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z
x 0 x 0
z
x
0
z
x
zx
0
x
fZ (z)
z xe x (z x)e(z x)dx,
0
当z 0
fZ (z) ez
z
x(z x)dx
0
fZ (z) ez
z (zx x2 )dx
0
z3ez 6
,
z0
0, z 0
作业中的问题
习题二 P70
5. (1) 设随机变量X的分布律为
P(Z 1) P( X 0,Y 1) 0
P(Z 2) P( X 1,Y 1) 3 8
P(Z 3) P(X 2,Y 1) P(X 0,Y 3)
314 88 8
Z123456 pk 0 3/8 4/8 0 0 1/8
例: (P73) 泊松分布的可加性
若X,Y相互独立, X~P(
1
x2
e 2,
x
2
1
y2
e 2,
y
2
求Z=X+Y的概率密度。
解：由卷积公式
fZ z
f
X
x
fY
z
x dx
1
x2 zx2
e 2 e 2 dx
2
( x2 zx z2 ) ( x z )2 z2
2
24
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令x z t
y0
试就以上三种联接方式分别写出L的寿命Z的概率密度.
解:(1)串联的情况: Z = min (X,Y) X,Y的分布函数分别为：
1 e x , x 0
FX
(
x)
0,
x 0,
1 e2 y , y 0
FY
(
y)
0,
y0
Z = min (X,Y)的分布函数为：
Fmin (z) 1 [1 FX (z)][1 FY (z)]
P( X z)P(Y z)
FX (z)FY (z)
(2) N=min(X,Y)的分布函数为：
Fmin (z) P( N z) 1 P(N z) 1 P(X z,Y z) 1 P（X z） P（Y z）
1 1 P( X z)1 P(Y z) 1 1 FX (z)1 FY (z)
P{X k} a , k 1,2, , N
试确定常数a；
N
(2) 设随机变量X的分布律为
P{X
k} b
2
k
,
k
1,2,
3
试确定常数b；
5. (3) 设随机变量X的分布律为
P{X k} c k , k 0,1,2, , 0
k!
试确定常数c。
为常数，
解：（1）因为
N
Na a
P{X k}
0, x 0
试求：（1）系数A；
（2）概率P(0 X 1)
考试题型:
2、 二 维 随 机 变 量( X ,Y )在 区 域 R : 0 x 1,0 y x上 服 从 均 匀 分 布 ，
即
2, ( x, y) R f ( x, y) 0, ( x, y) R
求 ： （1） 边 缘 分 布 ；
的联合分布律为：
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,
称P{ X
xi
Y
yj}
pij P• j
为在 Y=yi 的条件下X的条件分布律.
称P{Y
yj
X
xi }
pij Pi
为在 X=xi 的条件下随机变量Y的条件分布律.
2、称
f (x, y) f X /Y ( x / y) fY ( y)
量,其概率密度为：
xe x , x 0
f ( x)
0,
x0
若各周的销售量是相互独立的，试求两周销售量 的概率密度.
解 ： 用X和Y分 别 表 示 第 一 周 与卷 积公 式 得 ：
fZ z
fX x fY
z
xdx
为 使 被 积 函 数 不 为 零 ，x与z应 满 足 ：
求Z=X+Y的概率密度。
解：由卷积公式
fZ z
f
X
x
fY
z
x dx
x的积分范围 被积函数不为0的x范围
0
0
z
x
x
1
1
z
0
x 1
1 x
z
0
1
z
dx z,
0
0 z1
fZ (z)
1
dx
z 1
2 z, 1 0, 其 它
z
2
2. Z=X-Y
类似与Z=X+Y的情形,可知
特别地,当X和Y相互独立时,有
例3:设随机变量X与Y独立同分布,X的概率密度为：
f
(x)
10 50
x
,
0
x
10
0, 其 他
求Z=X-Y的概率密度。
解：由卷积公式
fZ z
f
X
x
fY
x
z
dx
x的积分范围 被积函数不为0的x范围
0
0
x
x
z
10 10
z
0
x
x
z
10 10
（2） 概 率P( X 2Y 0)
例5： 设X的 分 布 函 数 为 ：
0,
FX
(
x)
x
1,
1,
x1 1 x2 x2
求Y X 2的 分 布 函 数 及
概率密度。
解 ：FY ( y) P(Y y) P( X 2 y) P( y X y)
FX ( y ) FX ( y ), y 0
这里积分区域 D : x y z 是直线x+y=z左下方的半平面 (如图),化成累次积分,得
FZ z
z y
f
x, y dxdy
固定z和y, 对积分 z y f ( x, y)dx
作变量代换，令x u y得
z y
xu y
f x, y dx
z
f u y, ydu
(1)先求出Y的分布函数与X的分布 函数之间的关系：
FY ( y) P(Y y) P(g(X ) y) P(X g 1( y)) FX (g 1( y))
(2)再两边同时对y求导:
fY ( y) f X (g 1( y))(g 1( y))'y
1 e3z，z 0
0, z 0
Z的概率密度为:
3e3z , z 0
fmin (z)
0,
z0
（2）并联的情况：Z=max(X,Y)
Z = max (X,Y)的分布函数为：
Fmax ( z) FX ( z)FY ( z)
(1 ez )(1 e2z ), z 0
0,
z0
Z的概率密度为:
例1：设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2联接 而成，联接方式分别为: (1)串联;(2)并联;(3)备用(当
L1损坏时，L2开始工作)，如图所示。
（1）
（2）
（3）
L1，L2的寿命分别用X，Y表示，已知它们的概率密
度分别为:
e
x
,
x
0
2e2 y , y 0
f
X
(
x)
0,
x0
fY ( y) 0,
为在条件Y = y下X的条件概率密度。
同理称
称为在 X x条件下Y的条件概率密度。
二、随机变量函数的分布
1、离散型随机变量函数分布律的求法
已知X的分布律P(X xk ) pk ,Y是X的函 数Y g(X ),求Y的分布律P(Y yk ).
2、连续型随机变量函数概率密度的求法
已知X的概率密度fX (x),Y是X的函数 Y g(X ),求Y的概率密度fY ( y).
N a1
k 1
k1 N N
所以 a=1.
（2）因为
P{X
k}
b
2
k
b
2 3
2b 1
k 1
k1 3
1
2 3
所以
b1 2
(3) 因为
P{X k} c k c k ce 1
k 0
k0 k! k0 k!
所以，c e .
7. (P71) 解: 设X表示在同一时刻供水设备被使用的台数,则 X~b( 5 , 0.1 ).于是,
0
10
z10 10 x 0 50
10 ( x 50
z) dx,
10
z
0
fZ (z)
10 10 x 10 ( x z)
dx,
z 50
50
0
z
10
0, 其 它
fZ
(
z)
(10
z)(200 10z z2 ) , 15000
2000 300z z3 , 0 15000 0, 其它
于是FZ z
z
f u
y,
ydudy
z
f
u
y,
ydydu
由概率密度的定义可得Z的概率密度为：
固定
由x与y的对称性，fZ (z)又可写作：
特别地，当X和Y相互独立时，上述两式变为 （称为卷积公式）：
例1:设X和Y是两个相互独立的随机变量, 它们都服从N(0,1),即有
fX (x) fY ( y)
§5 两个随机变量函数的分布
Z g( X ,Y ), 求Z的分布
前提条件: (1) g(x, y) 为连续函数
(2) (X,Y) 的分布已知
