数码相机定位的数学模型
摘要
随着数码相机定位在各领域的广泛应用，对相关问题《机器视觉》的研究也成为热点。因此建立一个精度较高，稳定性好的数码相机定位的数学模型，具有很好的现实意义。
问题1要求给出确定靶标上圆的圆心在给定相机像平面的像坐标的算法，问题2利用问题1的模型对给定数据求解。为此，首先建立了四个空间直角坐标系，在MATLAB中把图3的数字信息提取出来，主要是五个椭圆的边缘点的信息；同时为了便于运算，通过坐标变换将计算机图像坐标变换为图像坐标；并用提取的图像边界坐标拟合出5个椭圆的方程，利用“曲线切线的投影仍与曲线的投影相切，而且切点的投影仍为投影的切点”这一引理，提取出靶标上圆及其像上的公切点的坐标作为特征点，利用RAC两步法标定过程和最小二乘法建立了计算世界坐标系到相机坐标系的旋转变换矩阵R和平移向量T及径向畸变系数k的算法。利用16个公切点作为特征点，通过Matalb编程求得靶标上圆的圆心在文中给定相机像平面的五个坐标(单位：mm)：A(-49.7132, 51.1289 417.1958)，B(-23.3475, 49.1539 417.1958)，C(33.8194, 44.8716, 417.1958)，D(18.8173,-31.5798, 417.1958)，E(-59.7830, -31.1754, 417.1958)。
问题3的解决分为两步：一是通过对模型计算出的焦距及畸变系数及上面五个坐标值的分析得出模型的精度较高的结论；二是采用改变特征点数的方法或利用“A,B,C三个标靶的中心的像应在一条直线上”验证模型的稳定性。问题4采用二目立体视觉模型确定了给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。
本文建立的算法可操作性强，精度较高，稳定性好，对解决类似问题的计算有一定的推广价值。
关键词：拟合椭圆特征点提取 RAC两步法坐标旋转矩阵公切点
数码相机定位的数学模型
一
问题的提出
数码相机定位的数学模型来源于20XX 年全国大学生数学建模竞赛的A 题。一般地在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了，它们的像一般会变形为椭圆，从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。现设计靶标如下，取1个边长为100mm 的正方形，分别以四个顶点（对应为A 、C 、D 、E ）为圆心，12mm 为半径作圆。以AC 边上距离A 点30mm 处的B 为圆心，12mm 为半径作圆，如图1所示，用一位置固定的数码相机摄得其像，如图2所示。
(1) 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y 平面平行于像平面；
(2) 对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；
(3) 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论； (4) 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。
图1 靶标示意图 图2 靶标的像
二 模型的假设及符号说明
1．模型的假设
(1) 假设题目中给出的图3的尺寸是实际物理尺寸；
(2) 图像坐标系的坐标原点是图3的中心，称为主心坐标； (3) 相机不需做任何的运动；
(4) 标定物为共面点，将靶标所在的面作为世界坐标系的坐标平面； (5) 相机的有效焦距不变。 2. 符号说明
(1) R ：表示世界坐标系到相机坐标系旋转变换矩阵，⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211r r r r r r r r r R ； (2) T ：表示世界坐标系到相机坐标系的平移向量，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z y x t t t T ； (3) f ：表示相机的有效焦距，mm f 78.3/1577=；
(4) ),,(w w w Z Y X ：表示世界坐标系下物点P 的坐标；
(5) ),(d d Y X ：表示图像坐标系下物点P 有径向畸变的实际像坐标； (6) ),(u u Y X ：表示图像坐标系下物点P 的针孔成像的理想坐标； (7) ),,(z y x ：表示相机坐标系下物点P 的坐标；
(8) ),(00y x ：主点坐标，即图像坐标系下坐标原点的像素坐标； (9) ),(v u ：表示计算机坐标系下P 的像的像素坐标。 (10) k ：表示径向畸变系数。
(11) dX 、dY ：每个像素在X 轴与Y 轴方向上的物理尺寸。
三 问题的分析
为了确定靶标上圆的圆心在文中给定相机像平面的像坐标，要把图3中的数据信息提取出来。由于图3中的数据信息是以像素为单位的，为了与图2的毫米单位一致，同时便于运算，通过坐标变换，将计算机图像坐标变换为图像坐标，并用图像边界坐标的信息拟合出5个椭圆的方程，从而可以求出椭圆的几何中心。
1．坐标系的建立
计算过程中需要建立如下的四个坐标系，如图4所示。
(1) 相机坐标系xyz O -：原点O 定义在相机的光学中心，z 轴与光轴重合； (2) 图像坐标系XY O -1：原点1O （主点）定义为相机光轴与图像平面的交点，X 轴和Y 轴与x ，y 轴平行，1OO 为相机的有效焦距mm f 78.3/1577=；
(3) 计算机图像坐标系uv O -2：原点2O 位于CCD 图像平面的左上角，u 轴和v 轴分别与X 轴和Y 轴平行。u 、v 分别表示该像素在数组中的列数和行数，且以像素为单位。在计算机图像坐标系uv O -2中，主点坐标记为1O ),(00v u ，假设主点坐标是图像坐标的中点，本文中可表示为3842/768,5122/102400====v u 。
(4) 世界坐标系w w w w Z Y X O -：原点w O 位于靶标所在正方形的中心，w X 和w Y 轴分别平行AC 、DC （轴的正向为向量的正方向），因此物点P 的坐标可表示为)0,,(w w Y X 。
