两个随机变量的函数的分布-完整版
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两个随机变量的函数的分布
f (x, z x)dx
fX (x) fY (z x)dx
f (z y, y)dy fX (z y) fY (y)dy
连续场合 的卷积公 式
类似可得： fX Y (z)
f (x, x z)dx
fX (x) fY (x z)dx
f (z y, y)dy
fX (z y) fY ( y)dy
(3) 当 1 < z 时,
fZ (z)
1 e(zx)dx ez (e 1).
0
1x
1 ez, 0 z 1
故 fZ (z) ez (e 1), z 1 .
0,
其他
例6 设 X与Y 是独立同分布的标准正态变量，求Z = X+Y 的分布.
解
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
fXY (z)
f (x, z ) 1 dx x | x |
fX
(x)
fY
(
z) x
|
1 x
|
dx
f ( z , y) 1 dy y | y |
z
1
fX
(
) y
fY
(
y)
|
y
|
dy
fX /Y (z)
f (yz, y) | y | dy
fX ( yz) fY ( y) | y | dy
应用：若 Xi b(1, p)， i=1, 2, …, n且相互独立，则 Z = X1 + X2 + … + Xn b(n, p). 相互独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布
二、两个连续型随机变量的和差积商概率密度公式
定理1 数为
设连续型随机变量X与Y 独立，则 Z=X+Y 的密度函
两个随机变量函数的分布
z
x 0 x 0
z
x
0
z
x
zx
0
x
fZ (z)
z xe x (z x)e(z x)dx,
0
当z 0
fZ (z) ez
z
x(z x)dx
0
fZ (z) ez
z (zx x2 )dx
0
z3ez 6
,
z0
0, z 0
作业中的问题
习题二 P70
5. (1) 设随机变量X的分布律为
P(Z 1) P( X 0,Y 1) 0
P(Z 2) P( X 1,Y 1) 3 8
P(Z 3) P(X 2,Y 1) P(X 0,Y 3)
314 88 8
Z123456 pk 0 3/8 4/8 0 0 1/8
例: (P73) 泊松分布的可加性
若X,Y相互独立, X~P(
1
x2
e 2,
x
2
1
y2
e 2,
y
2
求Z=X+Y的概率密度。
解：由卷积公式
fZ z
f
X
x
fY
z
x dx
1
x2 zx2
e 2 e 2 dx
2
( x2 zx z2 ) ( x z )2 z2
2
24
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令x z t
y0
试就以上三种联接方式分别写出L的寿命Z的概率密度.
解:(1)串联的情况: Z = min (X,Y) X,Y的分布函数分别为：
1 e x , x 0
FX
(
x)
x 0 x 0
z
x
0
z
x
zx
0
x
fZ (z)
z xe x (z x)e(z x)dx,
0
当z 0
fZ (z) ez
z
x(z x)dx
0
fZ (z) ez
z (zx x2 )dx
0
z3ez 6
,
z0
0, z 0
作业中的问题
习题二 P70
5. (1) 设随机变量X的分布律为
P(Z 1) P( X 0,Y 1) 0
P(Z 2) P( X 1,Y 1) 3 8
P(Z 3) P(X 2,Y 1) P(X 0,Y 3)
314 88 8
Z123456 pk 0 3/8 4/8 0 0 1/8
例: (P73) 泊松分布的可加性
若X,Y相互独立, X~P(
1
x2
e 2,
x
2
1
y2
e 2,
y
2
求Z=X+Y的概率密度。
解：由卷积公式
fZ z
f
X
x
fY
z
x dx
1
x2 zx2
e 2 e 2 dx
2
( x2 zx z2 ) ( x z )2 z2
2
24
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令x z t
y0
试就以上三种联接方式分别写出L的寿命Z的概率密度.
解:(1)串联的情况: Z = min (X,Y) X,Y的分布函数分别为：
1 e x , x 0
FX
(
x)
两个随机变量函数的分布
解: X 0
1
P 1/2 1/2
Y0
1
P 1/2 1/2
(XP,{YZ)=的zk取} 值= P数{对g(为X,(Y0),0=),(z0k,}1=),(1,0),(1p,i1j ,),k 1,2,
Z=max(X,Y)的取值为:0,1
i, j
g( xi , y j )zk
P{Z=0}=P{X=0,Y=0}= P{X=0}P{Y=0} =1/4
（1）
1
f(x, y)dxdy
ke(xy)dxdy k k 1
00
(2)F(x,
y)
x 0
y e-(uv)dudv
0
(1 e-x )(1 ey ),0 x ,0 y
0, 其 它
( 3 )P( 0 X 1,0 Y 2 ) 1 2 e( x y )dxdy ( 1 e1 )( 1 e2 ) 00
e 2 dx
2
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
fZ ( z ) fX ( x ) fY ( z x )dx
1
x2
e2
2
1
( z x )2
e 2 dx
2
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令 t x z ，得
2
fZ (
z
)
1
2
z2
e4
et2 dt
1
z2
g( xi , y j )zk
概率 1/10 2/10 3/10 2/10 1/10 1/10
（X,Y）(-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1) (2,2)
两个随机变量的函数的分布
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) < f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递增。
单调递减
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递减。
有界性
有上界
如果存在一个实数M，使得对于所有x 属于定义域，都有f(x) <= M，则称 函数f(x)有上界。
两个随机变量的函数的实际 应用
金融领域
金融风险评估
在金融领域中，两个随机变量的函数可以用于评估投资组合的风险。例如，通过计算两 个资产收益率的协方差矩阵，可以了解不同资产之间的相关性，从而制定风险管理策略。
期权定价
在期权定价模型中，标的资产的价格通常被视为一个随机变量。通过引入另一个随机变 量，如无风险利率或波动率，可以构建更复杂的期权定价模型，如二叉树模型和蒙特卡
幂函数
若$X$是随机变量，$n$是自然数，则$X^n$的期望是 $E(X^n)=nE(X)$。
方差的计算
1 2 3
线性函数
若$X$是随机变量，$a$和$b$是常数，则 $aX+b$的方差是$D(aX+b)=a^2D(X)$。
乘积函数
若$X$和$Y$是随机变量，则$X times Y$的方差 是$D(X times Y)=D(X) times D(Y)+[E(X)E(Y)]^2$。
04
CHAPTER
两个随机变量的函数的图像 和性质
图像的绘制
直方图
通过将数据分组并在每个组上绘制矩 形来绘制直方图，矩形的面积等于该 组的频数，高度等于组的中位数。
折线图
散点图
将两个随机变量在坐标系上标出，并 绘制点来表示它们的值。
单调递减
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递减。
有界性
有上界
如果存在一个实数M，使得对于所有x 属于定义域，都有f(x) <= M，则称 函数f(x)有上界。
两个随机变量的函数的实际 应用
金融领域
金融风险评估
在金融领域中，两个随机变量的函数可以用于评估投资组合的风险。例如，通过计算两 个资产收益率的协方差矩阵，可以了解不同资产之间的相关性，从而制定风险管理策略。
期权定价
在期权定价模型中，标的资产的价格通常被视为一个随机变量。通过引入另一个随机变 量，如无风险利率或波动率，可以构建更复杂的期权定价模型，如二叉树模型和蒙特卡
幂函数
若$X$是随机变量，$n$是自然数，则$X^n$的期望是 $E(X^n)=nE(X)$。
方差的计算
1 2 3
线性函数
若$X$是随机变量，$a$和$b$是常数，则 $aX+b$的方差是$D(aX+b)=a^2D(X)$。
乘积函数
若$X$和$Y$是随机变量，则$X times Y$的方差 是$D(X times Y)=D(X) times D(Y)+[E(X)E(Y)]^2$。
04
CHAPTER
两个随机变量的函数的图像 和性质
图像的绘制
直方图
通过将数据分组并在每个组上绘制矩 形来绘制直方图，矩形的面积等于该 组的频数，高度等于组的中位数。
折线图
散点图
将两个随机变量在坐标系上标出，并 绘制点来表示它们的值。
两个随机变量函数的分布
P{Z 3} P{X Y 3} P{X 3，Y 1} 3 ， 20
P{Z 4} P{X Y 4} P{X 4，Y 4} 1 ， 20
于是得Z =X +Y 的分布律(表3-13)
表3-13
同理可得，Z = XY 的分布律为(表3-14)。
表3-14
例3.17 设X，Y 相互独立，且分别服从
求随机变量Z =X +Y 的分布密度.
解 X，Y 相互独立，所以由卷积公式知
fZ (z) f X (x) fY (z x) dx
。
由题设可知 fX (x) fY ( y)只有当0 x 1 ，y 0 ，即当0 x 1
且z x 0 时才不等于零。现在所求的积分变量为x，z 当作参数,
当积分变量满足x 的不等式组时，被积函数
概率学与数理统计
两个随机变量函数的分布
设( X , Y )为二维随机变量，则 Z ( X ，Y ) 是( X , Y )的
函数，Z 是一维随机变量，现在的问题是如何由( X , Y )的分 布，求出Z 的分布，就是已知二维随机变量( X , Y )的分布律
或密度函数，求Z ( X ，Y ) 的分布律或密度函数问题。
特别地，当X 和Y 相互独立时，设( X , Y )关于X，Y 的边缘
概率密度分别为fX (x)，fY (y)，则有
fZ (z)
fX
(z
y)
fY
dy
，
及
(3.18)
fZ (z)
fX
(x)
fY
(z
x) dx
。
(3.19)
这两个公式称为卷积(Convolution)公式，记为 fX fY 即
0 x 1
3.5 两个随机变量的函数的分布
第五节
两个随机变量的函数的分布
一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
一、问题的引入
有一大群人 , 令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压 ,并且已知 Z 与
X , Y 的函数关系 Z = g ( X ,Y ),如何通过 X ,Y 的分
(iii)备用的情况
由于这时当系统 L1 损坏时,系统 L2 才开始工 作, 因此整个系统 L 的寿命 Z 是 L1 , L2 两者之和： 两者之和：
Z = X +Y
当 z > 0 时 Z = X + Y 的概率密度为
f (z ) = ∫
∞
−∞
f X ( z − y ) fY ( y ) d y
= ∫ αe − α ( z − y ) βe − βy d y
(1 − e − αz )(1 − e − βz ), z > 0, Fmax ( z ) = FX ( z ) ⋅ FY ( z ) = 0, z ≤ 0.
Z = max{ X , Y }的概率密度为
αe − αz + βe − βz − (α + β )e −( α + β ) z , z > 0, f max ( z ) = z ≤ 0. 0,
分布函数为
Fmax ( z ) = P { M ≤ z } = P { X ≤ z ,Y ≤ z }
=P { X ≤ z } P {Y ≤ z }.
即有 Fmax ( z ) = FX ( z )FY ( z ). 类似地, 类似地
可得 N = min{ X , Y }的分布函数为
Fmin (z ) = P { N ≤ z } = 1 − P{ N > z } (z
两个随机变量的函数的分布
一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
一、问题的引入
有一大群人 , 令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压 ,并且已知 Z 与
X , Y 的函数关系 Z = g ( X ,Y ),如何通过 X ,Y 的分
(iii)备用的情况
由于这时当系统 L1 损坏时,系统 L2 才开始工 作, 因此整个系统 L 的寿命 Z 是 L1 , L2 两者之和： 两者之和：
Z = X +Y
当 z > 0 时 Z = X + Y 的概率密度为
f (z ) = ∫
∞
−∞
f X ( z − y ) fY ( y ) d y
= ∫ αe − α ( z − y ) βe − βy d y
(1 − e − αz )(1 − e − βz ), z > 0, Fmax ( z ) = FX ( z ) ⋅ FY ( z ) = 0, z ≤ 0.
Z = max{ X , Y }的概率密度为
αe − αz + βe − βz − (α + β )e −( α + β ) z , z > 0, f max ( z ) = z ≤ 0. 0,
分布函数为
Fmax ( z ) = P { M ≤ z } = P { X ≤ z ,Y ≤ z }
=P { X ≤ z } P {Y ≤ z }.
即有 Fmax ( z ) = FX ( z )FY ( z ). 类似地, 类似地
可得 N = min{ X , Y }的分布函数为
Fmin (z ) = P { N ≤ z } = 1 − P{ N > z } (z
概率统计课件3.5两个随机变量的函数的分布.
2018/10/8
e
1
k 2
k!
e
2
1
1!
e
1
k 1 2
( k 1)!
e
2
k 1
k!
e
1
e
2
1 ( 1 2 ) k k e [2 12k 1 k! 1!
1k ]
k
(1 2 ) ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) k e (1 2 ) e k! k!
参数为 i , 的分布, 则其和 X1 X 2
服从参数为 2018/10/8
Xn
i 1
n
i
, 的分 布.
1 1 ▲ 特别当 1 2 n , 时， 2 2 X X1 X 2 X n 的密度函数为：
x n 1 1 2 2 x e x0 n f X ( x ) 2 2 ( n 2 ) 0 x0 此时则称 X 服从自由度为 n 的开平方分布，记 2 X ~ (n) 为：
第五节 两个随机变量的函数的分布
Z X Y
的分布
M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
小结
研究的问题 在一维随机变量中讨论了：已知随机 变量 X 及它的分布，如何求其函数 Y g( X ) 的分布。 在多维随机变量中需讨论：已知随机变 量X1, X2, …,Xn 及其联合分布，如何求 出它们的函数： Yi =gi (X1, X2, …,Xn ), i = 1, 2,…, m 的联合分布。
X 与 Y 的取值均为： 0, 1, 2,
Z 的取值也为非负的整数 k P (Z k) P ( X Y k)
§3.3 随机变量的独立性§3.4 两个随机变量函数的分布
第9页
例3.3.2 已知 (X, Y) 的联合密度为
e x y , f (x, y ) 0, 问 X 与Y 是否独立？
解: 边缘分布密度分别为:
( x y ) dy e x x 0 0 e f (x) x0 0
x 0, y 0; 其 他.
若(X,Y)的所有可能取值为(xi, yj) (i, j=1, 2, …), 则X与 Y相互独立的充分必要条件是对一切 i, j=1, 2,… , 有 P{X = xi，Y= yj}= P{X= xi}· P{Y= yi}
（Pij Pi P ） j
第3章
§3.3—3.4
第7页
2. (X, Y)是连续型
14
14
16
18
18
1 12
( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) X +Y -2 0 1 -1 -1 0 0 2 -1 1 1 0 1 3 -2 2 2 0
dx
0
1/2
e y dy
1 2
1 e1 2e
第3章
§3.3—3.4
第6页
§3.3 随机变量的独立性
定义 设两个随机变量X, Y, 若对任意的实数 x, y 有 F(x，y) = FX(x) FY(y) 即 P{X≤x, Y≤y} = P{X≤x} P{Y≤y}
则称随机变量X与Y是相互独立的。 1. (X, Y)是离散型
e y , 0 x y f ( x, y ) 其他 0,
求概率P{X+Y≤1}.
第3章
§3.3—3.4
第4页
D为 2x+3y≤6. 1.解:
《概率论》第3章§5两个随机变量的函数的分布
FP( X i z1 P n } 设 Xi ~ = Xi {x),≤=},2,{Y,≤,z且 X1 , X2 ,, Xn 相互独立
= P{X ≤ z,Y ≤ z}
则
Fmax (z) = F (z)
F (z) = P{min(X ,Y) ≤ z} min = FX1 (z)FX,2 (z)z} FXn (z) = 1 P{min(X Y) > F (z) =1P{{min(,Y 1,zX2 ,, Xn ) ≤ z } = P X > z X> } min n = 1∏ > } P(z > [ =1 P{X1zFXi {Y )] z} i =1 =1 ,[1,,{X 独立同分布于 F(x)时有 X1 X2 P Xn ≤ z}][1 P{Y ≤ z}] 特别当 n = 1[1 FX (z)][1 F (z)] n Y
z
2σ 2
∴
z e ,z ≥0 2 fZ (z) = σ 分布) (瑞利Rayleigh分布) 0 , z第三章 多维随机变量及其分布 <0
ρ d 2 =1 e 2σ2 2σ 2
z 2σ 2
(z ≥ 0)
§5 两个随机变量的函数的分布
11/15 11/15
设 X ~ FX (x),Y ~ F ( y) ,且 X,Y 相互独立 ,则 Y F (z) = P{max(X ,Y) ≤ z} max
∵ Fmax (z) = F (z) ∴ fmax (z) = 2 f (z)F(z)
2
= 2 f (z)∫∞ f (t)dt ∵ Fmin (z) = 1[1 F(z)]2
∴ fmax (z) = 2 f (z)[1 F(z)]
= 2 f (z)[1 ∫∞ f (t)dt]
= P{X ≤ z,Y ≤ z}
则
Fmax (z) = F (z)
F (z) = P{min(X ,Y) ≤ z} min = FX1 (z)FX,2 (z)z} FXn (z) = 1 P{min(X Y) > F (z) =1P{{min(,Y 1,zX2 ,, Xn ) ≤ z } = P X > z X> } min n = 1∏ > } P(z > [ =1 P{X1zFXi {Y )] z} i =1 =1 ,[1,,{X 独立同分布于 F(x)时有 X1 X2 P Xn ≤ z}][1 P{Y ≤ z}] 特别当 n = 1[1 FX (z)][1 F (z)] n Y
z
2σ 2
∴
z e ,z ≥0 2 fZ (z) = σ 分布) (瑞利Rayleigh分布) 0 , z第三章 多维随机变量及其分布 <0
ρ d 2 =1 e 2σ2 2σ 2
z 2σ 2
(z ≥ 0)
§5 两个随机变量的函数的分布
11/15 11/15
设 X ~ FX (x),Y ~ F ( y) ,且 X,Y 相互独立 ,则 Y F (z) = P{max(X ,Y) ≤ z} max
∵ Fmax (z) = F (z) ∴ fmax (z) = 2 f (z)F(z)
2
= 2 f (z)∫∞ f (t)dt ∵ Fmin (z) = 1[1 F(z)]2
∴ fmax (z) = 2 f (z)[1 F(z)]
= 2 f (z)[1 ∫∞ f (t)dt]
第三章第五讲 两个随机变量的函数的分布
FY y 1 ；y<a, FY y 0
=X的分布函数值表示此区间概率
二 连续型 已知 ( X , Y ) 的联合密度函数 f ( x, y) , Z g ( X , Y ) ,其中
z g ( x, y) 为连续函数,求 Z 的密度函数.
思路：分布函数方法（先求Z的分布函数，然后对其 求导得其密度函数）
FZ ( z )
g ( x , y ) z
f ( x, y )dxd y (u )du
z
得f Z ( z )=FZ ( z )= ( z )
二 U max( X , Y )及V min( X , Y )的分布
设X , Y是两个相互独立的随机变量, 它们的分布函数 分别为FX ( x)和FY ( y)。现求U及V的分布函数
0
z
z 1
Z
1
0
X
即
fZ ( z)
( x) fY ( z x)dx e
0
1
( z x)
dx, z 1
其它
(e 1)e z ,
1－e , 0 z 1
z
0
z 1
其它
总结公式 （1）Z X Y的分布
f Z ( z)
f ( x, z x) d x=
1 2
z2 4
e
x2 2
e
( z x )2 2
dx
1 e 2
2
e
z ( x ) 2 2
dx
令
1 fZ ( z) e 2
z t x 2
两个随机变量函数的分布
解 X 、Y 的概率密度
1, fX (x) 0,
x [0,1] 其它
1, fY ( y) 0,
y [0,1] 其它
设随机变量 Z X Y 的密度函数为 fZ z，则有
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
《概率统计》
返回
下页
结束
法一
0
z
[ f ( yu, y) | y | dy]du
D: x z y
故Z=X / Y的概率密度为 fz (z) f ( yz, y) | y | dy
特别地，当X、Y相互独立时有
《概率统计》
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下页
结束
（二）Z= X/Y 与 Z=XY 的概率分布
设（X、Y）是二维连续型随机向量，概率密度为f(x,y)
求 Z=X / Y的概率分布。
解 Fz (z) P{Z z} P{X /Y z} f (x, y)dxdy
y z
0
D
结束
z
FZ (z)
[ f (u y, y)dy]du
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率 密度为:
fZ (z) FZ' (z)
f (z y, y)dy
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ (z) FZ' (z)
f (x, z x)dx
0 4/10
P{Z= 2}=P{X+Y=2}=P{X= -1，Y=3}+P{X=2，Y=0}= 3/20+3/10
Z -1 0 2 3 5 pk 1/10 1/20 9/20 0 4/10
1, fX (x) 0,
x [0,1] 其它
1, fY ( y) 0,
y [0,1] 其它
设随机变量 Z X Y 的密度函数为 fZ z，则有
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
《概率统计》
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结束
法一
0
z
[ f ( yu, y) | y | dy]du
D: x z y
故Z=X / Y的概率密度为 fz (z) f ( yz, y) | y | dy
特别地，当X、Y相互独立时有
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结束
（二）Z= X/Y 与 Z=XY 的概率分布
设（X、Y）是二维连续型随机向量，概率密度为f(x,y)
求 Z=X / Y的概率分布。
解 Fz (z) P{Z z} P{X /Y z} f (x, y)dxdy
y z
0
D
结束
z
FZ (z)
[ f (u y, y)dy]du
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率 密度为:
fZ (z) FZ' (z)
f (z y, y)dy
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ (z) FZ' (z)
f (x, z x)dx
0 4/10
P{Z= 2}=P{X+Y=2}=P{X= -1，Y=3}+P{X=2，Y=0}= 3/20+3/10
Z -1 0 2 3 5 pk 1/10 1/20 9/20 0 4/10
两个随机变量的函数的分布-m
如果两个随机变量相互独立，那么它们的积的分布可以通过乘积概率质量 函数计算。
如果两个随机变量不是独立的，那么它们的积的分布可能需要使用联合概 率质量函数进行计算。
应用
金融领域
在金融领域中，两个随机变量的函数的分布可以用于计算投资组合的风险和回报。例如，股票价格的两个随机变量的 函数的分布可以用于计算股票的波动率和相关性。
1. 深入研究两个随机变量的函数的分布-m的性质，探索更多有趣的性质和结论 。
03
2. 将两个随机变量的函数的分布-m的理论应用于实际问题中，为解决实际问题 提供新的思路和方法。
展望
3. 进一步拓展两个随机变量的函数的分布-m的理论，与其他相关理论进行交叉研究，以期取得更多 的创新成果。
实际应用前景：两个随机变量的函数的分布-m的理论不仅在理论上具有重要意义，在实际应用中也具 有广阔的前景。例如，在金融、通信、物理等领域中，都可以利用两个随机变量的函数的分布-m的理 论进行建模和分析。未来，随着科技的不断发展，这一理论的应用前景将更加广阔。
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03 两个随机变量的函数的期 望和方差
联合期望和方差
联合期望
E[g(X,Y)]，其中g(X,Y)是两个随机变 量X和Y的函数。
联合方差
D[g(X,Y)]，衡量g(X,Y)的取值与其期望 的偏离程度。
条件期望和方差
条件期望
E[g(X,Y)|X=x]或E[g(X,Y)|Y=y]，即在给定X或Y的条件下， g(X,Y)的期望。
独立性
01
如果两个随机变量X和Y相互独立，那么它们的函数也具有独立 性。
02
独立性意味着一个随机变量的取值不会影响到另一个随机变量
如果两个随机变量不是独立的，那么它们的积的分布可能需要使用联合概 率质量函数进行计算。
应用
金融领域
在金融领域中，两个随机变量的函数的分布可以用于计算投资组合的风险和回报。例如，股票价格的两个随机变量的 函数的分布可以用于计算股票的波动率和相关性。
1. 深入研究两个随机变量的函数的分布-m的性质，探索更多有趣的性质和结论 。
03
2. 将两个随机变量的函数的分布-m的理论应用于实际问题中，为解决实际问题 提供新的思路和方法。
展望
3. 进一步拓展两个随机变量的函数的分布-m的理论，与其他相关理论进行交叉研究，以期取得更多 的创新成果。
实际应用前景：两个随机变量的函数的分布-m的理论不仅在理论上具有重要意义，在实际应用中也具 有广阔的前景。例如，在金融、通信、物理等领域中，都可以利用两个随机变量的函数的分布-m的理 论进行建模和分析。未来，随着科技的不断发展，这一理论的应用前景将更加广阔。
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03 两个随机变量的函数的期 望和方差
联合期望和方差
联合期望
E[g(X,Y)]，其中g(X,Y)是两个随机变 量X和Y的函数。
联合方差
D[g(X,Y)]，衡量g(X,Y)的取值与其期望 的偏离程度。
条件期望和方差
条件期望
E[g(X,Y)|X=x]或E[g(X,Y)|Y=y]，即在给定X或Y的条件下， g(X,Y)的期望。
独立性
01
如果两个随机变量X和Y相互独立，那么它们的函数也具有独立 性。
02
独立性意味着一个随机变量的取值不会影响到另一个随机变量
§3.3 两个随机变量函数的分布
§3.3 两个随机变量函数的分布在实际问题中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，医学上考察某地区40岁以上的人群，用X 和Y 分别表示一个人的年龄和体重，Z 表示这个人的血压，并且已知Z 与X ，Y 的函数关系式),(Y X g Z = 我们希望通过),(Y X 的分布来确定Z 的分布. 在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: （1）Y X Z +=(2) },m ax{Y X Z =和},m in{Y X Z =，其中X 与Y 相互独立. 一、 离散型随机变量的函数的分布设),(Y X 是二维离散型随机变量,其概率分布为),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ijj i ，又),(y x g 是一个二元函数, 则(,)Z g X Y =也是一个一维离散型随机变量, 设),(Y X g Z =的所有可能取值为 ,2,1,=k z k , 则Z 的概率分布为(,){}{(,)}i j kk k ij g x y z P Z z P g X Y z P =====∑,,2,1 =k其中(,)i j kij g x y z P =∑是指若有一些(),i j x y 都使(,)i j k g x y z =，则将这些(),i j x y 对应的概率相加。
例1 设随机变量),(Y X 的概率分布如下表求（1）Z X Y =+的概率分布；（2）Z XY =的概率分布 解 由),(Y X 的概率分布可得把Z 值相同项对应的概率值合并得（1）Z X Y =+的概率分布为（2）Z XY =的概率分布例2 :若X 和Y 相互独立,且分别服从参数为21,λλ的泊松分布,求Y X Z +=的分布律.解:因,X Y 所有可能取值为012，，，，故Y X Z +=,X Y 所有可能取值为012，，，，事件{}{}Z n X Y n ==+=可以写成互不相容的事件{}X k Y n k ==-，(0,1,2,,)k n =之和，由,X Y 相互独立，所以有{}P Z n ={}P X Y n =+={}0nk P X k Y n k ====-∑，{}{}0n k P X k P Y n k ====-∑()1212!!kn k nk ee k n k λλλλ---==⋅-∑()()121201!!nk n kk ek n k λλλλ-+-==⋅-∑()()12120!!!!nk n kk e n n k n k λλλλ-+-==⋅-∑()1212!nk k n k nk e C n λλλλ-+-==⋅⋅∑()()1212!n en λλλλ-+=+()012n =，，，这表明Y X Z +=服从参数为12λλ+的泊松分布。
两个随机变量的函数的分布
yf ( yu, y) d y d u
0
0
同理可得
z0
f
(x,
y) d
xd
y
yf
( yu,
y) d
y du,
G2
故有 FZ (z) P{Z z}
f (x, y) d x d y f (x, y) d x d y
G1
G2
z
0
[ yf (yu, y)d y yf (yu, y)d y]du.
的分布函数为
FZ (z) P{Z z} f (x, y) d x d y x yz
zy
[ f (x, y) d x] d y
x u y
z
[ f (u y, y) d u]d y
y x yz
O
x
z
[ f (u y, y) d y]d u.
例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正 态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.
解
由于 fX (x)
1
x2
e 2,
2
x ,
fY ( y)
1
y2
e 2,
2
y ,
由公式
fZ (z) f X (x) fY (z x) d x.
G1
G2
yz f (x , y) d x d y 0
f (x, y)d xd y,
0
yz
O
xz y
x
令u x y ,
G2
yz
两个随机变量的函数及其分布
主题简介
两个随机变量的函数及其分布是概率 论和统计学中的重要概念，主要研究 两个随机变量之间的关系及其变化规 律。
在实际应用中，许多问题都需要考虑 两个或多个随机变量的相互作用，例 如金融市场的相关性分析、生物统计 学中的遗传学研究等。
目的和重要性
目的
探讨两个随机变量之间的函数关系，分析其分布特性，为实 际问题提供理论依据和解决方案。
险和收益的平衡。
信用风险评估
03
利用两个随机变量的函数分布，可以对借款人的信用风险进行
评估，如评估贷款违约的概率。
在机器学习中的应用
特征工程
通过将两个随机变量的函数分布作为特征，可以提高机器学习模 型的性能，如将图像的边缘检测结果作为特征用于图像分类。
聚类分析
基于两个随机变量的函数分布，可以对数据进行聚类分析， 如K-means聚类算法中利用距离度量进行聚类。
预测与决策
基于两个随机变量的函数分布，可以对未来数据进行预测，并据此 做出决策，如利用时间序列数据进行趋势预测。
在金融风险管理中的应用
风险评估
01
通过分析两个随机变量的函数分布，可以对金融风险进行评估，
如计算根据两个随机变量的函数分布，可以优化投资组合，以实现风
理论意义
完善概率论和统计学的理论体系，促进学科发展。
实际应用
为相关领域的研究和实践提供有效的分析工具和方法，如金 融市场预测、医学诊断等。
PART 02
两个随机变量的独立性
REPORTING
WENKU DESIGN
独立性的定义
两个随机变量X和Y是独立的，如果它 们的联合概率分布与各自的概率分布 相乘得到的概率分布相同。
降维处理
01-3.5两个随机变量的函数的分布
−∞ −∞3.5 两个随机变量的函数的分布一、知识点1、离散型随机变量（X , Y ）的分布律P {X = x i , Y = y j } = p ij ,则Z = g (X , Y )的分布为：P {Z = z k } = P {g (X , Y ) = z k } = ∑g (x i ,y j )=z k p ij .2、连续型随机变量（X , Y ）的概率密度为f (x , y )，则Z = g (X , Y )的分布函数为：F Z (z ) = P {Z ≤ z } = ∬g (x ,y )≤z f (x , y )dxdy ，f Z (z ) = F Z ′(z ).3、随机变量Z = X + Y 的分布： F Z (z ) = P (Z ≤ z ) = P ( X + Y ≤ z ) ,f Z (z ) =f Z (z ) = ∫+∞ f (x , z − x )dx ∫+∞ f (z − y , y )dy 特别，当X 与Y 相互独立时，f (z ) = f ∗ f =+∞f (x )f (z − x )dx = +∞ f (z − y )f (y )dy . Z X Y ∫−∞ X Y ∫−∞ X Y4、最值函数Z = max (X , Y ) , Z = min (X , Y )： X , Y 相互独立，F max (z ) = F X (z ) ∙ F Y (z )F min (z ) = 1 − [1 − F X (z )] ∙ [1 − F Y (z )]5、正态分布的推广性质：（1）两个独立的正态分布的和仍为正态分布（μ1 + μ2，σ2 + σ2）. 1 2（2）n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布，且μ = ∑i C i μi ，σ2 = ∑i C 2σ2. i i6、泊松分布可加性：X 1~π(λ1),X 2~π(λ2), X 1与X 2相互独立，则Z = X 1 + X 2~π(λ1 + λ2).7、二项分布可加性：X 1~B (n 1, p ), X 2~B (n 2, p ), X 1与X 2相互独立，则Z = X 1 + X 2~B (n 1 + n 2, p ).二、重点：1、求离散型随机变量函数的分布；2、求连续型随机变量函数的分布；3、重要公式和结论；4、Z = X + Y 和最值函数的概率分布.三、难点：Z = X + Y 和最值函数的概率密度及分布函数的求解.。
两个随机变量的函数
问题的提出 二维离散型随机变量的函数的分布 二维连续型随机变量的函数的分布 小结
为随机变量时,函数 当 (ξ,η)为随机变量时 函数 ζ = g(ξ,η) 也是随机变量. 也是随机变量 当随机变量 (ξ,η) 的联合分布已知时, 的联合分布已知时, 的分布? 如何求出它们的函数 ζ = g(ξ,η) 的分布
i =0
= ∑ P(ξ = i ) P(η = r i )
i =0
r
i r = ∑Cn1 pi (1 p)n1i Cn2i pri (1 p)n2 (ri)
r
= ∑C C
i =0 i n1
i=0 r
r i n2
p (1 p )
r
n1 + n2 r
=C
i + ( r i ) n1 + n2
留作课下思考
二,连续型分布的情形 设(ξ,η)为连续型随机变量 ,具有概率密 为连续型随机变量 度f(x,y),ζ=g (ξ,η) (设g(x,y)是已知的连续函 , 设 是已知的连续函 概率密度? 数), 如何求出 ζ 的概率密度? 为了求得ζ的概率密度 先求ζ的分布函数 的概率密度,先求 为了求得 的概率密度 先求 的分布函数 Fζ(z),然后对求出的 的分布函数 ζ(z)求导, 的分布函数F 求导 求导, ,然后对求出的ζ的分布函数 并可得到ζ的概率密度 的概率密度f 并可得到 的概率密度 ζ(z).
P(ξ = i) =
λ1
P(η = j) =
λ2j
j!
r
i!
e
λ 1
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
eλ2
由卷积公式
P(ζ = r) = ∑P(ξ = i,η = r i)
i=0
为随机变量时,函数 当 (ξ,η)为随机变量时 函数 ζ = g(ξ,η) 也是随机变量. 也是随机变量 当随机变量 (ξ,η) 的联合分布已知时, 的联合分布已知时, 的分布? 如何求出它们的函数 ζ = g(ξ,η) 的分布
i =0
= ∑ P(ξ = i ) P(η = r i )
i =0
r
i r = ∑Cn1 pi (1 p)n1i Cn2i pri (1 p)n2 (ri)
r
= ∑C C
i =0 i n1
i=0 r
r i n2
p (1 p )
r
n1 + n2 r
=C
i + ( r i ) n1 + n2
留作课下思考
二,连续型分布的情形 设(ξ,η)为连续型随机变量 ,具有概率密 为连续型随机变量 度f(x,y),ζ=g (ξ,η) (设g(x,y)是已知的连续函 , 设 是已知的连续函 概率密度? 数), 如何求出 ζ 的概率密度? 为了求得ζ的概率密度 先求ζ的分布函数 的概率密度,先求 为了求得 的概率密度 先求 的分布函数 Fζ(z),然后对求出的 的分布函数 ζ(z)求导, 的分布函数F 求导 求导, ,然后对求出的ζ的分布函数 并可得到ζ的概率密度 的概率密度f 并可得到 的概率密度 ζ(z).
P(ξ = i) =
λ1
P(η = j) =
λ2j
j!
r
i!
e
λ 1
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
eλ2
由卷积公式
P(ζ = r) = ∑P(ξ = i,η = r i)
i=0
《概率论与数理统计》课件3-6两个随机变量的函数的分布
o
1
2
0.2
0.1
0.2
.
2 0.1 0.3 0.1
(2) Z2 = XY可能的取值为0, 1, 2, 4，相应的概率为P {Z = 0} = P {X = 1, Y = 0}+ P {X = 2, Y = 0} = 0.2 + 0.1 = 0.3P {Z = 1} = P {X = 1, Y = 1} = 0.1P {Z = 2} = P {X = 2, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} = 0.3 + 0.2 = 0.5
上服从均匀分布.求以X和Y为边长的矩形面积S 的概率密度f (s 1.
思路先求戶(s)
SharVHng Nonrtf Unmnly
解由题设知，二维随机变量(x, Y)的概率密度为若(x,y)g G,f (x, y ) = p i 丿、0,若(x, y )w G.设S = XW,E(s) = P{S < s}为S的分布函数，则:当 s < 0 时，F(s) = P{XY < s} = 0,当 s > 2 时，F (s) = P {XY < s} = 1,当0 < s < 2时，曲线xy = s与矩形G的上边交于点(s,1)，于是
SharVHng Nonrtf Unmnly
7
设二维离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下,
单选题1分
◎设置
则 P{min {X, Y} = 0}().A) 0.2 B) 0. 3 C) 0.4 D)0. 5
STHnVangi Nonni UnMnCy
单选题1分
问题设(X, D为连续型随机向量,联合概率密度为/ (x,尹), g (x,尹)为平面舟上的实值函数，求Z = g (X, Y )的概率密度.
1
2
0.2
0.1
0.2
.
2 0.1 0.3 0.1
(2) Z2 = XY可能的取值为0, 1, 2, 4，相应的概率为P {Z = 0} = P {X = 1, Y = 0}+ P {X = 2, Y = 0} = 0.2 + 0.1 = 0.3P {Z = 1} = P {X = 1, Y = 1} = 0.1P {Z = 2} = P {X = 2, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} = 0.3 + 0.2 = 0.5
上服从均匀分布.求以X和Y为边长的矩形面积S 的概率密度f (s 1.
思路先求戶(s)
SharVHng Nonrtf Unmnly
解由题设知，二维随机变量(x, Y)的概率密度为若(x,y)g G,f (x, y ) = p i 丿、0,若(x, y )w G.设S = XW,E(s) = P{S < s}为S的分布函数，则:当 s < 0 时，F(s) = P{XY < s} = 0,当 s > 2 时，F (s) = P {XY < s} = 1,当0 < s < 2时，曲线xy = s与矩形G的上边交于点(s,1)，于是
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7
设二维离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下,
单选题1分
◎设置
则 P{min {X, Y} = 0}().A) 0.2 B) 0. 3 C) 0.4 D)0. 5
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单选题1分
问题设(X, D为连续型随机向量,联合概率密度为/ (x,尹), g (x,尹)为平面舟上的实值函数，求Z = g (X, Y )的概率密度.