第二章04随机变量函数的分布密度

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第二章04随机变量函数的分布密度

1 yb fX ( ) |a| a
0 y 1 1 2 4 2 0 其它
1 y 5 其它
1 1 2 2 0
例4.5 (指数随机变量的线性函数)随机变量X服从参数为λ的指数分布，密度函数为： e x , x 0 f X ( x) , 0 x0 0, ya b y b e , 0 1 yb fX ( ) | a | a 定义Y=aX+b,则 f Y ( y )
180 解：设X是速度,Y=g(X)是这段旅程所花费的时间，则 Y X
1 , 若30 x 60 f X ( x ) 30 0, 其他
X的密度函数
180 180 180 X ) 1 FX ( ) y) P( Y的分布函数：FY ( y ) P ( y y X
fY ( y) 1 yb fX ( ) |a| a
随机变量X的线性函数的分布密度函数假设X是连续变量，密度函数为 f X , 则
Y aX b 1 yb fY ( y) fX ( ) |a| a
a , b R且a 0
定义：
证明：(只证a>0的情形)
FY ( y) P(Y y) P (aX b y ) yb P( X ) a yb FX ( ) a
例设随机变量X的密度函数为求 Y eX 解
f X ( x)
的密度函数. （教材P6பைடு நூலகம்）
dx 1 dy y
1 e 2
x2 2
y e x 是单调增加的函数，其导函数恒不为零，
x ln y ,
1 e 2
ln2 y 2
值域为y>0，反函数为

第二章随机变量及其分布 - 浙江大学邮件系统

例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p，0<p<1，以X表示首次停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。
解：设Ai={第i个灯为红灯}，则P(Ai)=p， i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。
P( X 0) P( A1) p ； P( X 1) P( A1A2 ) (1 p) p ；
例：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验,从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2 拒收；否则作第二次检验，从中任取5 件，仅当5件中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p．求这批产品能被接受的概率.
解：设A={接受该批产品}。设X为第一次得的次品数，Y为第2次抽得的次品数.
求常数c.
12
解：
1 P{X k}
k 0
k
c
ce
k0 k !
c e
几个重要的离散型随机变量
一、0－1分布
若X的分布律为：
X 01 P qp
随机变量只可能取0、1 两个值
(p+q=1,p>0,q>0)
则称X服从参数为p的0-1分布，或两点分布.
记为
X ~ 0 1( p) 或 B(1, p)
则X～B(10,p)，Y～B(5,p)，且{X=i}与{Y=j}独立。
P( A) P(X 0) P(1 X 2且Y＝0)
P(X 0) P(1 X 2) P(Y 0)
P(X 0) (P(X 1) P(X 2)) P(Y 0)
(1 p)10 [10 p(1 p)9 45 p2 (1 p)8] (1 p)5
X 解1：) 设P该(社X区10200)人中0有.8X7个60人患病，则 X ~ B(1000, p),其中

随机变量函数的分布【概率论及数理统计PPT】

2
5
P 0.2 0.5 0.3
求 Y= 2X + 3 的概率分布。
分析：当X取值 1,2,5 时，Y对应取值 5,7,13 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生
的事件，两者具有相同的概率。
解：Y的可能取值为5，7，13
P{Y=5}=P{X=1}=0.2 P{Y=7}=P{X=2}=0.5，P{Y=13}=P{X=5}=0.3 故Y的分布列为： Y 5 7 13
恒有
或恒有
，则Y=g(X)是一个
连续型随机变量，它的概率密度为：
其中， x=h(y)是y=g(x)的反函数此定理的证明与前面的解题思路类似.
例7. 设随机变量X~ 求Y的概率密度。
解: y=ex 单调可导,
反函数为x=h(y)=lny,
, Y=Байду номын сангаасX,
且其值域为y >0, 所以, y >0时,
=
=
例3. 设 X ~
求 Y=2X+8 的概率密度.
解：设Y的分布函数为 FY(y)，
FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y )
=P{ X
} = FX( )
于是Y 的密度函数为:
注意到 0 < x < 4 时，即 8 < y < 16 时，此时
故
Y=2X+8
例4.设X 具有概率密度 ,求Y=X2的概率密度。解：设Y和X的分布函数分别为和，注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，当 y>0 时,
这是求随机变量的函数的分布的一种常用方法.
例5 设随机变量X的概率密度为
求Y=sinX的概率密度.

随机变量及其分布

• 定义1如果对于随机变量X及其分布函数F(x)，存在非负可积函数 • f(x)，使得对于任意实数x有
• 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度或者密度函数.
• 下面给出概率密度函数f(x)的性质: • (1)f(x)≥0 • (2)由分布函数的性质易得
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• 二、离散型随机变量的分布函数
• 设离散型随机变量X的分布律为:
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2. 3随机变量的分布函数
• 其中 • 则随机变量X的分布函数仿照例1可得
• 如图2一1所示，F(x)为阶梯函数，分段区间为半闭半开区间，并且右连续
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2. 4连续型随机变量及其概率密度
• 一、连续型随机变量及其概率分布
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2. 2离散型随机变量及其分布律
• 一、离散型随机变量
• 在某些试验中(例如 2. 1中的例1，例2，例3)，随机变量的取值是有 • 限个或者无穷可列个.这一类随机变量通常称为离散型随机变量，下
面我们给出离散型随机变量的精确定义: • 定义1若随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xn…，并且其 • 对应的概率分别为p1, p2,…，p n，…，即
• 注:实值单值函数指的是每一个。仅存在唯一一个实数X (ω)与之对应，其中X (ω)是一个关干样本点的函数，值域为实数集.
• 随机变量可以根据它的取值分为离散型随机变量与非离散型随机变量， • 其中非离散型随机变量又可以进一步分为连续型随机变量与混合型随
机变量.在本书中我们主要学习的是离散型与连续型随机变量.
• 则称X为离散型随机变量，并且式(2.均称为随机变量X的概率分布，又称分布律或分布列.
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第二章随机变量及其概率分布(概率论)

当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3

概率统计第二章随机变量及其分布

引入适当的随机变量描述下列事件：例1：引入适当的随机变量描述下列事件：个球随机地放入三个格子中， ①将3个球随机地放入三个格子中，事件 A={有个空格} B={有个空格} A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球全有球} C={全有球}。进行5次试验， D={试验成功一次试验成功一次} ②进行5次试验，事件 D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次试验至少成功一次} G={至多成功至多成功3 F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}
例2
xi ∈( a ,b )
∑
P( X = xi )
设随机变量X的分布律为设随机变量X
0 1 2 3 4 5 6 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
试求: 试求:
P( X ≤ 4), P (2 ≤ X ≤ 5), P ( X ≠ 3)
0.72 0.7
F ( x) = P{ X ≤ x} =
k : xk ≤ x
∑p
k
离散型随机变量的分布函数是阶梯函数, 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应可能取值点跳跃高度对应随机变量取对应值的概率;反之反之,如果某随机变量的分布函数值的概率反之如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则该随机变量必为离散型则该随机变量必为离散型. 是阶梯函数则该随机变量必为离散型
X
x
易知，对任意实数a, 易知，对任意实数 b (a<b), P {a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝ F(b)－F(a) ≤ ＝ ≤ － ≤ ＝－
P( X > a) = 1 − F (a)

《概率论与数理统计》第二章随机变量及其分布

两点分布或（0-1）分布
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个
元素，即Ω={ω1,ω2}，我们总能在Ω上定义一个服从 (0-1)分布的随机变量
来描述这个随机X试验X的(结)果。10,,当当
1, 2.
例如，对新生婴儿的性别进行登记，检查产品的质量是否合格，某车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验等都可以用(0-1)分布的随机变量来描述。(0-1)分布是经常遇到的一种分布。
设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是 P{X＝k}＝pk(1-p)1-k，k＝0，1 (0<p<1)，则称X服从(0-1)分布或两点分布。
(0-1)分布的分布律也可写成
X
0
1
pk
1-p
p
二项分布与伯努利试验
考虑n重伯努里试验中，事件A恰出现k次的概率。以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X是一个随机变量，我们来求它的分布律。X所有可能取的值为o， 1，2，…，n．由于各次试验是相互独立的，故在n次试验中，事件A发生k次的概率为
X
x1
x2
…
xn
…
pk
p1
p2
…
pn
…
在离散型随机变量的概率分布中，事件 “X=x1”， “X=x2”....“X=xk”,...构成一个完备事件组。因此，上述概率分布具有以下两个性质：
(1) pk 0, k 1, 2,L
(2) pk 1
k
满足上两式的任意一组数 pk , k 1, 2,L 都可以成为离散型随机变量的概率分布。对于集合xk , k 1, 2,L
P{ X
k}
20 k
(0.2)k

随机变量函数的分布

,
0,
0 ey/2 1 其它
得
fY
(
y)
1 2
e
y
/
2
,
y0
0,
其它
即Y服从参数为1/2的指数分布.
例9
设随机变量 X ~ N ， 2 ，Y eX，试求随机变量
Y 的密度函数 fY y．
解: 由题设，知 X 的密度函数为
f x
1
x2
e 2 2
x
2
因为函数 y ex 是严格增加的，它的反函数为
0,
其它.
整理得 Y =2X +8 的概率密度为：
fY
(
y
)
y8 32
,
8 y 16,
0,
其它.
解题思路总结
核心思想：{Y y}等价于{X ?}
解题过程：
⑴．先求Y g X 的分布函数
FY y PY y P g X y fX ( x)dx g( x) y
⑵．利用Y g X 的分布函数与密度函数之间的关系求Y g X 的密度函数 fY y FY y
一、离散型随机变量函数的概率分布
当X为离散型随机变量时， Y g X 也是离散型
随机变量。并且在 X 的分布列已知的情况下，求Y的
分布列是容易的。
X 1 0 1 2 3
例1 已知X的分布列为
Pk 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
求 Y X 1 Y X2
的分布列。
解由Y 的分布列可列出
面积Y小于等价于半径X<1/2
0
1
即事件｛面积Y 1 ｝等价于事件｛半径X 1｝
4
2
所以 P{Y } P{ X 1} 1

第二章随机变量及其分布

若随机变量X的概率分布为
Pn (k ) P( X k)C p (1 p)
k n k
nk
, k 0,1,, n
其中0<p<1,称X服从参数为n和p的二项分布，记作 X~B(n,p)
例5：一随机数字序列要有多长才能使0至少出现一次的概率不小于0.9?
泊松分布
若随机变量X的概率分布为
和 2 都是常数，任意， >0，其中 2 则称X服从参数为和的正态分布. 2 记作 X ~ N ( , )
正态分布 N ( , )的图形特点
2
正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.
设X~ N ( , ) ,
, x
t2 2
( x )
1 ( x) 2

x

e dt
正态分布与标准正态分布的关系标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.
F ( x) (
x

)
正态分布的概率计算
( x ) 1 ( x )
5.P( X x) 0
P ( a X b) P ( a X b) P ( a X b) P ( a X b)
例1 :已知连续型随机变量X有概率密度
k x 1 0 x 2 f ( x) 其它 0 求系数k及分布函数F(x)，并计算P(0.5<X<3).
2
2
( x)dx
的 2 值，并称之为关于的双侧分位点。 X
2.3
离散型随机变量函数的分布
例1 已知X的分布列为 X Pk -2 -1 0 1 2 3

概率论第二章随机变量与概率分布

(2)P{0 X 2}, P{0 X 2}.
解 (1)X的分布函数为
0,
x 1
F
(
x)
1313,
1 2
5 6
,
1 x 1 1 x 2
1
1
1
1,
2 x
3 2 6
解 (2)P{0 X 2} F (2) F (0) 1 1 2 ,
33 P{0 X 2} P{0 X 2} P{X 2} 21 1.
a－b ab
2
0 1
x
2
解得：a=1/2 b=1/
X的密度为: f(x) = F(x) =
1 (1+ x2 )
(-<x<)
P{X2>1}=1－P{－1X 1}
＝1－{F(1)－F(－1)}＝1/ 2
例6. 设随机变量X的密度函数为：
ke－3x x>0
事件：{取到2白、1黑}＝{X=2}={Y=1}
4. 随机变量的分类通常分为两类：
所有取值可以逐个一一列举
离散型随机变量
随机变量
全部可能取值不仅
如“取到次品的个数”，无穷多，而且还不能
一一列举，而是充满
“收到的呼叫数”等. 满一个或几个区间.
连续型随机变量非离散型随机变量
非离散型非连续型
§4. 连续型随机变量的概率密度 1. 定义：对于随机变量X的分布函数F(x)，如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：
F( x) x f (t)dt
则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率密度函数。简称概率密度。
概率密度的性质：
(1). f(x)0;
(2).
f
(
x)dx

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பைடு நூலகம்
{ x| g ( x ) y }
f X ( x )dx
dFY ( y) dy
f (2)对 FY 求导，得到Y的密度函数： Y ( y )
例4.1设X服从[0,1]上的均匀分布，令 Y X , 求Y的密度函数. 分析：1均匀分布的密度函数与分布函数 2、X的密度函数： 3、X的分布函数：
解： Y ( y ) P( g( X ) y ) P( X y) P( X y 2 ) y 2 F
0, 若 y 3 6 对上式求导，得Y的密度函数为： f Y ( y ) 2 , 若3 y 6 y 0, 若 y 6
0, 若y 3 6 即： FY ( y ) 2 , 若3 y 6 y 1, 若y 6
本题计算步骤：
1 yb fX ( ) |a| a
0 y 1 1 2 4 2 0 其它
1 y 5 其它
1 1 2 2 0
例4.5 (指数随机变量的线性函数)随机变量X服从参数为λ的指数分布，密度函数为： e x , x 0 f X ( x) , 0 x0 0, ya b y b e , 0 1 yb fX ( ) | a | a 定义Y=aX+b,则 f Y ( y )
|a| a 0, 其他
注：b=0,a>0,Y仍是指数分布，但一般情况Y不是指数分布。
4.3 单调函数
设 X ~ f X ( x ), y=g(x)是x的单调可导函数,其反函数为x=h(y)，则在 { y | f Y ( y ) 0} 内， Y=g(X)的密度函数为：
fY ( y) f X [h( y)]. | h' ( y) |
180 解：设X是速度,Y=g(X)是这段旅程所花费的时间，则 Y X
1 , 若30 x 60 f X ( x ) 30 0, 其他
X的密度函数
180 180 180 X ) 1 FX ( ) y) P( Y的分布函数：FY ( y ) P ( y y X
1 2 y fX ( y) 1 2 y f X ( y )
应用复合函数求导法：f Y ( y )
4.2 线性函数
用X的密度函数表示线性函数aX+b的密度函数：
y
fX
f aX
f aX b
x
第一步，计算aX的密度函数。aX的值域比X的值域大a倍。所以，aX的密度函数是将X的密度函数在x轴方向拉长a倍。但为了使aX的密度函数与x轴围成的面积为1，必须将X的密度函数下拉到原来的1/a. 随机变量aX+b与aX一样,只是将图形平移了b个单位。最后，得到随机变量Y=aX+b的密度函数为：
1 fY ( y ) f X (ln y ) y
1 y
1 e 2 y
2
ln2 y 2
当 y 0 时，Y的概率密度从而 Y e X 的概率密度为
fY ( y ) 0
ln y 1 e 2 , f Y ( y ) 2 y 0 ,
y0 y0
dFY 1 yb ( y) f X ( ) 用复合函数求导法得：f Y ( y ) dy a a
例4.4
设X 服从[0,2]上的均匀分布,密度函数
1 f X ( x) 2 0 0 x 2 其它
求Y=2X+1的密度函数.(P63）
解: Y的密度函数为 f Y ( y )
第四节随机变量函数的分布密度
已知连续型随机变量X的密度函数 f X ( x ) 随机变量 Y = g( X ) ，求随机变量 Y 的密度函数。
4.1 分布函数法
连续随机变量X的函数Y=g(X)的分布密度函数 (1)使用如下公式计算Y的分布函数 FY :
FY ( y ) P ( g( X ) y )
1, 若y 180/ 30 180 180 180 1 ( 30) / 30, 若 y y 60 30 0, 若y 180/ 60
0, 若x 30 x 30 分布函数为：FX ( x ) , 若30 x 60 30 1, 若x 60
证：
例4.2
在区间[30,60]内，h(y)=180/y,所以
1 180 ( y ) | 2 , f Y ( h( y )) , |h 30 y 所以当 y [3,6] 时，运用公式得到：
f Y ( h( y )) f X ( h( y )) | h( y ) |
1 180 6 2 2 30 y y
dFY d( y2 ) f ( y) 2 y,0 y 1 求导得： Y ( y ) dy dy 当 y 0 时, FY ( y) 0; 当 y 1 时, FY ( y ) 1
2 y,0 y 1 故： f Y ( y ) 0, 其他
例4.2 某人驾车从甲地到乙地，两地相距180公里，速度值服从 [30,60](单位:公里/小时)区间内的均匀分布。求这段旅程所费时间的密度函数。
例设随机变量X的密度函数为求 Y eX 解
f X ( x)
的密度函数. （教材P65）
dx 1 dy y
1 e 2
x2 2
y e x 是单调增加的函数，其导函数恒不为零，
x ln y ,
1 e 2
ln2 y 2
值域为y>0，反函数为
由定理可得，当
y 0 时，概率密度为
X的密度函数— X的分布函数— Y的分布函数— Y的密度函数 2 例4.3 已知X 密度函数 f X ( x), x 求随机变量 Y X
的密度函数(教材P64)
F 解当y>0时， Y ( y) P(Y y) P( X 2 y)
P( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
fY ( y) 1 yb fX ( ) |a| a
随机变量X的线性函数的分布密度函数假设X是连续变量，密度函数为 f X , 则
Y aX b 1 yb fY ( y) fX ( ) |a| a
a , b R且a 0
定义：
证明：(只证a>0的情形)
FY ( y) P(Y y) P (aX b y ) yb P( X ) a yb FX ( ) a

第二章04随机变量函数的分布密度

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