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2008年全国大学生数学建模竞赛A题全国一等奖论文数码相机定位摘要本文通过对数码相机的靶标和像平面相互之间关系的分析，利用选取相关对应点和坐标转换的方法，确定靶标圆心在像平面的投影位置，进而完成了系统标定模型，解决了相机的单目定位问题。
对于问题1，为确定靶标上圆的圆心在一个相机像平面的像坐标，需要得到相机像平面中点与靶标上点的对应关系。
通过将相机外部参数和内部参数联立可以建立模型1。
对于问题2，内部参数通过焦距可以得到，而外部参数的获得则需要事先确定一组特殊点。
由于靶标上两条线的交点在像平面上的投影点即为这两条线在像平面上的投影图线的交点，因此我们首先对图像进行边缘提取和椭圆拟合，然后利用程序选择靶标上A 、C 两个圆的外公共切线的切点作为特殊点。
将对应特殊点带入（1）式，就可以求得外部参数。
最后利用几何关系得出靶标上圆心的坐标，带入得到它们在该相机像平面的坐标。
结果为：vA O （-4.4324，-6.7785，0）、vB O （-2.3，-6.4456，0）、vC O （3.39，-5.9757，0）、vD O （-4.5471，3.7096，0）、vE O （2.1965，3.2275，0）。
见图3。
对于问题3，为了检验模型，本文通过计算机模拟数据，可以得到一个内外参数都已知的图像。
进而可以确定这四个顶点在像平面的准确坐标。
根据（1）式可以得到这四个顶点的计算坐标，把计算坐标与准确坐标的距离为对角线的矩形面积称为误差面积，误差率=误差面积/相纸面积。
计算误差率分别为：0.017591%、0.01777%、0.01532%、0.01557%。
从而可知用此模型精确度高，稳定性强。
对于问题4，类似于问题3，进行计算机模拟，得到空间两不同角度拍摄图像，进而得到在此数码相机坐标系下的特殊点坐标。
由于在求像坐标时考虑到了数码相机的透视效应，也就是内部参数，而两个数码相机的空间位置关系仅仅是外部参数的关系，因此可以求得仅考虑外部参数时两个像平面上的坐标，进而做差求出两个数码相机的相对位置坐标。
靶标圆心像坐标确定与数码相机定位摘要数码相机实现定位功能，需确定靶标圆心的像坐标。
本文就如何确定靶标圆心像坐标展开了讨论，并给出了计算两部相机相对位置的模型。
在问题一中，我们采用坐标变换的方法建立确定靶标圆心像坐标的模型。
根据坐标系之间的关系，分别通过物坐标系的旋转、平移以及相机坐标系的缩放，引入绕物坐标系三坐标轴旋转的角度θξϕ，，以及物坐标系平移的量度321,,t t t 等参数确定出物坐标系到像坐标系变换的方程，由此即可得到求解靶标圆心像坐标的模型。
求解方程里面的参数时，考虑到计算的方便，我们选择两圆内公切线的交点作为标定点。
计算它们的物坐标与像坐标，代入上述方程即可求得参数的值。
对于问题二，根据圆的有关性质，两条内公切线的斜率(或斜率倒数)分别为连接对应两圆上任意两点连线斜率(或斜率倒数)的最大值和最小值。
基于此，容易求得像坐标系里面对应的内公切线的方程，它们的交点即为标定点的像坐标，对应的物坐标容易得到。
然后将这些标定点的坐标分别代入问题一建立的物坐标系到像坐标系变换的方程，求解得到相应的参数θξϕ，，，321,,t t t 的值。
最后再将各园圆心的物坐标代入上述方程，求得各圆圆心像坐标结果为：A(-49.8577，50.6559)，B(-24.5423，49.1824)，C(32.5168，48.5784)，D(18.3139，-30.6194)，E(-60.3038，-30.3856)。
在问题三中，我们选取物坐标系里面一条直线上的9个点，对它们对应的像坐标进行一元线性回归分析，对模型的精度进行检验；最终得到这9个点拟合优度为0.9096非常接近1，说明模型精度较高。
对于模型稳定性的分析，我们将各圆圆心的物坐标向左偏移1mm,考查对应的像坐标的变化；得到各圆心像坐标的偏移量的平均值与圆心物坐标的偏移量的相对误差是2.62%，说明模型稳定性较好。
最后我们对问题一、二中模型进行了检验，在A,C,D,E 四个圆上分别选取一些特定的点，利用它们的像坐标分别求出其对应的物坐标，找到这些物坐标与对应圆心物坐标之间的距离，比较这些距离同圆半径的实际值(即12mm)的差值，最终得到它们相对误差的平均值是1.66%，说明模型的可行性是较高的。
数码相机定位摘要本文是双目定位的具体模型和方法进行了研究，分别给出了针孔线性模型、椭圆线性回归模型、RAC模型等并对其进行研究。
对于问题一，在针孔线性模型的基础上，通过对数码相机内外部参数的标定，确定靶标到靶标像的坐标转化关系，建立其坐标转换模型。
对于问题二，利用图像处理所得的像素模拟图表确定20组特征点的坐标在世界坐标系和图像坐标系的坐标，代入上述转换关系来确定系数矩阵M，进而求得圆心在像平面的像坐标，然后利用畸变校正模型对结果进行校正。
结果为左上圆（119.0938，69.6890）、中间圆(155.7689,72.4757)右上圆(234.6404,78.4603)、左下圆(105.4604,185.3796)右下圆(214.5271,184.9706)。
对于问题三，建立椭圆线性回归模型对靶标的像进行拟合，得到的图像中心坐标即为圆心在像平面的像坐标。
结果分析还表明该方法的精度和稳定性都比较好。
结果如下：左上圆（120.0039，69.2536）、中间圆(155.1462,73.0654)右上圆(236.2001,77.8279)、左下圆(103.4572,182.3599)右下圆(216.8469,179.6788)。
模型三与模型一的结果相差最大为2.945%。
很好地验证了模型一的结果的准确性对于问题四，利用RAC模型，确定出单个相机的外部参数，得出其旋转矩阵和平移向量，即完成单个相机的定标，然后利用其几何转化由相机各自的旋转矩阵和平移向量求解出两个相机的相对位置。
关键词：针孔线性模型像素模拟图表畸变校正曲线拟合RAC模型一．问题的重述与分析已知：一靶标和用一位置固定的数码相机摄的它的像，如题目中图3所示。
其中靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。
以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如题目中图1.1所示。
相机成像模型公式
【原创版】
目录
1.相机成像模型公式介绍
2.相机成像模型公式的组成部分
3.相机成像模型公式的实际应用
正文
1.相机成像模型公式介绍
相机成像模型公式是数字图像处理领域的基础公式之一，它可以帮助我们理解相机如何将物理世界中的光线转换为数字图像。
这个公式描述了光线如何通过相机的镜头和传感器，最终形成图像的过程。
2.相机成像模型公式的组成部分
相机成像模型公式主要包括以下几个部分：
- 光线：光线是物理世界中的电磁波，它在特定的时间和空间位置上具有一定的强度和方向。
- 镜头：镜头是将光线折射并聚焦到传感器上的透明玻璃片。
它的主要参数包括焦距、光圈和畸变等。
- 传感器：传感器是将光线转换为数字信号的芯片，通常是由光敏元件组成的阵列。
- 像素：像素是图像的基本单元，它由传感器上的一个光敏元件对应。
像素的值通常表示该点光线的强度。
3.相机成像模型公式的实际应用
相机成像模型公式在实际应用中有广泛的应用，包括图像处理、计算机视觉和机器学习等领域。
通过这个公式，我们可以理解图像的物理属性，如亮度、对比度和清晰度等，从而对图像进行有效的处理和分析。
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建模十大经典算法1、蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。
4、图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7、网格算法和穷举法。
网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8、一些连续离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9、数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10、图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。
历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A 出版资源配置06B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 07A 中国人口增长预测 07B 乘公交，看奥运 多目标规划 数据处理 图论 08A 数码相机定位 08B 高等教育学费标准探讨09A 制动器试验台的控制方法分析 09B 眼科病床的合理安排 动态规划 10A 10B赛题发展的特点：1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B ，某些问题需要使用计算机软件，01A 。
数学建模模拟题目 A （本科组）某地人事部门为研究中学教师的薪金与他们的资历、性别、教育程度及培训情况等因素之间的关系，要建立一个数学模型，分析人事策略的合理性，考察是否存在不合理、不公正的待遇，以及婚姻状况是否会影响收入。
为此，从当地教师中随机选了3414位进行观察，然后从中保留了90个观察对象，得到了下表相关数据。
Z=月薪（元）；X1=工作时间（月）；X2=性别（1男，0女）；X3=（1男性或单身女性，0已婚女性）；X4=学历（数值越大学历越高）；X5=受聘单位（1重点，0其他）；X6=（0未受过培训的毕业生或肄业生，1受过培训的毕业生）X7=（1已两年以上未从事教学工作，0其他）问题：1）薪金与他们的资历、性别、教育程度及培训情况等因素之间是否有关系，有则建立关系数学模型，通过你的模型分析人事策略的合理性，考察是否存在不合理、不公正的待遇，以及婚姻状况是否会影响收入等；2）表中没有给出教师的职称信息，能否用数学建模方法对给出他们的大致职称信息；3）如果要进行工资调整，设计一个相对公正、合理的工资体系，并用数据表中相关数据验证说明。
附数据表：第五次数学建模模拟本科组B题设有一个靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。
以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图1所示。
图 1 靶标示意图用分辨率为1024*768的数码相机对靶标进行拍摄。
图2是某次拍摄得到的图像。
图2 靶标的像靶标的像有5个类似椭圆形状的黑色块，分别在各个黑色块内任取一点，记得到的位置为P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), P4(x4,y4), P5(x5,y5)。
请建立模型设计一个算法，以确定P1,P2,P3,P4,P5的原像分别位于A, B, C, D,。
2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 1324615 所属学校（请填写完整的全名）：中国地质大学（武汉）参赛队员 (打印并签名) ：1. 王飞2. 李丁3. 代永力指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：付丽华日期： 2008 年 9 月22日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：数码相机定位摘 要相机定位是计算机视觉领域里从二维图像获取三维信息的基本要求，是完成许多视觉工作必不可少的步骤。
题目利用由五个圆组成的靶标模板(图2)对相机进行标定。
对于给出的相机拍摄的靶标的像(图3)，本文对其进行了预处理：首先应用MATLAB 软件对图3进行去噪，然后利用自行设计的算法(扫描法)提取去噪后图形的边缘(图8)。
事实上，标定就是找到空间坐标系和像平面坐标系之间的相互关系。
而这是由相机成像的几何模型决定的，其成像参数包括相机内部几何和光学特性(内部参数)，以及相机世界坐标系的三维位置和方向(外部参数)。
求解相机内外参数是解决问题的关键。
本文考虑了理想的情况，即直线的投影仍是直线，以及交点的投影仍然是像的交点。
利用图2中A 、B 、C 、D 、E 两两圆的外公切线的切点与图3中像的外公切线的切点相对应，通过最小二乘法求出该相机的内、外参数。
然后，利用相机成像原理，将图2中圆心的坐标c A 、c B 、c C 、c D 、c E 和相机内外参数代入，即可得到靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标'c A 、'c B 、'c C 、'c D 、'c E （见表2）。
为了验证该模型，本文利用留一法，用四个圆(共有三组：A 、B 、D 、E ；B 、C 、D 、E ；A 、C 、D 、E )的切点与对应像点求相机内外参数，剩下的一个圆用于做检验。
以第一组为例，具体过程是：根据A 、B 、D 、E 算出内外参数，然后求出C 圆圆心的像的坐标''c C ，并与'c A 、'c B 所确定的直线的距离来检验方法的精度和稳定性。
结果显示（见本文13-14页），本文所用方法精度较高，稳定性较好。
双目标定时，将双目系统的坐标系建立在左相机上，把右相机的坐标系相对于其的旋转和平移参数利用最小二乘法求出，从而可以得到两部相机的相对位置。
关键词：标定；内、外参数；深度优先搜索；最小二乘法一、 问题的提出1．背 景目前，交通管理中使用人工监控的方式已经不适合日益壮大的交通系统，而 有效的电子监管（例如数码相机定位）能更有效的管理交通系统运行，于是电子监管逐渐被人们所认识。
随着数码相机的普及，数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面应用越来越广泛。
所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。
当前，最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来进行定位。
对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。
如果知道两部相机精确的相对位置，就可使用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。
由此可见，对于双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。
系统标定方法很多，常用的有张正友平面标定方法、孟胡平面圆标定方法、平行圆标定方法[1]。
目前有人提出这样一种方法：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。
然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。
实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点。
而它们的像一般会变形，如图1所示。
问题的关键是，能否从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，如果能找到，标定就可实现。
图1 像的变形示意图2．问 题有人设计靶标如下，取1个边长为100mm 的正方形，分别以四个顶点（对应为A 、C 、D 、E ）为圆心，12mm 为半径作圆。
以AC 边上距离A 点30mm 处的B 为圆心，12mm 为半径作圆，如图2所示。
图2 靶标示意图用一个位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。
图3 靶标的像研究的问题如下：（1） 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标,这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y 平面平行于像平面；（2） 对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768； （3） 设计一种方法检验模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论； （4） 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。
二、 符号定义w w w w O x y z 世界坐标系c O 数码相机透视中心 c c c c O x y z - 数码相机坐标系 u O 主光轴与像平面的交点u u u O x y - 坐标轴分别平行于像素坐标系的坐标轴建立的物理坐标系F 数码相机内参矩阵，0000001x y f u F f v ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，,x y f f 分别表示在x 方向和y 方向上像点的物理坐标到图像坐标的比例系数，00,u v 是主光轴与像平面交点的图像像素坐标[]R T 数码相机的外参矩阵,R 和T 分别为模板相对数码相机的旋转分量和平移分量，11,11,21,32,12,22,323,13,23,33,t r r r R r r r T t r r r t ⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥== ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭c A B C D E c c c c 、、、、 圆A 、B 、C 、D 、E 在靶标平面上的圆心'c A B C D E ''''c c c c 、、、、 圆心c A B C D E c c c c 、、、、在像平面上对应的点三、 问题的分析根据题意，要找到靶标圆的圆心在像平面中的对应点，就应该确定数码相机的内、外参数，然后利用所得到的内、外参数来确定靶标平面上圆心在像平面上对应点的坐标。
只要寻找靶标上的点在像平面上的对应点，就可以利用成像原理求出相机的内、外参数。
利用圆及其切线对投影面的特点，即两圆及其公切线在投影面上的图形仍保持直线的投影公切于两圆的投影，且它们在靶标平面上的切点对应于投影面上相应的切点，利用这一性质就可以找到靶标平面与投影面上部分相对应的点，然后就可以用所建立的模型来求出数码相机的内、外参数，从而就找到了靶标平面上点与投影面上点的对应关系，再代入数据就可以求出靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标。
模型稳定性和精度的验证，主要是考查该模型对数据变化这一影响下所得结果的考量。
这里，我们将利用留一法，同时用3组数据来进行验证。
问题4中两部相机相对位置的确定，主要是两相机像平面坐标系之间的转化，我们将以左相机为基准，将右相机坐标系统一到左相机上，从而得到两者相对位置。
四、 模型假设1．假设数码相机成像的原理为针孔相机模型； 2．假设相机本身的配置没有误差；3．假设数码相机成像产生较小的畸变，对结果影响不大，忽略不计； 4．假设像平面中心与光学中心连线垂直于像平面。
五、 模型的建立与问题的解（一） 模型的建立建立物点（世界坐标）和像点（像坐标）位置对应关系方程。
如图4所示：在模板平面上，分别以两条正交的直线为xy 轴，以靶标上正方形的中心为原点，并按右手准则建立世界坐标系w w w w O x y z -，然后以数码相机透视中心c O 为坐标原点，并使其x 轴和y 轴分别平行于像面坐标系的x 轴和y 轴，且方向相同，z 轴为数码相机镜头的主光轴，按右手准则建立数码相机坐标系c c c c O x y z -。
以像平面上像素坐标值()0,0的点为坐标原点O ，以水平像元阵列方向为x 方向，以垂直像元阵列方向为y 方向，建立像素平面坐标系O UV -。
最后以主光轴与像平面的交点u O 为坐标原点，并使坐标轴分别平行于像素坐标系的坐标轴来建立物理坐标系u u u O x y -，模板平面上w P 的理想成像点为u P 。
图 4 透视投影模型示意图假设模型为理想透视模型根据针孔成像原理，由世界坐标点到理想像素点的齐次变[]2,3换如下：[]11w w w x u y s v F R T z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1) 其中，s 为照相机坐标向像平面坐标转化的比例系数，F 为数码相机内参矩阵，[]R T 为数码相机的外参矩阵，R 和T 分别为模板相对数码相机的旋转分量和平移分量，分别定义如[]3,4下：101,11,21,302,12,22,323,13,23,330,,001xy t f u r r r F f v R r r r T t r r r t ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎪ ⎪⎢⎥=== ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭(2)其中，,x y f f 分别表示在x 方向和y 方向上像点的相机坐标到物理坐标的比例系数，00,u v 表示主光轴与像平面交点的图像坐标。
由于世界坐标系的xy 轴在模板平面上，因此对于模板上的点0w z =。
这样式(1)可重写为：01,11,2102,12,223,13,230010011w xy w x u f u r r t s v f v r r t y r r t ⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭ (3) 消去s 即得到以下理想透视数学模型:()()1,11,2103,13,232,12,2203,13,23x w w w w y w w w w f r x r y t u u r x r y t f r x r y t v v r x r y t⎧++=+⎪++⎪⎨++⎪=+⎪++⎩(4) （二）模型的求解1．图像处理题目中给定一幅使用待标定数码相机拍摄的图片（图3 靶标的像），规格为1024*768大小的位图。
