人教A版高中数学选修2-2 2.1.2《两点分布和超几何分布》教案

《两点分布和超几何分布》教学设计

鄞州区姜山中学 蒋自佳

一、教学内容解析

本课题来自人教A版选修2-3第二章《随机变量及其分布》2.1《离散型随机变量及其分布列》第二课时，主要内容是学习两点分布和超几何分布模型。两点分布是随机变量只有0和1两种结果的分布列，是最简单的分布列，也是之后学习二项分布的基础，起着承上启下的作用。超几何分布是由有限个物体中抽出n个物体，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还）。两点分布和超几何分布列是离散型随机变量分布列两种重要模型，这部分内容以实际情境为主，需要学生具备一定建模能力，建立合适的分布列，体现数学来源于生活并服务于生活，促使学生在学习实践中形成和发展数学应用意识。

二、教学目标设置

依据教材分析和课标要求，确定如下教学目标：

1、知识与技能：掌握两点分布和超几何分布基本概念，能解决与两点分布和超几何分布相关概率问题。

2、过程与方法：学生已具有一定的分析解决抽象问题能力，通过设立具体问题情境，教师启发引导，归纳总结两点分布和超几何分布问题概念和解决规律，培养学生总结探索能力。

3、情感、态度与价值观：通过师生共同参与具体问题的分析，总结探索解决问题的办法，在循序渐进过程中对问题分析和逐步深入，激发学生学习兴趣。

根据上述目标，教学需要上力求体现六大核心素养：数学抽象，逻辑推理，数学建模，数学运算，直观想象和数据分析。

三、学生学情分析

1、认知基础：学生在必修3中已经学习了有关概率统计的基础知识，利用选修2-3第一章计数原理与排列组合知识可以解决古典概型的概率，在选修2-3第二章第一课时学习了随机变量、离散型随机变量的概念，分布列概念和性质，能够解决简单的分布列问题，但学生对随机变量，离散型随机变量概念理解不够深刻，求分布列过程还不熟练。

2、能力储备：学生能够利用已有的概率统计知识解决一些简单问题，思维活跃，初步具备自主分析和探究能力，但思考不够严谨，容易遗漏，处理抽象问题能力还有待提高。 离散型随机变量的分布列是一个必然事件分解成有限个互斥事件概率的另一种形式，两点分布和超几何分布是分布列两个重要模型，由此制定本节课重难点：

【教学重点】两点分布和超几何分布的概念和意义。

【教学难点】两点分布和超几何分布问题具体解决策略和其概率求解方法。

四、教学策略分析

本节课是以上一节离散型随机变量及其分布列为基础，可以先复习巩固离散型随机变量的概念和分布列的性质。在课堂上要重视学生的主体地位，坚持“学生为主体，教师为主导”的教学原则。在学生已有的知识基础上，教师通过设置实际情境，激发学生发现思考和探究问题的兴趣，引导学生用所学知识来分析问题，通过实际案例，让学生感受“从一般到特殊，从特殊到一般”的数学思维过程。通过鼓励学生对原例题改编，给学生思考，创造和表现的机会，让学生体会发现和创造的趣味，培养学生的创造性思维，使课堂教学氛围和谐愉悦，最终达成教学目标。

五、教学过程

（一）创设情境，引入课题

背景：幻灯片播放学校跳蚤市场照片，共同回忆跳蚤市场精彩片段。

学校跳蚤市场我班设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖。

活动：各小组进行30次摸奖试验，记录中奖频率。

师：那么摸奖游戏的中奖概率是多少呢？该问题暂时无法解决，通过本节课对离散型随机变量分布列继续研究后，我们希望能解决此类问题。

（二）回顾数学旧知

1、随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。随机变量常用希腊字母表示。

2、离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量。在高中阶段我们只研究随机变量X取有限个数值的情形。

3、分布列：若离散型随机变量X可能取得的不同值为nixxxx,,,,,21，X取每一个值nixi,,2,1的概率为iipxXP，则称表

X 1x 2x … ix … nx P 1p 2p … ip … np

为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列。

4、分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足：10XP，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，可得到离散型随机变量的分布列具有如下两个性质：

（1）nipi,,2,1,0；

（2）niip11.

对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和。即

【设计意图】巩固所学的内容，为本节学习掌握两点分布和超几何分布模型打下基础。

（三）学习新知，构建两点分布和超几何分布模型

例1 在掷一枚图钉的随机试验中，令.0,1针尖向下，针尖向上，X如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列.

活动：学生写出解答过程，请学生回答，教师板书解答过程。

解：随机变量X的分布列为

X 0 1

P p1 p

【设计意图】由特殊推广到一般，引出两点分布的定义。

定义：如果随机变量X的分布列为

X 0 1

P p1 p

其中10p，则称随机变量X服从两点分布，并称1XPp为成功概率。

给出两点分布的定义，教师指出两点分布列是最简单的分布列，是我们今后进一步学习二项分布的基础，两点分布列应用非常广泛。

数学史：两点分布又称0-1分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以还称这种分布为伯努利分布，为纪念瑞士数学家雅各布.伯努利而命名，他较早阐明随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近。

【设计意图】通过介绍两点分布相关的数学史，吸引学生的兴趣，使学生认识到两点分布在概率统计发展史中的重要地位。

问题：下面的分布列是否为两点分布？

X 2 5

P 0.3 0.7

分析：两点分布中随机变量X的取值只能是0和1，这个分布不是两点分布。

问题：能否进行一些处理，使其转化为两点分布？

分析：不妨记.5,120XXY；，，Y也是离散型随机变量，关于Y的分布列

Y 0 1

P 0.3 0.7

随机变量取值只有0和1的分布才是两点分布，只有两个可能结果的分布未必是两点分布。

活动：引导学生结合生活，举出一些实例。例如，抽取的彩券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等只有两种可能结果的事件。教师总结：只要随机试验只有两种可能结果，我们都可以用两点分布列来研究。

例2在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求：

（1）取到次品数X的分布列；

（2）至少取到1件次品的概率。

活动：学生写出解答过程，请学生回答。

解：（1）因为从100件产品中任取3件的结果数为3100C，从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的结果数为kkCC3955，所以从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的概率为

因此随机变量X的分布列为

X 0 1 2 3 P

310039505CCC 310029515CCC 310019525CCC 310009535CCC

（2）根据随机变量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率为

问题：任取4件、5件、6件、7件产品，次品数X的取值有什么变化？

任取3件，3,2,1,0X；任取4件，4,3,2,1,0X；

任取5件，5,4,3,2,1,0X；任取6件，5,4,3,2,1,0X；

任取7件，5,4,3,2,1,0X。

那么推广到一般情况，含有M件次品的N件产品中任取n件，取到次品件数X的取值范围是什么？

期望回答：nMX,min

活动：如果nMm,min，请同学们借助例2中的分布列，试着写出在含有M件次品的N件产品中任取n件，取到的次品数X的分布列。

【设计意图】以学生为主体，引导学生发现规律，建立超几何分布模型。

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则

即

X 0 1 ... m

P

nNnMNMCCC00 nNnMNMCCC11 …

nNmnMNmMCCC

其中nMm,min，且*NMnNMNnN,,,,。

如果随机变量X的分布列具有上表形式，则称随机变量X服从超几何分布。在超几何分布模型中，“任取n件”是指“每次取一件不放回，共取n件”，如果有放回的取则为n次独立重复试验，随机变量服从二项分布。

师：超几何分布模型特点：一次性抽样或不放回抽样；总体由较明显的两部分组成。

【设计意图】从具体事例入手，将结果推广到一般情形，体现由特殊到一般的数学思想，使学生容易理解掌握超几何分布模型。

（四）运用新知，完成能力提高

问题：学习了两点分布模型，超几何分布模型，我们试着来解决摸球游戏中奖概率？ 例3 学校跳蚤市场我班设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同。一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖概率。

解：设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中5,10,30nMN.于是中奖的概率

师：中奖概率太低，我班摊位前门口罗雀......怎么办？

期望回答：提高中奖概率。

问题：如果要提高这个游戏的中奖概率，那么应该如何设计中奖规则？

学生合作完成，教师请学生回答。

生：至少摸到两个红球就中奖；至少摸到一个红球就中奖。

【设计意图】通过摸球游戏使学生认识到数学来源于生活，锻炼学生逻辑思维能力和语言表达能力，并建立完整知识结构。引导学生发散思维，加深对超几何分布模型的理解。

（五）归纳总结

问题：通过本节课的学习，你有哪些收获？

活动：学生回答，教师补充。

知识内容：离散型随机变量分布列的性质；两种重要的分布列模型：两点分布和超几何分布。

思想方法：由特殊到一般，由一般到特殊，由具体到抽象，数据分析,数学建模等等。

（六）结束语

为学生播放老师自己录制分布列之歌，教师提出分布列来源于生活，用于生活，从生活中来，到生活中去，祝愿学生今后成功概率1p，愉快的结束本节课。

板书设计：

2.1.2两点分布和超几何分布

1.两点分布 变式

例1.

2.超几何分布

探究

例2.