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具有仿射不变性的几何结构在相机定位中的应用摘要本文采用小孔成像的模型研究相机成像问题。
基于靶平面上的点与像平面上的点一一对应，本文研究了几种几何结构。
发现靶平面上两个圆的内公切线交点与两个圆心共线这种几何结构仿射到像平面上依然成立，即两个圆心和内公切线交点在像平面上的3个像点共线，并证明了这一结论。
本文提出一种运用0-1矩阵求公切线的算法，但在实际操作时采用作图法。
运用作图法可以在像平面上确定两个椭圆的内公切线交点，该交点为靶平面上两个圆的内公切线交点在像平面上所成的像。
靶平面上5个圆可以确定10个内公切线交点，这样用作图法就可以确定靶平面上10个内公切线交点在像平面上的10个像点。
在像平面上建立坐标，每个靶平面上的圆心的像用两个未知量表示，共有10个未知量。
根据已证明的结论可知，对于每个内公切线交点在像平面上的像点，都有相对应的两个圆心的像点与之共线，就可以得到共线所满足的方程。
10个内公切线交点的像点对应10个2次方程，10个未知量就可求出。
靶平面上的圆心的像就可以确定。
本文采用牛顿迭代法对2次方程组进行求解。
并研究了解的稳定性。
为了得到两部固定相机的相对位置，建立了2个像平面坐标系、2个相机坐标系和1个三维世界坐标系。
本文采用最小二乘法确定相机坐标系与三维世界坐标系的关系。
在具体算法中，并没有利用所求出来的靶平面上圆心以及它的像点的坐标求解，而是采用10个内公切线交点及其像点的坐标求解，这是因为圆心的像点是由内公切线交点的像点求出的，误差更大。
分别确定2个相机坐标系与三维世界坐标系的关系之后，就可以确定2个相机坐标系之间的关系。
最后，本文对模型进行了分析，对一些方法的精度进行了讨论。
关键词相机定位仿射不变性内公切线交点1 问题分析双目定位是用两部相机给物体拍照来定位。
对于物体上的一个特征点，用两部不同位置的照相机拍照，就获得该点在两个像平面上的坐标。
如果知道两部相机的相对位置，就可以知道该特征点的具体位置。
高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：数码相机定位摘要柯达于1975年开发世界第一部数码相机。
由此，数码照相机便家喻户晓起来。
数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。
所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。
最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。
对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。
只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。
于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。
标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。
然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。
数码相机定位(2008年数学建模A题)题目：数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。
而固定数码 相机最常用的方法是双目定位法。
即用两部固定于不同位置的相机摄得一个特征 点不同的两个像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。
只要知道两部相机 精确的相对位置， 就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的 坐标，即确定了特征点的位置。
于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位 置就是关键，这一过程称为系统标定。
标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。
然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有。
实际的做法是在物平面上画若几何尺寸的“点”干个圆它们的圆心就是几何的点了。
（称为靶标），而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。
图 1 靶标上圆的像有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应 为 A、C、D、E）为圆心，12mm 为半径作圆。
以 AC 边上距离 A 点 30mm 处的 B 为 圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。
图 2 靶标示意图用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。
图 3 靶标的像（1） 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y 平面平行于像平面；（2）对由图 2、图 3 分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平 面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是 1577 个像素单 位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；（3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。
收稿日期:2009-03-08作者简介:钟瑜(1988- ,男,重庆涪陵人,重庆三峡学院信息与计算科学专业 2007级学生.-147-数码相机定位模型研究钟瑜谢娜娜李丽帆(重庆三峡学院数学与计算机科学学院,重庆万州 404000摘要:本文针对如何确定像的坐标和相机间的距离,设计了一个计算系统,可以算出物平面上的点对应的像点的坐标,也可以通过像点和靶标中的特征点算出数码相机间的距离.该问题的核心是用数码相机摄制物体的相片来确定物体表面某些特征点的坐标.其中涉及到几何问题与凸透镜成像问题.关键词:相机定位;凸透镜成像;最小二乘解;超平面拟合中图分类号:V275.1 文献标识码 :A 文章编号 :1009-8135(200903-0147-021 问题模型随着现代科学技术的飞速发展,数码相机的使用越来越广泛,它以“摄像监控员”的身份服务于各大商场,在现代交通监管等方面,数码相机定位占据了重要的位置,利用数码相机定位可以解决很多生活中的实际问题,此数码相机定位模型还可以适用于对卫星以及其他星球的定位,数码相机的定位模型可以推广到 GPRS 全球定位系统.2 物象特征点坐标转换模型的建立下面我们根据高斯公式和牛顿放大率公式建立初步模型如下:图 1 凸透镜成像示意图如图(1所示:以凸透镜光心 O 为坐标原点,以光轴所在的直线为 z 轴,以过 O 垂直于 z 轴的一条直线为 x 轴,过 O 点垂直于 z 轴、 x 轴的另一条直线为 y 轴建立三维空间坐标系为 Oxyz ,以 z 轴与像平面的交点 O 2为坐标原点,平移 Oxyz 得:O 2 xyz, 以 z 轴与物平面的交点为 O 1为坐标原点,平移 Oxyz 得:O 1 xyz 结合前面提到地高斯公式和牛顿放大公式可得:111, , u t f u v f v t f −−−′′=++==∆+ , 由上述的关系, 可以用 v 和f ′表示 /( uf v v f ′′=−, 由牛顿放大率公式/( h f h u f ′′=−, 其中 h 和 ' h 分别表示物高和像高.假设物平面上任意一点 P 的坐标为 (, , x y z , 像平面上的 P 的像点 1P 的坐标为 111(, , x y z ,所以-148-111/(, /(, x f x z f y f y z f z v ′′′′=−=−=.3 物平面靶标特征点像坐标模型分析及求解用几何知识做靶圆的切线可得各靶圆的圆心与切线的关系,如图2所示.图 2 靶标示意图图 3 靶标的像图根据透视仿射对应保持结合性,用几何画板计算靶标上靶圆的像中圆心的坐标:①建立直角坐标系,如图 (3.然后做出靶标中靶圆的像的切线各个切点分别为, , , , , , , , F G I H J N K M L ′′′′′′′′′. 再利用几何知识找出靶圆圆心的像点.②用几何画板计算出物平面中各个靶圆的圆心的像的坐标,然后根据公式换算出各个点的像素(坐标 .利用成像几何保持结合关系不变的性质,确定出靶标圆圆心的像点 . 计算出像平面的大小 (27.08*20.32 cm2.把“靶标的像”图等比例放到几何画板中去,以“靶标像”图片的几何中心作为直角坐标系的原点建立直角坐标系,再用几何画板的求出图中各点, , , , A B C D E ′′′′′所对应的坐标,见图 (3.再以“靶标像”图的左下角为原点,换算出新直角坐标系下各点的像数(坐标(322582, (442573,A B ′′××(638556, (584262, (286273 C D E ′′′×××其中单位为像素.4 模型的精确性和稳定性的检验在模型(1的假设检验中我们采用了双参数变动法:利用第二个模型中的计算出的靶标上靶圆的圆心像的坐标. 先固定像中 11(, A x y ′′′的坐标然后假设出一个物距增量 r ,利用模型一中的结论:容易计算得到物平面靶标中特征点 A 的坐标(111, , x y z 和像中 11(, A x y ′′′的坐标的关系. 1' ' ' 111111( /, ( /, /(x z f x f y z f y f z f v v f ′′′=−−=−−=−−再选取点, , , B C D E ′′′′中的某一个点的坐标,假设该点的坐标为(222, , x y z ′′′ , 所不同的是对此点的 z坐标增加了增量 r ,从而得到物平面中的点的坐标与其像平面像点之间的关系:2122122( /', ( /, /( x z f x f y z f y f z f v v f ′′′′′=−−=−−=−−.通过 C 程序多次迭代可以得到物平面上各点坐标.将物平面上点 , , , , A B C D E 的计算数据拟合出超平面为 012z a a x a y =++, 用矛盾方程最小二乘解理论结合 MA TLAB 容易得到01249.3424, 0.2415, 0.3216a a a =−=−=超平面方程为:49.34240.24150.3216z x y =−−+.其最小二乘误差0.24∆=cm 2.所得最小二乘误差值表明,在 turbo c 2. 0程序中计算出的实物平面上靶标圆的圆心的坐标,用这些点拟合成一个平面,经分析误差很小,在允许的误差范围,可以忽略不计.由此可见,此模型的精度较高.在 turbo c 2. 0程序中,改变焦距 f 和物距增量 r 的大小,依照上述计算方法,根据像平面上点, , , , A B C D E ′′′′′的坐标得到物平面上 , , , , A B C D E的另一组坐标:(5.3485,5.6569, 44.3615, (2.5910,5.5952, 45.5115, (4.0553,5.5699,45.5115,(2.5486,4.3555, 50.4915, (7.2090, 3.5923, 47.6815, A B C D E −−−−⎧⎪−−−⎨⎪−−−⎩同理可以拟合出超平面48.33530.3062 0.3666z x y =−−+及最小二乘误差′∆=0.4602cm2.由上述误差容易分析出, 当焦距为 21. 5cm 到 21. 86cm 发生微小变化时,产生的误差变化不大, 在允许范围内波动,由此可以认为此检验方法的稳定性比较高.该建模获得 2008年重庆市数学建模大赛一等奖指导教师:刘学飞. (责任编辑:余先伦。
高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
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本文利用MATLAB 对圆的边界提取，再用最小二乘法拟合椭圆曲线，并借助摄影测量基本公式建立二维模型求得靶标圆心像坐标。
并对该模型作t 检验，再利用针孔模型分别求得两部相机像平面对应于物平面的旋转向量12,R R 和平移向量12,t t ，进而确定两相机的相对位置。
首先，我们假设：已知四点的物平面坐标和像平面坐标，借助摄影测量基本公式建立二维模型求得物平面与像平面的对应关系，但有12,c c ...8c 八个未知数待定（将在第二问中给予求解）。
其次，我们根据A 、B 、C 、D 、E 五个圆形靶标的成像情况利用MATLAB 软件提取其边缘阈值。
在此基础上利用最小二乘法拟合椭圆求得其中心坐标。
数码相机定位模型分析摘 要在交通监管中，要定位物体上一个特征点，需用两部固定于不同位置的相机拍摄得到物体的像，分别获得在两部相机平面上的坐标。
只要知道两部相机的精确的相对位置，就可以用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，也就确定了特征点的位置。
所以，进行数码相机的标定就是一项非常重要的工作，本文针对数码相机的标定问题，进行以下的研究工作。
1、根据数码相机成像原理，结合数字摄影测量学的有关内容，分别建立物方坐标系、图像坐标系、光心坐标系和辅助坐标系，定义拍摄照片的内、外方位元素，利用像点的空间直角坐标变换与中心投影构像方程，结合单像空间后方交会的有关概念，列出空间后方交会的误差方程式与法方程式，建立空间图像坐标的解算模型。
2、根据照片的像素以及各标志点所处的位置，利用基于几何特性的椭圆中心像坐标的快速求取方法，初步定出各标志点的中心图像坐标。
在建立的物方坐标系内，读出特征点的实际坐标，将相关数据引入前述模型中，采用非线性最小二乘法进行求解。
经11次迭代，求算的各点图像坐标为（单位：mm ）： （18.7685,19.1054A A x y =−=）（8.5091,B x =−18.0789B y =）（12.3984,C x = 16.1065C y =）（ 6.6438,11.1209D D x y ==−）（21.8276,11.6190E E x y =−=−）3、针对模型的精度问题，利用三点共线原理，将光心、特征点的坐标转换至物方坐标系内，并分别计算光心与各特征点连线在物方坐标系)(xoy 平面内的投影，反推各特征点的解算坐标，以解算坐标及实际坐标求算点误差距离，以误差距离平均值作为精度的评判指标，设计出精度评判方法。
引入一般数学问题不定性分析方法，结合各标志点初始图像坐标的变化对求解结果的影响，分析该算法的稳定性，得出在特定靶位的条件下，算法基本上能够保证稳定的结论。
4、建立光心坐标系与物方坐标系的的转换模型，求解两部相机光心坐标在物方坐标系内坐标，并利用三点共面原理建立确定两部相机相对位置的具体方法，从坐标及像平面夹角等几个方面给出相对位置的表达式。
数码相机定位数学模型数码相机定位第七组：李晨辉，姚晓红，孙娅摘要本文根据题意，在建立数学模型之前进行照相机成像原理的模型简化，将照相机复杂的成像过程看作简便的小孔成像过程。
世界坐标和像坐标之间的互相转化是本文主要的思想主线。
针对第一个问题，本文建立了简单易懂的小孔成像原理的数学模型。
本文将物体看作是无数特征点的集合，将特征点在建立的世界坐标中的坐标转换为物体在相机成像后的平面坐标，即像平面坐标。
通过旋转矩阵和平移矩阵等种种运算方式实现以上所述坐标的转换。
本文给出了确定像坐标的公式。
第二个问题是实际运算，首先通过RAC两步法求得数据，又根据重心法测得了实际的数据，本文进行了数据对比，判别了算法的正确性，结果偏移量的微小(点偏移量：A为0.020891；B为0.03088；C为0.068728；D为0.179126；E为0.013284；F为0.0058 G0.048；H为0.0714)说明我们算法较为准确，模型合理。
第三个问题我们运用了特殊点法，将二问中所得坐标与切线所得特殊点坐标进行对比校正，结果差距同样微小，本文以此分别验证了模型的稳定性和精确度。
而针对第四个问题，我们运用所建立的模型逆向转换，用物体在两台相机中的成像的不同数据确定了双目的位置。
总体上，本文主要进行了实际物体的世界坐标与它在相机里成像为平面图像的相机坐标之间的转换，相机平面坐标与其3D坐标之间的转换，相机3D坐标和世界坐标之间的互相转换。
这些转换是数码相机定位的关键。
关键字：小孔成像坐标变换 RAC两步法计算机扫描畸变因素1一、问题重述数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。
所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。
最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。
对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。
如果知道两部相机精确的相对位置,用几何的方法得到特征点在固定一部相机中的坐标,即确定了特征点的位置.因此此题的重点如何精确的确定两部相机的相对位置.此过程为为系统标定. 标定的一种做法:在一块平板上画若干个点,用双目定位,利用这两组像点的几何关系得到两部相机的相对位置,然而没有几何尺寸的点在像平面与物平面是无法直接得到的,实际上用有几何尺寸的圆代替点(圆为靶标),圆心就是几何的点了,但由于镜像这些圆会发生变形,因此标定是将这些圆的圆心的像精确的找到。
数码相机的系统标定模型摘要本文研究了通过靶标与像的几何关系标定出相机的相对位置的问题。
本文模型通过假设一条直线透过相机镜头成的像仍然是一条直线，交点的像仍然是交点，用切线法得到了精确确定靶标上圆的圆心在相机像平面上的像坐标的方法；并对上述算法进行了误差的理论分析，得到结论：当切点求取有误差时，待确定中心点的横向和纵向误差。
关键字系统标定；切线法；Surfer软件；误差分析一、问题的重述数码相机定位可以确定物体表面某些特殊点的位置，常用方法是双目定位，而该方法的关键是如何确定两部数码相机的相对位置，这一过程被称为系统标定。
标定的方法有很多，原题中给出了一种标定方法，即在一块靶标上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。
实际的做法是在物平面上画若干个圆（成为靶标），它们的圆心即为几何中心的点了，而它们的像一般会变形，所以要实现标定，就必须把靶标上的圆心的像精确的找到。
为了方便实现标定，题目中给出了一种靶标的设计方法，并给出了用一部固定的数码相机拍摄的像。
题目要求设计数学模型和算法确定靶标上的圆心在相机的像平面上的像坐标，同时还要讨论方法对模型的精度和和稳定性的影响。
因为靶标上圆的几何关系已知，通过靶标与像的几何关系可以计算出相机的相对位置，需要我们建立模型和方法来求解。
二、模型的假设1、通过靶标上的光线经过数码相机时符合光学规律，通过光学中心的光线不发生折射现象。
2、一条直线透过相机镜头成的像仍然是一条直线。
3、四边形的对角线的交点透过相机镜头后仍在其所成的四边形的像的对角线的交点上。
4、一个圆和它的切线透过相机镜头后所成的像仍然相切。
5、透过相机镜头得靶标在照相机中所成的像是由小孔成像原理通过光学中心在像平面所形成的倒立的，缩小的实像。
6、所给的靶标的像的图片与像平面上原像中的比例关系一致。
7、数码相机照相时不出现人为误差，数码相机功能完好。
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我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：数码相机定位模型摘要本文利用光学原理建立物体成像位置关系的数学模型，解决了相机系统标定中的如何确定靶标圆心对应像坐标和固定相机的相对位置等问题。
针对如何确定靶标圆心对应像坐标问题，我们分析讨论了各种影像分析方法，基于针孔成像原理和相机坐标系变换矩阵的思想，建立了线性相机模型，利用透视变换矩阵确定摄像机的位置标定思想给出算法，通过找靶标和像平面上对应公切线切点的方法取点，利用取定的点和算法求得相机成像内外参数，利用MATLAB编程求解，求得靶标圆心对应像坐标。
结果如下：在问题1要求的三维坐标系下A,B,C,D,E圆心对应的像坐标是（单位：mm）：（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）.针对设计一种方法检验我们模型的问题，我们采用最小二乘法拟合椭圆，确定中心点，改变所选取的标定点，求得多组中心的值，比较每组中心值与拟合的中心点，差别不大。
并对方法的精度和稳定性进行了讨论。
针对如何确定两部固定相机相对位置的问题，以物坐标为中间变量，通过坐标矩阵的变换建立模型，给出算法，最终确定两部相机的相对位置。
本论文通过两种方法对比分析，结果相对吻合，模型的可信度较高。
考虑到畸变因素的影响，本论文进行了模型改进，使模型具有更高的精度，有较强的推广性。
关键词：针孔成像线性相机模型坐标系变换矩阵公切线切点最小二乘法拟合椭圆1、问题重述数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。
所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。
最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。
对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。
只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。
于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。
标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。
然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。
实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。
而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。
图1 靶标上圆的像有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。
以AC边上距离A点30mm处的B 为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示（略）。
用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示（略）。
问题：（1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的焦点，x-y平面平行于像平面；（2）对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为个像素单位)，相机分辨率为1024×786；（3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。
2、模型假设假设相机镜头（凸透镜）前后两侧弧度、介质均相同，即镜头前后两侧折射率相同。
假设相机镜头是很完善的，没有缺损或倾斜等外部形变。
假设物平面和像平面的中心与镜头的光学中心在同一条直线（光轴）上。
假设物平面的点经透镜折射后都可以被像平面接到。
假设问题1中靶标和像平面的图形是已知的。
像平面上点的像坐标的原点为该相机的光学中心，x-y平面平行与像平面。
假设不考虑照相机畸变。
有效焦距f为相机镜头光学中心到像平面的距离，即像距。
3、符号说明O x y：图像像素坐标系f f f(,)u v：像点像素坐标OXY：图像物理坐标系X Y：像点物理坐标(,)(,,)x y z：物点相机坐标系c c cOx y z：世界坐标系w w w(,,)x y z：物点世界坐标w w wR：旋转正交变换矩阵T：平移变换矩阵f：有效焦距M：为相机成像内部参数阵1M：为相机成像外部参数阵2M：称为投影矩阵4、模型建立及求解问题14.1.1问题分析本问题的整体思路是：在仅已知物平面和像平面，相机的其他属性参数未知的前提下，建立照相机模型，确定靶标（物平面）上的点到该照相机像平面的像坐标的映射关系，其中包括照相机成像系统内外几何及光学参数的标定，从而达到只要给定标靶上的点，就可直接通过模型求得其像坐标的目的。
在具体建立照相机模型时，由于照相机与摄相机在成像原理上没有本质区别，因此沿用现有比较成熟的摄机标定技术的理论思想。
对于问题1，根据假设，靶标和像平面的图形是已知的，利用针孔成像原理建立模型，引入常用的相机模型坐标体系，确定各坐标体系的转换关系，建立线性相机模型，利用透视变换矩阵的相机标定技术的思想给出算法，求取相机模型的内部参数和外部参数。
考虑到上述模型是基于靶标点与像点已确定的前提下才能实现的，而实际上我们看到的只是靶标上的若干个圆和其拍摄的像（圆的变形图），不是模型中要求的“点”。
因此我们结合光学成像原理和两图形几何位置关系确定若干组特殊靶标点和对应像点。
将靶标点与对应像点带入模型，求得相机成像系统的内外参数。
此时只要给出靶标上的点，即可求得其像坐标。
建模流程图如下：4.1.2 问题1模型建立：4.1.2.1坐标系为了定量的描述光学成像过程，计算机一般采用右手定则定义坐标体系，即图像像素坐标系，图像物理坐标系，相机坐标系和世界坐标系，如图1。
【1】图1✧ 图像像素坐标系：在图像上定义直角坐标系f f f O x y ，本模型中原点f O 在图像平面的左下角，(,)u v 是以像素为单位的图像坐标系的坐标。
✧ 图像物理坐标系：用物理单位表示图像像素位置，定义坐标系OXY ，原点O定义在相机与图像平面交点，(,)X Y 是以毫米为单位的图像坐标系的坐标。
✧ 相机坐标系：相机坐标系Oxyz 是固定在相机上的直角坐标系，其原点O 定义在相机的光心，,x y 轴分别平行于图像物理坐标系的,x y 轴，c z 与光轴重合，(,,)x y z 是物点相机坐标。
✧ 世界坐标系：坐标系w w w Ox y z 描述环境中任何物体的位置，根据具体情况而定。
4.1.2.2常用坐标系变换关系【2】（1）从世界坐标系(,,)w w w x y z 到相机坐标系(,,)x y z 的变换，世界坐标系中的点到相机坐标系的变换可由一个正交变换矩阵R 和一个平移变换矩阵T 表示：111213212223313233 w w w w w w x r r r x x y R y T r r r y T z z r r r z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1）用齐次坐标和矩阵形式表示为：0 111w w T w x x R T y y z z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）其中：,,Tx y z T t t t ⎡⎤=⎣⎦是世界坐标系原点在相机坐标系中的坐标，正交旋转矩阵123456789 r r r R r r r r r r ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且矩阵元素满足：222123222456222789111r r r r r r r r r ++=++=++=正交旋转矩阵中的三个独立变量123,,r r r ，加上平移矩阵中的,,x y z t t t 总共有6 个参数决定了相机光轴在世界坐标系中空间位置，因此这六个参数称为相机外部参数。
(2) 从相机坐标系到图像物理坐标系的理想投影变换(f 为有效焦距)即针孔模型下的理想透视投影变换，有下式成立/ Y /X f x z f y z =⋅⎧⎨=⋅⎩ （3） 同样用齐次坐标和矩阵表示上式为:0 0 00 0 010 0 1 01x X f y z Y f z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(4) 将上式的图像坐标系进一步转化为图像坐标系：00//x x y y u u X d s X v v Y d s Y -==⋅⎧⎪⎨-==⋅⎪⎩(5) 齐次坐标表示为：00 0 0 110 0 1x y s u u X v s v Y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (6) 其中,00,u v 是图像中心（光轴与图像平面的交点）坐标，,x y d d 分别为一个像素在X 与Y 方向上的物理尺寸，1/1/x x y y s d s d ==，分别为X 与Y 方向上的采样频率，即单位长度的像素个数。
由此可得物点P 与图像像素坐标系中像点P 的变换关系：00////x x y y u u f s x z f x z v v f s y z f y z -=⋅⋅=⎧⎪⎨-=⋅⋅=⎪⎩（7） 其中， , x x y y f fs f fs ==分别定义为X 和Y 方向的等效焦距。
0,0,,x y f f u v 等4 个参数只与相机内部结构有关，因此称为相机内部参数。
（3） 世界坐标系与图像物理坐标系变换关系（共线方程）0111213313233212220313233w w w x x w w w z w w w yy w w w z u u r x r y r z t X f f r x r x r x t r x r y r z t v v Y ff r x r x r x t -+++⎧==⎪+++⎪⎨+++-⎪==⎪+++⎩ （8） 齐次坐标表示为：0012 0 0 z =0 v 0 =M 0 110 0 1 01w x w y T w x f u u R T y v f M X MX z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(9) 上式就是摄影测量学中最基本的共线方程,说明物点、光心和像点这三点必须在同一条直线上。
