高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.1.3 超几何分布》6

高考数学2021年$月

深度咅慚趨几何分布和二顶分布

■江苏省天一中学 周海军

概率统计是高中数学的重要知识模块#

近几年来在高考中考查的比例越来越高，基

本以两道小题加一道解答题的形式出现，试 题富有时代气息，通过创设源于社会生活中

的真实情境，考查同学们的阅读、识图、计算、

表达等能力，考查的重心是数据分析能力和

数学运算能力。在概率中，二项分布、超几何分布是出现

频率较高的两种概率模型，很多同学在学习 的过程中容易产生混淆，经常有同学问二项

分布与超几何分布到底怎么区分。要弄清楚

两者的关系，我们先来看看人教版新课标教

材选修2 — $给出的概念：

超几何分布：一般地，在含有 M 件次品 的N件产品中，任取九件，其中恰有X件次

品，那么 +Q,-<)=CCC—3(< = 0,1,2,…，CnB) # 其中 B = min{32}，且 2&N , M&N， n，3，N + N*。

如果随机变量X的分布列具有表1的 形式，则称随机变量X 服从超几何分布，记 为 X 〜H53 N )。

表1

X01…B

P厂0 厂2—0 J3「N — 3c3 cn —3…C3 Cn—3CNCNCN

二项分布：在n次独立重复试验中，用X

表示事件A发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为。，则P (X = k)=Cnpk (1 — p)n—k (@ = 0,1,2，…，n),此时称随机变量X

服从二项分布，记为X〜B 21)，并称p为 成功概率。

从定义通过实践我们可以提炼出两者的

关系：相同点：超几何分布和二项分布都是离 散型分布。

区别:(1)超几何分布需要知道总体的容 量，而二项分布不需要；))超几何分布是“不放回％由取，而二项

分布是“有放回％由取(独立重复)；($)当总体的容量非常大时，超几何分布

近似于二项分布。

一、超几何分布模型

超几何分布特点：超几何分布是离散型 分布，需要知道总体的容量，并且是“不放回”

抽取。! ! (2020年广东模拟)台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统

高中数学-打印版

校对打印版 2.3随机变量的数字特征

2．3.1 离散型随机变量的数学期望

[对应学生用书P34]

设有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个．

问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X可以取哪些值？

提示：X＝5,6,7.

问题2：X取上述值时对应的概率分别是多少？

提示：13，14，512.

问题3：试想每个西瓜的平均重量该如何求？

提示：5×4＋6×3＋7×512＝5×13＋6×14＋7×512.

1．离散型随机变量的均值或数学期望

设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn则E(X)＝x1p1

＋x2p2＋…＋xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．

2．超几何分布与二项分布的均值

若离散型随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝np；若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nMN.

1．对离散型随机变量均值的理解：

(1)离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．

(2)随机变量的分布相同，则它们的均值一定相同；有相同均值的两个分布未必相同；两个不同的分布也可以有相同的均值．

2．离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别 高中数学-打印版

校对打印版 随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化．

[对应学生用书P34]

求离散型随机变量的期望

盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及期望．

明确X的取值，并计算出相应的概率，列出分布列后再计算期望．

X可取的值为1,2,3，

7.4.2 超几何分布

新版课程标准 学业水平要求

1.结合生活中的实例,了解超几何分布

2.了解超几何分布的均值及其意义 1.结合教材实例,了解超几何分布的概念.(数学抽象) 2.会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率、均值.(数学运算)

3.了解超几何分布与二项分布的关系,能利用超几何分布概率模型解决实际问题.(数学建模)

必备知识·素养奠基

超几何分布

(1)定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品的次品数,则X的分布列为P=,k=m,m+1,m+2,…,r.

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m=max,r=min.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.

(2)均值:E=np,其中p=是N件产品的次品率.

不放回抽取和有放回抽取有何不同? 提示:抽取次数不同,不放回抽取只抽取一次,一次抽取n个,有放回抽取要抽取n次,每次抽取一个;概率模型不同,不放回抽取服从超几何分布,有放回抽取服从二项分布.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)将一枚硬币连抛3次,正面向上的次数X服从超几何分布.( )

(2)盒中有4个白球和3个黑球,有放回地摸取3个球,黑球的个数X服从超几何分布.( )

(3)某射手的命中率为0.8,现对目标射击3次,命中目标的次数X服从超几何分布.( )

提示:(1)×.正面向上的次数X服从二项分布.

(2)√.由超几何分布的定义,黑球的个数X服从超几何分布.

(3)×.命中目标的次数X服从二项分布.

2.在10个村庄中,有4个村庄交通不方便,若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数,则X服从超几何分布,其参数为( )

A.N=10,M=4,n=6

B.N=10,M=6,n=4

C.N=14,M=10,n=4

D.N=14,M=4,n=10

张家口东方中学导学案 年级：高二 科目：数学 选修2-3 1-1-1 使用时间 ：2016-03-01 编制：阎银燕 审核：高二数学组

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合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》

《 离散型随机变量》导学案

【学习目标 】

1．理解随机变量的定义；

2．掌握离散型随机变量的定义．

【重点难点 】

【学法指导 】

（预习教材P50~ P52，找出疑惑之处）

复习1：掷一枚骰子，出现的点数可能是 ，

出现偶数点的可能性是 ．

复习2：掷硬币这一最简单的随机试验，其可能的结果是 ， 两个事件．

【教学过程】

（一）导入

探究任务一：

在掷硬币的随机试验中，其结果可以用数来表示吗？

我们确定一种 关系，使得每一个试验结果都用一个 表示，在这种

关系下，数字随着试验结果的变化而变化

新知1：随机变量的定义：

像这种随着试验结果变化而变化的变量称为 常用字母 、 、 、 …表示．

思考：随机变量与函数有类似的地方吗？

新知2：随机变量与函数的关系：随机变量与函数都是一种 ，试验结果的范围相当于函数的 ，随机变量的范围相当于函数的 ． 试试：

在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个 ，其值域是 ．

随机变量0X表示 ；

4X表示 ；

3X表示 ；

“抽出3件以上次品”可用随机变量 表示．