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.（1）取出数列的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（2）如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列呢？（3）你能根据得到的结论做出一个猜想吗？小组讨论，展示成果.答：（1）组成的新数列是等差数列，它的首项是a1，公差为2d；（2）组成的新数列仍然是等差数列，它的首项是a1+6d= a7，公差为7d；（3）若数列{a n}和{k n}都是等差数列，其公差分别为，则也是等差数列，且公差为.（三）等差数列的其他性质问题6.设等差数列，的公差分别为，判断是否为等差数列？如果是，给出证明，并写出首项和公差；如果不是，请说明理由.同学丙板书，其他同学在草稿纸上自主推证.答：是等差数列证明：令，则.∴是等差数列，且首项为，公差为.教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探究【解题反思】（1）当时，你能得到什么结论？（2）当时呢？基础中等同学回答答：（1）当时，得是首项为，公差为的等差数列.（2）当时，也是等差数列，且公差为.例4. 设数列，都是等差数列，若，则_______.快速抢答【答案】35【解析】两个等差数列的和数列仍为等差数列．设两等差数列组成的和数列为{c n}，则{c n}为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.(三)作业布置完成“一课一练”.(四)板书设计可擦区。

2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1.知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列, 学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具, 探究等差数列的性质, 同时进一步培养学生归纳, 总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、 新知探究（一） 等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义: 由三个数 组成的等差数列是最简单的等差数列, 此时 叫做 和 的等差中项.同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二） 等差数列的性质列举几个数列, 观察数列的特点, 研究公差与数列单调性的关系.问题1: 数列1: 1,3,5,7,9,11, ……数列2: 30, 25,20, 15,10,5, ……数列3: 8,8,8,8,8,8, ……引导学生观察, 得到等差数列的一个性质.性质1：若数列 是等差数列, 公差为 .若 >0,则是 递增数列；若 <0,则 是递减数列；若 =0,则 是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明: 由等差数列的通项公式 得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3: 在等差数列 中, 若 ,则 一定成立吗?特别地, ,则 成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。

§2.2 等差数列（2）教学目标：1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，掌握等差数列的特殊性质及应用；掌握证明等差数列的方法；2.明确等差中项的概念和性质；会求两个数的等差中项；3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，体会等差数列与一次函数的关系；能用图像与通项公式的关系解决某些问题。

教学重点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。

教学难点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。

教学用具：多媒体、实物投影仪.一、创设情景1．复习等差数列的定义、通项公式 ；（1）等差数列定义（2）等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或p dn a n +=(p 是常数))（3）公差d 的求法：① =d n a -1-n a ②=d 11--n a a n ③=d m n a a m n -- 2．等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是AP如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m-=-()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+ 二、数学建模：1.等差中项的概念：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

其中2a b A +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a b A +=． 2.一个有用的公式：（1）已知数列{n a }是等差数列①7352a a a +=是否成立？9152a a a +=呢？为什么？②)1(211>+=+-n a a a n n n 是否成立？据此你能得到什么结论？ ③)0(2>>+=+-k n a a a k n k n n 是否成立？？你又能得到什么结论？（2）在等差数列{}n a 中，d 为公差，若+∈N q p n m ,,,且q p n m +=+ 求证：①q p n m a a a a +=+ ②d q p a a q p )(-+=证明：①设首项为1a ，则d q p a d q a d p a a a dn m a d n a d m a a a q p n m )2(2)1()1()2(2)1()1(111111-++=-++-+=+-++=-++-+=+∵ q p n m +=+ ∴q p n m a a a a +=+② ∵d p a a p )1(1-+= d p a d q p d q a d q p a q )1()()1()(11-+=-+-+=-+ ∴ d q p a a q p )(-+=探究：等差数列与一次函数的关系注意：（1）由此可以证明一个结论：设}{n a 成AP ，则与首末两项距离相等的两项和相等，即：=+=+=+--23121n n n a a a a a a ，同样：若p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+（2）表示等差数列的各个点在一条直线上，这条直线的斜率是公差d三、精讲例题：例1）已知等差数列{}n a 的通项公式是21n a n =-，求首项 1a 和公差d 。

课题：§2.2.2 等差数列的通项公式（2） 总第____课时班级_______________ 姓名_______________【学习目标】掌握等差数列的性质【重点难点】教学重点：等差数列的性质的推导及应用.教学难点：等差数列的性质的理解、把握和应用..【学习过程】自主学习与交流反馈问题 (1)在等差数列{}n a 中102a a +与93a a +、102a a +与84a a +的关系是什么？你能得到更一般性的结论吗？(2)在等差数列{}n a 中102a a +、93a a +、84a a +与6a 的关系是什么？你能得到更一般性的结论吗？(2)在等差数列{}n a 中选出,...,,,10741a a a a 构成新的数列，该数列是等差数列吗？如果是公差是多少？你能得出更一般性的结论吗？知识建构与应用等差数列的性质：例1 (1)已知在等差数列{a n }中，a 7 + a 9 = 16，a 4 = 1，求a 12；(2)已知在等差数列{a n }中，已知a 3 = 10，a 9 = 28，求a 12.例2 已知数列{a n }和{b n }是两个无穷等差数列，公差分别为d 1，d 2，求证：数列{a n + b n }是等差数列，并求其公差.例3 已知在等差数列{}n a 中，满足4532=⋅a a ，1441=+a a .求数列的{}n a 的通项公式，并判断该数列的单调性.【巩固练习】1．已知在等差数列{}n a 中，20162=+a a ,则=9a ___________.2．已知在等差数列{}n a 中，3773=+a a ,则=+++8642a a a a ______.3．已知n n n a a a a a a 21321,,,,,,, +是公差为d 的等差数列，则(1)n a a a a 2642,,,, 是公差为 的等差数列；(2){}b ka n +是公差为 的等差数列．4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为________．5．数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负．数列{a n }的公差d = __________.6．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则a 13 + 2a 6 + a 17 = _______.【回顾反思】六、作业批改情况记录及分析。