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相机定位系统的数学模型与算法设计山东科技大学滕飞徐学辉张冰璇高德智专家点评:本文按光学原理得到像平面上圆的像，把该像与已有的图像做最优匹配。
找到最优匹配的一个圆，求出其圆心，近似地确定圆心的像坐标，并对原像所在的平面进行了拟合，从效果上观察，较为精确地反映了实例中的问题。
最后利用多个靶标所得坐标，通过空间坐标变换和参数拟合等方法给出了一种确定两部相机相对位置的方法。
潍坊学院孙建安副教授2008/09/25摘要相机标定在交通监管等方面有着广泛的应用，也是计算机视觉研究的一个重要问题之一。
本文首先讨论对于靶标上一个大小确定的圆，如何利用得到的像确定其圆心的像坐标问题，它是标定问题研究的一个非常关键环节。
由于像与原像之间是一个非线性关系，圆的像一般不再是圆甚至也不是椭圆，所以只能通过整体图像去确定中心坐标。
为此，我们首先取一个平面，再取该平面上一个按靶标大小确定的圆，这个圆依赖圆心参数和平面参数等多个变量。
取定一组参数，按光学原理得到像平面上该圆的像，把该像与已有的图像做最优匹配。
找到最优匹配的一个圆，求出其圆心，按照光学原理对应到像平面上就能近似地确定圆心的像坐标（模型见正文(10)式）。
在设计算法时，我们选用搜索和简化计算等多种方法进行计算，对比得到结果。
然后，我们用所给的模型对文中的实例进行了验证，经过计算机帧面坐标系和像面坐标系的换算求出了原像中五个圆心的像坐标（见表4）。
进而我们对原像所在的平面进行了拟合，效果图见附件1。
从效果上观察，较为精确地反映了实例中的问题，由此也说明了我们所建模型的合理性。
特别地，通过验证实例中的是否近似地位于同一直线，对模型进行验证和调整。
另外，我们也讨论各种参数变化对模型的影响、离散化及像素和距离的转换对模型的影响和畸变对图像影响等问题，并给出了一些改进建议。
最后，对通过标定方法确定两部固定相机的相对位置给出了数学模型。
该模型利用多个靶标所得坐标，通过空间坐标变换和参数拟合等方法给出了一种确定两部相机相对位置的方法。
靶标圆心像坐标确定与数码相机定位摘要数码相机实现定位功能，需确定靶标圆心的像坐标。
本文就如何确定靶标圆心像坐标展开了讨论，并给出了计算两部相机相对位置的模型。
在问题一中，我们采用坐标变换的方法建立确定靶标圆心像坐标的模型。
根据坐标系之间的关系，分别通过物坐标系的旋转、平移以及相机坐标系的缩放，引入绕物坐标系三坐标轴旋转的角度θξϕ，，以及物坐标系平移的量度321,,t t t 等参数确定出物坐标系到像坐标系变换的方程，由此即可得到求解靶标圆心像坐标的模型。
求解方程里面的参数时，考虑到计算的方便，我们选择两圆内公切线的交点作为标定点。
计算它们的物坐标与像坐标，代入上述方程即可求得参数的值。
对于问题二，根据圆的有关性质，两条内公切线的斜率(或斜率倒数)分别为连接对应两圆上任意两点连线斜率(或斜率倒数)的最大值和最小值。
基于此，容易求得像坐标系里面对应的内公切线的方程，它们的交点即为标定点的像坐标，对应的物坐标容易得到。
然后将这些标定点的坐标分别代入问题一建立的物坐标系到像坐标系变换的方程，求解得到相应的参数θξϕ，，，321,,t t t 的值。
最后再将各园圆心的物坐标代入上述方程，求得各圆圆心像坐标结果为：A(-49.8577，50.6559)，B(-24.5423，49.1824)，C(32.5168，48.5784)，D(18.3139，-30.6194)，E(-60.3038，-30.3856)。
在问题三中，我们选取物坐标系里面一条直线上的9个点，对它们对应的像坐标进行一元线性回归分析，对模型的精度进行检验；最终得到这9个点拟合优度为0.9096非常接近1，说明模型精度较高。
对于模型稳定性的分析，我们将各圆圆心的物坐标向左偏移1mm,考查对应的像坐标的变化；得到各圆心像坐标的偏移量的平均值与圆心物坐标的偏移量的相对误差是2.62%，说明模型稳定性较好。
最后我们对问题一、二中模型进行了检验，在A,C,D,E 四个圆上分别选取一些特定的点，利用它们的像坐标分别求出其对应的物坐标，找到这些物坐标与对应圆心物坐标之间的距离，比较这些距离同圆半径的实际值(即12mm)的差值，最终得到它们相对误差的平均值是1.66%，说明模型的可行性是较高的。
数码相机定位摘要本文是双目定位的具体模型和方法进行了研究，分别给出了针孔线性模型、椭圆线性回归模型、RAC模型等并对其进行研究。
对于问题一，在针孔线性模型的基础上，通过对数码相机内外部参数的标定，确定靶标到靶标像的坐标转化关系，建立其坐标转换模型。
对于问题二，利用图像处理所得的像素模拟图表确定20组特征点的坐标在世界坐标系和图像坐标系的坐标，代入上述转换关系来确定系数矩阵M，进而求得圆心在像平面的像坐标，然后利用畸变校正模型对结果进行校正。
结果为左上圆（119.0938，69.6890）、中间圆(155.7689,72.4757)右上圆(234.6404,78.4603)、左下圆(105.4604,185.3796)右下圆(214.5271,184.9706)。
对于问题三，建立椭圆线性回归模型对靶标的像进行拟合，得到的图像中心坐标即为圆心在像平面的像坐标。
结果分析还表明该方法的精度和稳定性都比较好。
结果如下：左上圆（120.0039，69.2536）、中间圆(155.1462,73.0654)右上圆(236.2001,77.8279)、左下圆(103.4572,182.3599)右下圆(216.8469,179.6788)。
模型三与模型一的结果相差最大为2.945%。
很好地验证了模型一的结果的准确性对于问题四，利用RAC模型，确定出单个相机的外部参数，得出其旋转矩阵和平移向量，即完成单个相机的定标，然后利用其几何转化由相机各自的旋转矩阵和平移向量求解出两个相机的相对位置。
关键词：针孔线性模型像素模拟图表畸变校正曲线拟合RAC模型一．问题的重述与分析已知：一靶标和用一位置固定的数码相机摄的它的像，如题目中图3所示。
其中靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。
以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如题目中图1.1所示。
建模十大经典算法1、蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。
4、图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7、网格算法和穷举法。
网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8、一些连续离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9、数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10、图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。
历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A 出版资源配置06B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 07A 中国人口增长预测 07B 乘公交，看奥运 多目标规划 数据处理 图论 08A 数码相机定位 08B 高等教育学费标准探讨09A 制动器试验台的控制方法分析 09B 眼科病床的合理安排 动态规划 10A 10B赛题发展的特点：1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B ，某些问题需要使用计算机软件，01A 。
数码相机相对位置定位方法1.摘要本文给出了空间中两部固定照相机相对位置的标定方法，将照相机成像过程近似为针孔成像过程，使得成像过程中光学中心—像点—物点三点共线，实现了成像的非线性到线性的简化。
文中将标定两部相机相对位置的方法分成三个步骤：第一步，将针孔成像抽象为点投影式映射的过程，根据射影几何中“点线结合的不变性”，具体通过射影前后任意两圆的公切线与圆的切点的唯一性，并且运用“标靶像坐标得切点切线算法”对所给像图片进行操作，求得切点的坐标，每对切点连线的交点即为圆心的像。
求得的结果如下表：点 A B C D E坐标(-194,-193,1577) (-97,-186,1577) (119,-169,1577) (67,113,1577) (-226,114,1577)（单位：像素）第二步，依靠成像过程光学中心—像点—物点三点共线的性质，用已知的像点坐标去标定对应的标靶圆心的坐标，再利用标靶上各点的几何关系，对待定系数进行求解，从而得到标靶圆心坐标；第三步，在已知标靶圆心在两个相机坐标系中的坐标的前提下，利用这些坐标求出坐标系变换矩阵。
再利用求出的变换矩阵求出一部相机在另一相机坐标系中的坐标，这样就可以求出两个相机的相对位置。
此外，根据投影过程中“共线不变性”和“交比不变性”对模型中的第一个步骤的结果进行评价，并对这两种方法的准确性和稳定性进行讨论，其中设计了恰当的算法对方法二进行了全面的评定，得出方法一具有局限性而方法二具有良好得准确性和稳定的结果。
在模型扩展中，我们建立了考虑畸变的非线性模型。
分析了理想像点坐标和实际有畸变的像点坐标之间的函数关系，从而提出了将非线性模型问题转换到线性模型下解决的方案。
关键词：照相机定位针孔模型射影变换交比坐标变换目录数码相机相对位置定位方法 (1)1.摘要 (1)2.问题重述 (3)3.问题分析 (3)4.模型假设 (3)5.符号说明 (4)6.模型建立与求解 (4)1)模型准备： (4)2)模型建立 (4)3)对问题一的解答： (6)a)问题分析： (6)b)算法：标靶像坐标的切线切点算法 (6)c)改进算法：基于罚函数思想的切点切线算法 (7)d)算法分析： (7)4)对问题二的回答： (7)5)求解标靶圆心在照相机坐标系下的坐标 (8)a)问题分析: (8)b)求解方法： (8)6)利用空间坐标变换法确定两部照相机的相对位置： (10)a)问题分析： (11)b)求解过程： (11)7.模型分析及检验 (12)1)对问题三的回答： (12)a)方法一：利用共线不变性对结果的检验 (12)b)方法二：基于射影变换交比不变性的检验方法 (13)2)模型分析 (16)8.模型拓展 (16)9.参考文献 (17)10.附录 (18)2.问题重述题目要求根据标靶的像和标靶进行对系统的标顶，最终找到两台照相机的相对位置。
1992—2008年全国大学生数学建模竞赛获奖论文序号年份试题名称11992A题施肥效果分析（论文下载地址）B题试验数据分解（论文下载地址）21993A题非线性交调的频率设计（论文下载地址）B题足球队排名次（论文下载地址）31994A题逢山开路（论文下载地址）B题锁具装箱（论文下载地址）41995A题一个飞行管理问题（论文下载地址）B题天车与冶炼炉的作业调度（论文下载地址）51996A题最优捕鱼策略（论文下载地址）B题节水洗衣机（论文下载地址）61997A题零件的参数设计（论文下载地址）B题截断切割（论文下载地址）71998A题投资的收益和风险（论文下载地址）B题灾情巡视路线（论文下载地址）81999A题自动化车床管理（论文下载地址）B题钻井布局（论文下载地址）C题煤矸石堆积（论文下载地址）D题钻井布局（论文下载地址）92000B题钢管订购和运输（论文下载地址）C题飞跃北极（论文下载地址）D题空洞探测（论文下载地址）102001A题血管的三维重建（论文下载地址）B题公交车调度（论文下载地址）C题基金使用计划（论文下载地址）D题公交车调度（论文下载地址）112002A题车灯线光源的优化设计（论文下载地址）B题彩票中数学（论文下载地址）C题车灯线光源的计算（论文下载地址）D题赛程安排（论文下载地址）122003A题 SARS的传播（论文下载地址）B题露天矿生产的车辆安排（论文下载地址）C题 SARS的传播（论文下载地址）D题抢度长江（论文下载地址）132004A题奥运会临时超市网点设计（论文下载地址）B题电力市场的输电阻塞管理（论文下载地址）C题饮酒驾车（论文下载地址）D题公务员招聘（论文下载地址）142005A题长江水质的评价和预测（论文下载地址）B题 DVD在线租赁（论文下载地址）C题雨量预报方法的评价（论文下载地址）152006A题出版社的资源配置（论文下载地址）B题艾滋病疗法的评价及疗效的预测（论文下载地址）C题易拉罐形状和尺寸的最优设计（论文下载地址）D题煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制（论文下载地址）162007A题中国人口增长预测（论文下载地址）B题乘公交，看奥运（论文下载地址）C题手机“套餐”优惠几何（论文下载地址）D题体能测试时间安排（论文下载地址）172008A题数码相机定位（论文下载地址【1】【2】）B题高等教育学费标准探讨（下载地址【1】【2】）C题地面搜索（论文下载地址）D题 NBA赛程的分析与评价（论文下载地址）。
数码相机定位的数学模型摘要随着数码相机定位在各领域的广泛应用，对相关问题《机器视觉》的研究也成为热点。
因此建立一个精度较高，稳定性好的数码相机定位的数学模型，具有很好的现实意义。
问题1要求给出确定靶标上圆的圆心在给定相机像平面的像坐标的算法，问题2利用问题1的模型对给定数据求解。
为此，首先建立了四个空间直角坐标系，在MATLAB中把图3的数字信息提取出来，主要是五个椭圆的边缘点的信息；同时为了便于运算，通过坐标变换将计算机图像坐标变换为图像坐标；并用提取的图像边界坐标拟合出5个椭圆的方程，利用“曲线切线的投影仍与曲线的投影相切，而且切点的投影仍为投影的切点”这一引理，提取出靶标上圆及其像上的公切点的坐标作为特征点，利用RAC两步法标定过程和最小二乘法建立了计算世界坐标系到相机坐标系的旋转变换矩阵R和平移向量T及径向畸变系数k的算法。
利用16个公切点作为特征点，通过Matalb编程求得靶标上圆的圆心在文中给定相机像平面的五个坐标(单位：mm)：A(-49.7132, 51.1289 417.1958)，B(-23.3475, 49.1539 417.1958)，C(33.8194, 44.8716, 417.1958)，D(18.8173,-31.5798, 417.1958)，E(-59.7830, -31.1754, 417.1958)。
问题3的解决分为两步：一是通过对模型计算出的焦距及畸变系数及上面五个坐标值的分析得出模型的精度较高的结论；二是采用改变特征点数的方法或利用“A,B,C三个标靶的中心的像应在一条直线上”验证模型的稳定性。
问题4采用二目立体视觉模型确定了给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。
本文建立的算法可操作性强，精度较高，稳定性好，对解决类似问题的计算有一定的推广价值。
关键词：拟合椭圆特征点提取 RAC两步法坐标旋转矩阵公切点数码相机定位的数学模型一问题的提出数码相机定位的数学模型来源于20XX 年全国大学生数学建模竞赛的A 题。
一般地在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了，它们的像一般会变形为椭圆，从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。
现设计靶标如下，取1个边长为100mm 的正方形，分别以四个顶点（对应为A 、C 、D 、E ）为圆心，12mm 为半径作圆。
以AC 边上距离A 点30mm 处的B 为圆心，12mm 为半径作圆，如图1所示，用一位置固定的数码相机摄得其像，如图2所示。
(1) 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y 平面平行于像平面；(2) 对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；(3) 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论； (4) 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。
图1 靶标示意图 图2 靶标的像二 模型的假设及符号说明1．模型的假设(1) 假设题目中给出的图3的尺寸是实际物理尺寸；(2) 图像坐标系的坐标原点是图3的中心，称为主心坐标； (3) 相机不需做任何的运动；(4) 标定物为共面点，将靶标所在的面作为世界坐标系的坐标平面； (5) 相机的有效焦距不变。
2. 符号说明(1) R ：表示世界坐标系到相机坐标系旋转变换矩阵，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211r r r r r r r r r R ； (2) T ：表示世界坐标系到相机坐标系的平移向量，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z y x t t t T ； (3) f ：表示相机的有效焦距，mm f 78.3/1577=；(4) ),,(w w w Z Y X ：表示世界坐标系下物点P 的坐标；(5) ),(d d Y X ：表示图像坐标系下物点P 有径向畸变的实际像坐标； (6) ),(u u Y X ：表示图像坐标系下物点P 的针孔成像的理想坐标； (7) ),,(z y x ：表示相机坐标系下物点P 的坐标；(8) ),(00y x ：主点坐标，即图像坐标系下坐标原点的像素坐标； (9) ),(v u ：表示计算机坐标系下P 的像的像素坐标。
(10) k ：表示径向畸变系数。
(11) dX 、dY ：每个像素在X 轴与Y 轴方向上的物理尺寸。
三 问题的分析为了确定靶标上圆的圆心在文中给定相机像平面的像坐标，要把图3中的数据信息提取出来。
由于图3中的数据信息是以像素为单位的，为了与图2的毫米单位一致，同时便于运算，通过坐标变换，将计算机图像坐标变换为图像坐标，并用图像边界坐标的信息拟合出5个椭圆的方程，从而可以求出椭圆的几何中心。
1．坐标系的建立计算过程中需要建立如下的四个坐标系，如图4所示。
(1) 相机坐标系xyz O -：原点O 定义在相机的光学中心，z 轴与光轴重合； (2) 图像坐标系XY O -1：原点1O （主点）定义为相机光轴与图像平面的交点，X 轴和Y 轴与x ，y 轴平行，1OO 为相机的有效焦距mm f 78.3/1577=；(3) 计算机图像坐标系uv O -2：原点2O 位于CCD 图像平面的左上角，u 轴和v 轴分别与X 轴和Y 轴平行。
u 、v 分别表示该像素在数组中的列数和行数，且以像素为单位。
在计算机图像坐标系uv O -2中，主点坐标记为1O ),(00v u ，假设主点坐标是图像坐标的中点，本文中可表示为3842/768,5122/102400====v u 。
(4) 世界坐标系w w w w Z Y X O -：原点w O 位于靶标所在正方形的中心，w X 和w Y 轴分别平行AC 、DC （轴的正向为向量的正方向），因此物点P 的坐标可表示为)0,,(w w Y X 。
设),(u u Y X P 为物点P 在小孔成像的理想图像坐标中的像点坐标，),(d d Y X P 是由透镜径向畸变引起的物点P 实际图像点，考虑畸变的径向摄像机模型图，如图4所示]2[。
一般情况下，CCD 镜头畸变主要为一阶径向畸变，在这里我们只考虑一阶径向畸变。
用一个二阶多项式近似：)](1[22u u u d Y X k X X ++= )](1[22u u u d Y X k Y Y ++= 式中k 为畸变系数，u d x X X -=σ，u d y Y Y -=σ为畸变坐标。
2．提取图像数据(1) 提取图3并以.bmp 格式保存。
(2) 在MATLAB 中用imread 命令读入该图片并转换成RGB 图像矩阵。
(3) 使用rgb2gray 和im2bw 命令将上述图像矩阵转化成二值图像矩阵。
(4) 使用bwlabel 命令对二值图像矩阵进行分块标识（每个椭圆域标记为一块，共5块）。
(5) 对每一块椭圆域用edge 命令提取边缘点，并求出这些边缘点在计算机图像坐标系下的坐标。
3．计算机图像坐标与图像坐标的转换如图4所示，计算机图像坐标系以像素为单位，为便于计算，需将其转换为图像坐标系。
设XY O -1坐标系原点在uv O -坐标系中坐标为),(00v u ，每个像素在X 轴与Y 轴方向上的物理尺寸为dX 、dY ，则图像中任意一个像素在两个坐标系下的坐标有如下关系：WX WY W ZW O)u 图4 考虑畸变的径向摄像机模型图⎪⎩⎪⎨⎧+=+=00v dY y v u dX x u(1)用齐次坐标与矩阵形成，将式(1)表示为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11001001100y x v dY u dX v u 逆关系可写成⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110000100v u dY v dYdX u dX y x (2) 已知相机分辨率为7681024⨯，若题中给定图3尺寸为实际物理尺寸，则82.3%37/1.99110241≈-=dX ，81.3%37/4.7417681≈-=dY考虑到题中给出78.31≈dZ ，为方便计算，取78.311==dYdX ，即1毫米均表示3.78个像素单位。
设),(00v u 取在靶标像平面的中心位置，根据式(2)，可将像平面五个椭圆边缘点坐标变换到图像坐标系下的坐标。
4．椭圆拟合[1]椭圆拟合是对已提取的图3的五个椭圆边缘点的数据N i y x i i ,...,2,1),,(=，进行曲线拟合。
设椭圆曲线的一般表达式为0),(22=+++++=f ey dx cy bxy ax f其椭圆的中心点),(c c Y X 可由式(3)求得：ac b be cd X c 422--=，)04(4222≠---=ac b ac b bd ae Y c(3) 为了用数据N i y x i i ,...,2,1),,(=作曲线拟合，首先设][f e d c b a a =，]1[22y x y xy x x =，利用线性最小二乘法拟合，用MATLAB 编程得到五个拟合椭圆曲线方程系数如表1所示，椭圆A 的拟合曲线如图5所示。
D 6.2735×10-4 -2.3887×10-5 6.9264×10-4 -0.0311 0.0482 1.0000 E 2.3416×10-4 -5.3764×10-5 2.8754×10-40.02650.01471.0000将椭圆方程标准化，由式(3)得到A 、B 、C 、D 、E 五个靶标的像的几何中心点),(c c Y X 的坐标如表2所示。
A B C D E c X -49.9705 -23.4935 33.8868 18.7601 -60.0926 c Y51.402449.430345.1492-31.5326-31.2101Z=1577/3.78 单位：mm5．用椭圆的公切线提取特征点(1) 引理：曲线切线的投影仍与曲线的投影相切，而且切点的投影仍为投影的切点。
[3](2)两椭圆公切线的计算设像平面上任意两个椭圆（基于图像坐标系）的曲线方程为：065423221=+++++k y k x k y k xy k x k065423221=+++++l y l x l y l xy l x l(4)(5)其公切线方程为：n mx y += (6)将式(6)代入式(4)并整理得： 02=++c bx ax(7) 其中，2321m k m k k a ++=，m k k mn k n k b 54322+++=，6523k n k n k c ++=图5 椭圆A 的拟合曲线根据切线的判别法则：042=-=∆ac b ，得：065423221=+++++s n s m s n s mn s m s (8)其中，632514k k k s -=，5243224k k k k s -=，312234k k k s -=，6254442k k k k s -=，5142542k k k k s -=，612464k k k s -=同理，将式(6)代入式(5)，可得与式(8)形式相同的结果：065423221=+++++q n q m q n q mn q m q (9)其中，632514l l l q -=，5243224l l l l q -=，312234l l l q -=，6254442l l l l q -=， 5142542l l l l q -=，612464l l l q -=求解(8)、(9)联立的方程组，可得出四组),(n m ，即确立了任意两个椭圆的四条公切线。
