数学建模-数码相机(高一)
- 格式：doc
- 大小：280.50 KB
- 文档页数：9
下载文档原格式
合集下载
数学建模数学建模简介
数学建模的一般步骤
实际问题
抽象、简化、假设 确定变量、参数
建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数
用实际问题的实测数据等来检验该数学模 型
不符合实际
符合实际
交付使用，从而可产生经济、社会效益
数学模型（Mathematical Model）
• 数学模型是对于现实世界的一个特定对象， 一个特定目的，根据特有的内在规律，做出 一些必要的假设，运用适当的数学工具，得 到一个数学结构。
A 2001
B A 2002 B A 2003 B A 2004 B
血管的三维重建 公交车调度
车灯线光源的优化设计 彩票中的数学
非典型肺炎的传染和控制 露天矿生产的车辆安排 奥运会临时超市网点设计 电力市场的输电阻塞管理
2005 2006 2007 2008
A
长江水质的评价和预测
B
DVD 在线租赁
年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 -2009
省（市、自治区）数 10 16 21 23 25 26 26 26 33
院校数 79 101 196 259 337 373 400 460
1137
队数 314 420 867 1234 1683 1874 2103 2657 15042（12272 ＋2770）
• 全国高校规模最大的课外科技活动 • 1999年开始设立大专组的竞赛
竞赛内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问 题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充 分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。
竞赛形式：三名大学生组成一队，可以自由地收集 资料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件， 在三天时间内分工合作完成一篇论文。
2008年数学建模A题论文
靶标圆心像坐标确定与数码相机定位摘要数码相机实现定位功能，需确定靶标圆心的像坐标。
本文就如何确定靶标圆心像坐标展开了讨论，并给出了计算两部相机相对位置的模型。
在问题一中，我们采用坐标变换的方法建立确定靶标圆心像坐标的模型。
根据坐标系之间的关系，分别通过物坐标系的旋转、平移以及相机坐标系的缩放，引入绕物坐标系三坐标轴旋转的角度θξϕ，，以及物坐标系平移的量度321,,t t t 等参数确定出物坐标系到像坐标系变换的方程，由此即可得到求解靶标圆心像坐标的模型。
求解方程里面的参数时，考虑到计算的方便，我们选择两圆内公切线的交点作为标定点。
计算它们的物坐标与像坐标，代入上述方程即可求得参数的值。
对于问题二，根据圆的有关性质，两条内公切线的斜率(或斜率倒数)分别为连接对应两圆上任意两点连线斜率(或斜率倒数)的最大值和最小值。
基于此，容易求得像坐标系里面对应的内公切线的方程，它们的交点即为标定点的像坐标，对应的物坐标容易得到。
然后将这些标定点的坐标分别代入问题一建立的物坐标系到像坐标系变换的方程，求解得到相应的参数θξϕ，，，321,,t t t 的值。
最后再将各园圆心的物坐标代入上述方程，求得各圆圆心像坐标结果为：A(-49.8577，50.6559)，B(-24.5423，49.1824)，C(32.5168，48.5784)，D(18.3139，-30.6194)，E(-60.3038，-30.3856)。
在问题三中，我们选取物坐标系里面一条直线上的9个点，对它们对应的像坐标进行一元线性回归分析，对模型的精度进行检验；最终得到这9个点拟合优度为0.9096非常接近1，说明模型精度较高。
对于模型稳定性的分析，我们将各圆圆心的物坐标向左偏移1mm,考查对应的像坐标的变化；得到各圆心像坐标的偏移量的平均值与圆心物坐标的偏移量的相对误差是2.62%，说明模型稳定性较好。
最后我们对问题一、二中模型进行了检验，在A,C,D,E 四个圆上分别选取一些特定的点，利用它们的像坐标分别求出其对应的物坐标，找到这些物坐标与对应圆心物坐标之间的距离，比较这些距离同圆半径的实际值(即12mm)的差值，最终得到它们相对误差的平均值是1.66%，说明模型的可行性是较高的。
大学生数学建模竞赛全国一等奖获奖论文之物理和数学的结合
数码相机定位摘要本文是双目定位的具体模型和方法进行了研究，分别给出了针孔线性模型、椭圆线性回归模型、RAC模型等并对其进行研究。
对于问题一，在针孔线性模型的基础上，通过对数码相机内外部参数的标定，确定靶标到靶标像的坐标转化关系，建立其坐标转换模型。
对于问题二，利用图像处理所得的像素模拟图表确定20组特征点的坐标在世界坐标系和图像坐标系的坐标，代入上述转换关系来确定系数矩阵M，进而求得圆心在像平面的像坐标，然后利用畸变校正模型对结果进行校正。
结果为左上圆（119.0938，69.6890）、中间圆(155.7689,72.4757)右上圆(234.6404,78.4603)、左下圆(105.4604,185.3796)右下圆(214.5271,184.9706)。
对于问题三，建立椭圆线性回归模型对靶标的像进行拟合，得到的图像中心坐标即为圆心在像平面的像坐标。
结果分析还表明该方法的精度和稳定性都比较好。
结果如下：左上圆（120.0039，69.2536）、中间圆(155.1462,73.0654)右上圆(236.2001,77.8279)、左下圆(103.4572,182.3599)右下圆(216.8469,179.6788)。
模型三与模型一的结果相差最大为2.945%。
很好地验证了模型一的结果的准确性对于问题四，利用RAC模型，确定出单个相机的外部参数，得出其旋转矩阵和平移向量，即完成单个相机的定标，然后利用其几何转化由相机各自的旋转矩阵和平移向量求解出两个相机的相对位置。
关键词：针孔线性模型像素模拟图表畸变校正曲线拟合RAC模型一．问题的重述与分析已知：一靶标和用一位置固定的数码相机摄的它的像，如题目中图3所示。
其中靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。
以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如题目中图1.1所示。
数学建模十大经典算法( 数学建模必备资料)
建模十大经典算法1、蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。
4、图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7、网格算法和穷举法。
网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8、一些连续离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9、数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10、图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。
历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A 出版资源配置06B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 07A 中国人口增长预测 07B 乘公交，看奥运 多目标规划 数据处理 图论 08A 数码相机定位 08B 高等教育学费标准探讨09A 制动器试验台的控制方法分析 09B 眼科病床的合理安排 动态规划 10A 10B赛题发展的特点：1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B ，某些问题需要使用计算机软件，01A 。
2017数学建模B题问题1解析——“拍照赚钱”的任务定价
【 关键词】 拍照赚钱 ； 多元 回归分析 ； 插 值与数据拟合 【 基金项 目】 ２ ０ １ ７年 陕 西省 教 育厅 科 学研 究项 目（ 编
号： １ ７ Ｊ ＫＩ １ ７ ７） ．
依据最ｄ ｘ Ｚ－ 乘法原理 ， 借助 Ｓ Ｐ Ｓ Ｓ软件对 ｎ ． ， ｎ ： ， 的值
随 着信 息 时代 的进 步 ， 智能手 机的像素越 来越 高 ， 拍 照 也 从 数 码 相 机 过 渡 到 了手 机 ， 手 机 不 仅 可 以拍 出生 活 照 、 风 景照等 ， 它还可 以用来拍照赚钱 ， 只要你 的手机 能拍 出清 晰 进行估计 ， 可 以得 到 表 ｌ 一 表３ ．
一． ３ ８ ８ 一ｌ ５１ ． ６ ４ ０ ． ｏ ｏ ｏ ． ３ ２ ４ １ ２ ８． １ ２１ ． Ｏ ０ ｏ
ｔ
Ｓ ｉ ｇ ．
４ ２ ９ ９ ． ７ ０ ９ ２ ２ ． ３ １ ６ ． Ｏ ｏ ｏ
． ０ ０ ４ ． １ ５ ０ ５ ４ ９
＝
ｄ ｘ ｚ． 乘法求解参 数． 以二 阶线性 回归模型为 例 ， 求 解 回归 参
数 的标 准 方 程 组 为
０． ４ ４７．
所 以任务定价 与 Ｇ Ｐ Ｓ纬度 、 Ｇ Ｐ Ｓ经度 、 任务执行情况 的
函数 关 系式 为
Ｙ ＝一０ ． ０ １ ８ ｘ ｌ一０ ． ５ ４ ９ ｘ ２＋１ ９ ． ２ ２ ６ ｘ ２＋４ ． ７ ２ ９ ． （ １ ）
残 差 ８ ． １ ６ ６ Ｉ ｏ ８ ９ ２ ６ ２ ９ １ ４ ８ ３ １ ． ８ ９ ８ 总计 １ ． ４ ７ ７ “ ８ ９ ２ ６ ５
． ｏ ｏ ０
因． 任务 Ｇ Ｐ Ｓ经纬 度与价 格 、 用户 是否 下载使 用 Ａ Ｐ Ｐ存 在 着 非 常 强 的相 关 性 ． 问题 １ ： 建 立 执 行 任 务 情 况 与 三 个 自变
数码相机方案
4.质量检测：对产品进行全面检测，确保符合相关标准。
5.市场推广：制定营销策略，开展线上线下推广活动。
6.售后服务：建立完善的售后服务体系，提高用户满意度。
五、风险评估与应对措施
1.技术风险：跟踪行业技术动态，及时更新技术，确保产品竞争力。
2.市场风险：密切关注市场变化，调整产品策略，降低市场风险。
2.技术参数
（1）像素：根据市场需求，设定合理的像素范围，确保图像清晰。
（2）传感器：采用高品质传感器，提高感光性能，降低噪点。
（3）镜头：选用优质镜头，保证画面质量，提供丰富的拍摄场景。
（4）屏幕：采用高清、高亮度、广视角的屏幕，提升用户体验。
（5）存储：提供多种存储方案，满足不同用户需求。
（6）电池：选用高容量、长寿命的电池，保证续航能力。
-与零售商、电商平台合作，扩大销售渠道。
4.售后服务
-设立专业的客户服务团队，提供快速响应的售后服务。
-建立用户反馈机制，持续改进产品，提升用户满意度。
五、风险控制
1.技术风险：跟踪技术发展动态，及时更新技术方案，保持产品技术领先。
2.市场风险：定期进行市场分析，灵活调整市场策略，降低市场不确定性。
5.营销策略
（1）线上线下同步发力，拓展销售渠道。
（2）开展丰富多样的促销活动，吸引消费者关注。
（3）加强售后服务，提高用户满意度。
四、实施步骤
1.市场调研：深入了解市场需求、竞争态势，为产品设计提供依据。
2.产品研发：根据设计方案，组织研发团队进行产品开发。
3.生产线搭建：建立高效、稳定的生产线，确保产品质量。
三、方案设计
1.产品规格
-图像传感器：选用高分辨率、低噪点的传感器，确保在各种光照条件下都能获得优质图片。
5.市场推广：制定营销策略，开展线上线下推广活动。
6.售后服务：建立完善的售后服务体系，提高用户满意度。
五、风险评估与应对措施
1.技术风险：跟踪行业技术动态，及时更新技术，确保产品竞争力。
2.市场风险：密切关注市场变化，调整产品策略，降低市场风险。
2.技术参数
（1）像素：根据市场需求，设定合理的像素范围，确保图像清晰。
（2）传感器：采用高品质传感器，提高感光性能，降低噪点。
（3）镜头：选用优质镜头，保证画面质量，提供丰富的拍摄场景。
（4）屏幕：采用高清、高亮度、广视角的屏幕，提升用户体验。
（5）存储：提供多种存储方案，满足不同用户需求。
（6）电池：选用高容量、长寿命的电池，保证续航能力。
-与零售商、电商平台合作，扩大销售渠道。
4.售后服务
-设立专业的客户服务团队，提供快速响应的售后服务。
-建立用户反馈机制，持续改进产品，提升用户满意度。
五、风险控制
1.技术风险：跟踪技术发展动态，及时更新技术方案，保持产品技术领先。
2.市场风险：定期进行市场分析，灵活调整市场策略，降低市场不确定性。
5.营销策略
（1）线上线下同步发力，拓展销售渠道。
（2）开展丰富多样的促销活动，吸引消费者关注。
（3）加强售后服务，提高用户满意度。
四、实施步骤
1.市场调研：深入了解市场需求、竞争态势，为产品设计提供依据。
2.产品研发：根据设计方案，组织研发团队进行产品开发。
3.生产线搭建：建立高效、稳定的生产线，确保产品质量。
三、方案设计
1.产品规格
-图像传感器：选用高分辨率、低噪点的传感器，确保在各种光照条件下都能获得优质图片。
第三章 数字照相机
卡片相机
主要特点： 便于携带。 功能越来越强大。
卡片相机
卡片相机和其他相机区别： 优点：时尚的外观、大屏幕液晶屏、小巧纤 薄的机身，操作便捷。 缺点：手动功能相对薄弱、超大的液晶显示 屏耗电量较大、镜头性能较差。
卡片相机
Sony WX300卡片相机（参数） 中关村在线2014-3-11报价：1380元
佳能60D套机（18-135mm IS）（参数）
中关村在线2014-3-11报价： （单机：4230元 套机：配18-135mm IS 镜头5990元）
佳能6D套机（24-105mm参数）
中关村在线2014-3-11报价：13900元
佳能5D Mark III套机（24-105mm）
中关村在线2014-3-11报价：22300元
人像模式
用来拍摄人物相片， 如证件照。数码相机 会把光圈调到最大， 做出浅景深的效果。 而有些相机还会使用 能够表现更强肤色效 果的色调、对比度或 柔化效果进行拍摄， 以突出人像主体。
风景模式
拍摄风景名胜时， 数码相机会把光 圈调到最小以增 加景深，另外对 焦也变成无限远， 使相片获得最清 晰的效果。
Sony DSC-H55（参数）
中关村在线2012-3-19报价：1600元
长焦数码相机
长焦数码相机指的是具有较大光学变焦倍数 的机型，而光学变焦倍数越大，能拍摄的景 物就越远。代表机型为：佳能SX系列、索尼 HX系列、美能达Z系列、松下FX系列、富士 S系列等。一些镜头越长的数码相机，内部的 镜片和感光器移动空间更大，所以变焦倍数 也更大。
单反相机
主要特点： 单反数码相机的一个很大的特点就是可以交换不同 规格的镜头，这是单反相机天生的优点，是普通数 码相机不能比拟的。 另外，现在单反数码相机都定位于数码相机中的高 端产品，因此在关系数码相机摄影质量的感光元件 （CCD或CMOS）的面积上，单反数码的面积远远 大于普通数码相机，这使得单反数码相机的每个像 素点的感光面积也远远大于普通数码相机，因此每 个像素点也就能表现出更加细致的亮度和色彩范围， 使单反数码相机的摄影质量明显高于普通数码相机。
数学建模竞赛命题过程及题目分析
体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你 们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位 高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际 检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
油位探针
油位探测 装置
油位探针
油
β
3m
地平线垂直线
（a）无偏转倾斜的正截面图 （b）横向偏转倾斜后正截面图
结合评奖对本科组选作A, B题的分析
• 本科组全国14108队参赛，送全国1393份论文，其中A题877 份（63%），B题516份（37%），其比例基本代表全部参赛 队的情况.
• 获一等奖的210 队中A题133队，B题77队.
• A题获一等奖的队多数集中在重点高校：
北京17队（北航5、北大3、北邮3、清华2）
图3 储油罐截面示意图
油
注油口
位
出油管
探
针 油浮子
1.2m
1.2m
油 α
0.4m 2.05m (a) 小椭圆油罐cm正面示意图
水平线
1.78m
Байду номын сангаас
(b) 小椭圆油罐截面示意图
图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图
附件1 实验数据
流水 C进油 D油位高
号
量/L 度/mm
采集时间
说明
2010-08-20 (1)罐体无变位进油，罐内
11
50 159.02
10:32:18 油量初值262L；
12
100 176.14
2010-08-20 (2)C列进油量是每次加入 10:33:18 50L油后的累加值
13
150 192.59
2010-08-20 (3)D列是原罐内初始油量加入 10:34:18 相应油量后油位高度值。
油位探针
油位探测 装置
油位探针
油
β
3m
地平线垂直线
（a）无偏转倾斜的正截面图 （b）横向偏转倾斜后正截面图
结合评奖对本科组选作A, B题的分析
• 本科组全国14108队参赛，送全国1393份论文，其中A题877 份（63%），B题516份（37%），其比例基本代表全部参赛 队的情况.
• 获一等奖的210 队中A题133队，B题77队.
• A题获一等奖的队多数集中在重点高校：
北京17队（北航5、北大3、北邮3、清华2）
图3 储油罐截面示意图
油
注油口
位
出油管
探
针 油浮子
1.2m
1.2m
油 α
0.4m 2.05m (a) 小椭圆油罐cm正面示意图
水平线
1.78m
Байду номын сангаас
(b) 小椭圆油罐截面示意图
图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图
附件1 实验数据
流水 C进油 D油位高
号
量/L 度/mm
采集时间
说明
2010-08-20 (1)罐体无变位进油，罐内
11
50 159.02
10:32:18 油量初值262L；
12
100 176.14
2010-08-20 (2)C列进油量是每次加入 10:33:18 50L油后的累加值
13
150 192.59
2010-08-20 (3)D列是原罐内初始油量加入 10:34:18 相应油量后油位高度值。
数码相机的英文作文高中
数码相机的英文作文高中I love my digital camera. It's small and easy to carry around, so I can capture all the special moments in my life. Whether it's a beautiful sunset or a funny moment with friends, my camera is always ready to snap a picture.When I first got my digital camera, I was amazed by all the features it had. I could adjust the exposure, play with different shooting modes, and even edit the photos right on the camera. It's like having a professional photographer in my pocket!One thing I really appreciate about my digital camerais the quality of the photos. The images are always sharp and clear, and the colors are vibrant. It's amazing how technology has advanced to make such high-quality photos accessible to everyone.I also love how I can easily share my photos with others. With just a few clicks, I can upload my pictures tosocial media or send them to friends and family. It's a great way to keep everyone updated on what I'm up to.Another great thing about my digital camera is thatit's so versatile. I can take close-up shots of flowers, wide-angle shots of landscapes, and everything in between. It's like having a whole photography studio in one little device.Overall, my digital camera is one of my favorite possessions. It's given me the ability to capture and share all the special moments in my life, and I'm grateful for that.。
历年数学建模题目
历年数学建模题目
以下是部分历年的数学建模题目：
1. 1992年：施肥效果分析问题、实验数据分解问题。
2. 1993年：非线性交调的频率设计问题、足球排名次问题。
3. 1994年：逢山开路问题、锁具装箱问题。
4. 2002年：车灯线光源的优化设计、彩票中的数学、车灯线光源的计算（大专组）、赛程安排（大专组）。
5. 2003年：SARS的传播、露天矿生产的车辆安排、奥运会临时超市网点设计、电力市场的输电阻塞管理、饮酒驾车、公务员招聘。
6. 2005年：出版社的资源配置、艾滋病疗法的评价及疗效的预测、易拉罐形状和尺寸的最优设计、煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制。
7. 2008年：数码相机定位、高等教育学费标准探讨、地面搜索、NBA赛程的分析与评价。
8. 2009年：制动器试验台的控制方法分析、眼科病床的合理安排、卫星和飞船的跟踪测控、会议筹备。
以上信息仅供参考，如需历年数学建模题目，建议查阅数学建模论坛或相关网站获取。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数码相机定位的几何方法摘要本文在数码相机定位问题中，首先建立起4个空间坐标系，并给出它们之间的影射关系，把空间中的三维世界坐标通过平面投影成像过程转换为二维坐标。
对于第一问，根据观测到的靶标的像C B A ''',,三点的中心在同一直线上，利用旋转变换和平移变换以及仿射变换，建立由世界坐标系到像平面坐标系的影射关系。
利用坐标变换，根据已知参考坐标系坐标和图像坐标系坐标的控制点来确定相机的光学和几何参数以及相机相对坐标系的位置和方向变换，得出由物平面到像平面的函数关系式。
对于第二问，由给出的靶标及其像，通过刻度尺量出靶标的像的坐标，利用分辨率和测量值计算出像平面大小的比例系数k ，利用第一问的表达式算出靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标。
第三问中为了纠正相机拍摄的几何畸变，本文采用仿射变换来检验模型的准确度。
建立了平面直角坐标变换下的仿射变换，即两直角坐标系w w Y X -和u -v 坐标系，利用不在同一直线上的E C A E C A ''',,,,,六点坐标代入建立的仿射变换方程组中，就可得到各点在u -v 坐标系中的预测值，通过与观测值的对比计算中，即可对所建立的模型进行精度和稳定性的讨论。
第四问中，给出了两种求解方法。
方法一是假定两部相机是平行于物平面放置，经过空间坐标转化，根据几何比例关系得出结论。
方法二则建立空间三维直角坐标系，给出“正像平面”的法向量和“反像平面”的平面向量，且不考虑镜头点的位置改变，从对称及非对称两不同方法分别考虑两相机的相对位置，对任取靶标的像的两点及其正像平面的中心点，分别求得正像平面与直线的交点，利用相似三角形性质、交点坐标、像距从而来确定出两部固定相机的相对位置。
两方法都利用了数形结合，比较清晰的给出表达式。
关键词：相机标定 世界坐标系 小孔成像 仿射变换一、问题的提出1、背景随着计算机硬件、软件、图像采集、处理技术的迅速发展，计算机视觉的理论和技术已被广泛地应用于医学图像处理、机器人技术、文字识别、工业检测、军事侦察、地理勘察和现场测量等。
计算机视觉在多种测量中的应用是一种定量分析系统，有确定的精度要求。
一般用于现场不可到达、现场复杂不便直接测量、保留现场状态以便复测、补测和事后重构现场等场合。
通常人们把摄像机和胶片相机作为获取原始图像的主要设备，但随着数码相机的出现和发展，在许多场合人们已逐渐采用数码相机作为主要的图像采集设备。
由于数码相机具有很多优点，比如可以根据测量的需要选择不同的像素大小、可直接与计算机进行通讯、可选定多种焦距进行定焦距拍摄等，这些特点给图像采集和图像处理带来了许多方便之处。
因此，照相测量也就成为近年来发展起来的一种可用于交通事故勘察与信息采集等方面的智能化技术。
在照相测量技术里，相机标定是最基本的任务。
因此利用物体在相机像平面的位置求出物体在现实世界中的具体相对位置，其实质就是建立像平面与物平面之间的对应关系，这是我们研究与讨论的重点。
2、问题的重述数码相机定位在交通监管(电子警察)等方面有广泛的应用。
所谓数码相机定位是指用数码相机拍摄物体的相片来确定物体表面某些特征点的位置。
最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。
本文将对相机拍摄时的相对位置进行确定性的解决及讨论。
对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。
只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。
对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。
标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。
然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。
实际的做法是在物平面上画若干个圆(称为靶标)，它们的圆心就是几何的点了。
而它们的像一般会变形，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。
有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点(对应为A，C，D，E)为圆心，12mm为半径作圆。
以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，就是靶标示意图。
用一位置固定的数码相机摄得其像，就是靶标的像。
就上述所述：(1)建立数学模型以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；(2)对由图1、图2分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标，该相机的像距(即光学中心到像平面的距离)是1577个像素单位(1毫米约为3。
78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；(3)设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；图1 靶标示意图 图2 靶标的像二、模型的假设1.假设相机的内部结构正常，尤其是镜片不会出现故障。
2.拍摄时由于物体与相机的距离很远，因此由于倾斜产生的小角度所产生的误差可忽略不计。
3.由于测量误差是难免的，因此假设我们在利用图2进行测量时误差是允许的。
4.假设采用的是定焦数码相机，即相机的焦距是一定的。
三、模型的分析及建立[问题一]相机定位的目的是确定相机的图像坐标系与物体空间中的三维参考坐标系之间的对应关系。
为此需要知道相机的内部参数(即光学和几何参数),及相机的相对外部参数(即外部参考坐标系的位置和方向)。
数码相机图像拍摄实际上是一个光学成像过程，它涉及四个坐标系，这四个坐标系[1]分别是：(1)世界坐标系——根据自然环境所选的坐标系，原点为W ,坐标值用),,(w w w Z Y X 表示。
(2)图像坐标系——坐标原点在像平面的中心，X 轴，Y 轴分别为平行于图像平面的两条垂直边，原点为O ,坐标值用),(y x 表示，是一个平面坐标系。
(3)像素坐标系——坐标原点在图像平面的左上角，X 轴，Y 轴分别平行于图像坐标系的X 轴和Y 轴，原点为'O ,坐标值用()v u ,来表示，是一个平面坐标系。
(4)光心坐标系——以相机的光心为坐标原点，X 轴，Y 轴分别平行于图像坐标系的X 轴和Y 轴，相机的光轴为Z 轴，原点为C ,坐标值用()c c c Z Y X ,,表示。
这四个坐标系的空间位置关系如图3所示由这四个空间坐标系分别将世界坐标系中的信息转换到图像坐标系，最后由图像坐标系转换到像素坐标系。
光学成像的理论模型是针孔模型，根据这个模型由光心坐标系向图像坐标系转换过程符合中心影射或透视影射，可用齐次坐标与矩阵表示⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010000001c c c C Z Y X h h y x Z (1) 其中，()c c c Z Y X ,,是光心坐标系中一空间点P 的坐标，()y x ,是P 点在对应图像坐标系中的坐标，h 是拍摄相机的像距。
由世界坐标系到光心坐标系的转换关系为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111W W W T C C C Z Y X O T R Z Y X (2) 其中，R 为旋转矩阵，T 为位移向量，T O 是元素为0的列向量。
由图像坐标系到像素坐标系的转换关系是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11001001100y x v y u x v u (3) 其中，()00,v u 是图像坐标系原点在像素坐标系中的坐标，y x ∆∆,分别是像素坐标系在X 方向和Y 方向相邻像素间的距离。
由以上三式，整理化简可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11010000001100w w w T C Z Y X O T R v y h u x h Z v u (4) 以上是针对针孔模型下的成像系统的基本标定原理来进行求解的。
其中C Z 及y x ∆∆,可以由以下方法给出[2]。
(ⅰ)确定CZ 1 C Z 可由物平面上的点与光心的连线在光轴方向的投影得到。
(ⅱ)确定()00,v u图像坐标系原点在像素坐标系中的坐标()00,v u 是相机光轴与像平面的交点。
(ⅲ)相邻像素点的距离y x ∆∆,的确定对于给定的靶标，它经过针孔成像，其影射在像平面的图像形状与大小会发生变化，我们称这种变化为图像的失真。
现在，就是要确定这种图像失真的程度，利用所提供的图1与图2中靶标的四条边所在的空间位置与尺寸变化，建立起一一对应的关系，求出较精确的值。
以下就是具体的求解方法。
由题给的正方形ACDE ，边长为a 。
设s 为物平面到像平面的距离，在忽略小误差的情况下，可视为h l s +=。
则当h 一定时，有h s ha x -=1 hs ha y -=1 (5) 又由靶标图，可测得正方形成像后的四个圆A, C, D, E 的坐标分别是()()()()),(,,,,,,,,5544332211v u v u v u v u v u ，则()()()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=-+-=-+-=-+-=2322324241241324324322212211v v u u s v v u u s v v u u s v v u u s (6) 其中4321,,,s s s s 是正方形的像的四条边的边长，取其中边长最大的两个，不妨令21,s s 是四条边中最大的两条，那么就有2112s s x x +=∆ 4312s s y y +=∆ (7) 由(5)、(7)式，可得()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=∆-+=∆h s s s ha y h s s s ha x 43212)(2 (8) (ⅳ)旋转矩阵R 及位移向量T 的确定假设目标图形围绕原点顺时针旋转，分别围绕X 轴,Y 轴,Z 轴旋转角度ψϕθ,,，因此总的转换矩阵可以表示成绕单个坐标轴旋转时的转换矩阵的乘积⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=ψψψψϕϕϕϕθθθθcos 0sin 010sin 0cos 1000cos sin 0sin cos cos sin 0sin cos 0001R 将以上数据及等式代入⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11010000001100w w w T C Z Y X O T R v y h u x h Z v u 中，即可得出靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标。
[问题二]因为相机分辨率为1024×768(1毫米约为3.78个像素单位)，即可得到像平面的大小为()()mm mm 78.376878.31024⨯，即()()mm mm 17.20390.270⨯，利用厘米刻度尺可量得靶标大小为()()cm cm 39.789.9⨯，因为3333.17681024=，3383.139.789.9=，在忽略误差的情况下可近似两者相等，因此可得像平面大小的比例系数4926.2739.717.203==k 。