数学分析课件第七章 第二节 闭区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数性质的研究1 引言连续函数在闭区间上的性质是深入了解连续函数性质的一个重要方面，是不可忽略的基石．掌握闭区间上连续函数的性质可帮助我们制作机器零件，可应用到建筑生活中去．20世纪分析学的一个特征是多变量函数的整体性质，但要以闭区间上连续函数性质为基础．闭区间上连续函数的性质将随着数学发展终将成为世人皆知的常识．19世纪柯西以及维尔斯特拉斯等数学家建立起严格极限理论后，数学家们对连续函数做出了纯数学的精确表述．连续函数在以后的数学研究中起着举足轻重的作用．它在闭区间上的性质可以结合几何用来解决介值问题、求根问题、多元函数极值问题，也可由此得知反函数、初等函数的相关性质．然而，文献中多为孤立表述数学分析中闭区间上连续函数的性质，与其它数学知识结合较少．本文将把数学分析与实变函数相联系加以陈述．2 整体性质及其证明方法归纳在数学分析中，对于闭区间上连续函数的几个重要性质的证明，不同的教科书上所采用的方法大致相同．选择证法通常是考虑这样几点：一要容易想到；二要简单；三是着眼于推广．本部分内容分别使用区间套定理，有限覆盖定理和致密性定理来证明闭区间上连续函数的四个重要性质．2.1 有界性定理定理 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上有界．证明[证法一]（应用区间套定理） 假设()f x 在[],a b 上无界．考察[],a b 的两个闭子区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦和,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可以断定()f x 至少在一个闭子区间上无界，我们记这闭子区间为[]11,a b ．然后以[]11,a b 代替[],a b ，重复上面的讨论，又可得到闭子区间[]22,a b ，函数()f x 在这闭子区间上无界．继续这样的手续，我们得到一个闭区间列[]{},n n a b 满足条件1）[][]11,,a b a b ⊃⊃…[],n n a b ⊃⊃…， 2）02n n n b ab a -<-=，且函数()f x 在[],n n a b （1,2,n =…）上无界．由区间套定理，闭区间套[],n n a b 收缩于唯一的一点[]lim lim ,n n c a b a b ==∈．因为函数()f x 在c 点连续，所以存在0η>使得()f x 在(),U c η上是有界的：(),(,)f x K x U c η≤∀∈．又可取m 充分大，使得,m m a c b c ηη-<-<．这时就有[](),,m m a b U c η⊂，因而有[](),,m m f x K x a b ≤∀∈．但这与闭子区间[],m m a b 的选取方式矛盾（按照我们的选取方式，函数()f x 应在闭子区间[],m m a b 上无界）．这一矛盾说明：所作的反证法假设不能成立．函数()f x 在闭区间[],a b 上应该是有界的．[证法二]（应用有限覆盖原理） 由连续函数的局部有界性，对每一点[],x a b '∈，都存在邻域(,)x U x δ''及正数x M '，使得[](),(,),x x f x M x U x a b δ'''≤∈I ．考虑开区间集[]{(,)|,}x H U x x a b δ'''=∈，显然H 是[],a b 的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集[]{(,)|,,1,2,i i i H U x x a b i δ*=∈=…,}k覆盖了[],a b ，且存在正数1M ，2M ，…，k M ，使得对一切[](,),i i x U x a b δ∈I 有()i f x M ≤，i =1，2，…，k ，令1max i i kM M ≤≤=，则对任何[],x a b ∈，x 必属于某(,)()i i i U x f x M M δ⇒≤≤．这就证得()f x 在[],a b 上有界．[证法三]（应用致密性定理） 倘若()f x 在[],a b 上无上界，则对任何正整数n ，存在[],n x a b ∈，使得()n f x n >，依次取1,2,n =…，则得到数列[],n x a b {}⊂．由致密性定理，它含有收敛子列k n x {}，记lim k n k x ξ→∞=．由k n a x b ≤≤及数列极限的保不等式性，[],a b ξ∈．利用()f x 在点ξ连续，推得lim ()()k n k f x f ξ→∞=<+∞ (1)另一方面，由n x 的选取方法又有()lim ()k k n k n k f x n k f x →∞>≥→+∞⇒=+∞，这与(1)式矛盾．所以()f x 在[],a b 上有上界．类似的可证()f x 在[],a b 上有下界，从而()f x 在[],a b 上有界．2.2 最大、最小值定理定理 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上有最大值与最小值．证明（应用确界原理） 由于已证得()f x 在[],a b 上有界，故由确界原理，()f x 的值域[](,)f a b 有上确界，记为M ．以下我们证明：存在[],a b ξ∈，使()f M ξ=．倘若不然，对一切[],x a b ∈都有()f x M <．令[]1(),,()g x x a b M f x =∈-．易见函数()g x 在[],a b 上连续，故()g x 在[],a b 上有上界．设G 是()g x 的一个上界，则[]10(),,()g x G x a b M f x <=≤∈-．从而推得[]1(),,f x M x a b G≤-∈． 但这与M 为[](,)f a b 的上确界（最小上界）相矛盾．所以必存在[],a b ξ∈，使()f M ξ=，即()f x 在[],a b 上有最大值．同理可证()f x 在[],a b 上有最小值． 2.3 介值性定理定理 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()f a f b ≠．若μ为介于()f a 与()f b 之间的任何实数（()()f a f b μ<<或()()f a f b μ>>），则存在()0,x a b ∈，使得0()f x μ=． 证明[证法一]（应用确界原理） 不妨设()()f a f b μ<<．令()()g x f x μ=-，则()g x 也是[],a b 上的连续函数，且()0g a <，()0g b >．于是定理的结论转化为：存在()0,x a b ∈，使得0()0g x =．这个简化的情形称为根的存在性定理．记{[]}()0,,E x g x x a b =>∈．显然E 为非空有界数集（[],E a b ⊂且b E ∈），故由确界原理，E 有下确界，记0inf x E =．因()0g a <，()0g b >，由连续函数的局部保号性，存在0δ>，使得在[],a a δ+内()0g x <，在(,]b b δ-内()0g x >，由此易见00,x a x b ≠≠，即()0,x a b ∈．下证0()0g x =．倘若0()0g x ≠，不妨设0()0g x >，则又由局部保号性，存在()0,U x η()(,)a b ⊂，使在其内()0g x >，特别有00()022g x x E ηη->⇒-∈．但这与0inf x E=相矛盾，故必有0()0g x =．[证法二]（应用区间套定理） 同上述证法一，我们把问题转化为证明根的存在性定理，即若函数()g x 在[],a b 上连续，()0g a <，()0g b >，则存在0(,)x a b ∈使得0()0g x =．将[],a b 等分为两个子区间[],a c 与[],c b ．若()0g c =，则c 即为所求；若()0g c ≠，则当()0g c >时记[][]11,,a b a c =，当()0g c <时记[][]11,,a b c b =．于是有1()0g a <，1()0g b >，且[][]()11111,,,2a b a b b a b a ⊂-=-．再从区间[]11,a b 出发，重复上述过程，得到：或者在[]11,a b 的中点1c 上有1()0g c =，或者有闭区间[]22,a b ，满足22()0,()0g a g b <>，且[][]22112221,,,()2a b a b b a b a ⊂-=-． 将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：1）在某一区间的中点i c 上有()0i g c =，则i c 即为所求；2）在任一区间的中点i c 上均有()0i g c ≠，则得到闭区间列[]{,}n n a b ，满足()0,()0n n g a g b <>，且[][]111,,,(),1,2,2n n n n n n n a b a b b a b a n ++⊂-=-=…． 由区间套定理，存在点[]0,,1,2,n n x a b n ∈=…．下证0()0g x =．倘若0()0g x ≠，不妨设0()0g x >，则由局部保号性，存在()0,U x δ，使在其内有()0g x >．而由区间套定理的推论①，当n 充分大时有[]0,(,)n n a b U x δ⊂，因而有()0n g a >．但这与[],n n a b 选取时应满足的()0n g a <相矛盾，故必有0()0g x =．２.4 一致连续性定理定理 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上一致连续．证明[证法一]（应用有限覆盖定理） 由()f x 在[],a b 上的连续性，任给0ε>，对每一点[],x a b ∈，都存在0x δ>，使得当(,)x x U x δ'∈时有()()2f x f x ε'-<． (2)考虑开区间集合[]{(,)|,}2xH U x x a b δ=∈，显然H 是[],a b 的一个开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集{(,)|1,2,2ii H U x i δ*==…，}k覆盖了[],a b ．记1min{}02i i kδδ≤≤=>．对任何[],,x x a b '''∈，x x δ'''-<，x '必属于H *中某开区间，设(,)2ii x U x δ'∈即2ii x x δ'-<．此时有222iiii i i x x x x x x δδδδδ''''''-≤-+-<+≤+= ，故由(2)式同时有()()2i f x f x ε'-<和()()2i f x f x ε''-<．由此得()()f x f x ε'''-<．所以()f x 在[],a b 上一致连续．[证法二]（应用致密性定理） 用反证法．倘若()f x 在[],a b 上不一致连续，则存在某00ε>，对任何0δ>，都存在相应的两点[],,x x a b '''∈，尽管x x δ'''-<，但有0()()f x f x ε'''-≥．令1n δ=（n 为正整数），与它相应的两点记为[],,n n x x a b '''∈，尽管1x x n'''-<，但有 0()()n n f x f x ε'''-≥． (3) 当n 取遍所有正整数时，得数列{}n x '与{}[],n x a b ''⊂．由致密性定理，存在{}n x '的收敛子列{}k n x '，设[]0,()k n x x a b k '→∈→∞．同时由0010()k k k k k k n n n n n n kx x x x x x x x k n '''''''''-<⇒-≤-+-→→∞， 又得0()k n x x k ''→→∞．最后，由(3)式有0()()k k n n f x f x ε'''-≥，在上式中令k →∞，由()f x 的连续性及数列极限的保不等式性，得到0000()()lim ()()k k n n k f x f x f x f x ε→∞'''=-=-≥．这与00ε>相矛盾．所以()f x 在[],a b 上一致连续．3 关于闭区间上连续函数性质的探讨此部分内容对闭区间上连续函数的各个性质定理的条件加以探讨，若其中部分条件更换，结论是否成立，并以具体例子将其中差别表现出来．1）有界性定理 (i) 闭区间 (ii) 连续当条件(i)改为开区间(),a b 时，有界性定理的结论不一定成立．如1()f x x=，虽然()f x 在开区间()0,1上连续，但是当0x →时，函数值趋于+∞．所以()f x 在()0,1上无界．当条件(ii)不成立，即()f x 在[],a b 上不连续时，不能保证有界性定理的结论成立．如()tan f x x =在[]0,π上不连续，显然()f x 在[]0,π上无界．2) 最大、最小值定理 (i) 闭区间 (ii) 连续开区间上的连续函数即使有界，也不一定能取到最大（小）值．例 ()f x x =在(0,1)连续而且有界，因而有上确界和下确界：{}(0,1)sup()1x M f x ∈==，{}(0,1)inf()0x m f x ∈==．但是，()f x 在区间(0,1)取不到1M =与0m =．当条件(ii)不成立，即()f x 在[],a b 上不连续时，不能保证最大、最小值定理的结论成立．如()tan f x x =在[]0,π上不连续，显然()f x 在[]0,π上无最值．由此可知，两个条件缺一不可．此定理只是一个充分条件，逆定理不成立．反例：定义在[]0,1上的狄利克雷函数虽然有最大值1和最小值0，但是函数在定义域上处处不连续．3) 介值性定理，定理逆命题不成立．即：若()f x 在闭区间[],a b 上有定义，且()()f a f b ≠，μ介于()f a 与()f b 之间的任何实数，则至少存在一点()0,x a b ∈，使得0()f x μ=．这些条件不能保证()f x 在[],a b 上连续．反例 [](],0,1()1,1,2x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-+∈⎪⎩在[]0,2上有定义．(0)0,(2)1f f ==-．对于介于1-和1之间的任意数μ，总存在[]00,2x ∈，使得0()f x μ=．满足定理中条件，但()f x 在点1x =处不连续．4) 一致连续性定理 (i) 闭区间若()f x 在开区间(),a b 上每一点都连续，并不能得到()f x 在(),a b 上一致连续． 例 证明函数1y x=在()0,1内不一致连续． 证明 若证函数()f x 在区间()0,1上不一致连续，只需00,ε∃>0,,(0,1)x x δ'''∀>∃∈．尽管x x δ'''-<，但0()()f x f x ε'''-≥．对于函数1y x =，可取01ε=．对1()2δ∀<，只需取x δ'=和2x δ''=．虽有 2x x δδ'''-=<，但1111x x δ-=>'''． 所以1y x=在()0,1内不一致连续． 该定理为充要条件，一致连续则必定连续，逆定理成立．4 特殊例子闭区间上连续函数的性质是高等数学中非常重要的一部分内容，并且有很多应用．1975年，李天岩与James A ·Yorke 发表在《美国数学月刊》上的论文《周期3蕴涵混沌》(Period Three ImpliesChaos)，正是闭区间上连续函数性质的巧妙应用．我是想通过若干例子，刻画一下这些性质的应用，进而提高人们对这些性质的认识．例[1](74)1P 设函数()(),lim ()x f x C R f x →∞∈=+∞．证明()f x 在R 上可取到最小值．分析 直接使用条件中的()()f x C R ∈，这一结论未必易证．关键是要将无穷区间的问题“转移”到有限闭区间上来考虑．考虑常数(0)f ．利用条件lim ()x f x →±∞=+∞可以看出必定存在0a <及0b >，使对(][),,x a b ∀∈-∞+∞U 都有()(0)f x f ≥成立．由此不难判定()f x 在有限闭区间[],a b 上的最小值即为所求．例[2](104)2P 设()f x 在[)(],(,)a a +∞-∞上连续，且()()()f x f a x →→+∞，(()()())f x f a x →→-∞，则()f x 必达到其在[)(],(,)a a +∞-∞上的最大、最小值，且至少有一个在内点达到．证明 若()f x 在[),a +∞上恒为常数：()()f x f a ≡，则结论显然．设()()f x f a ≠，则必存在()1,x a ∈+∞，使得1()()f x f a >或1()()f x f a <．现设前者发生，来证()f x 必在[),a +∞的某一内点达到最大值．因为()()()f x f a x →→+∞，所以对10()()02f x f a ε-=>，存在0A a >，使得当0x A ≥时有101()()()()()2f x f a f x f a f x ε+<+=<于是，在[]0,a A 上，()f x 连续，必达到其最大值，但由上所证，有()10,x a A ∈，使得101()(),()()f a f x f A f x <<所以()f x 在[]0,a A 上的最大值不可能在端点达到，故存在0(,)a A ξ∈，使得[]01,()max ()()x a A f f x f x ξ∈=≥又因为当0x A ≥时有1()()f x f x <， 所以[)()max ()(,)f f x x a ξ=∈+∞再来证()f x 在[),a +∞上必达到其最小值．若[),x a ∀∈+∞，有()()f a f x ≤，则[)()min ()(,)f a f x x a =∈+∞结论成立．现设至少存在0(,)x a ∈+∞，使得0()()f x f a <，因为()()()f x f a x →→+∞，所以对01()()02f a f x ε-=>，存在0B a >，使得当0x B ≥时有000()()()()()2f x f a f x f a f x ε+>-=>于是，对闭区间[]0,a B 上的连续函数()f x 有000()(),()()f a f x f B f x >>，故其最小值不能在端点a 与0B 处达到，即必存在()0,a B η∈，使得[]00()min ()()(,)f f x f x x a B η=≤∈又因为当0x B ≥时有0()()f x f x >，所以[)()min ()(,)f f x x a η=∈+∞．同理可证(],a -∞的情形．例[2](103)3P 证明方程30(0)x px q p ++=>有且仅有一个实根．证明 设3()(0)f x x px q p =++>，则()f x 在(,)-∞+∞上连续，且因为0p >，所以对足够大的,0A B >，有2()()0f A A A p q =++> 2()()0f B B B p q -=-++<由连续函数介值定理，至少存在(,)B A ξ∈-，使得()0f ξ=，即方程()0f x =有实根(,)(,)B A ξ∈-⊂-∞+∞．为证唯一性，只要证()f x 在(,)-∞+∞上严格单调即可，因为12,(,)x x ∀∈-∞+∞，当12x x >时，有33121212()()()()0(0)f x f x x x p x x p -=-+->>所以()f x 在(,)-∞+∞上严格单调增．于是方程()0f x =在(,)-∞+∞上有且仅有一个实根．例[2](111)4P 证明方程ln (0)ax x a =<在(0,)+∞内有且仅有一根．证明 设1()(0)af x x a =<，2()ln f x x =．因为12,(0,)x x ∀∈+∞，1112()()f x f x ≠，2122()()f x f x ≠且1122(1)1(2),(1)0(2)f f f f =>=<．因为1()f x 在(0,)+∞上严格单调减，2()f x 在(0,)+∞上严格单调增，故若方程12()()f x f x =有解，必唯一；令12()()()F x f x f x =-，则()F x 在(0,)+∞上连续，且(1)10F =>，()()F x x →-∞→+∞． 故存在1A >，使()0F A <，由连续函数介值定理知，存在(1,)A ξ∈，使()0F ξ=，即12()()f f ξξ=．例[1](74)5P 设函数()f x 在[],a b 上定义，且()f x 的每个值恰好取到两次，证明()f x 在[],a b 上必不连续．分析 用反证法．若[](),f x C a b ∈，由条件()f x 在[],a b 上可在两处取到最大值，两处取到最小值．因此，这四处最值点中至少有两处在(),a b 内，不失一般性，可记()()[](){}0000,max ,x a b f x f x f x a x x b ∈''==<<≤现在(),a b 内取三点()12310230,,x x x x x x x x '<<<<．记()()()()123max ,,A f x f x f x =，(),a b 内至少有三处()f x 取值相同且都等于A ，这与题设条件矛盾．用介值定理不难写出完整的证明．例6 设函数()(),f x C a b ∈，若{}{}(),,n n x y a b ∃⊂，满足lim lim n n n n x y a →∞→∞==，且有()()lim ,lim n n n n f x A f y B →∞→∞==，则对λ∀（λ介于,A B 之间），证明存在{}(),n z a b ⊂，使lim n n z a →∞=且()lim n n f z λ→∞=．分析 不失一般性可令A B λ<<．利用函数极限的局部保号性，可证明当n 充分大时恒有()n f x λ<，而()n f y λ>．只要在闭区间[](),,n n x y a b ⊂（或[](),,n n y x a b ⊂）上应用连续函数的介值定理，则此时总可以找到介于,n n x y 之间的n z ，使得()n f z λ=恒成立．例7 设周期函数()()f x C R ∈且以0T >为其周期，证明()f x 在R 上一致连续． 证明 因()()f x C R ∈，故()f x 在[](),0T T T ->上一致连续，于是()0,0T εδδ∀>∃<<，使得[](),,y y T T y y δ''''''∀∈--<有()()f y f y ε'''-<．对(),x x R x x δ''''''∀∈-<，由()f x 的周期性必[],,y y T T '''∃∈-以及n Z ∈，使得,x nT y x nT y ''''''=+=+．此时有y y δ'''-<，于是()()()()()()f x f x f nT y f nT y f y f y ε''''''-=+-+'''=-<．从而()f x 在R 上一致连续．例8 ()f x 在[],a b 上连续，1a x <<…n x b <<．证明：存在[]1,n x x ξ∈，使得11()()nk k f f x n ξ==∑证明 令[1max (),M f x =…],()n f x ，[1min (),m f x =…],()n f x ，则必存在{,1,2,i j ∈…},n ，使得(),()i j f x M f x m ==，记[]11()()(),,nk k F x f x f x x a b n ==-∈∑则有[]1111()()()()0n ni i k k k k F x f x f x M f x n n ===-=-≥∑∑[]1111()()()()0n nj j k k k k F x f x f x m f x n n ===-=-≤∑∑因为()f x 在[],a b 上连续，故()F x 在[]1,,i j n x x x x ⎡⎤⊂⎣⎦（或[]1,,j i n x x x x ⎡⎤⊂⎣⎦）上连续．若()0i F x ≥或()0j F x ≤中有一个等号成立，则命题得证．现设()0i F x >且()0j F x <，由连续函数介值定理，至少存在[]1,,i j n x x x x ξ⎡⎤∈⊂⎣⎦（或[]1,,j i n x x x x ξ⎡⎤∈⊂⎣⎦），使得11()()()0nk k F f f x n ξξ==-=∑即11()()nk k f f x n ξ==∑例9 设()f x 在[],a b 上有定义，且满足条件 (i) 在[],a b 上单调有界；(ii) 函数值充满[](),()f a f b （或[](),()f b f a ），证明()f x 在[],a b 上连续．证明 不妨设()f x 在[],a b 上单调增．现假定在题设条件下，结论不成立，即至少存在[]0,x a b ∈，使()f x 在0x 处间断．由条件（i ）及单调有界变量必有极限知，()f x 在0x 处发生第一类间断．1）若0x a =，则()(0)f a f a ≠+发生．由单调增性，当[],x a b ∈时，()()()f a f x f b ≤≤，故(0)lim ()()x af a f x f a +→+=≥，由假设，等号不成立．即有()[](),(0)(),()f a f a f a f b +⊂，且[](),,()(),(0)x a b f x f a f a ∀∈∉+，这与条件（ii ）矛盾．2）现假定()0,x a b ∈，则至少有00(0)()f x f x +≠与00(0)()f x f x -≠之一发生，不妨设前者发生，同１）讨论，由单调增性，必有00()(0)f x f x <+发生，且当[]0,x a x ∈时，0()()f x f x ≤，当[]0,x x b ∈时，()[]00()(),(0)(),()f x f x f x f a f b ∉+⊂， 即[]()[]00,,()(),(0)(),()x a b f x f x f x f a f b ∀∈∉+⊂，矛盾．综合1），2），()f x 在[],a b 上任一点不可能发生右间断，同理可证，()f x 在[],a b 上任一点不可能发生左间断．5 与实变函数相联系向量值函数在一点连续，它在这点近旁所具有的局部性质，除没有局部保号性定理外，其他都与实值连续函数相类似．以下是实值连续函数在有界闭域（或有界闭集）上的整体性质在向量函数形式下的推广． 5.1 有界性定理的推广定理 设n D R ⊂为一有界闭集．若:mf D R →为D 上的连续函数，则()mf D R ⊂必定也是一个有界闭集．证明 先用反证法证()f D 为有界集．倘若()f D 无界，则存在点列{}k x D ⊂，使(),1,2k f x k k >=，…．由于D 是有界闭集，因此存在{}{}j k k x x ⊂，使0lim j k j x x D →∞=∈．又因()f D 在点0x 连续，故()f x 在点0x 局部有界，这与(),1,2,j k j f x k j j >≥=…相矛盾．再证()f D 为闭集，即若0y 为()f D 的任一聚点，欲证0()y f D ∈．设0()(),lim k k k k y f x f D y y →∞=∈=，由于{}k x D ⊂有界，因此存在收敛子列{}{}j k k x x ⊂，0lim j k j x x D →∞=∈．又因()f D 在0x 连续，从而有00lim lim ()()()j j k k j j y y f x f x f D →∞→∞===∈．上定理指出：连续映射把有界闭集映射为有界闭集．5.2 最大、最小值定理的推广定理 设n D R ⊂为一有界闭集，若:mf D R →为D 上的连续函数，则()f D 的直径是可达的，即存在,x x D '''∈，使1212,()()sup ()()x x Df x f x f x f x ∈'''-=-．证明 1）先证1m =，即()f D 为实值函数的情形．由上定理已知()f D 为有界数集，故存在inf (),sup ()s f D S f D ==．可证必有一点x D '∈使()f x S '=（同理可证存在x D ''∈，使()f x s ''=）．倘若不然，对任何x D ∈，都有()0S f x ->，则对于正值连续函数1()()F x S f x =-，F 在D 上亦有界．另一方面，因()f D 在D 上不能达到上确界S ，所以存在收敛点列{}k x D ⊂，使lim ()k k f x S →∞=．于是有lim ()k k F x →∞=+∞，导致与F 在D 上有界的结论相矛盾．从而证得()f D 在D 上能取得最大值S 和最小值s ；也就是说，()f D 的直径S s -是可达的．2）对于2m ≥，()f D 为向量值函数的情形，只需考察1212(,)()()g x x f x f x =-，它是定义在2nD D R ⨯⊂上的一个实值函数．由于D D ⨯仍为一有界闭集，因此由上面已证得的（i ），g 在D D ⨯上存在最大值，即有,x x D '''∈，使得1212,(,)()()sup ()()x x g x x f x f x f x f x ''''''=-=-，故命题结论成立．5.3 介值性定理的推广定理 设n D R ⊂是一道路连通集，则D 中任意两点之间能用一条完全含于D 的连续曲线把它们连接起来．若()f D 是D 上的连续函数，则()mf D R ⊂必定也是一个道路连通集．证明 任给,()y y f D '''∈，必有,x x D '''∈，使(),()y f x y f x ''''''==．因为D 是道路连通的，所以存在连线曲线[](),,x t D t ϕαβ=∈∈，(),()x x ϕαϕβ'''==．由复合函数的连续性定理知，复合函数[]:,mf R ϕαβ→g 也是连续的，且[](())(),,f t f D t ϕαβ⊂∈，(()),(())f y f y ϕαϕβ'''==．这表示在()f D 中存在连续曲线(())y f t ϕ=[],,t αβ∈，能把y '和y ''连接起来，即()f D 也是道路连通集．上定理是实值连续函数具有介值性的推广．5.4 一致连续性定理的推广定理 设nD R ⊂为一有界闭集．若:mf D R →是D 上的连续函数，则()f D 在D 上必定一致连续，即对于任给的0ε>，存在只依赖于ε的0δ>，只要,x x D '''∈，且满足x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<．证明 这里用致密性定理来证明．倘若()f D 在D 上连续而不一致连续，则存在某个00ε>，对于任何0δ>，例如1,1,2k k δ==，…．总有相应的点,k k x x D '''∈，虽然1k k x x k'''-<，但是0()()k k f x f x ε'''-≥．由于D 为有界闭集，因此存在收敛子列{}{}jk k x x ''⊂，使0lim j k j x x D →∞'=∈．再在{}k x ''中取出与{}j k x '下标相同的子列{}j k x ''，由于()110,j j k k j x x j k j'''-<≤→→∞，因此有 0lim lim j j k k j j x x x →∞→∞'''==．利用()f D 在0x 连续，得到00lim ()()()()0j j k k j f x f x f x f x →∞'''-=-=．而这与0()()0j jk k f x f x ε'''-≥>相矛盾，所以()f D 在D 上为一致连续[6].6 小结在这篇论文中，我陈述了闭区间上连续函数的四种性质，并且把这些性质通过例题表现出来．在这里，我们领会到：1）要善于准确的使用概念，从定义、性质出发进行论证．2）要会构造合适的辅助函数，利用辅助函数进行论证．3）要恰当的使用反证法，利用已知条件推出矛盾，证明命题．从这篇论文中，闭区间上连续函数性质的满足条件在第三部分中一目了然，能帮助我们更深刻的理解和学习连续函数．我把闭区间上的连续函数由有界闭集延拓到有界闭域，展现出数学相通的思想，也使我的学习更加全面．这就是我在参阅资料及写作论文中的想法和启示．。

连续函数的性质引言连续函数是数学中一个重要的概念，它在数学分析、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

连续函数的性质是研究连续函数的一种方法，可以帮助我们更好地理解和运用连续函数。

在这篇文档中，我们将介绍连续函数的性质，以及它的重要性。

连续函数是一类函数，它在某一区间上的定义域内无间断，即函数值在定义域内可以无限接近于某个常数或趋于无穷。

这种特性使得连续函数在建模、预测、优化等问题中起到关键作用。

了解连续函数的性质可以帮助我们分析函数的行为、研究函数的变化趋势以及解决一些实际问题。

通过研究连续函数的性质，我们可以推导出函数的导数、极值、范围等重要信息，从而更好地理解和运用连续函数。

在接下来的内容中，我们将探讨连续函数的性质及其在不同领域中的应用。

通过对连续函数的性质进行深入研究，我们可以更好地理解和运用这一重要的数学概念。

定义连续函数是一种在数学上具有很重要性质的函数。

下面我们来解释连续函数的严格定义和符号表示。

连续函数的严格定义：设函数 f(x) 在区间 (a。

b) 上有定义。

如果对于任意给定的ε。

0，存在一个δ。

0，使得当。

x ∈ (a。

b) 且 |x - x0| < δ时，都有 |f(x) - f(x0)| < ε 成立，则称函数 f(x) 在点 x0 处连续。

符号表示：函数 f(x) 在点 x0 处连续的符号表示为：f(x) |x = x0.连续函数是数学中一类重要的函数类型，具有许多特殊的性质。

下面将概述连续函数的主要性质，包括介值定理、最大最小值定理等。

介值定理介值定理是连续函数的重要性质之一。

对于一个在闭区间[a。

b]上连续的函数f(x)，如果f(a)和f(b)有不同的符号，那么对于任意一个介于f(a)和f(b)之间的数c，都存在a和b之间的某个数x0，使得f(x0)=c。

换句话说，介值定理保证了连续函数在一个闭区间上可以取到所有介于函数值之间的值。

最大最小值定理最大最小值定理也是连续函数的重要性质之一。

第七章 实数的完备性2 闭区间上连续函数性质的证明有界性定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有界. 证法一：(应用有限覆盖定理)由连续函数局部有界性知，对每一点x 0∈[a,b]，都存在邻域U(x 0, δx )及正数M x , 使得|f(x)|≤M x , x ∈U(x 0, δx )∩[a,b]，则开区间集H={U(x 0, δx )|x 0∈[a,b]} 是[a,b]的一个无限开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 H ’={U(x i , δi )|x i ∈[a,b], i=1,2,…k}覆盖住[a,b]，且存在正数M 1,M 2,…M k , 使得对一切x ∈U(x i , δi )∩[a,b]，有|f(x)|≤M i , i=1,2,…k. 令M=k i 1max ≤≤M i , 则对任何x ∈[a,b]，x 必属于某U(x i , δi )，且|f(x)|≤M i ≤M. ∴f 在[a,b]上有界.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上无上界，则对任何正整数n ， 存在x n ∈[a,b]，使得f(x n )>n. 依次取n=1,2,…，则得到数列{x n } ⊂[a,b]. 由致密性定理，{x n }含有收敛子列{x k n }，记∞→k lim x kn =ξ. 由a ≤x kn ≤b 及数列极限的保不等式性，ξ∈[a,b]. ∵f 在ξ连续，∴∞→k lim f(x kn )=f(ξ)<+∞. 又f(x k n )>n k ≥k →+∞=>∞→k lim f(x kn )=+∞矛盾，∴f 在[a,b]上有上界. 同理可证f 在[a,b]上有下界，∴f 在[a,b]上有界.最大、最小值定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有最大值与最小值.证：(应用确界原理)根据连续函数在[a,b]上的有界性及确界原理知，f 的值域f([a,b])有上确界，记为M.若对一切x ∈[a,b]都有f(x)<M. 令g(x)=f(x )-M 1, x ∈[a,b]， 则g 在[a,b]上连续且有上界. 设g 有上界G ，则 0<g(x)=f(x )-M 1<G, x ∈[a,b]，得f(x)<M-G1与M 为f([a,b])的上确界矛盾. ∴必存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=M ，即f 在[a,b]上有最大值.同理可证f 在[a,b]上有最小值.介值性定理：设函数f 在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b). 若μ是介于f(a)与f(b)之间的任何实数，则存在x 0∈[a,b]，使得f(x 0)=μ. 证法一：(应用确界原理)不妨设f(a)<μ<f(b)，令g(x)=f(x)-μ, 则 g 在[a,b]上连续，且g(a)<0, g(b)>0.记E={x|g(x)>0, x ∈[a,b]}，则E 非空有界，E ⊂[a,b]且b ∈E ， 由确界原理，E 有下确界，记x 0=inf E.∵g(a)<0, g(b)>0，由连续函数的局部保号性，存在δ>0，使得 在[a,a+δ]内g(x)<0，在[b-δ,b]内g(x)>0， ∴x 0≠a, x 0≠b, 即x 0∈(a,b). 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，则又由局部保号性，存在U(x 0,η)⊂(a,b)， 使其内有g(x)>0，特别有g(x 0-2η)>0=>x 0-2η∈E 与x 0=inf E 矛盾， ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.证法二：(应用区间套原理)同证法一令g(x)=f(x)-μ.将[a,b]二等分为[a,c]与[c,b]. 若g(c)=0，则c 为所求.若g(c)>0，则记[a 1,b 1]=[a,c]，若g(c)<0，则记[a 1,b 1]=[c,b]，则g(a 1)<0,g(b 1)>0且[a 1,b 1]⊂[a,b]，b 1-a 1=21(b-a).从区间[a 1,b 1]出发，重复上述过程，得g(c 1)=0或g(a 2)<0,g(b 2)>0且[a 2,b 2]⊂[a 1,b 1]，b 2-a 2=221(b-a). 不断重复以上过程，可得g(c n )=0或g(a n+1)<0,g(b n+1)>0且[a n+1,b n+1]⊂[a n ,b n ]，b n -a n =n 21(b-a), n=1,2,…. 即{[a n ,b n ]}是闭区间套，由区间套定理知，存在x 0∈[a n ,b n ], n=1,2,… 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，由局部保号性，存在U(x 0, δ)， 使其内有g(x)>0.又当n 充分大时，有[a n ,b n ]⊂U(x 0, δ)，∴g(a n )>0矛盾. ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.一致连续性定理：若函数f 在[a,b]上连续，则f 在[a,b]上一致连续. 证法一：(应用有限覆盖定理)由f 在[a,b]上的连续性，任给ε>0， 对每一点x ∈[a,b]，都存在δx >0，使得当x 0∈U(x,δx )时有|f(x 0)-f(x)|<2ε. 令H={U(x,2δx )|x ∈[a,b]}，则H 是[a,b]的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集H ’={U(x i ,2δi )|i=1,2,…,k}， H ’覆盖了[a,b]. 记δ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2δmin i k i 1>0. 对任何x 1,x 2∈[a,b]，|x 2-x 1|<δ. x 1必属于H ’的某个开区间U(x i ,2δi )，即|x 1-x i |<2δi ，则有 |x 2-x i |≤|x 2-x 1|+|x 1-x i |<δ+2δi ≤2δi +2δi =δi ， 又|f(x 1)-f(x i )|<2ε, |f(x 2)-f(x i )|<2ε, 有|f(x 2)-f(x 1)|< ε.∴f 在[a,b]上一致连续.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上不一致连续，则存在某ε0>0，对任何δ>0，都存在相应的两点x ’,x ”∈[a,b]， 尽管|x ”-x ’|<δ, 但有|f(x ”)-f(x ’)|≥ε0.令δ=n 1(n 为正整数)，与它相应的两点记为x ’n ,x ”n ∈[a,b]， 尽管|x ’n -x ”n |<n1, 但有|f(x ’n )-f(x ”n )|≥ε0.当n=1,2,…时，可得数列{x ’n }与{x ”n }⊂[a,b].由致密性定理，存在{x ’n }的收敛子列{x ’k n }，设x ’k n →x 0∈[a,b](k →∞)， 由|x ’k n -x ”k n |<kn 1=>| x ”k n -x 0|≤| x ”k n - x ’k n |+| x ”k n -x 0|→0(k →∞)，得 x ”kn →x 0(k →∞)，又由f 的连续性及数列极限的保不等式性，得：0=|f(x 0)-f(x 0)|=∞→k lim |f(x ’k n )-f(x ”kn )|≥ε0，与ε0>0矛盾， ∴f 在[a,b]上一致连续.习题1、设f 为R 上连续的周期函数. 证明：f 在R 上有最大值与最小值. 证：设f 的周期为T ，∵f 在[0,T]上连续，∴有最大值f(M)和最小值f(m)， M,m ∈[0,T]. 任给x ∈R ，则存在某整数k ，使x ∈[kT,(k+1)T]， ∴x-kT ∈[0,T]，从而有f(m)≤f(x)=f(x-kT)≤f(M)，∴f(M)=R x max ∈{f(x)}, f(m)=Rx min ∈{f(x)}，即 f 在R 上有最大值f(M)与最小值f(m).2、设I 为有限区间. 证明：若f 在I 上一致连续，则f 在I 上有界，举例说明此结论当I 为无限区间时不一定成立.证：设区间I 的左右端点为a,b. ∵f 在I 上一致连续，∴对ε=1， 存在δ>0，不妨取δ<2a -b , 当|x ’-x ”|<δ(x ’,x ”∈I)时，有|f(x ’)-f(x ”)|<1. 令a 1=a+2δ, b 1=b-2δ, 则a<a 1<b 1<b.∵f 在[a 1,b 1]上连续，∴f 在[a 1,b 1]上有界，设|f(x)|≤M 1, x ∈[a 1,b 1]. 当x ∈[a,a 1)∩I 时，∵0<a 1-x<2δ<δ，∴|f(x)-f(a 1)|<1, 有|f(x)|<|f(a 1)|+1. 同理当x ∈(b 1,b]∩I 时，有|f(x)|<|f(b 1)|+1.令M=max{M 1,|f(a 1)|+1,|f(b 1)|+1}，则对一切x ∈I ，必有|f(x)|≤M. ∴f 在有限区间I 上有界.例证：y=x 2, x ∈R 一致连续，但∞→x lim x 2=+∞无界.3、证明：f(x)=x sinx 在(0,+∞)上一致连续. 证：∵∞→x lim xsinx =0，由柯西收敛准则知，对∀ε>0，存在M 1>0，使 当x ’,x ”>M 1时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε. 又∵0x lim →xsinx =1，同理可知， 存在M 2>0，使当0<x ’,x ”<M 2时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε.将(0,+∞)分成三个相交的区间(0,M 2],[2M 2,M 1+2M 2]和[M 1,+∞). ∵f 在[2M 2,M 1+2M 2]连续，∴f 在[2M 2,M 1+2M 2]一致连续. 从而必存在δ>0(δ<2M 2)，当x ’,x ”∈[2M 2,M 1+2M 2]且|x ’-x ”|<δ时，有 |f(x ’)-f(x ”)|<ε. 于是对一切x ’,x ”∈(0,+∞)，当|x ’-x ”|<δ时， x ’,x ”必属于上述区间之一，且都有|f(x ’)-f(x ”)|<ε，∴f 在(0,+∞)上一致连续.4、试用有限覆盖定理证明根的存在性定理.证：设f在[a,b]上连续，且f(a),f(b)异号，不妨设f(a)<0, f(b)>0.若在(a,b)内没有f(x)=0的根，即对每一个x∈(a,b)，都有f(x)≠0，从而对一切x∈[a,b]，有f(x)≠0. 由f的连续性，对每一个x∈[a,b]，存在δx >0，使得f在U(x,δx)∩[a,b]上同号，而H={(x,δx)|x∈[a,b]}是[a,b]的一个开覆盖，由覆盖定理知在H中必存在有限个开邻域H’={(x j,δj)|x j∈[a,b], j=1,2,…,n}覆盖[a,b]，设a∈(x k,δn)(k为1,2,…,n中某一个值)，则f(x)<0, x∈(x k,δk n)∩[a,b].k又∵H’覆盖了[a,b]，∴恒有f(x)<0, x∈[a,b]，即f(b)<0矛盾.∴在(a,b)内f(x)=0至少有一个根. 根的存在性定理得证.5、证明：在(a,b)上连续函数f为一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限.证：[必要性]设f在[a,b]一致连续，则对任给的ε>0，存在δ>0，使当x’,x”∈(a,b)且|x’-x”|<δ时，有|f(x’)-f(x”)|<ε，则有当x’,x”∈(a,a+δ)时，有|x’-x”|<δ，从而有|f(x’)-f(x”)|<ε，由函数极限的柯西准则知f(a+0)存在且为有限值，同理可证f(b-0)存在且为有限值.[充分性]设f在(a,b)，且f(a+0)、f(b-0)存在且有限，补充定义f(a)=f(a+0), f(b)=f(b-0)，使f在[a,b]上连续，从而一致连续，∴f在[a,b]一致连续.。

有界闭集上连续函数的性质及函数介值性与连续性间的联系邵琳华(绍兴文理学院数学系浙江绍兴312000)摘要：本文把闭区间上连续函数的重要性质推广到度量空间有界闭集上的连续函数，研究了函数介值性与连续性之间的关系．关键词：有界闭集；收敛子序列；有限子族覆盖；介值性．一、引言和结果在学习一元函数的时候，数学分析教材中着重介绍了闭区间上连续函数的重要性质：有界性、最值性、介值性和一致连续性．那么在度量空间有界闭集上的连续函数是否也具有这四个性质呢？通过对度量空间有界闭集上连续函数的研究发现，它只具有有界性、最值性和一致连续性，没有介值性．（在正文的第二部分中将给出详细证明）．那么，在度量空间中具有何种性质的连续函数才具有介值性．（这只在文章中做简单说明），以及本文研究的第二个重点，具有介值性的函数追加哪些条件后，会成为连续函数，（在正文的第三部分会举出几个相关命题及相应证明）．本文的主要结果是：1、有界闭集上连续函数的性质：E⊂上的连续函数，则()x f在E上有界，即[有界闭集定理] 设()x f是有界闭集m R()Ef是有界闭集．E⊂上的连续函数，则()x f在E上有最[最大值最小值定理] 设()x f是有界闭集m R大值与最小值．E⊂上的连续函数，则()x f在E上一致连[一致连续性定理] 设()x f是有界闭集m R续．2、函数介值性与连续性之间的一些关系：命题1、设单调函数()x f在[]b a,上具有介值性，则()x f在[]b a,上连续．命题2、 设函数()x f 在区间I 的任意子区间上满足介值性，并对每一值只取一次，则()x f 在I 上连续．命题3、设函数()x f 在()b a ,内有定义，且具有介值性，并且一对一的（即若21x x ≠,必有()()21x f x f ≠）．则()x f 在()b a ,上连续．命题4、设函数()x f 定义于1R 上，且具有介值性，又对任意有理数r ，集合(){}r x f x E r ==:是闭集，则()x f 在1R 上连续．命题5、设函数()x f 在[]b a ,上满足介值性，且在()b a ,内可导，导函数()x f'在()b a ,上有界，则()x f 在[]b a ,上连续．二、度量空间有界闭集上连续函数性质的证明下面我们不加证明地给出两个著名定理，它们在证明本文的结果时扮演着重要的角色．[Bolzano-weierstrass 定理] 设{}n x 是mR 中点的有界序列，则{}n x 有收敛的子序列． [Hieine-Borel 有限覆盖定理] 设E 是m R 中的有界闭集，则E 的任何开覆盖都有有限的子覆盖．有上述两个著名定理，我们就很容易得到如下三个定理的证明了．[有界闭集定理]证法一. 用反证法，假设f 在E 上无界，那么对任何N n ∈都存在E x n ∈，使得()n x f n >.因为E 是有界集，所以点列{}E x n ⊂也是有界的．由Bolzano-Weierstrass 定理知，存在{}n x 的收敛子序列{}k n x ．设0x x k n →，则E x ∈0（因为E 是闭集），又因为函数f 在点E x ∈0连续，所以()()0lim x f x f k n k =∞→，这与()k n n x f k >矛盾，说明f 在E 上有界的。

第七章 实数的完备性目的与要求：使学生掌握反映实数完备性的六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；明确六个基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上的连续函数性质和一些有关命题．了解数列上极限和下极限的概念及其与数列极限的关系.重点与难点：重点是实数完备性基本定理的证明，难点是实数完备性基本定理的应用.第一节 关于实数集完备性的基本定理一 区间套定理与柯西收敛准则 1 区间套定义1 区间套: 设[]{}n n b a ,是一闭区间序列. 若满足条件 （1） 对n ∀, 有[][]n n n n b a b a ,,11⊂++, 即n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中；（2） 0→-n n a b ()∞→n . 即当∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 .区间套还可表达为:1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ， 0→-n n a b ()∞→n .我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列{}n a 和{}n b , 其中{}n a 递增, {}n b 递减.例如⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n n 1,1和⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 1,0 都是区间套. 但()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+n n n 21,11、⎭⎬⎫⎩⎨⎧]1,0(n 和⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n n11,1都不是. 2 区间套定理定理7.1(区间套定理) 设[]{}n n b a ,是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点ξ, 使对n ∀有[]n n b a ,∈ξ. 简言之, 区间套必有唯一公共点.证明 （用单调有界定理证明区间套定理）由假设（1）知，序列{}n a 单调上升，有上界1b ；序列{}n b 单调下降，有下界1a .因而有1lim c a n n =+∞→，2lim c b n n =+∞→. n n b c c a ≤≤≤21.再由假设（2）知()0lim 12=-=-+∞→c c a b n n n ，记c c c ==12. 从而有==+∞→c a n n lim n n b +∞→lim .若还有*c 满足n n b c a ≤≤*，令+∞→n ，得c c =*.故c 是一切[]n n b a ,的唯一公共点.证毕.注： 这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明：（1）要求[]n n b a ,是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的，则定理不一定成立.如()⎪⎭⎫⎝⎛=n b a n n 1,0,.显然有 ⎪⎭⎫⎝⎛⊂⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 1,011,0 ， 但 ∅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞= 11,0n n .如果开区间套是严格包含：n n n n b b a a <<<++11，这时定理的结论还是成立的.（2） 若[][],2,1,,11=⊃++n b a b a n n n n ，但()0lim ≠-∞→n n n a b ，此时仍有1lim c a n n =+∞→，2lim c b n n =+∞→，但21c c <，于是对任意的c ，21c c c ≤≤，都有[] +∞=∈1,n n n b a c .全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集，则称该全序集是完备的，该定理刻划实数集是完备的.该定理也给出通过逐步缩小搜索范围，找出所求点的一种方法.推论 设[]{}n n b a ,为一区间套，[],2,1,=∈n b a n n ξ．则0,0>∃>∀N ε当N n >时，恒有[]()εξ,,U b a n n ⊂．用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论．3 数列的柯西收敛准则的证明 数列的柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0>∀ε，0>∃N ，当N n m >,时,有ε<-n m a a ．（后者又称为柯西（Cauchy ）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）证明 必要性设 A a n n =∞→lim ．由数列极限定义，0>∀ε，0>∃N ，当N n m >,时有2ε<-A a m ， 2ε<-A a n ，因而εεε=+<-+-≤-22A a A a a a n m n m ．充分性 按假设，0>∀ε，0>∃N ，使得对一切N n ≥有ε≤-n m a a ，即在区间[]εε+-N N a a ,内含有{}n a 中除有限项外的所有项． 据此，令21=ε，则1N ∃，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-21,2111N N a a 内含有{}n a 中除有限项外的所有项．记这个区间为[]11,βα．再令221=ε，则)(12N N >∃，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2221,2122N N a a 内含有{}n a 中除有限项外的所有项．记[]=22,βα⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2221,2122N N a a []11,βα，它也含有{}n a 中除有限项外的所有项， 且满足 []11,βα⊃[]22,βα及 2122≤-αβ．继续依次令 ,21,,212n=ε，照以上方法得一闭区间列[]{}n n βα,，其中每一个区间都含有{}n a 中除有限项外的所有项，且满足 []n n βα,⊃[]11,++n n βα， ,2,1=n ，()∞→→≤--n n n n 0211αβ即[]{}n n βα,是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数∈ξ[]n n βα, （ ,2,1=n ）．现在证明数ξ就是数列{}n a 的极限．事实上，由区间套定理的推论，,0>∃>∀N ε当N n >时，恒有[]()εξβα,,U n n ⊂．因此在()εξ;U 内含有{}n a 中除有限项外的所有项，这就证得ξ=∞→n n a lim ．二 聚点定理与有限覆盖定理 1 聚点定义2 设S 是无穷点集. 若在点ξ (未必属于S )的任何邻域内有S 的无穷多个点, 则称点ξ为S 的一个聚点.数集⎭⎬⎫⎩⎨⎧=n E 1有唯一聚点0, 但E ∉0；开区间)1,0(的全体聚点之集是闭区间[]1,0；设Q 是[]1,0中全体有理数所成之集, 易见Q 的聚点集是闭区间[]1,0. 2 聚点概念的另两个等价定义定义2' 对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即∅≠S U );(0εξ，则称点ξ为S 的一个聚点.定义2'' 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂ ，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点.3 以上三个定义互相等价的证明：证：定义2⇒定义2' 显然成立．定义2'⇒定义2'' 由定义2'，取11=ε，S U x );(101εξ∈∃；再取⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12,21min x ξε则S U x );(202εξ∈∃，且显然12x x ≠；……一般取⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1,21min n n x ξε则S U x n n );(0εξ∈∃，且显然n x 与11,,-n x x 互异；……无限地重复以上步骤，得到S 中各项互异的数列{}n x ，且由nx n n 1≤<-εξ，易见ξ=∞→n n x lim ．定义2''⇒定义2 ξ=∞→n n x lim ⇒0>∀ε，0>∃N ，当N n >时，必有);(εξU x n ∈，且因{}n x 各项互不相同，故);(εξU 内含有S中无限多个点．[证毕]4 聚点定理定理 7.2 (魏尔斯特拉斯聚点定理 Weierstrass ) 直线上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点ξ，即在ξ的任意小邻域内都含有S 中无限多个点（ξ本身可以属于S ，也可以不属于S ）．证 因为S 为有界无限点集,故存在0>M ,使得[]M M S ,-⊂,记[]11,b a []M M ,-=．现将[]11,b a 等分为两个子区间．因为S 为有界无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点，记此区间为[]22,b a ，则[]11,b a ⊃[]22,b a ，且=-22a b Ma b =-)(2111．再将[]22,b a 等分为两个子区间．则两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点，记此区间为[]33,b a ，则[]22,b a ⊃[]33,b a ，且=-33a b 2)(2122M a b =-．将此等分区间的手续无限地进行下去，得到一个闭区间列[]{}n n b a ,，它满足 []n n b a ,⊃[]11,++n n b a ， ,2,1=n ， ()∞→→≤--n M a b n n n 022即[]{}n n βα,是区间套，且每一个闭区间中都含有S 中无穷多个点． 由区间套定理，存在唯一的一个数∈ξ[]n n b a , （ ,2,1=n ）．于是由区间套定理的推论，0,0>∃>∀N ε当N n >时，恒有[]()εξ,,U b a n n ⊂．从而()εξ,U 内含有S 中无穷多个点，按定义2 ，ξ为S 的一个聚点.5 致密性定理.推论：任一有界数列必有收敛子列.证 设{}n x 为有界数列．若{}n x 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的．若{}n x 中不含有无限多个相等的项，则{}n x 在数轴上对应的点集必为有 界无限点集，故由聚点定理，点集{}n x 至少有一个聚点，记为ξ．于是按定 义2'',存在{}n x 的一个收敛的子列以ξ为极限.作为致密性定理的应用,我们用它重证数列的柯西收敛准则的充分性 证明 充分性由已知条件：0>∀ε，0>∃N ，当N n m >,时,有ε<-n m a a ．欲证{}n a 收敛．首先证{}n a 有界． 取1=ε，则N ∃，N m n >,有1<-m n a a特别地，N n >时11<-+N n a a ⇒ 11+<+N n a a 设 {}1,,,,m ax 121+=+N N a a a a M ，则n ∀，M a n ≤ 再由致密性定理知，{}n a 有收敛子列{}Kna ，设A a K n k =∞→lim.对任给0>ε，存在0>K ,当K k n m >,,时,同时有2ε<-m n a a ，和 2ε<-A a kn因而当取 k n m =()K k >≥时,得到εεε=+<-+-≤-22A a a a A a k k n n n n故 A a n n =∞→lim .6 海涅–博雷尔(Heine –Borel) 有限覆盖定理: 1. 定义(覆盖 )设S 为数轴上的点集 , H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如()βα,的开区间）. 若S 中任何一点都含在H 中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖,或称H 覆盖S ．若H 中开区间的个数是无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）．例 ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=1,023,2x x x M 覆盖了区间()1,0, 但不能覆盖[]1,0；()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=b a x x b x x b x H ,2,2 覆盖 ),[b a , 但不能覆盖],[b a .2． 海涅–博雷尔Heine –Borel 有限复盖定理:定理7.3 (有限覆盖定理) 设(){}βα,=H 是闭区间[]b a ,的一个无限开覆盖，即[]b a ,中每一点都含于H 中至少一个开区间()βα,内．则在H 中必存在有限个开区间，它们构成[]b a ,的一个有限开覆盖．证明 （用区间套定理证明有限覆盖定理）用反证法设H 为闭区间[]b a ,的一个无限开覆盖．假设定理的结论不成立：即[]b a ,不能用H 中有限个开区间来覆盖．对[]b a ,采用逐次二等分法构造区间套[]{}n n b a ,，[]n n b a ,的选择法则：取“不能用H 中有限个开区间来覆盖”的那一半．由区间套定理， []n n b a ,∈∃ξ ,2,1=n ． 因为[]b a ,∈ξ,所以()H ∈∃βα, 使 ()βαξ,∈记{}0,m in >--=ξβαξε由推论，当n 足够大时， 有[]()()βαεξ,,,⊂⊂U b a n n这表示[]n n b a ,用H 中一个开区间()βα,就能覆盖，与其选择法则相违背．所以[]b a ,必能用H 中有限个开区间来覆盖．说明 当[]b a ,改为),(b a 时，或者H 不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定成立．例如：1) H ： ,21,1,1,12,43,21,32,0⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛n n nn n nn n ． H是开区间()1,0的一个无限开覆盖，但不能由此产生()1,0的有限覆盖．2) ∙H ：),1,1[,),32,21[),21,0[),3,1[+-n n nn ．∙H是[]2,0的一个无限覆盖，但不是开覆盖，由此也无法产生[]2,0的有限覆盖． 三 实数完备性基本定理的等价性1 实数完备性基本定理的等价性至此,我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即 定理1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与它等价的还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6．定理2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛．定理3 (区间套定理） 设[]{}n n b a ,为一区间套： 1）[][],2,1,,11=⊃++n b a b a n n n n2）()0lim =-∞→n n n a b ．则存在唯一一点[],2,1,=∈n b a n n ξ定理4 (有限覆盖定理) 设(){}βα,=H 是闭区间[]b a ,的一个无限开覆盖，即[]b a ,中每一点都含于H 中至少一个开区间()βα,内．则在H 中必存在有限个开区间，它们构成[]b a ,的一个有限开覆盖．定理5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点ξ，即在ξ的任意小邻域内都含有S 中无限多个点（ξ本身可以属于S ，也可以不属于S ）．定理6 (柯西准则) 数列{}n a 收敛的充要条件是：N ∈∃>∀N ,0ε，只要N m n >, 恒有ε<-n m a a ．（后者又称为柯西（Cauchy ）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具．2 实数完备性基本定理等价性的证明证明若干个命题等价的一般方法.即循环论证，当然也可以用其他的方法进行，下面我们按循环论证来进行实数完备性基本定理等价性的证明：定理1（确界原理）⇒ 定理2 (单调有界定理)⇒ 定理3 (区间套定理） ⇒ 定理4 (有限覆盖定理) ⇒定理5 (聚点定理) ⇒定理6 (柯西准则)⇒定理1（确界原理）其中 定理1（确界原理）⇒ 定理2 (单调有界定理)，定理2 (单调有界定理)⇒ 定理3 (区间套定理）与定理3 (区间套定理） ⇒ 定理4 (有限覆盖定理)分别见定理2.9, 7.1与7.3； 定理4 (有限覆盖定理) ⇒定理5 (聚点定理)和定理5 (聚点定理) ⇒定理6 (柯西准则)⇒定理1（确界原理）作为练习自证；而定理6 (柯西准则)⇒定理1（确界原理）见下例.例１ 用“数列柯西收敛准则” 证明“确界原理” ：即 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设S 为非空有上界数集 . 由实数的阿基米德性,对任何正数α ,存在整数αk ,使得αλααk =为S 的上界,而()ααλαα1-=-k 不是S 的上界,即存在S ∈'α,使得()ααα1->'k .分别取n1=α, ,2,1=n ,则对每一个正整数n ,存在相应的n λ,使得n λ为S 的上界,而nn 1-λ不是S 的上界,故存在S ∈'α,使得nn 1->'λα.又对正整数m ，m λ是S 的上界，故有αλ'≥m .再由nn 1->'λα得nm n 1<-λλ；同理有mn m 1<-λλ.从而得⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-n m n m 1,1max λλ.于是,对任给的0>ε,存在0>N ,使得当N n m >,时有ελλ<-m n . 由柯西收敛准则,知数列{}n λ收敛.记λλ=∞→n n lim .下面证明λ就是S 的上确界.首先,对任何S ∈α和正整数n 有n λα≤, 由λλ=∞→n n lim 得λα≤,即λ是S 的上界.其次, 对任何0>δ,由()∞→→nn1及λλ=∞→n n lim ,对充分大的n 同时有21δ<n,2δλλ->n .又因nn 1-λ不是S 的上界, 故存在S ∈'α,使得nn 1->'λα.再结合21δ<n,2δλλ->n 得 δλδδλλα-=-->->'221nn .这说明λ为S 的上确界.同理可证：非空有下界数集必有下确界. 作业 P168 1，2，3，4，5，6，7.第二节 闭区间上连续函数性质的证明在本节中，将利用关于实数完备性的基本定理来证明第四章第二节中给出的闭区间上连续函数的基本性质 一 有界性定理若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上有界 证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 参阅[3]P106—107证法 二 ( 用致密性定理). 反证法.证明： 如若不然，)(x f 在],[b a 上无界，N n ∈∀，],[b a x n ∈∃，使得()n x f n >，对于序列{}n x ，它有上下界b x a n ≤≤，致密性定理告诉我们kn x ∃使得],[0b a x x kn ∈→，由)(x f 在0x 连续，及()knnx f k>有()()+∞==∞→knk x f x f lim 0，矛盾.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).证明：（应用有限覆盖定理） 由连续函数的局部有界性（定理4.2）对每一点],[b a x ∈'都存在邻域()x x U ''δ,及正数x M '使x Mx f '≤)(,()],[,b a x U x x ''∈δ考虑开区间集 ){}],[,b a x x U H x ∈''='δ显然H 是],[b a 的一个无限开覆盖，由有限开覆盖定理，存在H 的一个有限点集(){}ki b a x x U Hi x i i ,,2,1],[, =∈''='*δ覆盖了],[b a ,且存在正整数k M M M ,,21使对一切()],[,b a x U x ix i ''∈δ有i M x f ≤)( k i ,,2,1 =，令i ki M M ≤≤=1max 则对],[b a x ∈∀，x 必属于某()ix i x U ''δ,，M M x f i ≤≤⇒)(，即证得)(x f 在],[b a 上有上界． 二 最大、最小值定理若函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续, 则)(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值.证 ( 用确界原理 ) ( 只证取得最大值 )令{})(sup x f M bx a ≤≤=，+∞<M , 如果)(x f 达不到M ，则恒有M x f <)(.考虑函数)(1)(x f M x g -=，则)(x g 在] , [b a 上连续，因而有界，设G 是)(x g 的一个上界，则Gx f M x g ≤-=<)(1)(0， ],[b a x ∈从而GM x f 1)(-≤，],[b a x ∈这与M 是上确界矛盾，因此],[b a ∈∃ξ，使得M f =)(ξ. 类似地可以证明达到下确界. 三 介值性定理设)(x f 在闭区间] , [b a 上连续,且)()(b f a f ≠若c 为介于)(a f 与)(b f 之间的任何实数)()(b f c a f <<或)()(b f c a f >>，则存在),(0b a x ∈使c x f =)(0．证法一 (应用确界定理)不妨设)()(b f c a f <<，令c x f x g -=)()(则)(x g 也是] , [b a 上连续函数,0)(<a g ，0)(>b g ,于是定理的结论转为: 存在),(0b a x ∈，使0)(0=x g 这个简化的情形称为根的存在性定理(定理4.7的推论)记{}],[,0)(b a x x g x E ∈>=，显然E 为非空有界数集()E b B A E∈⊂且],,[故有确界定理, E 有下确界,记E x inf 0=.因0)(<a g ，0)(>b g 由连续函数的局部保号性, 0>∃δ，使在),[δ+a a 内0)(<x g ，在],(b b δ-内0)(>x g ．由此易见a x ≠0，b x ≠0，即),(0b a x ∈． 下证)(0=x g ．倘若0)(0≠x g ，不妨设0)(>x g ，则又由局部保号性,存在()()),(,0b a x U ⊂η使在其内0)(>x g ，特别有Ex x g ∈-⇒>⎪⎭⎫ ⎝⎛-2200ηη，但此与E x inf 0=矛盾，则必有0)(0=x g ．几何解释： 直线c y =与曲线)(x f y =相交.把x 轴平移到c y =，则问题成为零点存在问题.这启发我们想办法作一个辅助函数，把待证问题转化为零点存在问题.辅助函数如何作？① 从几何上，x x =',c y y -='启示我们作函数c x f x g -=)()(；② 从结果c x f =)(0着手.利用零点定理证：令c x f x g -=)()(，则)(x g 在] , [b a 上连续，往下即转化为零点存在问题.证法二 ( 用区间套定理 ) .这里我们证明与介值性定理等价的“零点定理 ”.命题（零点存在定理或根的存在性定理）设函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续，即()],[)(b a C x f ∈，且)(a f 与)(b f 异号，则在),(b a 内至少存在一点0x 使得0)(0=x f .即方程0)(=x f 在),(b a 内至少存在一个实根.证明 设0)(<a f ，0)(>b f .将] , [b a 二等分为] , [c a 、] , [b c ，若0)(=c f 则c x =0即为所求；若0)(≠c f ，当0)(>c f 时取] , [c a 否则取] , [b c ，将所取区间记为] , [11b a ，从而有0)(1<a f ，0)(1>b f .如此继续，如某一次中点i c 有0)(=i c f 终止（ic 即为所求）；否则得[]{}n n b a ,满足：（1） ⊃⊃⊃⊃],[] , [],[11n n b a b a b a ；（2） 02lim)(lim =-=-∞→∞→nn n n n a b a b ；（3） 0)(<n a f ，0)(>n b f由闭区间套定理知，∃唯一的],[0n n b a x ∈， ,2,1=n ，且0lim lim x b a n n n n ==∞→∞→由)(x f 在0x 处的连续性及极限的保号性得()()0lim 0≤=∞→x f a f n n ，()()0lim 0≥=∞→x f b f n n ，0)(0=⇒x f这种先证特殊、再作辅助函数化一般为特殊，最后证明一般的方法是处理数学问题的常用方法，以后会经常用到.四 一致连续性定理若函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续, 则)(x f 在] , [b a 上一致连续. 证法 一 ( 用有限复盖定理) .证明: 由)(x f 在闭区间] , [b a 上连续性， 0>∀ε，对每一点] , [b a x ∈，都存在0>x δ，使当()x x U x δ,∈'时，有()()2ε<-'x f x f (2)考虑开区间集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫⎝⎛=],[2,b a x x U H x δ显然H 是] , [b a 的一个开覆盖，由有限覆盖定理,存在H 的一个有限子集⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*k i x U Hix i ,,2,12, δ覆盖了] , [b a . 记02min 1>⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤≤i ki δδ对],[,b a x x ∈'''∀,δ<''-'x x ，x '必属于*H 中某开区间，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,i x ix U δ，即2ixi x x δ<-'，此时有iiiix xxxi i x x x x x x δδδδδ=+≤+<-'+'-''≤-''222故由（2）式同时有 2)()(ε<-'i x f x f 和2)()(ε<-''i x f x f由此得 ε<''-')()(x f x f .所以)(x f 在] , [b a 上一致连续.证法二 ( 用致密性定理).证明： 如果不然，)(x f 在] , [b a 上不一致连续，0>∃ε，0>∀δ，],[,b a x x ∈'''∃，δ<''-'x x ，而0)()(ε≥''-'x f x f .取n1=δ，（n 为正整数）],[,b a x x n n∈'''∃，nx x n n 1<''-'，而0)()(ε≥''-'n nx f x f ，当n 取遍所有正整数时，得数列{}n x '与{}],[b a x n ⊂''. 由致密性定理，存在{}nx '的收敛子序列{}kn x ',设)(],[0∞→∈→'k b a x x kn ， 而由kn nn x x kk1<''-'，可推出)(000∞→→-'+''-'≤-''k x x x x x x kkkkn n n n又得)(0∞→→''k x x k n .再由)(x f 在0x 连续，在0)()(ε≥''-'kk n n x f x f 中令∞→k ，得 ()()000)()(lim 0ε≥''-'=-=∞→kk n n k x f x f x f x f ， 与00>ε矛盾.所以)(x f 在] , [b a 上一致连续.作业 P172 1，2，3，4， 5.第三节 上极限和下极限一 上（下）极限的定义对于数列，我们最关心的是其收敛性；如果不收敛，我们希望它有收敛的子列，这个愿望往往可以实现.例如：(){}n 1-.一般地，数列{}n x ，若{}k n x ：a x k n → ()∞→k ，则称a 是数列{}n x 的一个极限点.如点例(){}n1-有2个极限点.数列{}n x 的最大（最小）极限点如果存在，则称为该数列的上（下）极限，并记为n n x ∞→lim （n n x ∞→lim ）.如1)1(lim =-∞→n n ，1)1(lim -=-∞→nn . 例1 求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧3sinπn 的上、下极限 例2 设[]n n n x )1(1-+=，求上、下极限.二 上（下）极限的存在性下面定理指出，对任何数列{}n x ，它的上（下）极限必定存在.定理1 每个数列{}n x 的上极限和下极限必定唯一，且n n x ∞→lim ＝{}k nk n n n x x x ≥∞→+=sup lim ,,sup 1 ， n n x ∞→lim ＝{}k nk n n n x x x ≥∞→+=inf lim ,,inf1 . 三 上下极限和极限的关系≥∞→n n x lim n n x ∞→lim . 定理2 {}n x 存在极限则{}n x 的上极限和下极限相等， 即n n x ∞→lim ＝n n x ∞→lim ＝n n x ∞→lim .四 上（下）极限的运算普通的极限运算公式对上（下）极限不再成立.例如： 2)1(lim )1(lim 0])1()1[(lim 11=-+-<=-+-+∞→∞→+∞→n n n n n n n . 一般地有：n n n n n n n y x y x ∞→∞→∞→+≤+lim lim )(lim ，当{}n x 收敛时，等号成立. 作业 p175 1，2，3.。

闭区间连续函数的性质
有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

1、有界性
所谓有界就是指，存有一个正数m，使对于任一x∈[a,b]，都存有|f(x)|≤m。

证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。

2、最值性
所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。

最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反
向即可。

3、多值性
这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：
（1）零点定理。

也就是当f(x)在两端点处的函数值a、b异号时（此时存有0在a和
b之间），在开区间(a,b)上必存有至少一点ξ，并使f(ξ)=0。

（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。

闭区间上的连续函数在该区间上一致已连续。

所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间i上任
意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在i上是一致连续的。

对于连续性，在自然界中存有bai许多现象，例如气温du的变化，植物的`生长等都
就是已连续地zhi变化着的。

这种现象在函dao数关系上的充分反映，就是函数的连续性。

直观地说道，如果一个函数的图像你可以一笔画出，整个过程不必抬笔，那么这个函数就
是已连续的。