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数学建模论文题目：数码相机定位班级：学号：姓名：年月日一、摘要本文针对图像标定问题，进行了分析讨论，根据题中的要求，给出了相应的算法。
首先采用灰度质心法获得靶标中心的像坐标。
传统的标定模型往往需要大量的特征点，且需要引入世界坐标，本题中给出的特征点只有5个，远远少于传统方法所需要的特征点数目。
因此本文并未采用传统方法，没有引入世界坐标，而是根据小孔成像原理和相应的几何关系将像面和靶标面统一在相机坐标下，建立了新的标定模型。
模型I:针对问题一，建立了特征点中心像坐标提取模型，将椭圆形光斑做质点处理，实现了圆或椭圆的中心到重心的转换，进而利用灰度质心法计算靶标中心的像坐标。
为了进一步提高灰度质心算法的精度和椭圆形光斑中心像面坐标的稳定性, 在灰度质心算法的基础上引入插值法以增加质心算法中的采样点数。
运用MATLAB软件模拟靶标图像，最终确定靶标图像的中心坐标。
模型II:根据相机成像原理，建立了几何模型，给出了靶标物坐标与像坐标之间的关系，运用MATLAB软件求解5个靶标中心像坐标,运用最小二乘法对求得数据进行拟合，最终得到一个靶标的近似平面，最终获得标定模型。
针对假设，提出问题，对模型进行检验分析。
利用MATLAB实现了对模型的求解过程，并对模型结果做出分析。
模型III:根据双目立体视觉原理可得到靶标上同一组特征点在两个相机坐标系下的两组坐标，应用最小二乘法获得旋转矩阵R和平移向量T，从而准确的得到了两相机坐标系的位置关系。
并对模型的精度和稳定性进行分析论证。
二、关键词灰度质心法最小二乘法小孔成像双目定位本文仿做大学生数学建模论文《数码相机定位分析》三、问题的重述1、问题提出的背景双目立体视觉的研究一直是机器视觉中的热点和难点，用双目立体视觉系统可以确定任意物体的三维轮廓，并且可以得到轮廓上任意点的三维坐标，双目视觉系统直接模拟人类双眼处理景物的方式，可靠简便，在许多领域均极具应用价值，如微操作系统的位姿检测与控制，机器人导航与航测，三维测量学及虚拟现实等，各种双目视觉系统结构各有优缺点，这些结构适用于不同的应用场合。
数码相机定位模型（题目）摘要此处为摘要正文一定要写好。
主要写三个方面：1. 解决什么问题（一句话）2. 采取什么方法（引起阅卷老师的注意，不能太粗，也不能太细）3. 得到什么结果（简明扼要、生动、公式要简单、必要时可采用小图表）关键词：差分近似，误差补偿算法，Simpson积分公式3-5关键词即可目录1.问题重述 .............................................................................................................. 错误!未定义书签。
2.模型假设 .............................................................................................................. 错误!未定义书签。
3.符号说明 .............................................................................................................. 错误!未定义书签。
……………………………说明：目录页可以没有，如果内容比较多，可以有目录页一问题重述二问题分析三模型假定四问题分析五模型建立与求解六模型检验七模型评价八模型推广结合社会实际问题九参考文献[1] 吕显瑞等,数学建模竞赛辅导教材,长春：吉林大学出版社,2002。
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具有仿射不变性的几何结构在相机定位中的应用摘要本文采用小孔成像的模型研究相机成像问题。
基于靶平面上的点与像平面上的点一一对应，本文研究了几种几何结构。
发现靶平面上两个圆的内公切线交点与两个圆心共线这种几何结构仿射到像平面上依然成立，即两个圆心和内公切线交点在像平面上的3个像点共线，并证明了这一结论。
本文提出一种运用0-1矩阵求公切线的算法，但在实际操作时采用作图法。
运用作图法可以在像平面上确定两个椭圆的内公切线交点，该交点为靶平面上两个圆的内公切线交点在像平面上所成的像。
靶平面上5个圆可以确定10个内公切线交点，这样用作图法就可以确定靶平面上10个内公切线交点在像平面上的10个像点。
在像平面上建立坐标，每个靶平面上的圆心的像用两个未知量表示，共有10个未知量。
根据已证明的结论可知，对于每个内公切线交点在像平面上的像点，都有相对应的两个圆心的像点与之共线，就可以得到共线所满足的方程。
10个内公切线交点的像点对应10个2次方程，10个未知量就可求出。
靶平面上的圆心的像就可以确定。
本文采用牛顿迭代法对2次方程组进行求解。
并研究了解的稳定性。
为了得到两部固定相机的相对位置，建立了2个像平面坐标系、2个相机坐标系和1个三维世界坐标系。
本文采用最小二乘法确定相机坐标系与三维世界坐标系的关系。
在具体算法中，并没有利用所求出来的靶平面上圆心以及它的像点的坐标求解，而是采用10个内公切线交点及其像点的坐标求解，这是因为圆心的像点是由内公切线交点的像点求出的，误差更大。
分别确定2个相机坐标系与三维世界坐标系的关系之后，就可以确定2个相机坐标系之间的关系。
最后，本文对模型进行了分析，对一些方法的精度进行了讨论。
关键词相机定位仿射不变性内公切线交点1 问题分析双目定位是用两部相机给物体拍照来定位。
对于物体上的一个特征点，用两部不同位置的照相机拍照，就获得该点在两个像平面上的坐标。
如果知道两部相机的相对位置，就可以知道该特征点的具体位置。
靶标圆心像坐标确定与数码相机定位摘要数码相机实现定位功能，需确定靶标圆心的像坐标。
本文就如何确定靶标圆心像坐标展开了讨论，并给出了计算两部相机相对位置的模型。
在问题一中，我们采用坐标变换的方法建立确定靶标圆心像坐标的模型。
根据坐标系之间的关系，分别通过物坐标系的旋转、平移以及相机坐标系的缩放，引入绕物坐标系三坐标轴旋转的角度θξϕ，，以及物坐标系平移的量度321,,t t t 等参数确定出物坐标系到像坐标系变换的方程，由此即可得到求解靶标圆心像坐标的模型。
求解方程里面的参数时，考虑到计算的方便，我们选择两圆内公切线的交点作为标定点。
计算它们的物坐标与像坐标，代入上述方程即可求得参数的值。
对于问题二，根据圆的有关性质，两条内公切线的斜率(或斜率倒数)分别为连接对应两圆上任意两点连线斜率(或斜率倒数)的最大值和最小值。
基于此，容易求得像坐标系里面对应的内公切线的方程，它们的交点即为标定点的像坐标，对应的物坐标容易得到。
然后将这些标定点的坐标分别代入问题一建立的物坐标系到像坐标系变换的方程，求解得到相应的参数θξϕ，，，321,,t t t 的值。
最后再将各园圆心的物坐标代入上述方程，求得各圆圆心像坐标结果为：A(-49.8577，50.6559)，B(-24.5423，49.1824)，C(32.5168，48.5784)，D(18.3139，-30.6194)，E(-60.3038，-30.3856)。
在问题三中，我们选取物坐标系里面一条直线上的9个点，对它们对应的像坐标进行一元线性回归分析，对模型的精度进行检验；最终得到这9个点拟合优度为0.9096非常接近1，说明模型精度较高。
对于模型稳定性的分析，我们将各圆圆心的物坐标向左偏移1mm,考查对应的像坐标的变化；得到各圆心像坐标的偏移量的平均值与圆心物坐标的偏移量的相对误差是2.62%，说明模型稳定性较好。
最后我们对问题一、二中模型进行了检验，在A,C,D,E 四个圆上分别选取一些特定的点，利用它们的像坐标分别求出其对应的物坐标，找到这些物坐标与对应圆心物坐标之间的距离，比较这些距离同圆半径的实际值(即12mm)的差值，最终得到它们相对误差的平均值是1.66%，说明模型的可行性是较高的。
东华理工大学数学建模一周论文论文题目：数码相机定位模型姓名1：肖旖学号：201320590110姓名2：学号：姓名3：学号：专业：班级：指导教师：乐励华年月日摘要本文是一个图像智能识别问题，通过连续问题计算机离散求解的思想，空间坐标变换以及圆心搜索算法，给出了数码相机定位的基本原理，建立了物体与像的一一对应关系，即由实际给出参数可以计算像的坐标，同时由两台相机中像的坐标可以唯一确定物体位置，完成系统标定。
问题一：数码相机定标是影响系统定位精度的关键因素之一，如何提高定标精度 对于提高整个系统的测量精度至关重要，从基于相机本身的内、外部参数和像在像平面上的位置关系这两个不同角度，我们分别建立了三个数学模型进行求解：基于针孔模型的畸变模型、切线模型和椭圆模型，并分别给出了各自的算法。
问题二：根据问题一中的切线模型和椭圆模型，在以相机的光心为原点的像平面上，Z 轴的正方向我们规定为：由光心指向外焦点，以像素为基本单位，得出：图像上的特征点，分别求出了每个模型的内外参数，利用理想的针孔模型进行检验，计算比较简单，但精度不够。
基于针孔模型的畸变模型虽然能够较好的处理镜头畸变问题，畸变模型定标，是先线性求解部分参数，然后考虑畸变引入一阶径向畸变系数，避免了非线性优化，能够较为准确的描述成像几何关系，但是模型计算比较繁琐。
椭圆模型是将图像进行近似化处理，畸变是影响精度的主要因素，基于图像本身的切线模型，精度及稳定性相对较好。
问题四：实质是两台相机坐标系的变换问题，我们建立了目标模型，根据双目定位，即可确定两台相机相对位置。
相机相对位置可以通过如下转换得出：21112211211221c c c c c c x x y R R y R R T T z z --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦((,,c c c x y z ）为相机的光心坐标系，R 为旋转矩阵，T 为平移向量)关键词 针孔模型 畸变模型 系统标定 双目定位一、 问题重述数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。
数码相机定位模型分析摘 要在交通监管中，要定位物体上一个特征点，需用两部固定于不同位置的相机拍摄得到物体的像，分别获得在两部相机平面上的坐标。
只要知道两部相机的精确的相对位置，就可以用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，也就确定了特征点的位置。
所以，进行数码相机的标定就是一项非常重要的工作，本文针对数码相机的标定问题，进行以下的研究工作。
1、根据数码相机成像原理，结合数字摄影测量学的有关内容，分别建立物方坐标系、图像坐标系、光心坐标系和辅助坐标系，定义拍摄照片的内、外方位元素，利用像点的空间直角坐标变换与中心投影构像方程，结合单像空间后方交会的有关概念，列出空间后方交会的误差方程式与法方程式，建立空间图像坐标的解算模型。
2、根据照片的像素以及各标志点所处的位置，利用基于几何特性的椭圆中心像坐标的快速求取方法，初步定出各标志点的中心图像坐标。
在建立的物方坐标系内，读出特征点的实际坐标，将相关数据引入前述模型中，采用非线性最小二乘法进行求解。
经11次迭代，求算的各点图像坐标为（单位：mm ）： （18.7685,19.1054A A x y =−=）（8.5091,B x =−18.0789B y =）（12.3984,C x = 16.1065C y =）（ 6.6438,11.1209D D x y ==−）（21.8276,11.6190E E x y =−=−）3、针对模型的精度问题，利用三点共线原理，将光心、特征点的坐标转换至物方坐标系内，并分别计算光心与各特征点连线在物方坐标系)(xoy 平面内的投影，反推各特征点的解算坐标，以解算坐标及实际坐标求算点误差距离，以误差距离平均值作为精度的评判指标，设计出精度评判方法。
引入一般数学问题不定性分析方法，结合各标志点初始图像坐标的变化对求解结果的影响，分析该算法的稳定性，得出在特定靶位的条件下，算法基本上能够保证稳定的结论。
4、建立光心坐标系与物方坐标系的的转换模型，求解两部相机光心坐标在物方坐标系内坐标，并利用三点共面原理建立确定两部相机相对位置的具体方法，从坐标及像平面夹角等几个方面给出相对位置的表达式。
数码相机定位数学模型数码相机定位第七组：李晨辉，姚晓红，孙娅摘要本文根据题意，在建立数学模型之前进行照相机成像原理的模型简化，将照相机复杂的成像过程看作简便的小孔成像过程。
世界坐标和像坐标之间的互相转化是本文主要的思想主线。
针对第一个问题，本文建立了简单易懂的小孔成像原理的数学模型。
本文将物体看作是无数特征点的集合，将特征点在建立的世界坐标中的坐标转换为物体在相机成像后的平面坐标，即像平面坐标。
通过旋转矩阵和平移矩阵等种种运算方式实现以上所述坐标的转换。
本文给出了确定像坐标的公式。
第二个问题是实际运算，首先通过RAC两步法求得数据，又根据重心法测得了实际的数据，本文进行了数据对比，判别了算法的正确性，结果偏移量的微小(点偏移量：A为0.020891；B为0.03088；C为0.068728；D为0.179126；E为0.013284；F为0.0058 G0.048；H为0.0714)说明我们算法较为准确，模型合理。
第三个问题我们运用了特殊点法，将二问中所得坐标与切线所得特殊点坐标进行对比校正，结果差距同样微小，本文以此分别验证了模型的稳定性和精确度。
而针对第四个问题，我们运用所建立的模型逆向转换，用物体在两台相机中的成像的不同数据确定了双目的位置。
总体上，本文主要进行了实际物体的世界坐标与它在相机里成像为平面图像的相机坐标之间的转换，相机平面坐标与其3D坐标之间的转换，相机3D坐标和世界坐标之间的互相转换。
这些转换是数码相机定位的关键。
关键字：小孔成像坐标变换 RAC两步法计算机扫描畸变因素1一、问题重述数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。
所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。
最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。
对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。
如果知道两部相机精确的相对位置,用几何的方法得到特征点在固定一部相机中的坐标,即确定了特征点的位置.因此此题的重点如何精确的确定两部相机的相对位置.此过程为为系统标定. 标定的一种做法:在一块平板上画若干个点,用双目定位,利用这两组像点的几何关系得到两部相机的相对位置,然而没有几何尺寸的点在像平面与物平面是无法直接得到的,实际上用有几何尺寸的圆代替点(圆为靶标),圆心就是几何的点了,但由于镜像这些圆会发生变形,因此标定是将这些圆的圆心的像精确的找到。
数码相机精确定位模型摘要针对数码相机定位问题，本文首先给出了确定像坐标的线性小孔模型和算法，并在此基础上给出确定两部相机相对位置的几何位置模型及最小二乘算法。
对于问题一，从摄影测量学的角度研究了相机图像和环境物体之间的对应关系，建立了直。
已知一组三维空间特征点坐标以及相机参数，来确定图像点坐标。
具体做法可分为四步，首先，为解决数码相机与特征点相对位置不确定的问题，建立了三个坐标系——世界坐标系、相机坐标系和图像坐标系(包括图象物理坐标系和图象像素坐标系)；其次，将世界坐标系内的特征点，利用直接线性变换方法(DLT)，并引入旋转、平移变换矩阵对应到图象像素坐标系中；再次，用HALCON软件确定相机的参数；最后获得靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标。
对于问题二,建立像平面上“伪椭圆”的边缘拟和与校正模型。
首先，运用亚像素边缘提取的方法得到像平面上“伪椭圆”的边缘离散点，然后根据“伪椭圆”最小二乘法拟合的方法，对这些离散点进行拟合，得到“伪椭圆”的中心，即圆心像点的近似初始位置。
为了使求解结果更加精确，我们采取了一种逐步的校正方法，即在解的精度未达到要求时，在该解的一个领域中搜索较优解，使得对于问题三，采用真实数据实验来检验我们提出的数码相机定位模型，利用固定参数数码照相机对靶标不同的方位拍摄5幅图像，然后用正交距离回归法进一步精确估计椭圆参数。
结果表明3幅以上的图像标定结果非常一致。
5次摄像机标定的摄像机参数的平均值和均方差介于0.5到2.5之间，相对比较小，表明我们的标定模型比较稳定。
同时，利用神经网络检验得出误差小于1.4个像素，因此可以说明模型精度较高。
对于问题四，利用问题一中的算法，求出摄像机的投影矩阵，并结合最小二乘法，可以求出世界坐标系中靶标的到每个相机的距离，然后只需通过做简单的几何运算即可求出两部固定相机的相对位置。
最后对问题一的线形模型进行改进，考虑到非线性变换造成了畸变，建立非线形模型。
数码相机的定位摘要数码相机的定位问题，实际就是关于对图的处理，射影关系的确定以及多种坐标系之间相互转化的综合考察，该题一共给出四个问题，前三个问题是关于数码相机双目定位原理的解释与求算，在已知原靶标的基础之上，我们能够利用图像之间的关系，实际点与射影点的相互关系来定位圆心，前三问分别是对该问题的解释，求算以及检验。
对于前三问，我们首先对图形进行处理，对给出的图像进行坐标化的处理可以让我们的计算由几何图形求解变成代数化处理，方便我们利用计算机辅助，而后的引入两个模型对圆心进行定位和计算，并利用共线和交比两个手段进行误差检验，。
模型一：我们利用射影后保持切线不变的性质来求解圆心坐标：对处理后的图像进行椭圆的多次拟合我们能够得到五个类椭圆的系数，随后我们通过切线的性质，找到任意两个椭圆的两组外公切点，通过外公切点的连线，没我们能够定位类椭圆的圆心坐标。
模型二：我们将靶标点成像看作是靶标向像点的映射，那么类椭圆的最上最下最左最右点也将是靶标上圆的四个极位点，他们的连线是靶标中圆的圆心，那么在类椭圆中，最上最下，最左最右四个点由于射影过程中上下左右位置并未改变，他们的连线同样可以确定圆心。
同时由于淡出求解映射点的方式误差相对大一些，我们引入对畸变的修正模型，对畸变进行修正，通过交比不变的性质对畸变系数进行求解，得到准确的结果。
在我们得到圆心坐标后，我们分别考察了ABC的共线情况来计算两个模型的误差，同时再利用消影点的只是，考察了ABCM的交比情况，得到实际理想状态下的交比为10:7，与我们的计算情况误差极小，确保了模型的准确性。
在解决了单个相机的定位问题，我们在第四问中解决两个相机的相互位置关系问题，我们首先推导了世界坐标系，相机坐标系以及像点坐标系的转化关系作为基础，再通过两个相机坐标系与世界坐标系的关系，找到单个坐标系向世界坐标系的转化矩阵，分别为旋转变化系数矩阵和平移变化系数矩阵，在定位两个坐标系分别于世界坐标系的转换方式后，我们最后在世界坐标系下找到两个相机坐标系的相对关系，通过高等代数的方法求解出两个相对坐标系的夹角。
关键词：公切线模型映射点模型畸变修正转化矩阵系统标定一、问题重述数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。
所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。
最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。
对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。
只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。
于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。
标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。
然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。
实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。
而它们的像一般会变形，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现要求解决下列问题：（1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；（2）对图中分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；（3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。
二、问题分析从问题中我们可以看出，本题的要求希望我们设计一套算法建立模型来对数码相机的标定过程进行求解，找到特征点对于固定的一部相机所在坐标系的对应坐标，前三个问题作为一体，从建模，求解，检验的三个环节来对提出的问题进行解答，第（4）问是在我们已经建立的算法体系下进行新的应用来解决两部数码相机相对位置的问题，因为题目中已经给出了需要求解的图片，我们必然要对图片根据要求进行处理和分析，具体的求解过程我们按问题来进行解释。
问题（1）：问题一强强调模型的构建和算法的提出，所以对模型的解释是第一问的重点，由于相机坐标系只有两个维度而真实的世界拥有三个维度，我们队模型的建立需要考虑透视射影的相关定理，并考虑相机所在坐标系和像所在坐标系的相互转化，为了确定靶标上的圆的圆心，我们需要根据特征点与圆心点的位置关系进行处理和判断，找到相关点的坐标从而确定圆心的坐标。
问题（2）：第二问是对第一问的具体求解应用，题目中给出了原图上的五个点及位置以及像图中五个点的变形情况以及相对位置，同时给出了图片的像素来让我们对图片进行相关的处理，我们对图片进行处理后导入matlab，利用数学上找特征点作图等手段来求解特征点从而找到圆心。
问题（3）：我们虽然找到了一定的方法来进行对圆心的求解，但是算法的误差水平我们并不知道，需要用一定的公理作为判断依据来对我们的记过进行误差与检验，得到误差及稳定性分析。
这里我们利用交比不变的性质作为判断依据来求解第三问。
问题（4）在前几问中，我们已经通过对数码相机照相原理的分析，建立了相应的几种坐标系，现在，我们通过前几问对圆心坐标的求解，在已经建立的坐标系下判断两台相机的相对位置关系，这一问并没有给出具体的数据让我们进行计算，所以我们需要做的是找到具体的算法。
三、模型的假设1.相机的各种属性，外界的条件不会发生改变。
2.物距远大于焦距，相机成像为简单的针孔成像。
3.认为相机镜头是理想情况，成像时不考虑边缘效应，躁点等因素的影响四、模型的建立与求解4.1原理的解释与说明4.1.1 数码相机成像（凸透镜成像）原理图：凸透镜成像原理如图，其中u为物距，f为透镜焦距，v为像距，三者满足下列关系:111u v f+=当u>>v时可以认为v=f，这也就是我们假设中认为的简单的针孔成像情况。
4.1.2共线点交比的定义假定x1 , x2, x3, x4为直线上的4个点,它们在某种参数化的齐次坐标为：x i = ( u i , v i ) T , i = 1 ,2 ,3 ,4于是他们的交比可以定义为cross[x1 , x2, x3, x4]=4.1.3 射影变换保持点的共线及交比不变性质若A , B , C, D 4个点共线,则经射影变换后，其对应的像点A′, B′, C′, D′仍然共线,且交比保持不变，即:cross ( A , B ; C, D) = cross ( A′, B′; C′, D′)4.1.4 射影变换保持直线与圆的相切性质圆的图像经射影变换后一般为椭圆,设直线A B 外切于圆O ，在此射影变换作用下，直线A B 的像A′B′与圆O 的像O′相切关系仍然保持。
4.1.5消影点直线上的无穷远点在像平面上的投影点成为该直线上的消影点，即消影点只与直线的方向有关而与直线的位置无关。
4.2 建模求解关于靶标圆心在相机像平面内坐标的求解与检验（问题一、二、三）4.2.1关于对图片的处理对于题中给出的图像，如果我们需要利用matlab来进行处理和运算求解，就需要先对图像进行处理，我们首先取出原图读入matlab，对图像进行数值化的处理得到一个1024*768的网格图像如下：图：数值化处理后的问题图像这样，我们可以很轻易地在坐标化处理后的图像中确定ABCDE五个类椭圆上各点的点位坐标，将几何问题代数化来解决。
像素中的坐标转化为实际物理坐标有如下公式：X u= Y v=4.2.2 利用模型求解模型一：基于摄影变换切线不变性质的切线求解模型我们在模型的原理解释中已经提到，射影变换中，靶标从原来的圆形变成像平面中的椭圆，但是切线仍然保持相切，所以我们的模型一以此作为最根本的依据，利用任意两圆外公切线不变的性质来定位圆心。
一、椭圆方程的数据拟合首先，经过对图片的处理以及根据像素转化的定位，我们能够确定像图类似椭圆上任意一点的坐标，此时我们认为该图形为椭圆，取椭圆方程的一般式作为基础来进行数据拟合得到五个椭圆的一般式方程。
椭圆的一般方程可以设为：F( x , y) = x2 + ax y + by2 + cx + d y + e = 0我们通过matlab自带的多元拟合函数直接对椭圆的系数进行拟合，拟合程序见附录，我们在像点坐标系下可以得到五个椭圆的相应系数如下表：表：椭圆系数拟合方程系数a b c d e图A的像Fa-0.08889 1.033333104.2667-111.1115348.444图B的像Fb-0.14286154.66327-102.0413062.061图C的像Fc-0.261540.946154-55.8538-76.92312595.269图D的像Fd-0.37692 1.107692-49.146276.923081593.523图E的像Fe-0.21656 1.235669113.764363.694274311.217二、利用公切线法求圆心通过最小二乘法的拟合，我们得到了五个椭圆在像坐标内的一般方程，利用公切线仍然相切这一性质，我们可以通过两次定位来找到两条直径，通过直径的交点来定位圆心。
具体原理如下：以求圆心C点的像坐标为例：作两圆B , C的外公切线,，C1 , C2分别为圆C的两切点。
类似地，作两圆C，D的外公切线，C3，C4为圆C两切点.。
由几何关系知，两直线C1C2和C3C4的交点必过圆心。
根据射影变换保持点的共线性及相切关系仍然保持可知：圆心C的像C’既在直线C1’C2’上,又在直线C3’C4’上。
具体圆的外公切线向椭圆的外公切线变化的示意图如下图所示，它们分别表示了圆上两条外公切线的位置关系和椭圆上外公切线的变化的位置关系，以及找到外公切点后连线定位坐标的方法，如下图：图：靶标向像点转化下的外公切线定位圆心示意图利用以上的方法，我们列出找到切点的函数然后利用matlab自带的程序从四点连线中定位圆心坐标最后得到模型一计算出的像的圆心坐标，通过转化公式，我们得到物理坐标下的圆心坐标如下：圆心A B圆心像坐标（-50.960,51.247）（-24.127,49.220）C D E(33.832,44.849)(18.825，-31.797)（-61.174，-31.560）模型二：利用映射关系建立模型求解我们知道，相机拍照的过程可以看作是一个映射：把把平面上的点映射到平面上，在摄影过程中，对应直线对应点的相对关系是不变的，所以在建立的靶标上，找到两条相交于圆心的直线，求得交点就是圆心的像，又由于相机对平面图形的照相保持上下、左右的位置关系，所以找到像上的极位点，最高最低最左最右四个点相交，就是圆心。
