高三数学附加题集中训练(二项式定理、数学归纳法等)

3个附加题专项强化练(三)二项式定理、数学归纳法(理科)*1.已知函数 f o (x)=x(sin x+cos x),设 f n (x)为 f n —i (x)的导数，nCN. ⑴求f i (x), f 2(x)的表达式；(2)写出f n (x)的表达式，并用数学归纳法证明. 解：(1)因为f n (x)为f n —i (x)的导数， 所以 f i (x) =f 0,( x)=(sin x+cos x)+x(cos x —sin x) = (x+1)cos x+ (x- 1)( - sin x),同理，f 2(x) = — (x+2)sin x —(x —2)cos x.(2)由(1)得 f 3(x) =f 2' ( x) = — (x+3)cos x+(x —3)sin x, 把f 1(x), f 2(x), f 3( x)分别改写为兀 兀f 1(x) = (x+1)sin x + - +(x —1)cos x + -2-,f 2( x) = (x+ 2)sin x + -2- + (x — 2)cos x+ -2- , f 3(x) = (x+3)sin x+ ^2- + (x- 3)cos x+^2-,猜测 f n (x) = (x+n)sin x+ n 2L +(x —n)cos x + n-21.(*) 卜面用数学归纳法证明上述等式. (i )当n= 1时，由(1)知，等式(*)成立.(ii)假设当n=k(kCN *, k>1)时，等式(*)成立，即 f k (x) = (x+k)sin x + ~~ + (x-k)cos x + ^2 则当n=k+ 1时, f k+ 1( x) = f k ' ( x)= (x + k+1)cos x+容+[x —(k+1)] • k +1 k + 1=[x + ( k+1)]sin x+ -2-兀 +[x —(k+1)] , cos x+ -2-兀， 即当n=k+ 1时，等式(*)成立.综上所述，当 n€ 2时，f n (x) = (x+n ) • sin x + ^2^+(x— n)cos x + ^^ 成立.=sin x ++ (x+ k)cosx+^2^ + cosx+ +(x —k) —sin— sin x +^2-2.设1,2,3 ,…，n 的一个排列是 a1, a2, ♦,a n,若a = i 称i 为不动点(1 < i < n).(1)求1,2,3,4,5 的排列中恰有两个不动点的排列个数;(2)记1,2,3 ,…，n 的排列中恰有k 个不动点的排列个数为 P n (k),①求 P n (k)；②kR(k).解：(1)1,2,3,4,5 的排列中恰有两个数不动，即为有两个a = i,另三个a iw i,而三个数没有不动点的排列有 2个，故1,2,3,4,5 的排列中恰有两个不动点的排列个数为2c 5 =20.(2)①在1,2,3 ,…，n 的排列中分成这样 n+1类，有0个不动点，1个不动点，2个不 动点，…，n 个不动点，n故 R(k) = n!k=0②由题设可知 R(k ) = C k Pn k (0)及组合恒等式kC n= nd11得nn-1 k — 1 k=n C niR-k(0) = n C n 1P (n 1) k (0) =n!k=1k=02n3.已知(x 2+ 2x + 4)n = a 0+a 1(x+ 1) +a 2(x+ 1)2+…+ a 2n (x+ 1)2n(nC N *),令 T= ia i .i =1(1)求a 0和T n 关于n 的表达式;2T n o ......................................(2)试比较 M 与(n — 1)a 0+2n 的大小，并证明你的结论.解：(1)在(x 2+2x+ 4)n=a °+a 1(x+1)+&(x+1)2+…+ a 2n (x+1)2n 中，令 x=—1,可 得 a 0=3n.^(x + 2x+ 4) =a °+a 1(x+1) + &(x+1) +…+ &n (x+ 1),两边同时求导得， n(2x+ 2)( x 2+ 2x+ 4)n 1 = a- 2a 2(x+ 1) + 3a 3(x+ 1)2+ …+ 2na 2n (x+ 1)12n令 x = 0,则 ia i = 2nx4nT,所以 T n= 2nx4n -1.2T n r n n o(2)要比较 N 与(n — 1)a 0+2n 的大小，即比较 4与(n — 1)3 +2n 的大小. 当 n = 1 时，4n=4>(n —1)3n+2n 2=2； 当 n = 2 或 3 或 4 时，4n<(n —1)3 n+2n 2; 当 n = 5 时，4n >(n- 1)3n +2n 2. 猜想：当 n>5 时，4n >(n —1)3n+2n 2. 卜面用数学归纳法证明.kkR(k)=kGR k (0)=k=1k=1nk-1 _n 。

二项式定理1.二项式定理：)*()(011111100N n b a C b a C b a C b a C b a n n n n n n n nn n n ∈++⋅⋅⋅++=+---. 2.二项式定理的说明：（1）()n a b +的二项展开式是严格按照a 的降次幂（指数从n 逐项减到0）、b 的升次幂（数从0逐项减到n ）排列的，其顺序不能更改，且各项关于a 、b 的指数之和等于n 。

所以()n a b +与()n b a +的二项展开式是不同的。

（3）二项式项数共有(1)n +项，是关于a 与b 的齐次多项式。

（4）二项式系数：展开式中各项的系数为1-r n C ，1,...,3,2,1+=n r . （5）二项式通项：展开式中的第r 项记作r T ，）（1,...,3,2,1111+==--+-n r b a C T r r n r n r ，共有(1)n +项。

（6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

如：nn r r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ）（）（）（）（）（----n r 2221110+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=---的 第2项的二次项系数为1n C ，而第2项的系数为1n C -.（7）常见二项式：令1,,a b x ==)*()1(111100N n x C x C x C x C x nn n n n n nn n ∈++⋅⋅⋅++=+--； 令1,,a b x ==-)*()1()1(221100N n x C x C x C x C x n n n n n nn n ∈-+⋅⋅⋅++-=-. 3.二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等：即kn n k n n n n n n n C C C C C C --=⋅⋅⋅==,,,110 .（2）二项式系数和：令1a b ==，则二项式系数的和为：n n n n n n n C C C C 2110=++⋅⋅⋅++-，变形有：12321-=+⋅⋅⋅+++n n n n n n C C C C . （3）15314202-=⋅+⋅⋅+++=⋅+⋅⋅+++n n n nn n n C C C C C C ； （4）求奇数项的系数和与偶数项的系数和： 已知n n n x a x a x a x a a x a 22332102...)(2++++=+，则奇数项的系数和：n a a a a 2420...+++=_______________________________； 偶数项的系数和：12531...-+++n a a a a =_______________________________； （5）二项式系数的最大项：如果二项式的指数n 是偶数时，则中间项为第）（12+n项的二项式系数2nn C 取得最大值；如果二项式的指数n 是奇数时，则中间项有两项，分别为第21+n 项和第23+n 项，对应的二项式系数12n n C -，12n nC+同时取得最大值。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！6.3 二项式定理（精练）【题组一 二项式定理展开式】1．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州）计算112233222n n n nn n n n C C C C ---++++L 等于（ ）A ．3nB ．23n ´C ．31n -D ．32n n-【答案】D【解析】原式可变为（02nn C +n 11n 22n 33n n n n n 2C 2C 2C C ---++++L ）-02n n C =(21)232n n n n+-=-选项D.2．（2021·江苏无锡市））设*n N Î，化简12233110101010nnn n n n C C C C +×+×+×++×=L ______.【答案】11n【解析】容易知12233110101010nnn n n n C C C C +×+×+×++×=L ()11011nn +=.故答案为：11 n .3．（2021·上海市）已知*n ÎN ，若1223211222240n n n n n n n C C C C ---+++++=L ，则n =________.【答案】4【解析】()122321101221222222212n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+++×××++=+++×××+-()()11121314022nn éù=+-=-=ëû4n \=故答案为：44．（2018·江苏无锡市）求值211222232121222n n n n n C C ------×+×22222121(1)2(1)n n n n C ----+××××××+-×+-=__________．【答案】1【解析】通项展开式中223212n n C --×的1,a 2b =-=，故()()2221211222232221212121222121(21)n n n n n n n n n n C C C -----------×+×+××××××+-×+-=-=1【题组二 二项式指定项的系数与二项式系数】1.（2020·湖北高二）7展开式中含32x -的项是（ ）A ．第8项B ．第7项C ．第6项D ．第5项【答案】C【解析】7展开式的通项公式为：()21172722217713133rr r r r rr T C x x C x --+æöæö=××-×=-×××ç÷ç÷èøèø；令73522r r -=-Þ=；故展开式中含32x -的项是第6项.故选：C.2．（2020·安徽合肥市）二项式()20201x -展开式中的第2020项是（ ）A ．1B ．20192020x C ．20192020x -D ．2020x 【答案】C【解析】由二项展开式()20201x -，可得展开式的通项为()12020rrr T C x +=-，所以展开式中第2020项为()201920192019202020202020T C x x =-=-.故选：C .3．（2020·常州市新桥高级中学高二期中）二项式61x ö+÷ø的展开式中，常数项为________.【答案】【解析】61x ö+÷ø的展开式的通项公式为)66621661rrrrr r r T C C x x ---+æö=××=××ç÷èø，令620r -=，可得3r =，所以展开式的常数项为336C ×=.4（2020·全国高二）已知næçè在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）10n =；（2）454；（3）2454x ，638-，245256x.【解析】（1）næçè的展开式的通项为233311122rrn r r n rr r r n n T C x x C x ----+æöæö=-=-ç÷ç÷èøèø，因为第6项为常数项，所以=5r 时，有203n r-=，解得10n =．（2）令223n r -=，得()()116106222r n =-=´-=，所以含2x 的项的系数为221014524C æö-=ç÷èø．（3）根据通项公式与题意得1023010r Z r r Z-ìÎïíïÎïî，令()1023r k k Z -=Î，则1023r k -=，即352r k =-．r Z Î，∴k 应为偶数．又010r ££，∴k 可取2，0，-2，即r 可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为2221012C x æö-ç÷èø，551012C æö-ç÷èø，8821012C x -æö-ç÷èø，即2454x ，638-，245256x ．【题组三 多项式指定项系数或二项式系数】1．（2021·郏县）在521x x æö+-ç÷èø的展开式中，2x 项的系数为（ ）A ．50-B ．30-C ．30D ．50【答案】B【解析】521x x æö+-ç÷èø表示5个因式21x x æö+-ç÷èø的乘积，在这5个因式中，有2个因式都选x -，其余的3个因式都选1，相乘可得含2x 的项；或者有3个因式选x -，有1个因式选1x，1个因式选1，相乘可得含2x 的项，故2x 项的系数为()231552230C C C +-××=-，故选B ．2．（2021·全国）()6232x x ++展开式中x 的系数为（ ）A ．92B ．576C ．192D ．384【答案】B【解析】()6232x x ++展开式中含x 的项为15565(3)26332576C x C x x ××=´´=，即x 的系数为576；故选B.3．（2020·河南鹤壁市）6()(2)x y x y z -++的展开式中，232x y z 的系数为（ ）A ．30-B ．120C ．240D ．420【答案】B【解析】()22x y z éù++ëû展开式中含2z 项为()()442262,2C x y z x y ++展开式中3xy 项的系数为332242,C x y ´项的系数为()()62242,2C x y x y z ´\-++展开式中232x y z 的系数为233222646422480360120C C C C ´-´=-=，故选B.4．（2020·新疆高二期末）代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是________（用数字作答）【答案】3【解析】5211x æö-ç÷èø的通项公式为521015521()(1)(1)r r r r r r r T C C x x --+=-=-.令2102r -=-，得4r =；令2100r -=，得=5r .∴常数项为445555(1)2(1)523C C -+-=-=故答案为3.5．（2020·民勤县第一中学高二期末）()3621x x-+的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）【答案】180【解析】62x ö+÷ø的展开式中的通项公式 363216622kkkkk k k T C C x x --+æö==××ç÷èø，而()666332221)x x x x x =-ööö-+÷÷÷øøø分别令3332k -=-，3302k -=，解得4k =，或2k =．∴()6321x x ö-+÷ø的展开式中的常数项44226622180C C -=．故答案为：180．6．（2020·全国高二课时练习）求65(1)(21)x y ++的展开式中42x y 的系数 .【答案】600【解析】因为65(1)(21)x y ++的展开式中含42x y 的项为443265(2)C x C y ，所以其系数为432652600C C =.故答案为：6007．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数是________.【答案】1560【解析】由题意，()()2555(32)12x x x x =++++，因为()51x +的展开式的通项公式为15r rr T C x +=，()52x +的展开式的通项公式为5152k k k k T C x -+=，所以25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数是3521412332555555552222C C C C C C C C +++320800*********=+++=.故答案为：1560.8．（2020·全国高二课时练习）已知()2612x x x a æö-ç÷èø+的展开式中2x 的系数是10-，求实数a 的值 .【答案】2【解析】由61x x æö-ç÷èø的展开式的通项公式为6621661(1)(0,1,2,,6)rr r r r r r T C x C x r x --+æö=-=-=ç÷èøL ，令620r -=，可得3r =，令622r -=，可得2r =，所以()2612x x x a æö-ç÷èø+的展开式中2x 的系数为3322662(1)(1)10C a C ´-´+´-´=-，解得2a =.故答案为：2.【题组四 二项式定理的性质】1．（2020·安徽省六安中学高二期中）在12nx ö-÷ø的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中5x 的系数为（ ）A ．7-B ．358-C ．358D ．7【答案】D【解析】因为在12n x ö-÷ø的展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以8n =所以812x ö-÷ø的展开式的通项88218811,0,1,2,,822rrrr r r r T C x C x r +-+æöæö=-=-=ç÷ç÷èøèøL 令852r +=，得2r =所以展开式中5x 的系数为228172C æö-=ç÷èø故选：D2．（2020·利川市第五中学高二期末）若1nx x æö-ç÷èø的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含8x 项的系数是（ ）A ．132B ．132-C ．66-D ．66【答案】D【解析】因为1nx x æö-ç÷èø展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以n 为偶数，展开式有13项，12n =，所以二项式展开式的通项为12122112121(1)rr r rr rr T C x C x x --+æö=-=-ç÷èø由1228r -=得2r =，所以展开式中含8x 项的系数为21266C =.故选：D3．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高二期中）22nx ö÷ø展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．90C ．-180D ．-90【答案】A【解析】Q 22nx ö÷ø展开式中只有第六项的二项式系数最大，10n \=，故22nx ö-÷ø展开式的通项公式为()5105211010222rrr r rrr T C C x x --+æö=×-=-×ç÷èø，令5502r -=，解得2r =，所以展开式中的常数项为22102180C ´=.故选：A4．（多选）（2020·江苏泰州市·高二期末）在61x x æö-ç÷èø的展开式中，下列说法正确的有（ ）A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为0C ．常数项为20D ．二项式系数最大的项为第4项【答案】ABD【解析】61x x æö-ç÷èø的展开式中所有二项式系数和为6264=，A 正确；令1x =可得61x x æö-ç÷èø的展开式中所有项的系数和为()6110-=，B 正确；通项为()6261rrrCx--，令6203r r -=Þ=，所以61x x æö-ç÷èø的展开式中常数项为()336120C -=-，C 错误；61x x æö-ç÷èø的展开式共有7项，二项式系数最大为第4项，D 正确.故选：ABD5．（多选）（2020·苏州市第四中学校高二期中）已知n （其中15n <）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．则下列结论正确的是（ ）A ．n 的值为14B ．展开式中常数项为第8项C ．展开式中有理项有3项D ．二项式系数最大的项是第7项【答案】AC【解析】由题意98102n n n C C C =+，化简得(14)(23)0n n --=，∵15n <，∴14n =．A 正确；展开式通项为4214611414r rr rr r T C C x--+==(014,)r r N ££Î，显然其中无常数项，B 错误；当0,6,12=r时，427,6,56r-=为整数，因此展开式中有3项为有理项，C 正确；展开式有15项，二项式系数最大的项为第8项，D 错误．故选：AC ．6．（2020·山东潍坊市·寿光现代中学高二期中）关于()11a b -的说法，正确的是（ ）A ．展开式中的二项式系数之和为2048B ．展开式中只有第6项的二项式系数最大C ．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D ．展开式中第6项的系数最大【答案】AC【解析】()11a b -的展开式中的二项式系数之和为1122048=，所以A 正确；因为11n =为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以B 不正确，C 正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D 不正确.故选：AC7．（2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中）（多选题）已知2233nx x æö+ç÷èø展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为（ ）A ．展开式中偶数项的二项式系数之和为52B ．展开式中二项式系数最大的项只有第三项C ．展开式中系数最大的项只有第五项D ．展开式中有理项为第三项、第六项【答案】CD【解析】令1x =，可得展开式中各项系数的和为4n ，又二项式系数的和2n ，因为各项系数的和比它的二项式系数的和大992，所以42992n n -=，解得5n =，对A ：因为二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，所以展开式中，偶数项的二项式系数的和为54222=，故A 错误；对B ：因为5n =，所以第三项、第四项的二项式系数最大，故B 错误；对C ：21045233155()(3)3r r rr r r r TC x x C x+-+=××=××，设展开式中系数最大的项是第1r +项，则115511553333r r r r r r r r C C C C --++ì׳×í׳×î，解得7922r ££，又r N Î，所以4r =，所以展开式中系数最大的项只有第五项，故C 正确；对D ：若1r T +是有理项，则当且10+43r为整数，又05r ££，r N Î，所以2,5r =，所以展开式中有理项为第三项、第六项，故D 正确.故选：CD 【题组五 二项式系数或系数和】1．（2020·浙江台州市·高二期中）若34270127(1)(12)x x a a x a x a x +-=+++×××+，则0246a a a a +++=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】令1x =可得：340127=8(11)(12)a a a a +++××++-=×，令1x =-可得：340127=0(11)(12)a a a a ++××--+-=×，两式相加可得：02462()8a a a a +++=，所以02464a a a a +++=，故选：B2．（2020·奈曼旗实验中学高二期中）已知2012(1)nnn x a a x a x a x +=+++×××+，01216n a a a a +++×××+=，则自然数n 等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】由题意，令1x =，则01212(1)nnn a a a a +=++××+=+×，因为01216n a a a a +++×××+=，所以216n =，解得4n =.故选：C.3．（2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中）若()()()2202020202019201801220201111a x a x x a x x a x +-+-++-=L ，则012020a a a +++=L （ ）A ．1B ．0C ．20202D ．20212【答案】C【解析】()2020201920182202001220202020(1)(1(1)11)x x a x a x x a x x a x +-+-++-=éùëû+-=L Q ，当02020k ££且k ÎN 时，2020kk a C =，因此，01220202020202020202020012202020202a a a C C a C C =++++=+++×××+L .故选：C.4．（2020·古丈县第一中学高二月考）已知多项式()()()()()543221521102110215211x x x x x ---+---+--可以写成2345012345a a x a x a x a x a x +++++，则024a a a ++=（ ）A ．0B ．1024-C ．512-D ．256-【答案】C【解析】由题意，多项式()()()()()543221521102110215211x x x x x ---+---+--55[(21)1](22)x x =--=-，即52345012345(22)x a a x a x a x a x a x -=+++++，令1x =，可得0123450a a a a a a +++++=，令1x =-，可得0124553(4)1024a a a a a a -+-+-=-=-，两式相加，可得0242(102)4a a a ++=-，可得024512a a a ++=-.故选：C.5．（2020·青海高二期末）已知22æçènx 的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为（ ）A ．1012B ．1012-C ．102D ．102-【答案】A【解析】Q 882888220922n n n n n x T C C x---æöæ×ç÷ø=çèè=，所以2200n -=，则10n =,令1x =，可得102101122æ=çè，所以展开式中的各项系数之和为1012．故选：A.6．（2020·宁夏吴忠市·吴忠中学）设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则12233201920192019201920192019...C x C x C x C x ++++=（ ）A ．iB ．i -C ．1i -+D ．1i --【答案】D 【解析】22(1)11(1)(1)i i i x i i i i +===-+--+，122332019201901223320192019201920192019201920192019201920192019 (1)C x C x C x C x C C x C x C x C x ++++=+++++-201920193(1)1i 1i 1i 1x =+-=-=-=--，故选D.7．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）已知(1)n x l +展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x l +=++++L ，若12242n a a a ++×××=，则012(1)n n a a a a -+-×××+-的值为( )A ．1B ．－1C ．8lD ．－81【答案】B【解析】因为(1)n x l +展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，故可得5n =，令0x =，故可得01a =，又因为125242a a a +++=L ，令1x =，则()501251243a a a a l +=++++=L ，解得2l =令1x =-，则()()5501251211a a a a -=-+-+-=-L .故选：B.8．（2020·全国高二课时练习（理））已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10．若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】由二项式定理知a n ＝110n C - (n ＝1，2，3，…，11)．又(x ＋1)10展开式中二项式系数具有对称性，且最大的项是第6项，且从第1项到第6项二项式系数逐渐增大，第6项到底11项二项式系数逐渐减小，∴k 的最大值为6.故选：B.【题组六 二项式定理的运用】1．（2020·全国高二课时练习） 12233101010101010190909090C C C C -+-++L 除以88的余数是（ ）A ．2B ．1C ．86D ．87【答案】B【解析】因为122331010101010101010190909090(190)(188)C C C C -+-++=-=+L 12233101010101010188888888C C C C =+++++L ()122391010101010188888888C C C C =+++++L ，所以12233101010101010190909090C C C C -+-++L 除以88的余数是1.故选：B .2．（2020·全国高二课时练习）设a Z Î，且013a ££，若201251a +能被13整除，则a =（ ）A ．0B ．1C ．11D ．12【答案】D【解析】由题意，因为51521=-，所以2012201202012120112011120122012201251(521)5252521C C C =-=-+-+L ，又因为52能被13整除，所以只需1a +能被13整除，因为a Z Î，013a ££，所以12a =.故选：D.3．（2020·江苏省如东高级中学高二期中）已知0m >，且202015m +恰能被14整除，则m 的取值可以是（ ）A ．1-B ．1C ．7D ．13【答案】D【解析】因为()0202012019201912020202020202020202014141514...1411C C C =+++=++ 其中0202012019201912020202020201414...14C C C +++能被14整除，所以m 的取值可以是13.故选：D.4．（2020·全国高二单元测试）设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512020+a 能被13整除，则a ＝（ ）A ．0B ．1C ．11D ．12【答案】D【解析】512020＝（52﹣1）2020＝（1﹣52）20200122202020202020202020202020525252C C C C =-+-+LL .因为52能被13整除，所以上式从第二项起，每一项都可以被13整除，所以上式被13除，余数为020201C =，所以要使512020+a 能被13整除，因为a ∈Z ，且0≤a ＜13，只需a +1＝13即可，故a ＝12.故选：D.5．（2020·江苏盐城市·盐城中学高二期中）设n ∈N *，则0n C 1n 80+1n C 1n ﹣181+2n C 1n ﹣282+3n C 1n ﹣383+……+1n n C -118n ﹣1+n n C 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．2【答案】A 【解析】因为C 0n 1n 80+C 1n 1n ﹣181+C 2n 1n ﹣282+C 3n 1n ﹣383+……+C 1n n -118n ﹣1+C n n 108n ＝（1+8）n ＝9n ；故除以9的余数为0；故选：A .6．（2020·山东临沂市·高二期中）61.02的近似值（精确到0.01）为（ ）A ．1.12B ．1.13C ．l.14D ．1.20【答案】B【解析661223366661.02(10.02)10.020.020.020.02C C C =+=+´+´+´++L 10.120.006 1.13»++».故选：B ．7．（2020·全国高二课时练习）71.95的计算结果精确到个位的近似值为（）A ．106B ．107C ．108D ．109【答案】B【解析】∵()77716252771.9520.05220.0520.05C C =-=-´´+´´-×××107.28»，∴71.95107».故选B8．（2020·江苏苏州市·高二期中）已知n 为正整数，若101.15[,1)n n Î+，则n 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】因为5531.15120æö=+ç÷èø01234512345555555333333202020202020C C C C C C æöæöæöæöæöæö=×+×+×+×+×+×ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøèø33927393154408002040020æöæö=++++´+ç÷ç÷èøèø373093280040020æö=++×ç÷èø，而373093727730122222 2.1800400208008000800800080æö<++×<++<++=+<ç÷èø，所以52 1.15 2.1<<，因此104.1541 4.1<<，又n 为正整数，101.15[,1)n n Î+，所以4n =；故选：C.。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（二项式定理）练习一. 基础小题练透篇1.已知(2x ＋1)n 的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．42．[2023ꞏ上海市月考]在⎝⎛⎭⎫x －1x 7的二项展开式中，系数最大的是第( )项A ．3B ．4C ．5D ．63．[2023ꞏ福建省莆田第一中学高三考试]在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中，常数项为( )A ．80B ．－80C ．160D ．－160 4．[2023ꞏ福建省福州第八中学高三训练](x ＋2y )(x －y )5的展开式中的x 3y 3项系数为( ) A ．30 B ．10 C ．－30 D ．－105．[2023ꞏ重庆市检测]若(x 2＋1)(4x ＋1)8＝a 0＋a 1(2x ＋1)＋a 2(2x ＋1)2＋…＋a 10(2x ＋1)10，则a 1＋a 2＋…a 10等于( )A ．2B ．1C ．54D ．－146．[2023ꞏ江西省联考]已知(x ＋1)4＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 3＝( )A ．64B ．48C ．－48D ．－647．[2023ꞏ湖南省高三第一次大联考]设(1＋2x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 5＝a 6，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．98．[2023ꞏ云南省昆明市高三检测]若(3x ＋x )n 的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32，则展开式中x 3项的系数是__________.二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ辽宁省凤城市月考]在(x －1)n 的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．112．[2023ꞏ江苏省常州市高三模拟 ]若(1－ax ＋x 2)(1－x )8的展开式中含x 2的项的系数为21，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．13．[2023ꞏ上海市一模]二项式(x ＋13x)30的展开式中，其中是有理项的项数共有( )A ．4项B ．7项C ．5项D ．6项4．[2023ꞏ吉林省吉林市月考]若二项式⎝⎛⎭⎫12－x n 的展开式中所有项的系数和为164 ，则展开式中二项式系数最大的项为( )A ．－52 x 3B ．154 x 4 C ．－20x 3 D ．15x 45．[2023ꞏ浙江省高三联考](x－23x)6的展开式的中间一项的系数是__________．(用数字作答).6．[2023ꞏ浙江嘉兴检测]已知⎝⎛⎭⎫3x 2＋1x n展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n ＝__________；展开式中的系数最大的项是________．三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ北京卷]在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．102．[2019ꞏ全国卷Ⅲ](1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．243．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]⎝⎛⎭⎫1－yx (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________________(用数字作答).4．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是______(用数字作答).5．[2021ꞏ上海卷]已知二项式(x ＋a )5展开式中，x 2的系数为80，则a ＝________． 6．[2021ꞏ浙江卷]已知多项式(x －1)3＋(x ＋1)4＝x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 1＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________．四. 经典大题强化篇1.已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值： (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5.2．[2023ꞏ江西省景德镇一中考试]已知函数f (n ，x )＝⎝⎛⎭⎫2m ＋m x n (m >0，x >0).(1)当m ＝2时，求f (7，x )的展开式中二项式系数最大的项；(2)若f (10，x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a 10x 10 ，且a 2＝180，参考答案一 基础小题练透篇1．答案：C答案解析：因为（2x ＋1）n的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，所以C 2n ＝C 3n ，由组合数的性质可得n ＝2＋3＝5.2．答案：C答案解析：在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 7 ·x 7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝（－1）r C r7 x 7－2r，故第r ＋1项的系数为（－1）r C r7 ，当r ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 17 ＝C 67 <C 27 <C 47 ，所以当r ＝4时，系数最大的项是第5项． 3．答案：D答案解析：由于x ，1x互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为C 36 x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3 ＝20×（－8）＝－160.故选D. 4．答案：B答案解析：因为（x ＋2y ）（x －y ）5＝x （x －y ）5＋2y （x －y ）5，（x －y ）5的通项为：T r ＋1＝C r5 x 5－r （－y ）r ，令r ＝3，则T 4＝C 35 x 2（－y ）3，令r ＝2，则T 3＝C 25 x 3（－y ）2，所以x 3y 3的系数为C 35 （－1）3＋2C 25 （－1）2＝－10＋20＝10. 故选B. 5．答案：D答案解析：令x ＝0，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝（0＋1）×（0＋1）8＝1，令x ＝－12，则a 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋1 ×（－2＋1）8＝54 ，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝1－54 ＝－14 . 6．答案：C答案解析：由（x ＋1）4＋（x －2）8＝[（x －1）＋2]4＋[（x －1）－1]8＝a 0＋a 1（x －1）＋a 2（x －1）2＋…＋a 8（x －1）8，得a 3·（x －1）3＝C 14 ·（x －1）3·2＋C 58 ·（x －1）3·（－1）5，∴a 3＝8－C 58 ＝－48.故选C. 7．答案：C答案解析：（1＋2x ）n 展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r n （2x ）r ＝C r n 2r x r，∵a 5＝a 6，∴C 5n 25＝C 6n 26，即C 5n ＝2C 6n ，∵n ！5！（n －5）！ ＝2×n ！6！（n －6）！ ， 整理得n －5＝3，∴n ＝8. 故选C.8．答案：15答案解析：令x ＝1，得所有项的系数和为4n ，二项式系数和为2n ，所以4n 2n ＝2n＝32，即n ＝5，（3x ＋x ）5的第r ＋1项为C r5 ·（3x ）5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 r＝C r 5 ·35－r ·x 5－r2 .令5－r2＝3，得r ＝4，所以x 3项的系数是C 45 ×3＝15.二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：因为在（x －1）n的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，即C 5n 最大，所以n ＝10.2．答案：C答案解析：（1－x ）8展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r 8 18－r （－x ）r ＝（－1）r C r 8 x r，（1－ax ＋x 2）（1－x ）8的展开式中含x 2的项的系数为1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ，所以1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ＝21，解方程可得a ＝－1，故选C.3．答案：D答案解析：二项式（x ＋13x ）30的展开式中，通项公式为C r 30 ·（x ）30－r·（13x）r＝C r30 ·x15－56r，0≤r ≤30，∴r ＝0，6，12，18，24，30时满足题意，共6项． 4．答案：A答案解析：令x ＝1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1 n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 n ＝164 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 6 ，所以n ＝6，展开式有7项，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 6 展开式中二项式系数最大的为第4项T 4＝（－1）3C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 6－3x 3＝－52x 3. 5．答案：－16027答案解析：由二项式展开式可知，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 3－23x 6的展开式的中间一项的系数为C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 3·（－2）3＝－16027. 6．答案：4 108x 5答案解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 展开式中，各二项式系数的和比各项系数的和小240，即2n －（3＋1）n ＝－240，化简得22n －2n －240＝0，解得2n ＝16或2n＝－15（不合题意，舍去），所以n ＝4.所以⎝ ⎛⎭3x 2＋1x 4＝81x 8＋4×27x 5＋6×9x 2＋4×3x ＋1x4 ，展开式中的系数最大的项是108x 5.三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由二项式定理得（x －2）5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5 （x ）5－r （－2）r＝C r 5 （－2）rx 5－r2 ，令5－r 2＝2，得r ＝1，所以T 2＝C 15 （－2）x 2＝－10x 2，所以x 2的系数为－10.2．答案：A答案解析：展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34 ＋2C 14 ＝4＋8＝12.3．答案：－28答案解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8＝()x ＋y 8－y x()x ＋y 8，所以⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8的展开式中含x 2y 6的项为C 68 x 2y 6－y xC 58 x 3y 5＝－28x 2y 6，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y x ()x ＋y 8的展开式中x 2y 6的系数为－28. 4．答案：240答案解析：展开式的通项为T r ＋1＝C r6 （x 2）6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r 6 x12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，故常数项为24C 46 ＝240.5．答案：2答案解析：（x ＋a ）5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5 x 5－r a r ，令5－r ＝2，得r ＝3，则C 35 a 3＝80，解得a ＝2.6．答案：5 10答案解析：（x －1）3展开式的通项T r ＋1＝C r 3 x 3－r ·（－1）r ，（x ＋1）4展开式的通项T k ＋1＝C k 4 x 4－k ，则a 1＝C 03 ＋C 14 ＝1＋4＝5；a 2＝C 13 （－1）1＋C 24 ＝3；a 3＝C 23 （－1）2＋C 34 ＝7；a 4＝C 33 （－1）3＋C 44 ＝0.所以a 2＋a 3＋a 4＝3＋7＋0＝10.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.（2）令x ＝－1，得－35＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5.由（2x －1）5的通项T r ＋1＝C r 5 （－1）r ·25－r ·x 5－r， 知a 1，a 3，a 5为负值，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. （3）由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35，得2（a 1＋a 3＋a 5）＝1－35，所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.2．答案解析：（1）当m ＝2时，f （7，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 7 的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以T 4＝C 37 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3 ＝280x3 或T 5＝C 47 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 4＝560x4 .（2）①f （10，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m x 10 的通项公式为T r ＋1＝C r 10 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫m x r＝210－r ·m 2r －10·C r 10 x －r ，且f （10，x ）＝a 0＋a 1x＋a 2x2 ＋…＋a n xn ，所以1x2 的系数为a 2＝28C 210 m －6＝180，解得m＝2，所以f （10，x ）的通项公式为T r ＋1＝C r10 ⎝ ⎛⎭2x r＝2r C r 10 x －r ，所以a r ＝2r C r10 ，当r ＝0时，a 0＝1，令x ＝1，∑10i ＝1a i ＝310－1＝59 048， ②设a r ＝2r C r10 为a i （0≤i ≤10）中的最大值，则⎩⎨⎧2r C r 10 ≥2r －1C r －110 2r C r 10 ≥2r ＋1C r ＋110， 解得⎩⎪⎨⎪⎧2（11－r ）≥r r ＋1≥2（10－r ） ，即193 ≤r ≤223 ，r ∈N ，所以r ＝7，所以（a i ）max ＝a 7＝27C 710 ＝15 360.。

专题44二项式定理【题型归纳目录】题型一：求二项展开式中的参数题型二：求二项展开式中的常数项题型三：求二项展开式中的有理项题型四：求二项展开式中的特定项系数题型五：求三项展开式中的指定项题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数题型七：求二项式系数最值题型八：求项的系数最值题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和题型十：求奇数项或偶数项系数和题型十一：整数和余数问题题型十二：近似计算问题题型十三：证明组合恒等式题型十四：二项式定理与数列求和题型十五：杨辉三角【考点预测】知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题（1）二项式定理一般地，对于任意正整数n ，都有：011()()n n n r n r r n n nn n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式．式中的r n r rnC a b -做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=，其中的系数rn C （r =0，1，2，…，n ）叫做二项式系数，（2）二项式()n a b +的展开式的特点：①项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；④项的系数：二项式系数依次是012r nn n n n nC C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）．（3）两个常用的二项展开式：高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅ （*N n ∈）②122(1)1n r r nn n n x C x C x C x x +=++++++ （4）二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1r n r rr nT C a b -+=()0,1,2,3,,r n =⋯公式特点：①它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是rn C ；②字母b 的次数和组合数的上标相同；③a 与b 的次数之和为n ．注意：①二项式()n a b +的二项展开式的第r +1项r n r rnC a b -和()n b a +的二项展开式的第r +1项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．②通项是针对在()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b-+=-（只需把b -看成b 代入二项式定理）．2、二项式展开式中的最值问题（1）二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0n n n C C =；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即11m m mn n n C C C -+=+．②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mn m nn C C -=．③二项式系数和令1a b ==，则二项式系数的和为0122r nn nn n n n C C C C C ++++++= ，变形式1221rn n n n n n C C C C +++++=- ．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令11a b ==-，，则0123(1)(11)0n n n nn n n n C C C C C -+-++-=-= ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⋅= ．⑤最大值：如果二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项12n T +的二项式系数2n nC 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，则中间两项12n T +，112n T ++的二项式系数12n nC-，12n nC+相等且最大．（2）系数的最大项求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121n A A A +⋅⋅⋅，，，，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来．知识点3、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设()011222nn n n r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++ ，二项式定理是一个恒等式，即对a ，b 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ，b 的值．①令1a b ==，可得：012n nn n nC C C =+++ ②令11a b ==，，可得：()012301nnn n n n n C C C C C =-+-+- ，即：02131n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++ （假设n 为偶数），再结合①可得：0213112n n n n n n n n n C C C C C C --+++=+++= ．（2）若121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++++ ，则①常数项：令0x =，得0(0)a f =．②各项系数和：令1x =，得0121(1)n n f a a a a a -=+++++ ．③奇数项的系数和与偶数项的系数和（i ）当n 为偶数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a +-+++= ；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a --+++=．（可简记为：n 为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）（ii ）当n 为奇数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a --+++= ；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a +-+++=．（可简记为：n 为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若1210121()n n n n f x a a x a x a x a x --=+++++ ，同理可得．注意：常见的赋值为令0x =，1x =或1x =-，然后通过加减运算即可得到相应的结果．【典例例题】题型一：求二项展开式中的参数例1．（2022·湖南·模拟预测）已知6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-，则实数=a （）A ．2B ．-2C ．8D ．-8例2．（2022·全国·高三专题练习）62ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为－160，则a ＝（）A ．－1B ．1C ．±1D ．2例3．（2022·全国·高三专题练习）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则=a （）A ．2B ．-2C ．2或-2D ．4例4．（2022·湖北·高三阶段练习）若(21)n x ＋的展开式中3x 项的系数为160，则正整数n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7例5．（2022·四川·乐山市教育科学研究所三模（理））()5m x -展开式中3x 的系数为20-，则2m =（）A ．2B ．1C ．3D 【方法技巧与总结】在形如()m n N ax bx +的展开式中求t x 的系数，关键是利用通项求r ，则Nm tr m n-=-．题型二：求二项展开式中的常数项例6．（2022·全国·高三阶段练习（理））612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）A ．160B ．120C ．90D ．60例7．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）62x⎛⎝的展开式中的常数项为（）A ．60-B ．60C ．64D ．120例8．（2022·全国·高三专题练习（理））二项式()5*nx n ⎛∈ ⎝⎭N 的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5例9．（2022·全国·模拟预测）二项式10的展开式中的常数项为（）A ．210B ．－210C ．252D ．－252【方法技巧与总结】写出通项，令指数为零，确定r ，代入．题型三：求二项展开式中的有理项例10．（2022·全国·高三专题练习）在二项式)11x的展开式中，系数为有理数的项的个数是_____.例11．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知)nx 展开式的二项式系数之和为64，则展开式中系数为有理数的项的个数是________．例12．（2022·湖南长沙·模拟预测）已知)()*,112nn N n ∈≤≤的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n 的值______．例13．（2022·全国·高三专题练习）100+的展开式中系数为有理数项的共有_______项.例14．（2022·上海·格致中学高三阶段练习）在50的展开式中有__项为有理数．【方法技巧与总结】先写出通项，再根据数的整除性确定有理项．题型四：求二项展开式中的特定项系数例15．（2022·北京海淀·一模）在4)x 的展开式中，2x 的系数为（）A ．1-B ．1C ．4-D ．4例16．（2022·云南·高三阶段练习（理））在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）A ．20B ．20-C ．15D ．15-例17．（2022·全国·高三专题练习）若()2nx y -的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则n =（）．A ．9B ．10C ．11D ．12例18．（2022·甘肃·武威第八中学高三阶段练习）在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（）A ．10-B ．5-C ．5D ．10【方法技巧与总结】写出通项，确定r ，代入．题型五：求三项展开式中的指定项例19．（2022·广东·高三阶段练习）()102321x x ++的展开式中，2x 项的系数为___________．例20．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为______.例21．（2022·山西大附中高三阶段练习（理））5212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_________.例22．（2022·广东·广州市庆丰实验学校一模）622(21)x x+-的展开式中的常数项为__________．（用数字填写正确答案）例23．（2022·全国·高三专题练习）151234()x x x x +++的展开式合并前的项数为（）A ．415C B ．415A C ．44154A A ⋅D ．154例24．（2022·河北邢台·高三期末（理））411()x y x y+--的展开式的常数项为A ．36B ．36-C ．48D ．48-例25．（2022·四川绵阳·三模（理））在521x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（）A ．50-B ．30-C ．30D ．50例26．（2022·全国·高三专题练习）()52x y z +-的展开式中，22xy z 的系数是（）A ．120B ．-120C ．60D ．30【方法技巧与总结】三项式()()n a b c n N ++∈的展开式：()[()]n n a b c a b c ++=++()n rrr n C a b c -=+++ ()rq n r q q r nn r C C a b c ---=++++ r q n r q q r n n r C C a b c ---=++若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式：()r q p q r n n r C C a b c p q r N p q r n -∈++=，，，，其中!(r)!!!()!!()!!!!r q n n r n n n C C r n r q n r q p q r --==---叫三项式系数．题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数例27．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）()61y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为（）A ．6B ．9-C ．6-D ．9例28．（2022·四川·高三开学考试（理））()632112x x x ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）A ．240B ．240-C ．400D ．80例29．（2022·云南师大附中高三阶段练习）6211(2)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（）A ．160B ．160-C ．148D ．148-例30．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））已知51m x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为-40，则m =（）A ．3-B ．3C ．13D ．13-例31．（2022·江苏南京·三模）（1＋x ）4（1＋2y ）a （a ∈N*）的展开式中，记xmyn 项的系数为f （m ，n ）．若f （0，1）＋f （1，0）＝8，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3例32．（2022·全国·高三专题练习）在5221y x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中，含32x y 的项的系数是（）A ．10B ．12C ．15D ．20【方法技巧与总结】分配系数法题型七：求二项式系数最值例33．（2022·全国·高三专题练习）在()1nx +（*n ∈N ）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n 的值不可能是（）A ．7B ．8C ．9D ．10例34．（2022·全国·高三专题练习）7(12)x +展开式中二项式系数最大的项是（）A ．3280x B ．4560x C ．3280x 和4560x D ．5672x 和4560x例35．（2022·湖南·高三阶段练习）设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8例36．（2022·全国·高三专题练习）5a x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数等于其二项式系数的最大值，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．2-例37．（2022·安徽·高三阶段练习（理））在1)2nx -的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数为（）A ．454B ．358-C ．358D ．7【方法技巧与总结】利用二项式系数性质中的最大值求解即可．题型八：求项的系数最值例38．（2022·全国·高三专题练习）已知(13)n x -的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．例39．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）()91-x 的展开式中系数最小项为第______项．例40．（2022·全国·高三专题练习）若n 展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．例41．（2022·江苏·姜堰中学高三阶段练习）()2*nn N ∈展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为______.例42．（2022·上海·高三开学考试）假如1n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 项的系数是84-，则1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项展开式中系数最小的项是__________.【方法技巧与总结】有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：11r r r r T T T T +-≥⎧⎨≥⎩，注意：系数比较大小．题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和例43．（2022·全国·高三专题练习）若7270127(1)x a a x a x a x -=++++ ，则1237a a a a ++++= _________.（用数字作答）例44．（2022·广东·高三阶段练习）已知2012(2)+=++++ n n n x a a x a x a x ，若01281n a a a a ++++= ，则自然数n 等于_____．例45．（2022·广东·广州大学附属中学高三阶段练习（理））若35()(2)x y x y a +-+的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母x 且x 的次数为1的项的系数为___________.例46．（2022·全国·高三专题练习）设()20202202001220201ax a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，若12320202320202020a a a a a +++⋅⋅⋅+=则非零实数a 的值为（）A ．2B ．0C ．1D ．-1例47．（2022·全国·高三专题练习）已知202123202101232021(1)x a a x a x a x a x +=+++++ ，则20202019201820171023420202021a a a a a a ++++++= （）A ．202120212⨯B ．202020212⨯C ．202120202⨯D ．202020202⨯例48．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）若()()()220222022012022111x x x a a x a x ++++++=+++ ，则（）A ．02022a =B ．322023a C =C ．20221(1)1ii i a =-=-∑D ．202211(1)1i i i ia -=-=∑例49．（2022·全国·高三专题练习）设2002200012200(21)x a a x a x a x -=++++ ，求(1)展开式中各二项式系数的和；(2)12200a a a +++ 的值．例50．（2022·全国·高三专题练习）在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知2012(21)n nn x a a x a x a x -=+++（n ∈N*），___________(1)求122222n na a a +++ 的值：(2)求12323n a a a na +++ 的值.例51．（2022·全国·高三专题练习）()()202222022012202212R x a a x a x a x x -=++++∈ .求：(1)0122022a a a a ++++ ；(2)1352021a a a a +++ ；(3)0122022a a a a ++++ ；(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；(5)求展开式二项式系数最大的项是第几项？(6)1232022232022a a a a ++++ .例52．（2022·全国·高三专题练习）已知8280128(13)x a a x a x a x-=++++ (1)求128a a a +++ ；(2)求2468a a a a +++.【方法技巧与总结】二项展开式二项式系数和：2n ；奇数项与偶数项二项式系数和相等：12n -．系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：2012()...n n n ax b a a x a x a x +=++++（01...n a a a ，，，是系数），令1x =得系数和：01...()n n a a a a b +++=+．题型十：求奇数项或偶数项系数和例53．（2022·浙江·模拟预测）已知多项式()4228012832-+=++++ x x a a x a x a x ，则1357a a a a +++=_______，1a =________．例54．（2022·全国·模拟预测）若()()9911x ax x +-+的展开式中，所有x 的偶数次幂项的系数和为64，则正实数a 的值为______．例55．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知2220122(2)1+)1+)...1+)nnn x a a x a x a x +=++++（（（，若15246222...21n n a a a a a -+++++=-，则n =_____________.例56．（2022·湖北武汉·模拟预测）在5()(1)a x x ++展开式中，x 的所有奇数次幂项的系数之和为20，则=a _____________．例57．（2022·全国·高三专题练习）若9290129(2)(1)(1)(1)++=+++++⋅⋅⋅++x m a a x a x a x ，且()()22028139++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+a a a a a a 93=，则实数m 的值可以为（）A ．1或3-B ．1-C ．1-或3D ．3-例58．（2022·江苏南通·高三开学考试）在61⎛ ⎝的二项展开式中，奇数项的系数之和为（）A ．365-B ．364-C ．364D ．365例59．（2022·全国·高三专题练习）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A ．40B ．41C ．40-D ．41-【方法技巧与总结】2012()...n n n ax b a a x a x a x +=++++，令1x =得系数和：01...()n n a a a a b +++=+①；令1x =-得奇数项系数和减去偶数项系数和：01230213...()(...)(...)n n a a a a a a b a a a a -+-=-=++-++②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．题型十一：整数和余数问题例60．（2022·全国·高三专题练习）已知3029292828130303022C 2C 2C S =+++⋅⋅⋅+，则S 除以10所得的余数是（）A ．2B ．3C ．6D ．8例61．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知202274a +能够被15整除，则a 的一个可能取值是（）A ．1B ．2C ．0D ．1-例62．（2022·陕西·西安中学一模（理））设a Z ∈，且013a ≤<，若202251a +能被13整除，则=a （）A ．0B ．1C ．11D ．12例63．（2022·全国·高三专题练习）1223310101010101010180808080(1)8080k k k C C C C -+-++-++ 除以78的余数是（）A ．1-B ．1C ．87-D ．87例64．（2022·全国·高三专题练习（文））中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，()0m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020C C 2C 2=+⋅+⋅++ a 202020C 2⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是（）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019题型十二：近似计算问题例65．（2022·山西·应县一中高三开学考试（理））6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________．例66．（2022·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据100.98的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.例67．（2022·全国·高三专题练习）71.95的计算结果精确到个位的近似值为A ．106B ．107C ．108D ．109题型十三：证明组合恒等式例68．（2022·江苏·高三专题练习）（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简0112233434343434C C C C C C C C +++．案例：考查恒等式523(1)(1)(1)x x x +=++左右两边2x 的系数．因为右边2301220312232223333(1)(1)()()x x C C x C x C x C x C x C ++=+++++，所以，右边2x 的系数为011223232323C C C C C C ++，而左边2x 的系数为25C ，所以011223232323C C C C C C ++＝25C ．（2）求证：22212220(1)()(1)nr n nn n n r r C n C n C --=+-=+∑．例69．（多选题）（2022·江苏·海安市曲塘中学高三期末）下列关系式成立的是（）A ．0n C ＋21n C ＋222n C ＋233n C ＋…＋2n nn C ＝3nB ．202nC ＋12n C ＋222n C ＋32n C ＋…＋212n n C -＋222n n C ＝3·22n-1C ．1n C ·12＋2n C ·22＋3n C ·32＋…＋nn C n 2＝n ·2n -1D ．(0n C )2＋(1n C )2＋(2n C )2＋…＋(nn C )2＝2nnC 例70．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）设*N n ∈，下列恒等式正确的为（）A ．1212n n n n n C C C -+++= B ．121122n n n n n C C nC n -+++=⋅ C ．()2122221212n n n n n C C n C n n -+++=+ D ．()31323112432n n n n n C C n C n -+++=- 题型十四：二项式定理与数列求和例71．（2022·全国·高三专题练习（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当*n ∈N 时，sin x x =222222222111149x x x x n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又根据泰勒展开式可以得到35sin 3!5!x x x x =-+++()()121121!n n x n ---+- ，根据以上两式可求得22221111123n +++++= （）A ．26πB ．23πC ．28πD ．24π例72．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 是等比数列，11a =，公比q 是4214x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的第二项（按x 的降幂排列）．(1)求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ；(2)若1212C C C nn n n n n A S S S =++⋅⋅⋅+，求n A ．例73．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足1a a =，*1(46)410()21n n n a n a n N n ++++=∈+．(1)试判断数列2{}21n a n ++是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项n a ．(2)如果1a =时，数列{}n a 的前n 项和为n S ．试求出n S ，并证明341111(3)10nn S S S ++⋯+< ．题型十五：杨辉三角例74．（2022·山东·高三开学考试）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．某校数学兴趣小组模仿杨辉三角制作了如下数表．123456…35791113…81216202428…………………该数表的第一行是数列{}n ，从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，则这个数表中第4行的第5个数为______，各行的第一个数依次构成数列1，3，8，…，则该数列的前n 项和n S =______．例75．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，第()N ,2n n n *∈≥行的数字之和为__________，去除所有1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…,则此数列的前28项和为_____________．例76．（2022·安徽·合肥市第五中学模拟预测（理））杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式()()1,2,3,na b n +=⋅⋅⋅展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第()*,k k n k ≤∈N 个数组成的数列称为第k 斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第k 斜列与第1k +斜列各项之和最大时，k 的值为（）A ．1009B ．1010C ．1011D ．1012例77．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n 行从左至右的数字之和记为n a ，如：{}12112,1214,,n a a a =+==++=⋯的前n 项和记为n S ，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记为n b ，{}n b 的前n 项和记为n T ，则下列说法正确的有（）A ．91022S =B ．14n n n a S S +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为1111n a +--C ．5666b =D ．564084T =【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）()()8x y x y -+的展开式中36x y 的系数为（）A ．28B ．28-C ．56D ．56-2．（2022·福建师大附中高三阶段练习）在()522x x +-的展开式中，含4x 的项的系数为（）A ．-120B ．-40C ．-30D ．2003．（2022·福建泉州·模拟预测）101x ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数等于（）A ．45-B ．10-C ．10D ．454．（2022·湖南益阳·模拟预测）若()526012612(12)x x a a x a x a x +-=++++ ，x ∈R ，则2a 的值为（）A ．20-B ．20C ．40D ．605．（2022·湖南·高三开学考试）已知()522x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为3-，则该展开式中x 的系数为（）A ．0B ．120-C ．120D ．160-6．（2022·北京房山·高三开学考试）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则2a =（）A ．6B ．24C ．6-D ．24-7．（2022·江苏省泰兴中学高三阶段练习）设*n N ∈，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x =+-++-=+-++- ，则（）A ．001132n nn n b a b a b a -+-++-=- B ．0101012()nn nb bb a a a a a a +++=+++ C ．0101111()211n n a a a a a a n n +++=+++++ D ．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a ++++=+++ 8．（2022·河北·高三阶段练习）关于二项式()281(1)ax x x ++-，若展开式中含2x 的项的系数为21，则=a （）A ．3B ．2C ．1D ．-19．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知()()()()727012723111x a a x a x a x -=+-+-++- ，则3a =（）A ．280B ．35C ．35-D ．280-二、多选题10．（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）已知660(2)ii i x a x =+=∑，则（）A ．123456666a a a a a a +++++=B ．320a =C ．135246a a a a a a ++>++D ．1034562234a a a a a a +=+++11．（2022·浙江·高三开学考试）在二项式6⎛⎝的展开式中，正确的说法是（）A ．常数项是第3项B ．各项的系数和是1C ．偶数项的二项式系数和为32D ．第4项的二项式系数最大12．（2022·江苏镇江·高三开学考试）已知函数()6260126()(12),0,1,2,3,,6i f x x a a x a x a x a i =-=+++⋅⋅⋅+∈=⋅⋅⋅R 的定义域为R ．（）A ．01261a a a a +++⋅⋅⋅+=-B ．135364a a a ++=-C ．123623612a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．(5)f 被8整除余数为713．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）已知2012(12)n n n x a a x a x a x +=++++ ，下列结论正确的是（）A ．0123n n a a a a +++=+ B．当5,==n x()(12),*+=+∈n x a a b N ，则a b=C ．当12n =时，012,,,,n a a a a 中最大的是7a D ．当12n =时，3124111223411121222222-+-++-= a a a a a a 14．（2022·全国·高三阶段练习）已知()610ax a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中含2x -的系数为60，则下列说法正确的是（）A ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为1B ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项为2240x C ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-D ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式的系数和为32三、填空题15．（2022·浙江省苍南中学高三阶段练习）()()()357222x y y z z x ---的展开式中不含z 的各项系数之和______.16．（2022·广东广东·高三阶段练习）6(23)x y z ++的展开式中，32xy z 的系数为___________.17．（2022·河北邯郸·高三开学考试）已知()52345601234561(1)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则03a a +的值为___________.18．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知51m x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为20，则m =___________.19．（2022·浙江·高三开学考试）多项式()287801781(1)(1)x x a a x a x a x +=+++++++ ，则3a =___________.20．（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）将（1＋x ）n （n ∈N *）的展开式中x 2的系数记为n a ，则232022111a a a +++= ________．。

(建议用时：80分钟)1．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1能被31整除．证明 1＋2＋…＋25n －1＝25n－12－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝31n ＋C 1n ·31n －1＋…＋C n －1n ·31＋C nn －1 ＝31n＋C 1n ·31n －1＋…＋C n －1n ·31＝31·(31n －1＋C 1n ·31n －2＋…＋C n －1n )，∵31n －1，C 1n ·31n －2，…，C n －1n 都是整数，∴原式可被31整除．2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式的二项式系数之和比(a ＋b )2n 的展开式的系数之和小240，求⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中系数最大的项．解 由题意，得2n ＝22n－240，∴22n－2n －240＝0，即(2n －16)(2n＋15)＝0. 又∵2n＋15＞0，∴2n－16＝0.∴n ＝4.∴⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 4. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 4的展开式中二项式系数最大的项为第3项，所以，所求⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 4展开式中系数最大的项为第3项，即T 3＝C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2＝63x .3．已知(1＋x )n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n (n ∈N *)．(1)求a 0及S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ；(2)试比较S n 与(n －2)2n ＋2n 2的大小，并说明理由． 解 (1)取x ＝1，则a 0＝2n；取x ＝2，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n， 所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －2n. (2)要比较S n 与(n －2)2n ＋2n 2的大小， 即比较：3n与(n －1)2n＋2n 2的大小．当n ＝1时，3n ＞(n －1)2n ＋2n 2； 当n ＝2,3时，3n ＜(n －1)2n ＋2n 2； 当n ＝4,5时，3n ＞(n －1)2n ＋2n 2. 猜想：当n ≥4时，3n ＞(n －1)2n ＋2n 2， 下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n ＝4时结论成立．假设当n ＝k (k ≥4)时结论成立，即3k ＞(k －1)2k ＋2k 2， 两边同乘以3，得3k ＋1＞3[(k －1)2k ＋2k 2]＝k 2k ＋1＋2(k ＋1)2＋[(k －3)2k ＋4k 2－4k －2]．而(k －3)2k＋4k 2－4k －2＝(k －3)2k＋4(k 2－k －2)＋6＝(k －3)2k＋4(k －2)(k ＋1)＋6＞0. 所以3k ＋1＞[(k ＋1)－1]2k ＋1＋2(k ＋1)2.即n ＝k ＋1时结论也成立．所以当n ≥4时，3n ＞(n －1)2n ＋2n 2成立． 综上得，当n ＝1时，S n ＞(n －2)2n ＋2n 2； 当n ＝2,3时，S n ＜(n －2)2n ＋2n 2； 当n ≥4，n ∈N *时，S n ＞(n －2)2n ＋2n 2.4．(2013·泰州模拟)已知多项式f (n )＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n .(1)求f (－1)及f (2)的值；(2)试探求对一切整数n ，f (n )是否一定是整数？并证明你的结论． 解 (1)f (－1)＝0，f (2)＝17(2)先用数学归纳法证明，对一切正整数n ，f (n )是整数． ①当n ＝1时，f (1)＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，结论成立，即f (k )＝15k 5＋12k 4＋13k 3－130k 是整数，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝15(k ＋1)5＋12(k ＋1)4＋13(k ＋1)3－130(k ＋1)＝C 05k 5＋C 15k 4＋C 25k 3＋C 35k 2＋C 45k ＋C 555＋C 04k 4＋C 14k 3＋C 24k 2＋C 14k ＋C 442＋C 03k 3＋C 13k 2＋C 23k ＋C 333－130(k ＋1)＝f (k )＋k 4＋4k 3＋6k 2＋4k ＋1. 根据假设f (k )是整数，而k 4＋4k 3＋6k 2＋4k ＋1显然是整数． ∴f (k ＋1)是整数，从而当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①、②可知对一切正整数n ，f (n )是整数． (Ⅰ)当n ＝0时，f (0)＝0是整数(Ⅱ)当n 为负整数时，令n ＝－m ，则m 是正整数，由(Ⅰ)知f (m )是整数， 所以f (n )＝f (－m )＝15(－m )5＋12(－m )4＋13(－m )3－130(－m )＝－15m 5＋12m 4－13m 3＋130m ＝－f (m )＋m 4是整数．综上，对一切整数n ，f (n )一定是整数．5．如图，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )(0＜y 1＜y 2＜…＜y n )是曲线C ：y 2＝3x (y ≥0)上的n 个点，点A i (a i,0)(i ＝1,2,3，…，n )在x 轴的正半轴上，且△A i－1A i P i是正三角形(A 0是坐标原点)．(1)写出a 1，a 2，a 3；(2)求出点A n (a n,0)(n ∈N *)的横坐标a n 关于n 的表达式． 解 (1)a 1＝2，a 2＝6，a 3＝12； (2)依题意，得x n ＝a n －1＋a n2，y n ＝3·a n －a n －12，由此及y 2n ＝3x n 得⎝⎛⎭⎪⎫3·a n －a n －122＝32(a n －1＋a n )，即(a n －a n －1)2＝2(a n －1＋a n )．由(1)可猜想：a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． 下面用数学归纳法予以证明： (1)当n ＝1时，命题显然成立；(2)假定当n ＝k 时命题成立，即有a k ＝k (k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，由归纳假设及(a k ＋1－a k )2＝2(a k ＋a k ＋1)得[a k ＋1－k (k ＋1)]2＝2[k (k ＋1)＋a k ＋1]，即(a k ＋1)2－2(k 2＋k ＋1)a k ＋1＋[k (k －1)]·[(k ＋1)(k ＋2)]＝0， 解之得a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)(a k ＋1＝k (k －1)＜a k 不合题意，舍去)， 即当n ＝k ＋1时，命题也成立．所以a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．6．(2013·苏州调研)对于定义域为A 的函数f (x )，如果任意的x 1，x 2∈A ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，则称函数f (x )是A 上的严格增函数；函数f (k )是定义在N *上，函数值也在N *中的严格增函数，并且满足条件f (f (k ))＝3k . (1)证明：f (3k )＝3f (k )； (2)求f (3k －1)(k ∈N *)的值；(3)是否存在p 个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p 值，若不存在，请说明理由．解 (1)证明：对k ∈N *，f (f (k ))＝3k ，∴f [f (f (k ))]＝f (3k )①由已知f (f (k ))＝3k ，∴f [f (f (k ))]＝3f (k )， ②由①、②∴f (3k )＝3f (k )(2)若f (1)＝1，由已知f (f (k ))＝3k 得f (1)＝3，矛盾； 设f (1)＝a ＞1，∴f (f (1))＝f (a )＝3，③由f (k )严格递增，即1＜a ⇒f (1)＜f (a )＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1≠1，f 1＜3，f 1∈N *，∴f (1)＝2，由③f (f (1))＝f (a )＝3，故f (f (1))＝f (2)＝3. ∴f (1)＝2，f (2)＝3.f (3)＝3f (1)＝6，f (6)＝f (3·2)＝3f (2)＝9， f (9)＝3f (3)＝18，f (18)＝3f (6)＝27， f (27)＝3f (9)＝54，f (54)＝3f (18)＝81.依此类推归纳猜出：f (3k －1)＝2×3k －1(k ∈N *)．下面用数学归纳法证明： (1)当k ＝1时，显然成立； (2)假设当k ＝l (l ≥1)时成立，即f (3l －1)＝2×3l －1，那么当k ＝l ＋1时，f (3l )＝f (3×3l －1)＝3f (3l －1)＝3×2×3l －1＝2·3l.猜想成立，由(1)、(2)所证可知，对k ∈N *f (3k －1)＝2×3k －1成立．(3)存在p ＝3k －1＋1，当p 个连续自然数从3k －1→2×3k －1时，函数值正好也是p 个连续自然数从f (3k －1)＝2×3k －1→f (2×3k －1)＝3k.。

6．计数原理、二项式定理和数学归纳法1．已知等式(1＋x )2n －1＝(1＋x )n －1(1＋x )n.(1)求(1＋x )2n －1的展开式中含x n 的项的系数，并化简：C 0n －1C n n ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ；(2)证明：(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n (C n n )2＝n C n2n －1. (1)解 (1＋x )2n －1的展开式中含x n 的项的系数为C n2n －1，由(1＋x )n －1(1＋x )n＝(C 0n －1＋C 1n －1x ＋…＋C n －1n －1xn －1)(C 0n ＋C 1n x ＋…＋C n n x n )可知，(1＋x )n －1(1＋x )n的展开式中含x n的项的系数为C 0n －1C n n ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n . 所以C 0n －1C n n ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ＝C n2n －1. (2)证明 当k ∈N *时，k C kn ＝k ·n ！k ！(n －k )！＝n ！(k －1)！(n －k )！＝n ·(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝n C k －1n －1，所以(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n (C n n)2＝∑k ＝1n[k (C k n )2]＝k ＝1n (k C k n C k n )＝k ＝1n (n C k －1n －1C k n )＝n k ＝1n (C k －1n －1C kn )＝n k ＝1n (C n －k n －1C kn )．由(1)知C 0n －1C n n ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ＝C n2n －1， 即k ＝1n (C n －k n －1C k n )＝C n2n －1，所以(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n (C n n )2＝n C n2n －1.2．(2017·江苏泰州中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知点A (0，－1)，P n (x n0，y n0)，n ∈N *.记直线AP n 的斜率为k n . (1)若k 1＝2，求P 1的坐标； (2)若k 1为偶数，求证：k n 为偶数．(1)解 因为k 1＝2，所以y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2，解得x 0＝1，y 0＝1，所以P 1的坐标为(1,1)．(2)证明 方法一 设k 1＝2p (p ∈N *)，即y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2p .所以x 20－2px 0＋1＝0，所以x 0＝p ±p 2－1.因为y 0＝x 2，所以k n ＝y n 0＋1x n 0＝x 2n0＋1x n 0＝x n0＋1x n 0，所以当x 0＝p ＋p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＋p 2－1n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n.同理，当x 0＝p －p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n.①当n ＝2m (m ∈N *)时，k n ＝2∑k ＝0mC 2k n pn －2k(p 2－1)k，所以k n 为偶数．②当n ＝2m ＋1(m ∈N )时，k n ＝2∑k ＝0mC 2k n pn －2k(p 2－1)k，所以k n 为偶数．综上，k n 为偶数．方法二 因为⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0⎝⎛⎭⎪⎫x n ＋10＋1xn ＋10＝x n ＋20＋1x n ＋20＋x n0＋1x n 0，所以k n ＋2＝k 1k n ＋1－k n .k 2＝x 20＋1x 20＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 02－2＝k 21－2. 设命题p (n )：k n ，k n ＋1均为偶数．以下用数学归纳法证明“命题p (n )是真命题”．①因为k 1是偶数，所以k 2＝k 21－2也是偶数．当n ＝1时，p (n )是真命题；②假设当n ＝m (m ∈N *)时，p (n )是真命题，即k m ，k m ＋1均为偶数，则k m ＋2＝k 1k m ＋1－k m 也是偶数，即当n ＝m ＋1时，p (n )也是真命题．由①②可知，对n ∈N *，p (n )均是真命题，从而k n 是偶数．3．(2017·江苏扬州中学模拟)在数列{a n }中，a n ＝cos π3×2n －2(n ∈N *)(1)试将a n ＋1表示为a n 的函数关系式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1－2n ·n ！(n ∈N *)，猜想a n 与b n 的大小关系，并证明你的结论． 解 (1)a n ＝cos π3×2n －2＝cos 2π3×2n －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3×2n －12－1， ∴a n ＝2a 2n ＋1－1， ∴a n ＋1＝±a n ＋12，又n ∈N *，n ＋1≥2，a n ＋1＞0， ∴a n ＋1＝a n ＋12.(2)当n ＝1时，a 1＝－12，b 1＝1－2＝－1，∴a 1＞b 1，当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝12，∴a 2＝b 2， 当n ＝3时，a 3＝32，b 3＝1－19＝89，∴a 3＜b 3， 猜想：当n ≥3时，a n ＜b n ，下面用数学归纳法证明． ①当n ＝3时，由上知，a 3＜b 3，结论成立． ②假设当n ＝k ，k ≥3，n ∈N *时，a k ＜b k 成立， 即a k ＜1－2k ·k ！， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋12＜2－2k ·k ！2＝1－1k ·k ！， b k ＋1＝1－2(k ＋1)·(k ＋1)！，要证a k ＋1＜b k ＋1，即证明⎝⎛⎭⎪⎫ 1－1k ·k ！2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2(k ＋1)·(k ＋1)！2， 即证明1－1k ·k ！＜1－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)·(k ＋1)！2，即证明1k ·k ！－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)·(k ＋1)！2＞0， 即证明(k －1)2k (k ＋1)·(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)·(k ＋1)！2＞0，显然成立．∴n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n ≥3时，a n ＜b n 成立．综上可得：当n ＝1时，a 1＞b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2， 当n ≥3，n ∈N *时，a n ＜b n .4．已知f n (x )＝C 0n x n－C 1n (x －1)n ＋…＋(－1)k C k n (x －k )n ＋…＋(－1)n C n n (x －n )n，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n .(1)试求f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )的值；(2)试猜测f n (x )关于n 的表达式，并证明你的结论． 解 (1)f 1(x )＝C 01x －C 11(x －1)＝1，f 2(x )＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x －1)2＋(x －2)2＝2，f 3(x )＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6.(2)猜测f n (x )＝n ！，n ∈N *. 以下用数学归纳法证明．①当n ＝1时，f 1(x )＝1，等式成立． ②假设当n ＝m 时，等式成立，即f m (x )＝k ＝0m (－1)k C k m (x －k )m ＝m ！.当n ＝m ＋1时，则f m ＋1(x )＝k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1·(x －k )m ＋1.因为C k m ＋1＝C k m ＋C k －1m ，k C k m ＋1＝(m ＋1)·C k －1m ，其中k ＝1,2，…，m ， 且C 0m ＋1＝C 0m ，C m ＋1m ＋1＝C mm ，所以f m ＋1(x )＝k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k )m ＋1＝x k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k )m －k ＝0m ＋1(－1)k k C km ＋1(x －k )m＝x k ＝0m(－1)k C k m(x －k )m＋x ∑k ＝1m ＋1·(－1)k Ck －1m(x －k )m－(m ＋1)∑k ＝1m ＋1·(－1)k C k －1m (x －k )m＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)k ＝0m (－1)k C km ·[(x －1)－k ]m＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)·m! ＝(m ＋1)·m ！＝(m ＋1)！. 即n ＝m ＋1时，等式也成立．由①②可知，对n ∈N *，均有f n (x )＝n ！.。

3.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在 2x2-⎪的二项展开式中，x的系数为（D）5.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）⎛x+1⎫⎪的展开式中常数项为(B)(A)35精选全文完整版（可编辑修改）学习好资料欢迎下载二项式定理高考真题一、选择题1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同(1+x)7的展开式中x2的系数是（D）（A）42（B）35（C）28（D）212.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x)5的展开式中，x2的系数等于（B）（A）80（B）40（C）20（D）10⎛1⎫5⎝x⎭(A)10(B)-10(C)40(D)-404.（2011.天津高考理科.T5）在(x-2)6的二项展开式中，x2的系数为（C）2x（A）-15153（B）（C）-（D）448388⎝2x⎭3535(B)(C)(D)10516846.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）(1-3x)5的展开式中x3的系数为(A)(A)-270(B)-90(C)90(D)2707.(2013·大纲版全国卷高考理科·T7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是(D)8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）⎛ x + a ⎫⎪⎛ 2x - 1 ⎫⎪的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常 （ 12.（2011·湖北高考理科·T11） x - ⎪ 的展开式中含 x 15的项的系数为 17 .）16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设（x - 1)21 = a + a x + a x 2 + + a x 21 ，则17.（2011·广东高考理科·Ｔ10） x( x - )7的展开式中， x 4 的系数是___84___ (用数字作答)A.56B.84C.112D.1685 ⎝x ⎭⎝ x ⎭数项为（ D ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）409. (2011·重庆高考理科·T4) (1 + 3x) n (其中 n ∈ N 且 n ≥ 6 )的展开式中 x 5 与 x 6 的系数相等,则 n =( B)(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 910． 2011·陕西高考理科·T4） (4 x - 2- x )6 （ x ∈ R ）展开式中的常数项是 （C ）（A ） -20（B ） -15（C ）15 （D ）20二、填空题11. ⎛ 1 ⎫6（2013·天津高考理科·Ｔ10） x - ⎪ 的二项展开式中的常数项为 15 .⎝ x ⎭⎛ 1 ⎫18⎝ 3 x ⎭13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）(1- x )20 的二项展开式中，x 的系数与 x 9 的系数之差为0 .14.（2011·四川高考文科·Ｔ13 （x + 1)9 的展开式中 x 3的系数是 84 （用数字作答）.15.(2011·重庆高考文科·T11) (1 + 2 x) 6的展开式中 x 4 的系数是240 .0 1 2 21a +a =0 .10112x18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若 x-x2⎪⎭19.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）若(x+)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，120.（2013·安徽高考理科·Ｔ11）若 x+3x⎭x4的系数为7，则实数a=_________。

高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.二项式(2－)6的展开式中所有有理项的系数和等于________．(用数字作答)【答案】365【解析】T＋1＝·(2)6－r·(－1)r·x－r＝(－1)r·26－r，r＝0,1,2,3,4,5,6，当r＝0,2,4,6时，rT＋1＝(－1)r26－r为有理项，则所有有理项的系数和为26＋24＋22＋20＝365.r2.在的展开式中，记项的系数为，则（）A．45B．60C．120D．210【答案】C【解析】由题意可得，故选C【考点】二项式系数.3.的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)【答案】【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.【考点】本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档. 4.设是大于1的自然数，的展开式为.若点的位置如图所示，则.【答案】【解析】由图易知，则，即，解得.【考点】1.二项展开式的应用.5.的展开式中第5项的二项式系数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由二项展开式的通项公式得，第5项的二项式系数为.【考点】二项式定理.6.（5分）（2011•重庆）（1+2x）6的展开式中x4的系数是．【答案】240【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为4，求出展开式中x4的系数．解：展开式的通项为Tr+1=2r C6r x r令r=4得展开式中x4的系数是24C64=240故答案为：240点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．7.的二项展开式中，常数项为______．【答案】【解析】二项式的通项，令，得，故展开式中常数项为．【考点】二项式定理．8.的二项展开式中常数项为________．（用数字作答）【答案】【解析】通项，令，则，所以二项展开式中常数项为.【考点】二项式定理。

9.设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为b．若,则m=( )A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】由题意知：,,所以,∴．∴解得m=6．10.在的展开式中，的系数是（）A．－297B．－252C．297D．207【答案】D【解析】∵原式=．∴欲求原展开式中x 5的系数，只需求出展开式中x5和x2的系数．而=1+…+x2+…+x5+…．故展开式中，x5的系数为－=207．11.若＝x n＋…＋ax3＋bx2＋…＋1（n∈N*），且a∶b＝3∶1，那么n=_____．【答案】11【解析】，由已知有．12.展开式中含项的系数是_________．【答案】【解析】，所以的系数为．【考点】二项展开式的系数．13.的展开式中，常数项是______________.【答案】【解析】由二项式定理得，，令，得，故展开式中的常数项为．【考点】二项式定理.14.的展开式中x3的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）【答案】80【解析】∵，令，∴，∴.【考点】二项式定理.15.若是展开式中项的系数，则．【答案】【解析】由题意，，∴，∴．【考点】二项展开式的通项与裂项相消法求和，极限．16.二项式展开式中的常数项是_________．（用数字作答）【答案】.【解析】由二项展开式的通项公式得，二项式展开式中的常数项是.【考点】二项定理.17.若的二项展开式中，所有项的二项式系数和为，则该展开式中的常数项为 .【答案】15【解析】∵所有项的二项式系数和为64，∴，∴，∴，∴，令，即，∴常数项为.【考点】二项式定理.18.已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x5的系数是189,则实数m=()A．3B．-3C．±3D．5【答案】C【解析】(x-m)7=(-m+x)7,则Tk+1=x k(-m)7-k,令k=5,得m2=189,解得m=±3.19. (x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a+a1+a2+…+a11的值为()A．2B．-1C．-2D．1【答案】C【解析】∵(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,∴令x=-1,得2×(-1)9=a0+a1+a2+…+a11,即a0+a1+a2+…+a11=-2.【方法技巧】求展开式中的系数和的方法一般采用赋值法:即把式子看成某字母的函数,再结合所求系数式子的特点,分别令字母取一些常数0,1,-1等,便可求得系数和.20.在(x4+)10的展开式中常数项是(用数字作答).【答案】45【解析】(x4+)10的通项为=()r=,令40-5r=0,解得r=8,代入得常数项为==45.21.二项式展开式中的常数项为 .【答案】【解析】的展开式的通项，令可得，则常数项为.【考点】二项式展开式的通项公式22.已知n(n∈N*)的展开式中，前三项系数成等差数列，则展开式中的常数项是 ()．A．28B．70C．D．【答案】C【解析】展开式的前三项的系数分别为，，，则由题意可得＋＝，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8(n＝1舍去)．于是Tr＋1＝r＝x，若Tr＋1为常数项，则8－r＝0，即r＝6.故展开式中的常数项为T7＝＝.23.二项式的展开式中，含的项的系数是___________.【答案】-126【解析】利用二项展开式通项公式可得，，令，可得，代入可得所求系数为．【考点】二项展开式通项公式．24.展开式中的系数是________．【答案】－3【解析】，所以的系数为：－3【考点】二项式定理及多项式的乘法.25.设…，则…＝．【答案】【解析】中正负相间，当然我们可以通过令求出和，此题我们还可以用另外一种方法，设，则全为正，，，所以．【考点】二项展开式的系数．26.设的展开式中的系数为,二项式系数为,则 .【答案】4【解析】的展开式的通项公式为.由得.又.注意B只是的二项式系数.【考点】二项式定理.27.的展开式中常数项为___________________．【答案】【解析】常数项为.【考点】二项式定理.28.的展开式中的系数是__________.【答案】【解析】原式=，中的通项为，则，，当，即，此时这项中的系数为；当，即，此时这项中的系数为，所以原式展开式中的系数为.【考点】1.二项式定理中项的系数的表示；2.二项式定理的运算.29.设常数，若的二项展开式中项的系数为，则 .【答案】-2【解析】的二项展开式中第项为，若含的这一项，则，所以，为，所以项的系数为，即.【考点】二项式定理30.的展开式中的常数项是 .（用数字作答）【答案】【解析】的展开式的第项为，令，故的展开式中的常数项为.【考点】二项式定理31. (1-x)3(1-)3展开式中常数项是( )A．－20B．18C．20D．0【答案】C【解析】要求原式的常数项即求中的系数，【考点】二项式定理32.的展开式中的系数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】二项式定理求系数33.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】根据题意，由于二项式的展开式的第二项的系数为，则可知为，故可知，故可知结论为或，选C.【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的展开式通项公式的运用，属于基础题。

二项式定理复习一、学习目标：1、能用计数原理证明。

2、会用二项式定理解决系数和、常数项、最大值等与二项展开式有关的简单问题。

二、命题规律与命题趋势：高考对二项式定理的考查，主要涉及利用通项公式求展开式的特定项，利用二项展开式性质求系数或与系数有关的问题，利用二项式定理进行近似计算。

题型以选择、填空为主，少有综合性的大题。

高考重点考查通项公式和项的系数的概念，同时考查了运算能力。

三、常考点：1、二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式（2）项数：二项展开式中共有1+n 项（3）二项式系数：),,2,1,0(n r C r n =叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数（4）通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+3、展开式的特点（1）系数 都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C n n ,…,C nn (2)指数的特点①a 的指数 由n 0( 降幂)。

②b 的指数由0 n （升幂）。

③a 和b 的指数和为n 。

(3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数。

4、二项式系数的性质：（1）对称性:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 （2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n n C当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n n C =21+n n C（3）二项式系数的和： 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 基本题型(一)通项公式的应用 1、6)12(xx +的展开式中第三项的二项式系数为________；第三项的系数为_______； 常数项为_______；含4x 的项为______。