等差数列(第二课时)PPT课件

寻找等差数列前 n 项和与通项之间的关系，在比值上能否相互转 化.
(1)
65 12
(2)
8 13
[(1)
法
一
：
a5 b5
＝
2a5 2b5
＝
a1＋a9 b1＋b9
＝
92a1＋a9 92b1＋b9
＝
S9 T9
＝
7×9＋9＋3 2＝6152． 法二：设 Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt， 则 a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，b5＝T5－T4＝40t－28t＝12t，
法四：设数列{an}的公差为 d，由于 Sn＝na1＋nn－2 1d， 则Snn＝a1＋d2(n－1)． ∴数列Snn是等差数列，其公差为d2． ∴1S01000－S1100＝(100－10)×d2， 且1S11100－1S01000＝(110－100)×d2． 代入已知数值，消去 d，可得 S110＝－110．
15 [由“片段和”的性质，S2，S4－S2，S6－S4 成等差数列，也 就是 4，5，S6－9 成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5 解得 S6＝15．]
知识点 2 等差数列奇偶项和的性质 (1)设两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则abnn＝ S2n－1． T2n－1 (2)若等差数列{an}的项数为 2n，则 S2n＝n(an＋an＋1)， S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1．
类型 2 比值问题 【例 2】 (1)已知等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn， 且TSnn＝7nn＋＋32，则ab55＝________． (2)已知 Sn，Tn 分别是等差数列{an}，{bn}的前 n 项和，且abnn＝ 2nn＋＋21，则TS1111＝________．

由通项公式得 a12 a1 (12 1) d，
即 110 3311d，
解得 d = 7.
因此， a2 33 7 40
a7 75
a3 40 7 47
a8 82
a4 54
a9 89
a5 61
a10 96
a6 68
a11 103
答：梯子第二级宽40 cm，第三级宽47 cm，第四级 宽54 cm，第五级宽61 cm，第六级宽68 cm，第七级宽 75 cm，第八级宽82 cm，第九级宽89 cm，第十级宽96 cm， 第十一级宽103 cm。
思考
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列：
（1）2 ，( 3 ) ， 4
（2）-12，( -6 ) ，0
( 3 )a, ( ab ) , b
2
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。
A ab 2
an1

an
an2 2
等差数列的图象1
10
●
9 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
8
●
7 6
●
an 2n 4
出x＝？
等差数列的性质1
1. {an}为等差数列 an+1- an=d
an+1=an+d
an= a1+(n-1) d an= kn + b （k、b为常数）
2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项AA
b a c 2b= a+c
2
【说明】 3.更一般的情形，an= am+(n - m) d ，d=

二、应用性——强调学以致用 2.如图所示，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数
列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2. (1)求AB，BC，CD的长； (2)以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面 积是多少？
解：(1)设公差为 d(d>0)，BC＝x，则 AB＝x－d，CD＝x＋d. 由题意得xx－ －dd＋ 2＋xx＋2＋x＋x＋dd＝2＝211，79， 解得dx＝＝47， 或dx＝＝－7，4 (舍去)． 所以 AB＝3(cm)，BC＝7(cm)， CD＝11(cm)． (2)正方形的边长组成首项是 3，公差是 4 的等差数列{an}， 所以 a10＝3＋(10－1)×4＝39， a210＝392＝1 521(cm2)． 所求正方形的面积为 1 521 cm2.
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是 常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋
an＋k－1＋an＋k＝2kan，对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数 列”．
(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”； (2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．
年12月末人口总数为万，则2019年10月末的人口总数为

若 a1＞0，d＜0，则 Sn 必有最_大___值，其 n 可用不等式组aann≥＋1≤0，0 来确定； 若 a1＜0，d＞0，则 Sn 必有最_小___值，其 n 可用不等式组aann≤＋1≥0，0 来确定．
(2) 二次函数法
在等差数列{an}中，由于 Sn＝na1＋n(n2－1) d＝d2 n2＋a1－d2 n，则可用求二次 函数最值的方法来求前 n 项和 Sn 的最值，其中，n 的值可由 n∈N*及二次函数图
Sn
13n
1 2
n(n
1) (2)
n2 14n
(n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0 则Sn的图象如下图所示
Sn
3 7 11 n
∴图象的对称轴为 n 3 11 7 2
故当n=7时, Sn取最大值49.
1.已知等差数列{an}中, a1=13且S3=S11, 求n取何值时, Sn取最大值.
解法3: 由S3=S11, 得d=－2<0
∴an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
an an1
0
0
,
得
n n
15 2 13 2
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法4: 由S3=S11, 得
a4+a5+a6+……+a11=0
而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∵n N*,∴1 n 30. ∴集合M的元素是由1至59共30个奇数组成.
∴这些元素的和为30(1 59) 900. 2
课本P24
*5.已知数列{an }的通项公式为an

例4、若数列{an}的通项公式为an=42n，求证数列{an}为等差数列。
知识：
1. 概念：等差数列的概念 2. 公式：等差数列的通项公式
数学思想、方法：
特殊到一般的思想、递推思想 、方程思想 等；
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，

1
2
1
2
=

，
2( −2)
= ，为常数( ∈ ∗ ).
1
，
2
1
2
( > 1， ∈
∗ )，记
∴数列{ }是首项为 ，公差为 的等差数列.
=
1
.求证：数
−2
新知探究
证明：(法二：等差中项法)∵ =
∴+2 =
+1
2(+1 −2)
4
=
4−
4

2(4− −2)
(m，n，p，q∈N*)
特别地，设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则有am＋an＝2ap. (m，n，p∈N*)
注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.
例如，15 ≠ 7 + 8 ， 但6 + 9 = 7 + 8 ；1 + 21 ≠ 22 ，但1 + 21 = 211 .
[方法二]由等差数列的性质知30 = 37 ，则7 = 10.
故3 − 25 = 3 − (3 + 7 ) = −7 = −10.
新知探究
例3.(1)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；
(2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
∴ = 1 + ( − 1) × (−20) = 220 − 20.
故从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
04
课堂小结
课堂小结
推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)
首末项两项之间的关系
任意两项之间的关系
an －a1

am+an=ap+aq
新知导入 问题：
等比中项与等差中项的区别? 提示： (1)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项 (2)两个数 a,b 的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等 比中项有两个
新知讲解 拓展
两个等比数列合成数列的性质
若数列{an},{bn }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列
(2)若{an}等比数列，公比为
,证明数列{log₃an} 为等差数列.
证明：
( 1 ) 由a₁=3,d=2,
得{an}的通项公式为an=2n+1.
设bn=3an,
则
又
b所₁=以3³，=2{73an}是以27为首项，9为公比的等比数列.
合作探究
例5已知数列{an}的首项a₁=3. (1)若{an}为等差数列，公差d=2, 证明数列{3an}为等比数列；
合作探究 解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an},{bn}.
由题意，知 an=1050×1.05n-1
bn=1-[90%+0.4%(n-1)] =0.104—0.004n
其 中 ，n=1,2,..,24,
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
anbn=1050×1.05n-1×(0.104-0.004n)
设BA=a₁,AA₁=a₂,A₁A₂=a₃,…,A₅A₆=a₇ ,
则
解： 等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=2, 所 以
AB=BA=a₁=2
同理 故数列{an}是首项a₁=2, 公 比 的等比数列，
课堂总结
1复习 2拓展 3例题 4课堂练习
板书设计
1温故知新 2拓展
3例4~6
4课堂练习

n n1
290 ,解得n 261
10，∴an
29.
∴该数列的项数为210 1 19，数列中间一项是29.
例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2 排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位.
解：由题意可知,该报告厅各排的座位数构成一个等差数列{an }.
和之比为 32∶27，则该数列的公差为________．
解 1：设该等差数列的首项为 a1，公差为 d，由题意可得 12a1＋12×2 11d＝354， 6(a61a＋1＋d)6＋×265×2×52×d2d＝3227， 解得 d＝5.
解 2： 由已知条件，得SS奇 偶＋ ∶SS偶 奇＝ ＝3325∶4，27， 解得SS偶 奇＝ ＝119622，. 又 S 偶－S 奇＝6d，∴ d＝192－6 162 ＝5.
练习：项数是偶数的等差数列{an}的公差为2, 所有奇数项之和是15, 所有
偶数项之和为25,则这个数列的项数是__1_0__.
析 : 设项数为2n项, S偶 S奇 nd,25 15 2n, n 5.
练习：等差数列{an }的前12项和是354, 其中偶数项之和与奇数项之和
的比是32 : 27,则该数列的通项公式an __5_n__－__3______.
4.2.2 等差数列的前n项和公式 (第二课时)
等差数列的判定方法 ①定义法：an1 an d (n N * ) {an}为等差数列
②等差中项法：an1 an1 2an (n 2) {an}为等差数列
③通项法：an pn q( p, q为常数) {an}为等差数列
④前n项和公式法：Sn An2 Bn( A, B为常数) {an}为等差数列

= 8.
2 + 2 + 2 = 116,
(方法 2)设这三个数分别为 a-d,a,a+d,由已知可得
(-) + + ( + ) = 18,
①
(-)2 + 2 + ( + )2 = 116, ②
由①得 a=6,代入②得 d=±2.
∵该数列是递增的,∴d=-2 舍去,∴d=2,∴这三个数分别为 4,6,8.
思维脉络
等差数列的性质
等差数列的性质及应用 性质的应用
利用等差数列解决实际问题
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1,公差为d,分别按照以下方法操作,
得到的数列还是等差数列吗?
(1)将数列中的前m项去掉;(2)取出数列中的所有奇数项;(3)取出数列中所
有序号为7的倍数的项.这些问题的结论就是今天我们要学习的“等差数列
探究三
等差数列的实际应用
例3《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积
成等差数列,最上面4节的容积之和为3升,最下面3节的容积之和为4升,则
从上往下数,第5节的容积为(
A.1 升
67
B. 升
66
)
47
C. 升
44
37
D. 升
33
分析设出等差数列的首项与公差,运用等差数列的知识解决.
a25=a1+24d=4+24× =40.
2
(方法2)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而
a25=2a15-a5=2×25-10=40.
(方法3)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.

解1: (1)依题意得
−
−
a1+4d=10
d= − = =3
a1+11d=31
∴ a25=a5+(25-5)d
解得 a1= - 2 , d =3
=10+20×3=70
∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70
{
(2) a10=a5+(10-5)d =10+5×2=20
一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn} 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若
不是 ，请说明理由.
分析: (1) {an}是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为
{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出{bn}的通项公
式；
(2)设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求
13
a
=
a
=


2
2
解得
或
3
3
d =
d =

2
2
∴这四个数所成的等差数列为2, 5, 8, 11或11, 8, 5, 2.
等差数列的性质
设 {an}是公差为d的等差数列，那么
性质1 an =a1+(n-1)d
−
性质2 d= −
性质3 an =am+(n-m)d
性质4
出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项.
例7 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，d=8 , 在{an}中每
相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成
一个新的等差数列{bn}.