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2.1.3 超几何分布 学案(人教B版高中数学选修2-3)

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第 1 页 共 7 页 2.1.3 超几何分布 学案（人教B版高中数学选修2-3）

2.1.3超几何分布超几何分布学习目标

1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法.作用.2.掌握超几何分布的特点，并能简单的应用知识点超几何分布已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X表示取得的次品数思考1X可能取哪些值答案X0,1,

2.思考2X1表示的试验结果是什么求PX1的值答案任取2件产品中恰有1件次品，PX1C13C15C28.思考3如何求PXkk0,1,2答案PXkCk3C2k5C28k0,1,2梳理超几何分布一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件nN，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为PXmCmMCnmNMCnN0ml，l为n和M中较小的一个，则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.类型一利用超几何分布公式求概率例1已知某车间生产的8件产品中，有2件不合格若从中任取2件产品进行质检，则至少有1件产品不合格的概率是多少解用X表示抽取的2件产品中不合格产品的件数，则X服从超几何分布，记“至少有一件产品不合格”为事件 第 2 页 共 7 页 A.方法一A由X1，X2两个互斥事件构成PX1C12C16C2837，PX2C22C06C28128，PAPX1PX23712813

28.方法二

记“2件产品中没有不合格产品”为事件

A.则PAPX0C02C26C281528，PA1PA1152813

28.反思与感悟若随机变量服从超几何分布，则可先确定相应参数，再直接套用公式求解相应变量对应的概率跟踪训练1在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球中奖，求中奖的概率结果保留两位小数解设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N30，M10，n

5.于是中奖的概率为PX3PX3PX4PX5C310C533010C530C410C543010C530C510C553010C5301xx021020252C5302725214250

60.

19.类型二

求超几何分布的分布列例2某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则第 3 页 共 7 页 月工资定为2800元，否则月工资定为2100元令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力1求X的分布列；2设此员工的工资为Y元，求Y的分布列解1选对A饮料的杯数X的可能取值为0,1,2,3,4，其服从参数为N8，M4，n4的超几何分布，其概率分别为PX0C04C44C48170，PX1C14C34C481670835，PX2C24C24C4836701835，PX3C34C14C481670835，PX4C44C04C481

70.其分布列为X01234P17083518358351702此员工月工资Y的所有可能取值为3500,2800,2100，则PY3500PX4170，PY2800PX3835，PY2100PX0PX1PX253

70.其分布列为Y210028003500P5370835170反思与感悟1在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布2在超几何分布公式中，PXmCmMCnmNMCnN，0mn，其中，mminM，n这里的N是产品总数，M是产品中的次品数，n是抽样的样品数，且0nN,0mn，0mM，0nmNM.3如果随机变量X服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值4当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示跟踪训练2某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生.2名女生，B中学推荐了3名男生.4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人.女生中随机抽取3人组成代表队1求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；2某场比赛前，第 4 页 共 7 页 从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列考点超几何分布题点求超几何分布的分布列解1由题意知，参加集训的男生.女生各有6人代表队中的学生全从B中学抽取等价于A中学没有学生入选代表队的概率为C33C34C36C361100，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1110099

100.2根据题意，得X的所有可能取值为1,2,

3.PX1C13C33C4615，PX2C23C23C4635，PX3C33C13C461

5.所以X的分布列为X123P153515类型三

超几何分布的应用例3在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品从这10件产品中任取3件求1取出的3件产品中一等品件数X的分布列；2取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率解1由于从10件产品中任取3件的结果数为C310，从10件产品中任取3件，其中恰有m0m3且mN件一等品的结果数为Cm3C3m7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为PXmCm3C3m7C310，m0,1,2,

3.所以随机变量X的分布列是Xk0123PXk724214074011202设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A

3.由于事件A1，A2，A3两两互斥，且AA1A2A 第 5 页 共 7 页 3.因为PA1C13C23C310340，PA2PX2740，PA3PX31120，所以PAPA1PA2PA33407401120311

20.即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为311

20.反思与感悟利用超几何模型求分布列，首先要弄清“产品”有多少个，其中“次品”有多少个，要取多少个“产品”，即要正确找出超几何分布的参数，然后再利用超几何分布的概率计算公式进行计算跟踪训练3袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求1取出的3个小球上的数字互不相同的概率；2随机变量X的分布列；3计算一次取球得分介于20分到40分之间的概率考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点排列组合在分布列中的应用解1方法一“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则PAC35C12C12C12C3102

3.方法二

“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件因为PBC15C22C18C31013，所以PA1132

3.2由题意知，X所有可能的取值是2,3,4,5，PX2C22C12C12C22C310130，PX3C24C12C14C22C310215，PX4C26C12C16C22C310310，PX5C28C12C18C22C3108 第 6 页 共 7 页 15.所以随机变量X的分布列为X2345P1302153108153“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则PCPX3PX421531013

30.1设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为

A.C480C610C10100

B.C680C410C10100

C.C480C620C10100

D.C680C420C10100答案D解析记取出的10个球中红球个数为X，则X服从超几何分布，即PX6C680C420C10100，故选

D.2一个盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则PX4的值为

A.1220

B.2755

C.27220

D.2125答案C解析由题意知，取出的3个球必为2个旧球.1个新球，故PX4C23C19C312272

20.3已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C47C68C1015的是APX2BPX2CPX4DPX4考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案C解析X服从超几何分布，基第 7 页 共 7 页 本事件总数为C1015，所求事件数为CX7C10X8，PX4C47C68C1015.4从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案45解析设所选女生数为随机变量X，则X服从超几何分布，所以PX1PX0PX1C02C34C36C12C24C364

5.5一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球1从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X的分布列；2从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X的分布列解1X的分布列为X01P37472PX0C23C2717，X的分布列为X01P1767超几何分布超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式PXkCkMCnkNMCnN求出X取不同值k时的概率学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M，N，n，k的含义.

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人教新课标版数学高二人教B版选修2-3学案 离散型随机变量的数学期望

人教新课标版数学高二人教B版选修2-3学案 离散型随机变量的数学期望

高中数学-打印版

校对打印版 2.3随机变量的数字特征

2．3.1 离散型随机变量的数学期望

[对应学生用书P34]

设有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个．

问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X可以取哪些值？

提示：X＝5,6,7.

问题2：X取上述值时对应的概率分别是多少？

提示：13，14，512.

问题3：试想每个西瓜的平均重量该如何求？

提示：5×4＋6×3＋7×512＝5×13＋6×14＋7×512.

1．离散型随机变量的均值或数学期望

设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn则E(X)＝x1p1

＋x2p2＋…＋xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．

2．超几何分布与二项分布的均值

若离散型随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝np；若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nMN.

1．对离散型随机变量均值的理解：

(1)离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．

(2)随机变量的分布相同，则它们的均值一定相同；有相同均值的两个分布未必相同；两个不同的分布也可以有相同的均值．

2．离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别 高中数学-打印版

校对打印版 随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化．

[对应学生用书P34]

求离散型随机变量的期望

盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及期望．

明确X的取值，并计算出相应的概率，列出分布列后再计算期望．

X可取的值为1,2,3，

【高中数学选修第三册】第七章 超几何分布2

【高中数学选修第三册】第七章 超几何分布2

7.4.2 超几何分布

新版课程标准 学业水平要求

1.结合生活中的实例,了解超几何分布

2.了解超几何分布的均值及其意义 1.结合教材实例,了解超几何分布的概念.(数学抽象) 2.会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率、均值.(数学运算)

3.了解超几何分布与二项分布的关系,能利用超几何分布概率模型解决实际问题.(数学建模)

必备知识·素养奠基

超几何分布

(1)定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品的次品数,则X的分布列为P=,k=m,m+1,m+2,…,r.

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m=max,r=min.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.

(2)均值:E=np,其中p=是N件产品的次品率.

不放回抽取和有放回抽取有何不同? 提示:抽取次数不同,不放回抽取只抽取一次,一次抽取n个,有放回抽取要抽取n次,每次抽取一个;概率模型不同,不放回抽取服从超几何分布,有放回抽取服从二项分布.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)将一枚硬币连抛3次,正面向上的次数X服从超几何分布.( )

(2)盒中有4个白球和3个黑球,有放回地摸取3个球,黑球的个数X服从超几何分布.( )

(3)某射手的命中率为0.8,现对目标射击3次,命中目标的次数X服从超几何分布.( )

提示:(1)×.正面向上的次数X服从二项分布.

(2)√.由超几何分布的定义,黑球的个数X服从超几何分布.

(3)×.命中目标的次数X服从二项分布.

2.在10个村庄中,有4个村庄交通不方便,若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数,则X服从超几何分布,其参数为( )

A.N=10,M=4,n=6

B.N=10,M=6,n=4

C.N=14,M=10,n=4

D.N=14,M=4,n=10

(完整版)高中数学选修2-3导学案,正规模版2.1

(完整版)高中数学选修2-3导学案,正规模版2.1

张家口东方中学导学案 年级：高二 科目：数学 选修2-3 1-1-1 使用时间 ：2016-03-01 编制：阎银燕 审核：高二数学组

1

合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》

《 离散型随机变量》导学案

【学习目标 】

1．理解随机变量的定义；

2．掌握离散型随机变量的定义．

【重点难点 】

【学法指导 】

（预习教材P50~ P52，找出疑惑之处）

复习1：掷一枚骰子，出现的点数可能是 ，

出现偶数点的可能性是 ．

复习2：掷硬币这一最简单的随机试验，其可能的结果是 ， 两个事件．

【教学过程】

（一）导入

探究任务一：

在掷硬币的随机试验中，其结果可以用数来表示吗？

我们确定一种 关系，使得每一个试验结果都用一个 表示，在这种

关系下，数字随着试验结果的变化而变化

新知1：随机变量的定义：

像这种随着试验结果变化而变化的变量称为 常用字母 、 、 、 …表示．

思考：随机变量与函数有类似的地方吗？

新知2：随机变量与函数的关系：随机变量与函数都是一种 ，试验结果的范围相当于函数的 ，随机变量的范围相当于函数的 ． 试试：

在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个 ，其值域是 ．

随机变量0X表示 ；

4X表示 ；

3X表示 ；

“抽出3件以上次品”可用随机变量 表示．

高中数学选修2-3第二章概率习题集及答案

高中数学选修2-3第二章概率习题集及答案

第二章概率

§2、1、1离散型随机变量

一、预习检测

1、一个口袋装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸出一个球，

得到白球”这个现象是（ ） A、必然现象 B、随机现象 C、不可能发生

D、不能确定是哪种现象

2、以下四个随机变量中，是离散型随机变量的是（ ）

⑴某电话亭内的一部电话使用的次数X；

⑵黄河某水位监测站所测水位记为X；

⑶一个数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置X ⑷某人射击一次，击中目标的环数记为X；

A、⑴⑵⑷ B ⑶⑷ C ⑴⑷ D ⑴⑶

3、下列随机变量中不是离散型随机变量的是（ ） A、从n只编号（0号到n-1号）的球中任取一只，被抽出的球的号码X；

B、量一批电阻的阻值在950欧~1050欧之间；

C、掷5枚硬币，正面向上的硬币个数； D、电信局在某日内接到电话呼叫次数；

4、6件产品在有2件次品，从中任取一件，则下列是随机变量的是（ ）

A、取到产品的个数 B、取到正的品个数 C、取到正品的概率 D、取到次品的概率 5、如果随机变量X的所有可能的 则称X为离散型随机变量。

6、下列描述正确的是

⑴用随机变量所表示的随机试验的结果一定是一个数； ⑵用随机变量的取值只能有有限个 ⑶随机变量的取值只能是自然数 ⑷随机变量的取

值可以是全体实数

7、下列随机试验结果可以用离散型随机变量表示的是

⑴某篮球运动员在某场比赛中的得分

⑵某中学学生的体重 ⑶一名同学的高考分数

8、50件产品中有3件次品，从中任取3件，次品件数的取值集合是

二、双基落实

1、抛掷的均匀硬币一次，随机变量为（ ） A、出现正面的次数 B、 出现正面或反面的次数 C、掷硬币的次数 D、出现正反面次数之和

2、如果抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X=4表示的随机实验结果是（ ） A、两颗都是4点 B、1颗是1点，另一颗是3点

C、两颗都是2点 D、1颗是1点，另一颗是3点或2颗都是2点