两个随机变量的函数的分布

0 - αz
z
= αβe
0
z
e -( β - α ) y d y
当M = max(X ,Y )时, 有 FM ( z ) = P{M z} = P{X z ,Y z} = P{X z}P{Y z} = FX( z ) FY ( z )
类似地, N = min(x ,y )时, 有 FN ( z ) = P{N z} = 1 - P{N > z} = 1 - P{x > z ,y > z} = 1 - P{x > z}P{y > z} = 1 - (1 - Fx ( z ))(1 - Fy ( z )).
y
O
同样, N = min(X1 , X2 ,L, Xn ), 有 L[1 - FX ( z )] Fmin ( z ) = 1 - [1 - FX1 ( z )] * [1 - FX2 ( z )] * n
x
特别当X1，X2，…，Xn是相互独立且具有相同 分布函数时，设它们的分布函数为F(x) ，则
G1
G2
= [ yp ( yu, y) d y - yp ( yu, y) d y] d u.
- 0 -
z

0
由此可得分布密度为
p( z ) =
0
yp( yz, y) d y -
0 -
yp( yz, y) d y
（5.7）
=
-
y p( yz, y) d y.
１
同理可得Ｚ=ＸＹ的分布函数：
f Z ( z ) = - f X ( z - y ) fY ( y )dy

f Z ( z ) = - f X ( x) fY ( z - x)dx
这两个公式称为卷积公式, 记作fX * fY ,即 fX * fY = - fX ( z - y ) fY ( y )dy = - fX ( x) fY ( z - x)dx
-
y , y ) d y. p ( y z
（5.8）
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘 密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式分 别化为：
p( z ) =
p( z ) =
-
y pX ( yz) pY ( y) d y.
１ y y p X ( z ) pY ( y ) d y .
- yz -2 y
e
d y = 0 2 ye

- y ( 2+ z )
2 , dy = 2 (2 + z )
( 当 z 0 时 ) pZ ( z ) = 0,
得
2 , z > 0, 2 pZ ( z ) = ( 2 + z ) z 0. 0,
3. M=max (X，Y )及N=min (X，Y)的分布 设X和Y是相独立的随机变量且它们的 分布函数分别记为FX (x)和FY (y)。
z
- 0


yp( yu, y) d y d u
同理可得
p( x, y ) d x d y = - - - yp( yu, y ) d y d u,
G2
z
0
故有 FZ ( z ) = P{ Z z }
= p( x, y ) d x d y + p( x, y ) d x d y
上述结果容易推广到n个随机变量的情形。
设X1，X2，…，Xn是n个相互独立的随机变量， 它们的分布函数分别为
FX1 ( x1 ), FX2 ( x2 ), L , FXn ( xn )
则M = max(X1 , X2 , L, Xn )的分布函数为 Fmax ( z ) = FX1 ( z ) * FX2 ( z ) L FXn ( z )
=
f ( x, y)dxdy
D
这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面.
FZ ( z ) =
x + y z
f ( x, y)dxdy
z- y
化成累次积分,得
FZ ( z ) = - [ - f ( x, y)dx]dy
固定z和y,对方括号内的积分作 变量代换, 令x=u-y,得
5. 两个随机变量的函数的分布
◆ 主要内容 1. Z=X+Y的分布 2. Z=X/Y的分布、Z=XY的分布 3. M=max {X,Y}及N=min {X,Y}的分布
1. Z=X+Y的分布
例1 设（X、Y）是二维连续型随机变量，它 具有的概率密度为 f (x, y),求Z=X+Y的密度.
解: Z=X+Y的分布函数是: FZ (z)=P (Z ≤ z)=P(X+Y ≤ z)
这个结论还能推广到n个独立正态随机变量之 和的情况：
2 Xi ~ N m 一般来说，若 （i=1, 2, …，n）， ( i , i ), 且他们相互独立，则他们的和Z=X1+X2+…..+Xn n n 仍然服从正态分布，且有 2 2
m = mi = i
i =1
i =1
这个事实可以证明 有限个相互独立的正态 随机变量的线性组合仍 然服从正态分布
G1
G2
G1
=

0

yz
-
p( x , y) d x d y + - yz p( x , y) d x d y,
0

O
G2
x
令u = x y ,
p( x, y) d x d y = 0 - p( x, y) d x d y
G1

yz
=

0

z
-
yp( yu, y) d u d y =
解
由公式
pZ ( z ) = 0 yp( yz, y ) d y - - yp( yz, y ) d y,

0
2e - x e - 2 y , x > 0, y > 0, p( x , y ) = 其它. 0,
得所求密度函数 (当z > 0时)
pZ ( z ) = 0 2 ye
Fmin ( z ) = 1 - [1 - FX ( z )][1 - FY ( z )]
1 - e - ( α + β ) z , z > 0, = z 0. 0,
于是Z=min (X，Y )的概率密度为
(α + β )e -( α + β ) z , z > 0, f min ( z ) = z 0. 0,
+ +

例2 设X,Y是相互独立的服从标准正态分布N(0, 1)的 随机变量。求Z=X +Y的概率密度。
解
X
由于 1 e 2
x2 2
f ( x) =
- < x < - - < y < +
1 f ( y) = e 2
Y
y2 2
因此,由卷积公式有 fZ ( z ) = -
+
1 fX ( x) fY ( z x)dx = 2
（5.9）
-
（5.10）
例3 设 X , Y 分 别 表 示 两 只 不 同 型 的 号灯 泡 的
寿 命, X , Y 相 互 独 立 ,它 们 的 概 率 密 度 分 别 为 e - x , x > 0, 2e - 2 y , y > 0, pX ( x ) = pY ( y ) = 其 它. 0, 其 它, 0, X 试求Z = 的概率密度函数 . Y
L2 Y
接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度.
(1) 串联的情况
由于当 L1 , L2 中有一个损坏时 , 系统 L 就停止工作,
所以这时 L 的寿命为
Z = min( X ,Y ).
αe - αx , x > 0, 1 - e - αx , x > 0, 由 f X ( x) = FX ( x ) = x 0, x 0, 0, 0, βe - βy , y > 0, 1 - βe - βy , y > 0, 由 fY ( y ) = FY ( y ) = y 0; y 0. 0, 0,

FZ ( z ) = - [ - f ( u - y, y)du]dy 交换积分次序 = [ f ( u - y, y)dy]du - -
z
z
FZ ( z ) = - [- f ( u - y, y)dy]du
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y 的概率密度为:
z

f Z ( z ) = F ( z ) = f ( z - y, y)dy
' Z -

由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
f Z ( z ) = F ( z ) = f ( x, z - x )dx
' Z -

以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘 密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
(2) 并联的情况 由于当且仅当L1, L2都损坏时, 系统L才停止 工作,所以这时L的寿命Z为 Z=max (X，Y )
Z = max( X ,Y ) 的分布函数为
(1 - e - αz )(1 - e - βz ), z > 0, Fmax ( z ) = FX ( z ) FY ( z ) = z 0. 0, 于是Z=max (X，Y )的概率密度为 αe - αz + βe - βz - (α + β )e -( α + β ) z , z > 0, f max ( z ) = z 0. 0,