高数闭区间上连续函数的性质教案

第17、18课时：【教学目的】1、 掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质；2、 熟练掌握零点定理及其应用。

【教学重点】1、介值性定理及其应用；2、零点定理及其应用。

【教学难点】介值性定理及其应用§1. 10 闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值与最小值最大值与最小值: 对于在区间I 上有定义的函数f (x ), 如果有x 0∈I , 使得对于任一x ∈I 都有f (x )≤f (x 0 ) (f (x )≥f (x 0 )),则称f (x 0 )是函数f (x )在区间I 上的最大值（最小值）.例如, 函数f (x )=1+sin x 在区间[0, 2π]上有最大值2和最小值0. 又如, 函数f (x )=sgn x 在区间(-∞, +∞)内有最大值 1和最小值-1. 在开区间(0, +∞)内, sgn x 的最大值和最小值都是1. 但函数f (x )=x 在开区间(a , b )内既无最大值又无最小值.定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值.定理1说明, 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 那么至少有一点ξ1∈[a , b ], 使f (ξ1)是f (x )在[a , b ]上的最大值, 又至少有一点ξ 2∈[a , b ], 使f (ξ 2)是f (x )在[a , b ]上的最小值.注意: 如果函数在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值.例: 在开区间(a , b ) 考察函数y =x .又如, 如图所示的函数在闭区间[0, 2]上无最大值和最小值.⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-=<≤+-==21 31 110 1)(x x x x x x f y .定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.二、零点定理与介值定理零点: 如果x 0 使f (x 0 )=0, 则x 0 称为函数f (x )的零点.定理3（零点定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且f (a )与f (b )异号, 那么在开区间(a , b )内至少有一点ξ 使f (ξ)=0.定理4（介值定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值f (a )=A 及f (b )=B ,那么,对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=C.定理4'（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),那么,对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=C.证:设ϕ(x)=f(x)-C,则ϕ(x)在闭区间[a,b]上连续,且ϕ(a)=A-C与ϕ(b)=B-C异号.根据零点定理,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得ϕ(ξ)=0 (a<ξ<b).但ϕ(ξ)=f(ξ)-C,因此由上式即得f(ξ)=C (a<ξ<b).定理4 的几何意义:连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少交于一点.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.例1.证明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根.证:函数f(x)= x 3-4x 2+1在闭区间[0, 1]上连续,又f(0)=1>0,f(1)=-2<0.根据零点定理,在(0, 1)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=0,即ξ 3-4ξ 2+1=0 (0<ξ<1).这等式说明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根是ξ.。

高数闭区间上连续函数的性质教案一、教学目标：1. 让学生理解闭区间上连续函数的概念。

2. 让学生掌握闭区间上连续函数的基本性质。

3. 让学生能够运用闭区间上连续函数的性质解决问题。

二、教学内容：1. 闭区间上连续函数的定义。

2. 闭区间上连续函数的基本性质。

3. 闭区间上连续函数的例子。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：闭区间上连续函数的定义及其基本性质。

2. 教学难点：闭区间上连续函数的证明及其应用。

四、教学方法：1. 采用讲解法，系统地介绍闭区间上连续函数的概念和性质。

2. 采用案例分析法，通过具体的例子让学生理解闭区间上连续函数的性质。

3. 采用问题驱动法，引导学生运用闭区间上连续函数的性质解决问题。

五、教学安排：1. 第一课时：介绍闭区间上连续函数的定义。

2. 第二课时：介绍闭区间上连续函数的基本性质。

3. 第三课时：介绍闭区间上连续函数的例子。

4. 第四课时：讲解闭区间上连续函数的证明方法。

5. 第五课时：运用闭区间上连续函数的性质解决问题。

六、教学内容：1. 闭区间上连续函数的介值定理（Bolzano定理）。

2. 闭区间上连续函数的极值存在定理。

七、教学重点与难点：1. 教学重点：介值定理和极值存在定理的证明及其应用。

2. 教学难点：介值定理和极值存在定理的证明过程中的逻辑推理。

八、教学方法：1. 采用证明法，详细讲解介值定理和极值存在定理的证明过程。

2. 采用实例分析法，通过具体的例子让学生理解介值定理和极值存在定理的应用。

3. 采用互动讨论法，引导学生探讨闭区间上连续函数的性质及其与其他数学概念的联系。

九、教学安排：1. 第六课时：介绍闭区间上连续函数的介值定理，讲解定理的证明及应用。

2. 第七课时：介绍闭区间上连续函数的极值存在定理，讲解定理的证明及应用。

3. 第八课时：通过实例分析，让学生更好地理解介值定理和极值存在定理的实际应用。

4. 第九课时：开展小组讨论，探讨闭区间上连续函数的性质及其与其他数学概念的联系。

高数闭区间上连续函数的性质教案教案章节一：引言与预备知识1. 教学目标：使学生了解闭区间上连续函数的概念，掌握一些基本的预备知识，如集合、函数、极限等。

2. 教学内容：(1) 集合的基本概念，如集合的表示方法、集合的运算等。

(2) 函数的基本概念，如函数的定义、函数的表示方法、函数的性质等。

(3) 极限的基本概念，如极限的定义、极限的性质、极限的计算等。

3. 教学方法：采用讲解、例题、讨论等方式进行教学。

4. 教学评估：通过课堂提问、作业、小测验等方式评估学生的学习情况。

教案章节二：闭区间上连续函数的定义1. 教学目标：使学生了解闭区间上连续函数的定义，并能运用该定义判断函数的连续性。

2. 教学内容：(1) 闭区间上连续函数的定义。

(2) 连续函数的性质，如单调性、周期性等。

3. 教学方法：采用讲解、例题、讨论等方式进行教学。

4. 教学评估：通过课堂提问、作业、小测验等方式评估学生的学习情况。

教案章节三：闭区间上连续函数的图像1. 教学目标：使学生了解闭区间上连续函数的图像特征，并能运用这些特征分析函数的性质。

2. 教学内容：(1) 连续函数的图像特征，如连续函数的单调区间、极值点等。

(2) 连续函数的图像绘制方法，如解析法、数值法等。

3. 教学方法：采用讲解、例题、讨论等方式进行教学。

4. 教学评估：通过课堂提问、作业、小测验等方式评估学生的学习情况。

教案章节四：闭区间上连续函数的极限1. 教学目标：使学生了解闭区间上连续函数的极限概念，并能运用极限的性质计算极限。

2. 教学内容：(1) 闭区间上连续函数的极限定义。

(2) 极限的性质，如极限的存在性、唯一性、保号性等。

(3) 极限的计算方法，如直接计算法、夹逼定理法、单调有界定理法等。

3. 教学方法：采用讲解、例题、讨论等方式进行教学。

4. 教学评估：通过课堂提问、作业、小测验等方式评估学生的学习情况。

教案章节五：闭区间上连续函数的连续性1. 教学目标：使学生了解闭区间上连续函数的连续性概念，并能运用连续性的性质判断函数的连续性。