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高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
具体的要求如下：1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。
2． 掌握极限四则运算法则。
3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。
5。
理解函数在一点连续的概念,理解区间内（上）连续函数的概念。
6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。
第一章共12学时,课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1。
4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1。
4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。
关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里.华罗庚：宇宙之大,粒子之微，火箭之速，化工之巧,地球之变，生物之迷,日用之繁,无处不用数学。
张顺燕:微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。
……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程;有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产,也就有了现代的社会。
高等数学Ⅰ第二章极限与连续第八节函数的连续性(续)暨南大学电气信息学院苏保河主讲教材：苏保河主编《高等数学》第二章极限与连续第八节函数的连续性（续）推论：设()[,],f x C a b ∈且至少有一点[,],a b ξ∈使.)(C f =ξ),(max ],[x f M b a x ∈=[,]min (),x a b m f x ∈=,m M <则[,],C m M ∀∈例1. 证明方程01423=+−x x 至少有一个根.证: ],1,0[14)(23C x x x f ∈+−=显然,01)0(>=f 且,02)1(<−=f 由零点定理, 至少存在一点,)1,0(∈ξ,0)(=ξf 使,01423=+−ξξ即在区间内)1,0(故原方程在(0,1)内至少有一个根.小结与习题课主要内容一、函数二、极限三、连续与间断暨南大学电气信息学院苏保河主讲一、函数1. 函数的概念2. 函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性3. 反函数4. 复合函数5. 初等函数(1) 基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.(2) 初等函数由基本初等函数否则称为非初等函数.并可用一个式子表示的函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.常数函数、y1x例2证明不是初等函数.⎩⎨⎧≥<=0,cos 0,)(x x x x x f ),(∞+−∞证.是初等函数,连续.可知f (x ) 在x =0间断,=−→)(lim 0x f x =+→)(lim 0x f x 如果f (x )用反证法.0lim 0=−→x x 1cos lim 0=+→x x 则它在定义区间但是由矛盾.故f (x ) 不是初等函数.2. 函数极限的性质(1) 保号性:,)(lim 0A x f x x =→若且A > 0 ,),(0时使当δx x∪∈0)(>x f ).0)((<x f 则存在( A < 0 ),),,(0δx ∪的某去心邻域内函数0x 0)(≥x f ),0)((≤x f 且,)(lim 0A x f x x =→则0≥A ).0(≤A 若在A x f x f x x ==+∞→−∞→)(lim )(lim A x f x =∞→)(lim A x f x f x x x x ==+−→→)(lim )(lim 00Ax f x x =→)(lim 0(2) (3) 2. 函数极限的性质(续)注将“A ”换为“∞”依然成立.定理3（广义）单调有界数列必有极限.（广义）单调增加有上界的数列必有极限.（广义）单调减少有下界的数列必有极限.若函数3.)(x f 在某区间每一点都连续, 则称它在该区间连续,或称它为该区间的连续函数.注.如果区间包括端点, 例如[a ,b ],f (x ) 在右端点b 连续是指在b 左连续.f (x ) 在左端点a 连续是指在a 右连续;4. 初等函数的连续性初等函数在定义区间内连续..)](lim [)]([lim 00x f x f x x x x φφ→→=注:条件：.)(,)(极限存在连续x x f φ4) 当0)()(<b f a f 时,,),(b a ∈ξ.0)(=ξf 使必存在在1)()f x ],[b a 上有界;上有最大值与最小值;在2)()f x ],[b a 上可取得最大与最小值之间的任何值;在3)()f x ],[b a 5. 闭区间[a , b ]上连续函数f (x )的性质:注意：证：,)(lim ,0)(lim b x g a x f x x =>=→→口口如果.)]([lim )(bx g x a x f =→口则()lim [()]g x x f x →□ln e b a =lim ()ln ()e x g x f x →=□lim ()lim ln ()e x x g x f x →→=□□.ba =()ln ()lim e g x f x x →=□则()[0,2],f x C a ∈(0)(2),f f a =证明至少存在[0,],a ξ∈使.)()(ξξf a f =+证:()()(),x f x a f x ϕ=+−令()[0,],x C a ϕ∈易知)()0(a ϕϕ例3. 设一点(1)当,0)()0(时=a ϕϕ,0)0()(=−f a f 0[0,],a ξ=∈取).()(ξξf a f =+使(2)当,0)()0(时<a ϕϕ由零点定理, (0,)[0,],a a ξ∃∈⊂,0)(=ξϕ使即.)()(a f f +=ξξ综合(1)(2)可知,至少存在一点[0,],a ξ∈使()().f a f ξξ+=2)]0()([f a f −−=)]()2([)]0()([a f a f f a f −⋅−=0≤作业（苏保河主编《高等数学》习题二）一、12. 二、8; 9. 三、3(7). 四、7; 8. 五、1; 2; 3.下次课内容第三章导数与微分第一节导数的概念。
