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2-9随机变量函数的分布

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随机变量函数的 分布

随机变量函数的 分布

WENKU DESIGN
离散型随机变量函数的概率分布
01
定义
离散型随机变量函数的概率分布 是指随机变量取各个可能值的概 率。
02
03
计算方法
应用
根据随机变量的定义和性质，计 算每个可能值的概率，并列出概 率分布表。
在概率论和统计学中，离散型随 机变量函数的概率分布是描述随 机变量取值规律的重要工具。
离散型随机变量函数的期望和方差
1 2 3
期望
离散型随机变量函数的期望是指所有可能取值的 概率加权和，即E(X)=∑xp(x)。
方差
离散型随机变量函数的方差是每个可能取值的概 率加权平方和的平均值，即D(X)=∑x^2p(x)E(X)^2。
应用
期望和方差是描述离散型随机变量函数取值稳定 性和分散程度的指标，在统计学、决策理论和风 险管理中具有重要应用。
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个随机试验的 结果映射到一个实数域上的函数。
随机变量函数通常用大写字母表示， 如X(ω)，其中ω表示随机试验的结果。
随机变量函数的性质
确定性
对于每一个试验结果ω，随机变量函数都 有一个确定的函数值X(ω)。
VS
随机性
函数值X(ω)是随机的，即对于相同的试验 结果ω，每次试验都可能得到不同的函数 值。
随机变量函数的分布
https://
REPORTING
• 随机变量函数的基本概念 • 离散型随机变量函数的分布 • 连续型随机变量函数的分布 • 随机变量函数的变换 • 随机变量函数的应用
目录
PART 01
随机变量函数的基本概念
REPORTING
WENKU DESIGN
连续性

《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布9节-精品文档

《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布9节-精品文档
X
P ( X ln y ) F (ln y ) X 当 y e 时， F （ y ） P ( Y y ) 1 Y
上式对y求导数，得Y的概率密度为 1 1 (ln F y )(ln y ) fX (ln y) , 1 X y e y y fY ( y) F ( y ) Y
第九节 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量X的分布律如下， X -2 1 2 pk 0.3 0.2 0.1 3 0.4
求Y=X2-1的分布律 解：Y的所有可能取值为0,3,8 P ( Y 0 ) P ( X 1 ) 0 . 2
P ( Y 3 ) P ( X 2 ) P ( X 2 ) 0 . 3 0 . 1 0 . 4
P ( Y 8 ) P ( X 3 ) 0 . 4
2019/3/16 1
例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由 于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X 的概率密度为 2 x , 0x1
一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。
fX(x ) , 其他 0
0 ,
y 1 , 或 y e
4
2019/3/16
例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (2)求Y=-2lnX的概率密度。 解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在 当 y 0 时， F （ y ） P ( Y y ) 0 ; (0，+∞)上取值。 Y 当 y 0 时， F （ y ） P ( Yy )P ( 2 ln X y ) Y
( 2 ) 当 1 y4 时，有

概率论-随机变量的分布函数

概率论-随机变量的分布函数
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机 变量X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(４)是鉴别 一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要 条件.
连续型随机变量及其概率密度函数
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.
因此，只要知道了随机变o 量x X1 的X分x 2布函x数， 它
的统计特性就可以得到全面的描述.
F (x ) P (X x ) , x
oX
x
x
分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量的概率
问题.
例1 设 随机变量 X 的分布律为 X 012
p k 13 16 12 求 X 的分布函数 F (x) .
连续型随机变量的分布函数在 R上连续
二、概率密度的性质
1 o f (x)0
2 o f (x)dx1
这两条性质是判定一个 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3 o 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2f( x ) d x
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb)
P(aXb)
注意
设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P{Xa}0.
连
若P{Xa}0,
续 型
不 能 确 定 { X a } 是 不 可 能 事 件

随机变量的分布函数定理

随机变量的分布函数定理

随机变量的分布函数定理随机变量在概率论中扮演着非常重要的角色，随机事件的概率常常需要用到随机变量的概念进行描述。

随机变量可以表示为一个实数函数，它能在每个概率事件发生时给出一个实数值。

在随机变量的研究中，分布函数是一个重要概念。

分布函数可以告诉我们一个随机变量在每个实数点的概率大小，从而帮助我们推出随机变量的各种性质。

在本文中，我们将介绍分布函数定理及其应用。

分布函数的定义分布函数是随机变量的最基本概念，它是一个实数函数，通常用F(x)表示。

分布函数F(x)描述的是一个随机变量X小于等于x的概率，即：F(x) = P{X ≤ x}其中，P表示概率。

分布函数具有以下性质：1. F(x)是一个单调不降函数，即如果x1 < x2，则F(x1) ≤ F(x2)；2. F(x)的取值范围是0 ≤ F(x) ≤ 1；3. 当x趋近于负无穷时，F(x)趋近于0；当x趋近于正无穷时，F(x)趋近于1；4. F(x)是右连续函数，即F(x+) = lim┬(t→x⁺)⁡〖F(t)〗。

分布函数定理分布函数定理是概率论中非常重要的一个定理，它的主要作用是帮助我们确定随机变量的分布函数。

分布函数定理是概率论中的一条基本公式，它可以描述一个随机变量的概率分布。

对于任意一个随机变量X，它的分布函数满足如下定理：若X是一个随机变量，则它的分布函数F(x)是一个连续的、右连续的函数，并且有以下两个性质：1. F(x)在每个实数点x处都是可积函数，即∫F(x)dx存在；2. 对于任意实数a < b，有P{a < X ≤ b} = F(b) - F(a)。

这两条性质可以用于计算一个随机变量在某个区间内取值的概率。

分布函数的应用分布函数的应用非常广泛，可以帮助我们推导出各种随机变量的性质。

下面介绍分布函数在离散和连续随机变量中的应用。

1. 离散随机变量中的分布函数对于离散随机变量X，它的分布函数可以表示为：F(x) = P{X ≤ x} = ΣP{X = xi}，其中xi ≤ x这里，P{X = xi}表示X取值为xi的概率，Σ是求和符号。

2.随机变量的分布函数、连续型

2.随机变量的分布函数、连续型

4 2 4 0, x 0,
故X的分布函数为
1 , 0 x 1,
F(x)
4 3 ,
1 x 2,
4
F(x)
1, 2 x.
1
O
0O
1
O
它是一条阶梯形曲线，
2
x
设离散型随机变量X 的分布律为
P( X xi ) pi , i 1,2, ,
则离散型随机变量X的分布函数
F( x) P( X x) P( X xi )
a, 2
得a 2
于是X的密度函数为 2e2 x ,
f (x) 0,
x0 x0
P( X 1) 2e2xdx e2 . 1
3、正态分布 如果连续型随机变量X的密度函数为
f (x)
1
( x )2
e
2 2
,xR
2
那么称随机变量X服从参数为， 2的正态分布，
～ 记为X N（， 2）, R, 0.
本节我们来研究一维随机变量取值的统计规律性。 为此先考虑下面的例子。
例1 设随机变量X在区间[0，1]上取值，当0 a 1
时，概率P（0 X a）与a2成正比例。
试求X的分布函数F（x）
解：X的分布函数为：
y
0
F
(
x)
x2
1
x0 0 x1
1 x
1 o1x
由此例我们看到，F ( x)处处连续，并且其
2
2
x, (3)
x 1 1 x F (xx).1
1
（3） 当x 1时, F( x)
x
f (t)dt
x
0dt 0
当 1 x 1时, F( x)
x f (t )dt

概率论 随机变量的函数及其分布

概率论 随机变量的函数及其分布

p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )] , 0 y , pY ( y ) 其他 . 0，
1 [ f 1 ( y )] , 0 f 1 ( y ) 1, 其他 . 0, 1 1 , 0 ln y 1, y 其他 . 0, 1 , 1 y e, y 0, 其他 .
证 F ( x )是分布函数
0 F ( x ) 1, 且F ( x )单调不减
依题意， 又知 F ( x )严格单调增加
故 y R,
FY ( y ) P{Y y } P { F ( X ) y }
FY ( y ) P{Y y } P{ F ( X ) y } y 0, P ( ), P{ F ( X ) y }, 0 y 1, P ( ), y 1. y 0, 0, P{ X F 1 ( y )}, 0 y 1, 1, y 1.
且恒有f ( x ) 0(或恒有f ( x ) 0), 则Y f ( X )是连
续型随机变量，其概率 密度为
p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )] , y , pY ( y ) 0, 其它. 其中 f 1 ( y ) 是 f ( x ) 的反函数, ( , )是f 1 ( y )的定义域，
y 0, 0, 0, 0 y 1, FY ( y ) ln y , 1 y e, y e. 1,
从而
d FY ( y ) pY ( y ) dy
1 , 1 y e, y 0, 其他 .
例6 设圆的直径服从区间(0,1)上的均匀分布

随机变量函数的分布


,
0,
0 ey/2 1 其它
得
fY
(
y)
1 2
e
y
/
2
,
y0
0,
其它
即Y服从参数为1/2的指数分布.
例9
设随机变量 X ~ N ， 2 ，Y eX，试求随机变量
Y 的密度函数 fY y．
解: 由题设，知 X 的密度函数为
f x
1
x2
e 2 2
x
2
因为函数 y ex 是严格增加的，它的反函数为
0,
其它.
整理得 Y =2X +8 的概率密度为：
fY
(
y
)
y8 32
,
8 y 16,
0,
其它.
解题思路总结
核心思想：{Y y}等价于{X ?}
解题过程：
⑴．先求Y g X 的分布函数
FY y PY y P g X y fX ( x)dx g( x) y
⑵．利用Y g X 的分布函数与密度函数之间的关系 求Y g X 的密度函数 fY y FY y
一、 离散型随机变量函数的概率分布
当X为离散型随机变量时， Y g X 也是离散型
随机变量。并且在 X 的分布列已知的情况下，求Y的
分布列是容易的。
X 1 0 1 2 3
例1 已知X的分布列为
Pk 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
求 Y X 1 Y X2
的分布列。
解 由Y 的分布列可列出
面积Y小于 等价于半径X<1/2
0
1
即事件｛面积Y 1 ｝等价于事件｛半径X 1｝
4
2
所以 P{Y } P{ X 1} 1

随机变量及其分布

A = {ω | X(ω) ∈ L} = {X ∈ L}
也可以是等式或是不等式。 X ∈ L 也可以是等式或是不等式。
如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 如在掷骰子试验中， 表示出现的点数, A=“出现偶数点”可表示为： X=2} X=4} X=6} A=“出现偶数点”可表示为：{X=2}∪ {X=4} ∪{X=6} 出现偶数点 B=“出现的点数小于４ 可表示为： 4} {X≤ B=“出现的点数小于４”可表示为：{X< 4}或{X≤3} 出现的点数小于
F(x) = P( X ≤ x)
为随机变量X的分布函数 随机变量X
F(x)是一个 F(x)是一个 普通的函数！ 值域为 值域为 ［０，１］。
定义域为 定义域为
（－∞，＋ ）； （－ ，＋∞）； ，＋
分布函数的性质
单调不减性 右连续性 非负有界性 规范性
若x1 < x2 , 则F ( x1 ) ≤ F ( x2 )
2)
∑p
k =1
∞
k = 1, 2,
k
=1
设离散型随机变量X的分布律为 例3 设离散型随机变量 的分布律为 P（X= xi） = pi i = 1、2、… （ 、 、 其中 0 ＜ p ＜1 ，求 p 值。
解：
1= ∵ ∑ P ( X = xi )
i =1
+∞
p =∑p = 1 p i =1
i
一般地， 一般地，对离散型随机变量 X～P（X= xk）＝ k, k＝1, 2, … ～ （ ）＝p ＝ 其分布函数为
F ( x) = P ( X ≤ x ) =
k : xk ≤ x
∑
pk
分布律确定事件的概率 例2中，得到 的分布律为 中 得到X的分布律为

随机变量的分布函数

下页
x0 0 x2 x2
结束
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数. 易证，F(x)是一个连续函数，可表示为
F ( x)
其中
x
-
f (t )dt
x , f ( x) 2 0,
下页 结束
例 2.
随机变量 X 的概率分布为 2 1/2
X 0 1 P 1/3 1/6 试求（1）X 的分布函数 F(x)，并作出 F(x)的图形； （2） P{ X },
1 2
3 P{1 X }, 2
3 P{1 X } 2
(2)
1 1 1 P{ X } F 2 2 3 3 3 1 1 P{1 X } F - F (1) - 0 2 2 2 2 3 3 1 P{1 X } F - F (1) P{ X 1} 2 6 2
x
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§2.3
随机变量的分布函数
一、定义 设X为随机变量，对于任意实数x，称函数
F ( x) P{X x} (- x )
为随机变量X的分布函数. 重要公式
(1) P{ X a} 1 - F (a).
(2) P{a X b} P{ X b} - P{ X a} F (b) - F (a)
pk P{X xk }.
《概率统计》
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结束
§2.４
连续型随机变量
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数.

概率论第六讲--随机变量的分布函数


及
其
y
由 FY ( y) F (x, )
[

f (x, y)dx]dy

知Y是连续型随机变量,其概率密度为
分 布

称为(X,fYY)(关y)于 Y的 f边(x缘, y)概dx率密度.
例3 求例1中二维随机变量（X、Y）关于X
和关于Y的边缘分布律。
例4 设随机变量X和Y具有联合概率密度 求
已知 分布函数F(x)
函 则f(x)在连续点处: f ( x) F `( x)
数
§2.5 多维随机变量及其分布
(一)二维随机变量
1.二维随机变量
引例1 E：火炮射击观察“弹着点”的位置；
例2 E：抽查学龄前儿童，观察身体素质。
定义：
随机试验E,样本空间为S=｛e｝,设X=X(e) 和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它们构 成的向量(X,Y),称为二维随机变量。
其 且F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1.
分 (3)F(x,y)关于x或y右连续.
布
多 • 2.离散型随机变量的联合分布律
维 设二维随机变量(X,Y)所有可能取值为
随 (xi,yj),记P｛X=xi,Y=yj｝=pij,称为二维
机
离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分布 律,或称为随机变量X,Y的联合分布律.
机 F(x,y),如存在非负的函数f(x,y),
变 使对于任意x,y，都有：
量 则称(X,Y)是连续型的二维随机变量,
及 函数f(x,y)称为(X,Y)的概率密度,
其 或称为X和Y的联合概率密度.
分
布
多 概率密度f(x,y)的性质
维 1 f (x, y) 0;
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⋯
pk
⋯
若 g( xk ) 中有值相同的, 应将相应的 pk 合并.
2、连续型Y=g(X) 连续型Y=g(X)
严格单调(递增) 设函数Y=g(X)严格单调(递增)
(1) FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{ g( X ) ≤ y} = P{ X ≤ g−1( y)} = FX [ g −1 ( y )]
u+1 }代 如 3: 用 X ≤ 例 { }代 {3X −1 ≤ u} 替 3
例4: 用{- y ≤ X ≤ y}代替{X2 ≤ y} y}代
目的： 的分布，从而求出Y=g(X)的概率. Y=g(X)的概率 目的：为了利用X的分布，从而求出Y=g(X)的概率. 求连续型随机变量F(x)或f(x)的通用做法。 求连续型随机变量F(x)或f(x)的通用做法。 F(x) 的通用做法
D
积分区域D={(x, y): x+y ≤z}是直线 是直线x+y =z 左下方半平面 积分区域 是直线
FZ (z) =
x+ y≤z
∫∫
f ( x, y)dxdy =
∫ [∫
−∞
∞
z− y
−∞
f ( x, y)dx]dy
′ f Z ( z ) = FZ ( z ) =
∫ [∫
−∞
∞ −∞
∞
z− y
fZ (z) = ∫ fX (z − y) fY ( y)dy =
−∞
∞
∫
−∞
fX ( x) fY (z − x)dx
卷积公式
例7
X,Y相 设 随 机 变 量 X,Y 相 互 独 立 , 且 具 有 相 同 的 概 率 密 度 0≤x≤1 其它 Z=X+Y的 . 求 Z=X+Y 的 概 率 密 度 .
+X的 解:(1) Y=X 2 +X的分布律
X Y P -2 2 0.2 -1 0 0.1 0 0 0.1 1 2 0.3 2 6 0.3
再对等值合并
Y 0 2 P 0.2 0.5
6 0.3
+X的 (2) Y=X 2 +X的所有可能取值0,2,6 P(Y=0)=P(X 2 +X=0)=P{(X=-1)∪(X=0)}=0.1+0.1=0.2
−∞
f ( x, y)dx]′ dy z
= ∫ f (z − y, y)(z − y)′ dy z
Z=X+Y的概率密度为 的概率密度为 由对称性
⇒ fZ (z) = ∫ f (z − y, y)dy
−∞
∞ −∞
∞
fZ (z) = ∫ f ( x, z − x)dx
∞
特别: 独立时， 的边际密度为f 特别 当X和Y独立时，设(X,Y) 的边际密度为 X(x) , fY(y) 和 独立时
解： 设Y和X的分布函数分别为 和 的分布函数分别为
F (y)，FX (x) Y
注意到 Y=X2 ≥0，故当 y ≤0时， F (y) = 0 ， 时 Y 当 y>0 时,
F ( y) = P(Y ≤ y) = P( X 2 ≤ y) Y
= P(− y ≤ X ≤ y ) = FX ( y ) − FX (− y )
1 fX ( y ) + fX ( − y ) , y > 0 dF ( y ) fY ( y ) = Y = 2 y dy 0, y≤0
y +1 fX ( y ) = 2 0
− y + 1 0≤ y ≤1 −1 ≤ − y ≤ 0 fX (− y ) = 2 0 其它 其它
第九节 随机变量函数的分布
主要内容（ 学时 学时） 主要内容（2学时）
一、一维随机变量函数Y=g(X)的分布。 一维随机变量函数Y=g(X)的分布。 Y=g(X)的分布
Y=g(X)； Y=g(X)(重点 重点） 1、离散型Y=g(X)； 2、连续型Y=g(X)(重点）
Y)函数的分布 二、二维 (X, Y)函数的分布 1、离散型Z=g(X,Y)的分布 离散型Z=g(X,Y)的分布 Z=g(X,Y) 2、Z=X+Y的分布(重点） Z=X+Y的分布(重点） 的分布 Y)和N=Min(X,Y)的分布 重点） 的分布（ 3、M=Max(X, Y)和N=Min(X,Y)的分布（重点）
上服从均匀分布。 例5（P63,例4） 设随机变量 在(0,1)上服从均匀分布。求： （ 例 ） 设随机变量X在 上服从均匀分布 的概率密度. （1）(略).（2）Y=-2lnX的概率密度 ）略 （ ） 的概率密度
解 : X ∼ U (0,1),
Y = −2ln X > 0
y < 0, FY ( y) = 0 ⇒ fY ( y) = 0
FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{−2 ln X ≤ y} = P{ X ≥ e− y / 2 }
= 1 − P{ X < e− y / 2 } = 1 − FX (e− y / 2 ) ′ ( y) = − f X (e− y / 2 )(e− y / 2 )′ = 1 e− y / 2 fY ( y) = FY 2
2、设随机变量(X,Y)的联合分布已知，Z=g (X,Y) , 如何 、设随机变量 的联合分布已知， 的联合分布已知 的分布？ 由 (X,Y) 的分布求 Z的分布？ 的分布
一、一维随机变量函数 一维随机变量函数Y=G(X)的分布 函数 的分布
1、离散型Y=g(X) 离散型Y=g(X)
2 5 1 例1.设随机变量X ∼ , 求Y = 2 X + 3的分布律. 0.2 0.5 0.3
的概率密度为： 则 Y=X2 的概率密度为：
1 ( fY ( y) = 2 y 0 y +1 − y +1 ) + 2 2 0< y ≤1 它 其
启示：从例 中看到 在求F(y)=P(Y≤y) 过程中， 中看到， 过程中， 启示：从例3-4中看到，在求 关键就是设法从 中解出X， 关键就是设法从{ g(X) ≤ y }中解出 ，从而得到与 {g(X) 中解出 ≤ y }等价的 的不等式 . 等价的X的不等式 等价的
例8(P64-例5) 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量 , 其概率密度 8(P64-例 1 分别 为f X ( x ) = 0 0< x<1 其它 e − y y > 0 .求 , fY ( y ) = . 求随 机变量 其它 0
2、Z=X+Y的分布(重点） Z=X+Y的分布(重点） 的分布 的概率密度. 设(X，Y)的联合概率密度为 f (x,y)，求Z=X+Y的概率密度 的联合概率密度为 ， 的概率密度 分析: 分析 Z=X+Y的分布函数是 的分布函数是
FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)
= ∫∫ f ( x, y)dxdy
u +1 u +1 1 . 0< <1 2. fU ( u ) = 3 3 3 0 其它 2 −1 < u < 2 ( u + 1) 即 fU ( u ) = 9 其它 0
4(P62-例 R),求 例 4(P62-例 3) 设 随 机变 量 X的概 率 密度 为 fX(x)(x ∈ R),求 : x+1 (1)随机 变量 Y=X 2的 概率 密 度.(2)设概密 fX(x)= 2 (1)随 .(2)设 0 求 Y=X 2的 概 率密 度 fY(y). -1 ≤ x ≤ 1 其它
−2 W = X −Y 0 M = max( X,Y ) − 1 N = min( X ,Y ) − 1
Z = X +Y
0 -2 1 -1
1 -3 2 -1
1 3 2 -1
3 1 2 1
4 0 2 2
合并后可得各变量的分布律如下： 合并后可得各变量的分布律如下：
Z=X+Y P W=X-Y P M=max(X,Y) P N=min(X,Y) P -2 5/20 -3 6/20 -1 5/20 -1 16/20 0 2/20 -2 2/20 1 2/20 1 3/20 1 9/20 0 6/20 2 13/20 2 1/20 3 3/20 1 3/20 4 1/20 3 3/20
∞
1 f( x)= 0
解: 由卷积公式
fZ (z) = ∫ fX ( x) fY (z − x)dx
−∞
0 ≤ x ≤1 积分区域 0 ≤ z − x ≤ 1
0 ≤ x ≤1 即 z −1 ≤ x ≤ z
z dx = z, 0 ≤ z <1 ∫0 1 ⇒ fZ (z) = ∫ dx = 2 − z, 1 ≤ z < 2 z−1 其它 0,
(X,Y)联合分布律: P{X=xi ,Y=yj }=pij , Z = g( X ,Y )
P{Z = zk }=P{g( X,Y ) = zk } =
∑
pij
g(xi ,yj )=zk
}等 即 P{Z=z k } 等 于 满 足 g(x i ,y j )=z k 所 有 pij之 和 .
(X,Y)联 例6(类似P72-习34) 设离散型(X,Y)联合分布律如下表,求: 6(类 P72-习 (3)M=max(X,Y).(4)N=min(X,Y) in(X,Y)的 (1)Z=X+Y. (2)W=X-Y. (3)M=max(X,Y).(4)N=min(X,Y)的分布律.
解：设X，U的分布函数分别为 FX (x) , FU(u) ， 的分布函数分别为
FU ( u) = P{U ≤ u} = P{3 X − 1 ≤ u}
u +1 = P{ X ≤ } = FX { u + 1) 3 3