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两个随机变量的函数的分布

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两个随机变量的函数的分布

两个随机变量的函数的分布

f (x, z x)dx
fX (x) fY (z x)dx
f (z y, y)dy fX (z y) fY (y)dy
连续场合 的卷积公 式
类似可得： fX Y (z)
f (x, x z)dx
fX (x) fY (x z)dx
f (z y, y)dy
fX (z y) fY ( y)dy
(3) 当 1 < z 时,
fZ (z)
1 e(zx)dx ez (e 1).
0
1x
1 ez, 0 z 1
故 fZ (z) ez (e 1), z 1 .
0,
其他
例6 设 X与Y 是独立同分布的标准正态变量，求Z = X+Y 的分布.
解
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
fXY (z)
f (x, z ) 1 dx x | x |
fX
(x)
fY
(
z) x
|
1 x
|
dx
f ( z , y) 1 dy y | y |
z
1
fX
(
) y
fY
(
y)
|
y
|
dy
fX /Y (z)
f (yz, y) | y | dy
fX ( yz) fY ( y) | y | dy
应用：若 Xi b(1, p)， i=1, 2, …, n且相互独立，则 Z = X1 + X2 + … + Xn b(n, p). 相互独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布
二、两个连续型随机变量的和差积商概率密度公式
定理1 数为
设连续型随机变量X与Y 独立，则 Z=X+Y 的密度函

两个随机变量函数的分布

两个随机变量函数的分布
z
x 0 x 0
z
x
0
z
x
zx
0
x
fZ (z)
z xe x (z x)e(z x)dx,
0
当z 0
fZ (z) ez
z
x(z x)dx
0
fZ (z) ez
z (zx x2 )dx
0
z3ez 6
,
z0
0, z 0
作业中的问题
习题二 P70
5. (1) 设随机变量X的分布律为
P(Z 1) P( X 0,Y 1) 0
P(Z 2) P( X 1,Y 1) 3 8
P(Z 3) P(X 2,Y 1) P(X 0,Y 3)
314 88 8
Z123456 pk 0 3/8 4/8 0 0 1/8
例: (P73) 泊松分布的可加性
若X,Y相互独立, X~P(
1
x2
e 2,
x
2
1
y2
e 2,
y
2
求Z=X+Y的概率密度。
解：由卷积公式
fZ z
f
X
x
fY
z
x dx
1
x2 zx2
e 2 e 2 dx
2
( x2 zx z2 ) ( x z )2 z2
2
24
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令x z t
y0
试就以上三种联接方式分别写出L的寿命Z的概率密度.
解:(1)串联的情况: Z = min (X,Y) X,Y的分布函数分别为：
1 e x , x 0
FX
(
x)

两个随机变量函数的分布

两个随机变量函数的分布

解: X 0
1
P 1/2 1/2
Y0
1
P 1/2 1/2
(XP,{YZ)=的zk取} 值= P数{对g(为X,(Y0),0=),(z0k,}1=),(1,0),(1p,i1j ,),k 1,2,
Z=max(X,Y)的取值为:0,1
i, j
g( xi , y j )zk
P{Z=0}=P{X=0,Y=0}= P{X=0}P{Y=0} =1/4
（1）
1
f(x, y)dxdy
ke(xy)dxdy k k 1
00
(2)F(x,
y)
x 0
y e-(uv)dudv
0
(1 e-x )(1 ey ),0 x ,0 y
0, 其 它
( 3 )P( 0 X 1,0 Y 2 ) 1 2 e( x y )dxdy ( 1 e1 )( 1 e2 ) 00
e 2 dx
2
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
fZ ( z ) fX ( x ) fY ( z x )dx
1
x2
e2
2
1
( z x )2
e 2 dx
2
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令 t x z ，得
2
fZ (
z
)
1
2
z2
e4
et2 dt
1
z2
g( xi , y j )zk
概率 1/10 2/10 3/10 2/10 1/10 1/10
（X,Y）(-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1) (2,2)

两个随机变量的函数的分布

两个随机变量的函数的分布
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) < f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递增。
单调递减
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递减。
有界性
有上界
如果存在一个实数M，使得对于所有x 属于定义域，都有f(x) <= M，则称 函数f(x)有上界。
两个随机变量的函数的实际 应用
金融领域
金融风险评估
在金融领域中，两个随机变量的函数可以用于评估投资组合的风险。例如，通过计算两 个资产收益率的协方差矩阵，可以了解不同资产之间的相关性，从而制定风险管理策略。
期权定价
在期权定价模型中，标的资产的价格通常被视为一个随机变量。通过引入另一个随机变 量，如无风险利率或波动率，可以构建更复杂的期权定价模型，如二叉树模型和蒙特卡
幂函数
若$X$是随机变量，$n$是自然数，则$X^n$的期望是 $E(X^n)=nE(X)$。
方差的计算
1 2 3
线性函数
若$X$是随机变量，$a$和$b$是常数，则 $aX+b$的方差是$D(aX+b)=a^2D(X)$。
乘积函数
若$X$和$Y$是随机变量，则$X times Y$的方差 是$D(X times Y)=D(X) times D(Y)+[E(X)E(Y)]^2$。
04
CHAPTER
两个随机变量的函数的图像 和性质
图像的绘制
直方图
通过将数据分组并在每个组上绘制矩 形来绘制直方图，矩形的面积等于该 组的频数，高度等于组的中位数。
折线图
散点图
将两个随机变量在坐标系上标出，并 绘制点来表示它们的值。

两个随机变量函数的分布

两个随机变量函数的分布

P{Z 3} P{X Y 3} P{X 3，Y 1} 3 ， 20
P{Z 4} P{X Y 4} P{X 4，Y 4} 1 ， 20
于是得Z =X +Y 的分布律(表3-13)
表3-13
同理可得，Z = XY 的分布律为(表3-14)。
表3-14
例3.17 设X，Y 相互独立，且分别服从
求随机变量Z =X +Y 的分布密度.
解 X，Y 相互独立，所以由卷积公式知
fZ (z) f X (x) fY (z x) dx
。
由题设可知 fX (x) fY ( y)只有当0 x 1 ，y 0 ，即当0 x 1
且z x 0 时才不等于零。现在所求的积分变量为x，z 当作参数,
当积分变量满足x 的不等式组时，被积函数
概率学与数理统计
两个随机变量函数的分布
设( X , Y )为二维随机变量，则 Z ( X ，Y ) 是( X , Y )的
函数，Z 是一维随机变量，现在的问题是如何由( X , Y )的分 布，求出Z 的分布，就是已知二维随机变量( X , Y )的分布律
或密度函数，求Z ( X ，Y ) 的分布律或密度函数问题。
特别地，当X 和Y 相互独立时，设( X , Y )关于X，Y 的边缘
概率密度分别为fX (x)，fY (y)，则有
fZ (z)
fX
(z
y)
fY
dy
，
及
(3.18)
fZ (z)
fX
(x)
fY
(z
x) dx
。
(3.19)
这两个公式称为卷积(Convolution)公式，记为 fX fY 即
0 x 1

3.5 两个随机变量的函数的分布

3.5 两个随机变量的函数的分布
第五节
两个随机变量的函数的分布
一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
一、问题的引入
有一大群人 , 令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压 ,并且已知 Z 与
X , Y 的函数关系 Z = g ( X ,Y ),如何通过 X ,Y 的分
(iii)备用的情况
由于这时当系统 L1 损坏时,系统 L2 才开始工 作, 因此整个系统 L 的寿命 Z 是 L1 , L2 两者之和： 两者之和：
Z = X +Y
当 z > 0 时 Z = X + Y 的概率密度为
f (z ) = ∫
∞
−∞
f X ( z − y ) fY ( y ) d y
= ∫ αe − α ( z − y ) βe − βy d y
(1 − e − αz )(1 − e − βz ), z > 0, Fmax ( z ) = FX ( z ) ⋅ FY ( z ) = 0, z ≤ 0.
Z = max{ X , Y }的概率密度为
αe − αz + βe − βz − (α + β )e −( α + β ) z , z > 0, f max ( z ) = z ≤ 0. 0,
分布函数为
Fmax ( z ) = P { M ≤ z } = P { X ≤ z ,Y ≤ z }
=P { X ≤ z } P {Y ≤ z }.
即有 Fmax ( z ) = FX ( z )FY ( z ). 类似地, 类似地
可得 N = min{ X , Y }的分布函数为
Fmin (z ) = P { N ≤ z } = 1 − P{ N > z } (z

概率统计课件3.5两个随机变量的函数的分布.


2018/10/8
e
1

k 2
k!
e
2

1
1!
e
1


k 1 2
( k 1)!
e
2



k 1
k!
e
1
e
2
1 ( 1 2 ) k k e [2 12k 1 k! 1!
1k ]
k
(1 2 ) ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) k e (1 2 ) e k! k!
参数为 i , 的分布, 则其和 X1 X 2
服从参数为 2018/10/8
Xn

i 1
n
i
, 的分 布.
1 1 ▲ 特别当 1 2 n , 时， 2 2 X X1 X 2 X n 的密度函数为：
x n 1 1 2 2 x e x0 n f X ( x ) 2 2 ( n 2 ) 0 x0 此时则称 X 服从自由度为 n 的开平方分布，记 2 X ~ (n) 为：
第五节 两个随机变量的函数的分布
Z X Y
的分布
M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
小结
研究的问题 在一维随机变量中讨论了：已知随机 变量 X 及它的分布，如何求其函数 Y g( X ) 的分布。 在多维随机变量中需讨论：已知随机变 量X1, X2, …,Xn 及其联合分布，如何求 出它们的函数： Yi =gi (X1, X2, …,Xn ), i = 1, 2,…, m 的联合分布。
X 与 Y 的取值均为： 0, 1, 2,
Z 的取值也为非负的整数 k P (Z k) P ( X Y k)

《概率论》第3章§5两个随机变量的函数的分布

FP( X i z1 P n } 设 Xi ~ = Xi {x),≤=},2,{Y,≤,z且 X1 , X2 ,, Xn 相互独立
= P{X ≤ z,Y ≤ z}
则
Fmax (z) = F (z)
F (z) = P{min(X ,Y) ≤ z} min = FX1 (z)FX,2 (z)z} FXn (z) = 1 P{min(X Y) > F (z) =1P{{min(,Y 1,zX2 ,, Xn ) ≤ z } = P X > z X> } min n = 1∏ > } P(z > [ =1 P{X1zFXi {Y )] z} i =1 =1 ,[1,,{X 独立同分布于 F(x)时有 X1 X2 P Xn ≤ z}][1 P{Y ≤ z}] 特别当 n = 1[1 FX (z)][1 F (z)] n Y
z
2σ 2
∴
z e ,z ≥0 2 fZ (z) = σ 分布) (瑞利Rayleigh分布) 0 , z第三章 多维随机变量及其分布 <0
ρ d 2 =1 e 2σ2 2σ 2
z 2σ 2
(z ≥ 0)
§5 两个随机变量的函数的分布
11/15 11/15
设 X ~ FX (x),Y ~ F ( y) ,且 X,Y 相互独立 ,则 Y F (z) = P{max(X ,Y) ≤ z} max
∵ Fmax (z) = F (z) ∴ fmax (z) = 2 f (z)F(z)
2
= 2 f (z)∫∞ f (t)dt ∵ Fmin (z) = 1[1 F(z)]2
∴ fmax (z) = 2 f (z)[1 F(z)]
= 2 f (z)[1 ∫∞ f (t)dt]

第三章第五讲 两个随机变量的函数的分布


FY y 1 ；y<a, FY y 0
=X的分布函数值表示此区间概率
二 连续型 已知 ( X , Y ) 的联合密度函数 f ( x, y) , Z g ( X , Y ) ,其中
z g ( x, y) 为连续函数,求 Z 的密度函数.
思路：分布函数方法（先求Z的分布函数，然后对其 求导得其密度函数）
FZ ( z )
g ( x , y ) z

f ( x, y )dxd y (u )du

z
得f Z ( z )=FZ ( z )= ( z )
二 U max( X , Y )及V min( X , Y )的分布
设X , Y是两个相互独立的随机变量, 它们的分布函数 分别为FX ( x)和FY ( y)。现求U及V的分布函数
0
z
z 1
Z
1
0
X
即
fZ ( z)

( x) fY ( z x)dx e
0
1
( z x)
dx, z 1
其它
(e 1)e z ,
1－e , 0 z 1
z
0
z 1
其它
总结公式 （1）Z X Y的分布
f Z ( z)

f ( x, z x) d x=
1 2



z2 4
e
x2 2
e
( z x )2 2
dx
1 e 2

2


e
z ( x ) 2 2
dx
令
1 fZ ( z) e 2
z t x 2

两个随机变量函数的分布

解 X 、Y 的概率密度
1, fX (x) 0,
x [0,1] 其它
1, fY ( y) 0,
y [0,1] 其它
设随机变量 Z X Y 的密度函数为 fZ z，则有

fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
《概率统计》
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结束
法一
0

z
[ f ( yu, y) | y | dy]du
D: x z y

故Z=X / Y的概率密度为 fz (z) f ( yz, y) | y | dy
特别地，当X、Y相互独立时有
《概率统计》
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结束
（二）Z= X/Y 与 Z=XY 的概率分布
设（X、Y）是二维连续型随机向量，概率密度为f(x,y)
求 Z=X / Y的概率分布。
解 Fz (z) P{Z z} P{X /Y z} f (x, y)dxdy
y z
0
D

结束
z
FZ (z)
[ f (u y, y)dy]du

由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率 密度为:
fZ (z) FZ' (z)

f (z y, y)dy

由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ (z) FZ' (z)

f (x, z x)dx
0 4/10
P{Z= 2}=P{X+Y=2}=P{X= -1，Y=3}+P{X=2，Y=0}= 3/20+3/10
Z -1 0 2 3 5 pk 1/10 1/20 9/20 0 4/10
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我们给出不需要计算的另一种证法: 回忆第二章对服从二项分布的随机变
量所作的直观解释: 若X~ B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试
验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的
概率都为p.
同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现 的次数,每次试验中A出现的概率为p.
故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验 中事件A出现的次数，每次试验中A出现 的概率为p,于是Z是以（n1+n2，p）为参数 的二项随机变量
z y[ f ( x, y)dy]dx
fZ (z) FZ' (z)
f (z y, y)dy
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ (z) FZ' (z)
f ( x, z x)dx
以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式.
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘 密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
ir0
i
r-i
e-1 1 e-2 2
i0
i!
(r - i)!
e (12 ) r!
r i0
i!
r! (r -
i)!
i r-i 12
e (12 ) r!
(1
2 )r ,
r=0,1，…
即Z服从参数为 1 2 的泊松分布.
例3 设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p), 求Z=X+Y 的分布.
P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… , 求Z=X+Y的概率函数.
解: P(Z r) P( X Y r)
r
由独立性
P(X i,Y r i)
此即离散
i0
卷积公式
r
P( X i)P(Y r i)
i0
=a0br+a1br-1+…+arb0 r=0,1,2, …
例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为
1, 2 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 1 2的泊松分布
解：依题意
.
P(X
i)
e 1 i 1
i!
P (Y
j)
e 2 j 2
j!
由卷积公式
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
r
P(Z r) P(X i,Y r i)
i0
由卷积公式 r
P(Z r) P(X i,Y r i)
fZ (z) f X (z y) fY ( y)dy
fZ (z) f X (x) fY (z x)dx
这两个公式称为卷积公式 .
例5 若X和Y 独立,具有共同的概率密度
1, 0 x 1
f (x)
0,
其它
求Z=X+Y的概率密度 .
解: 由卷积公式
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
0 x1 0 z x 1
即
0 x1
x
z
x
1
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
0 x 1 0 z x 1
即
0 x 1 x z x 1
如图示:
于是
z
dx z,
0
0 z1
当0 z < 1 时，
z
z x
FZ (z)
dx
0
0
1dy
z
0 (z x)dx
z2 2
fZ (z) z
y 1
•z •z
1 x
当1 z < 2 时，
1
zx
FZ
(
z)
(
z
1)
dx
z 1
0
1dy
1
z
1Leabharlann (z z 1x)dx
2z z2 1 2
fZ (z) 2 z
y 1 •z
z-1 1•zx
解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)
f ( x, y)dxdy
D
这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z}
是直线x+y =z 左下方的半平面.
FZ (z) f (x, y)dxdy
x yz
化成累次积分,得
zy
FZ (z)
[
f ( x, y)dx]dy
概率论与数理统计
课件制作：应用数学系 概率统计课程组
第五节 二维随机变量的函数分布
3.5.1 和的分布
3.5.1.1 离散型随机变量和的分布 3.5.1.2 连续型随机变量和的分布
3.5.2 一般函数 Z g(X,Y ) 的分布 3.5.4 最大值、最小值的分布
在第二章中，我们讨论了一维随机函数的分布 ，现在我们进一步讨论:
当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布已知时， 如何求出它们的函数
Y=g(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m 的分布?
我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题， 然后将其推广到多个随机变量的情形.
和的分布：Z = X + Y
一、离散型分布的情形
例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…,
解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻
以12时为起点,以分为单位,依题意,
X~U(15,45), Y~U(0,60)
解: 设X为甲到达时刻， Y为乙到达时刻
以12时为起点，以分为单位，依题意，
X~U(15,45), Y~U(0,60)
f
X
(
x
)
1 30
,
15 x 45
fZ
(z)
1
dx
z 1
0,
2
z,
1 z 2 其它
可用卷积公式直接求密度函数与通过分布函数求 密度函数两种方法求和的分布
解法二 从分布函数出发
y
1 FZ (z) P( X Y z)
f (x, y)dxdy
1
x yz
x
fX ( x) fY ( y)dxdy
x yz
当z < 0 时， FZ (z) 0
y 当2 z 时，
2
FZ (z) 1 1
fZ (z) 0
0,
f
Z
(
z
)
z,
2 z,
z 0或z 2 0 z 1 1 z 2
1
2 x
例6 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面. 如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均 匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00 到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待 另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲 先到的概率是多少？
即: 若X与Y相互独立，X～B(n1,p)，Ｙ～B(n２,p)， 则 X+Y～B(n1+n2,p) 二项分布的可加性
类似已知:若X,Y相互独立,X~P(λ1),Y~P(λ2),
则 X+Y~P(λ1+λ2)
Possion分布的可加性
和的分布：Z = X + Y 一、连续型分布的情形 例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度