闭区间上连续函数性质的研究1 引言连续函数在闭区间上的性质是深入了解连续函数性质的一个重要方面，是不可忽略的基石．掌握闭区间上连续函数的性质可帮助我们制作机器零件，可应用到建筑生活中去．20世纪分析学的一个特征是多变量函数的整体性质，但要以闭区间上连续函数性质为基础．闭区间上连续函数的性质将随着数学发展终将成为世人皆知的常识．19世纪柯西以及维尔斯特拉斯等数学家建立起严格极限理论后，数学家们对连续函数做出了纯数学的精确表述．连续函数在以后的数学研究中起着举足轻重的作用．它在闭区间上的性质可以结合几何用来解决介值问题、求根问题、多元函数极值问题，也可由此得知反函数、初等函数的相关性质．然而，文献中多为孤立表述数学分析中闭区间上连续函数的性质，与其它数学知识结合较少．本文将把数学分析与实变函数相联系加以陈述．2 整体性质及其证明方法归纳在数学分析中，对于闭区间上连续函数的几个重要性质的证明，不同的教科书上所采用的方法大致相同．选择证法通常是考虑这样几点：一要容易想到；二要简单；三是着眼于推广．本部分内容分别使用区间套定理，有限覆盖定理和致密性定理来证明闭区间上连续函数的四个重要性质．2.1 有界性定理定理 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上有界．证明[证法一]（应用区间套定理） 假设()f x 在[],a b 上无界．考察[],a b 的两个闭子区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦和,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可以断定()f x 至少在一个闭子区间上无界，我们记这闭子区间为[]11,a b ．然后以[]11,a b 代替[],a b ，重复上面的讨论，又可得到闭子区间[]22,a b ，函数()f x 在这闭子区间上无界．继续这样的手续，我们得到一个闭区间列[]{},n n a b 满足条件1）[][]11,,a b a b ⊃⊃…[],n n a b ⊃⊃…， 2）02n n n b ab a -<-=，且函数()f x 在[],n n a b （1,2,n =…）上无界．由区间套定理，闭区间套[],n n a b 收缩于唯一的一点[]lim lim ,n n c a b a b ==∈．因为函数()f x 在c 点连续，所以存在0η>使得()f x 在(),U c η上是有界的：(),(,)f x K x U c η≤∀∈．又可取m 充分大，使得,m m a c b c ηη-<-<．这时就有[](),,m m a b U c η⊂，因而有[](),,m m f x K x a b ≤∀∈．但这与闭子区间[],m m a b 的选取方式矛盾（按照我们的选取方式，函数()f x 应在闭子区间[],m m a b 上无界）．这一矛盾说明：所作的反证法假设不能成立．函数()f x 在闭区间[],a b 上应该是有界的．[证法二]（应用有限覆盖原理） 由连续函数的局部有界性，对每一点[],x a b '∈，都存在邻域(,)x U x δ''及正数x M '，使得[](),(,),x x f x M x U x a b δ'''≤∈I ．考虑开区间集[]{(,)|,}x H U x x a b δ'''=∈，显然H 是[],a b 的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集[]{(,)|,,1,2,i i i H U x x a b i δ*=∈=…,}k覆盖了[],a b ，且存在正数1M ，2M ，…，k M ，使得对一切[](,),i i x U x a b δ∈I 有()i f x M ≤，i =1，2，…，k ，令1max i i kM M ≤≤=，则对任何[],x a b ∈，x 必属于某(,)()i i i U x f x M M δ⇒≤≤．这就证得()f x 在[],a b 上有界．[证法三]（应用致密性定理） 倘若()f x 在[],a b 上无上界，则对任何正整数n ，存在[],n x a b ∈，使得()n f x n >，依次取1,2,n =…，则得到数列[],n x a b {}⊂．由致密性定理，它含有收敛子列k n x {}，记lim k n k x ξ→∞=．由k n a x b ≤≤及数列极限的保不等式性，[],a b ξ∈．利用()f x 在点ξ连续，推得lim ()()k n k f x f ξ→∞=<+∞ (1)另一方面，由n x 的选取方法又有()lim ()k k n k n k f x n k f x →∞>≥→+∞⇒=+∞，这与(1)式矛盾．所以()f x 在[],a b 上有上界．类似的可证()f x 在[],a b 上有下界，从而()f x 在[],a b 上有界．2.2 最大、最小值定理定理 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上有最大值与最小值．证明（应用确界原理） 由于已证得()f x 在[],a b 上有界，故由确界原理，()f x 的值域[](,)f a b 有上确界，记为M ．以下我们证明：存在[],a b ξ∈，使()f M ξ=．倘若不然，对一切[],x a b ∈都有()f x M <．令[]1(),,()g x x a b M f x =∈-．易见函数()g x 在[],a b 上连续，故()g x 在[],a b 上有上界．设G 是()g x 的一个上界，则[]10(),,()g x G x a b M f x <=≤∈-．从而推得[]1(),,f x M x a b G≤-∈． 但这与M 为[](,)f a b 的上确界（最小上界）相矛盾．所以必存在[],a b ξ∈，使()f M ξ=，即()f x 在[],a b 上有最大值．同理可证()f x 在[],a b 上有最小值． 2.3 介值性定理定理 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()f a f b ≠．若μ为介于()f a 与()f b 之间的任何实数（()()f a f b μ<<或()()f a f b μ>>），则存在()0,x a b ∈，使得0()f x μ=． 证明[证法一]（应用确界原理） 不妨设()()f a f b μ<<．令()()g x f x μ=-，则()g x 也是[],a b 上的连续函数，且()0g a <，()0g b >．于是定理的结论转化为：存在()0,x a b ∈，使得0()0g x =．这个简化的情形称为根的存在性定理．记{[]}()0,,E x g x x a b =>∈．显然E 为非空有界数集（[],E a b ⊂且b E ∈），故由确界原理，E 有下确界，记0inf x E =．因()0g a <，()0g b >，由连续函数的局部保号性，存在0δ>，使得在[],a a δ+内()0g x <，在(,]b b δ-内()0g x >，由此易见00,x a x b ≠≠，即()0,x a b ∈．下证0()0g x =．倘若0()0g x ≠，不妨设0()0g x >，则又由局部保号性，存在()0,U x η()(,)a b ⊂，使在其内()0g x >，特别有00()022g x x E ηη->⇒-∈．但这与0inf x E=相矛盾，故必有0()0g x =．[证法二]（应用区间套定理） 同上述证法一，我们把问题转化为证明根的存在性定理，即若函数()g x 在[],a b 上连续，()0g a <，()0g b >，则存在0(,)x a b ∈使得0()0g x =．将[],a b 等分为两个子区间[],a c 与[],c b ．若()0g c =，则c 即为所求；若()0g c ≠，则当()0g c >时记[][]11,,a b a c =，当()0g c <时记[][]11,,a b c b =．于是有1()0g a <，1()0g b >，且[][]()11111,,,2a b a b b a b a ⊂-=-．再从区间[]11,a b 出发，重复上述过程，得到：或者在[]11,a b 的中点1c 上有1()0g c =，或者有闭区间[]22,a b ，满足22()0,()0g a g b <>，且[][]22112221,,,()2a b a b b a b a ⊂-=-． 将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：1）在某一区间的中点i c 上有()0i g c =，则i c 即为所求；2）在任一区间的中点i c 上均有()0i g c ≠，则得到闭区间列[]{,}n n a b ，满足()0,()0n n g a g b <>，且[][]111,,,(),1,2,2n n n n n n n a b a b b a b a n ++⊂-=-=…． 由区间套定理，存在点[]0,,1,2,n n x a b n ∈=…．下证0()0g x =．倘若0()0g x ≠，不妨设0()0g x >，则由局部保号性，存在()0,U x δ，使在其内有()0g x >．而由区间套定理的推论①，当n 充分大时有[]0,(,)n n a b U x δ⊂，因而有()0n g a >．但这与[],n n a b 选取时应满足的()0n g a <相矛盾，故必有0()0g x =．２.4 一致连续性定理定理 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上一致连续．证明[证法一]（应用有限覆盖定理） 由()f x 在[],a b 上的连续性，任给0ε>，对每一点[],x a b ∈，都存在0x δ>，使得当(,)x x U x δ'∈时有()()2f x f x ε'-<． (2)考虑开区间集合[]{(,)|,}2xH U x x a b δ=∈，显然H 是[],a b 的一个开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集{(,)|1,2,2ii H U x i δ*==…，}k覆盖了[],a b ．记1min{}02i i kδδ≤≤=>．对任何[],,x x a b '''∈，x x δ'''-<，x '必属于H *中某开区间，设(,)2ii x U x δ'∈即2ii x x δ'-<．此时有222iiii i i x x x x x x δδδδδ''''''-≤-+-<+≤+= ，故由(2)式同时有()()2i f x f x ε'-<和()()2i f x f x ε''-<．由此得()()f x f x ε'''-<．所以()f x 在[],a b 上一致连续．[证法二]（应用致密性定理） 用反证法．倘若()f x 在[],a b 上不一致连续，则存在某00ε>，对任何0δ>，都存在相应的两点[],,x x a b '''∈，尽管x x δ'''-<，但有0()()f x f x ε'''-≥．令1n δ=（n 为正整数），与它相应的两点记为[],,n n x x a b '''∈，尽管1x x n'''-<，但有 0()()n n f x f x ε'''-≥． (3) 当n 取遍所有正整数时，得数列{}n x '与{}[],n x a b ''⊂．由致密性定理，存在{}n x '的收敛子列{}k n x '，设[]0,()k n x x a b k '→∈→∞．同时由0010()k k k k k k n n n n n n kx x x x x x x x k n '''''''''-<⇒-≤-+-→→∞， 又得0()k n x x k ''→→∞．最后，由(3)式有0()()k k n n f x f x ε'''-≥，在上式中令k →∞，由()f x 的连续性及数列极限的保不等式性，得到0000()()lim ()()k k n n k f x f x f x f x ε→∞'''=-=-≥．这与00ε>相矛盾．所以()f x 在[],a b 上一致连续．3 关于闭区间上连续函数性质的探讨此部分内容对闭区间上连续函数的各个性质定理的条件加以探讨，若其中部分条件更换，结论是否成立，并以具体例子将其中差别表现出来．1）有界性定理 (i) 闭区间 (ii) 连续当条件(i)改为开区间(),a b 时，有界性定理的结论不一定成立．如1()f x x=，虽然()f x 在开区间()0,1上连续，但是当0x →时，函数值趋于+∞．所以()f x 在()0,1上无界．当条件(ii)不成立，即()f x 在[],a b 上不连续时，不能保证有界性定理的结论成立．如()tan f x x =在[]0,π上不连续，显然()f x 在[]0,π上无界．2) 最大、最小值定理 (i) 闭区间 (ii) 连续开区间上的连续函数即使有界，也不一定能取到最大（小）值．例 ()f x x =在(0,1)连续而且有界，因而有上确界和下确界：{}(0,1)sup()1x M f x ∈==，{}(0,1)inf()0x m f x ∈==．但是，()f x 在区间(0,1)取不到1M =与0m =．当条件(ii)不成立，即()f x 在[],a b 上不连续时，不能保证最大、最小值定理的结论成立．如()tan f x x =在[]0,π上不连续，显然()f x 在[]0,π上无最值．由此可知，两个条件缺一不可．此定理只是一个充分条件，逆定理不成立．反例：定义在[]0,1上的狄利克雷函数虽然有最大值1和最小值0，但是函数在定义域上处处不连续．3) 介值性定理，定理逆命题不成立．即：若()f x 在闭区间[],a b 上有定义，且()()f a f b ≠，μ介于()f a 与()f b 之间的任何实数，则至少存在一点()0,x a b ∈，使得0()f x μ=．这些条件不能保证()f x 在[],a b 上连续．反例 [](],0,1()1,1,2x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-+∈⎪⎩在[]0,2上有定义．(0)0,(2)1f f ==-．对于介于1-和1之间的任意数μ，总存在[]00,2x ∈，使得0()f x μ=．满足定理中条件，但()f x 在点1x =处不连续．4) 一致连续性定理 (i) 闭区间若()f x 在开区间(),a b 上每一点都连续，并不能得到()f x 在(),a b 上一致连续． 例 证明函数1y x=在()0,1内不一致连续． 证明 若证函数()f x 在区间()0,1上不一致连续，只需00,ε∃>0,,(0,1)x x δ'''∀>∃∈．尽管x x δ'''-<，但0()()f x f x ε'''-≥．对于函数1y x =，可取01ε=．对1()2δ∀<，只需取x δ'=和2x δ''=．虽有 2x x δδ'''-=<，但1111x x δ-=>'''． 所以1y x=在()0,1内不一致连续． 该定理为充要条件，一致连续则必定连续，逆定理成立．4 特殊例子闭区间上连续函数的性质是高等数学中非常重要的一部分内容，并且有很多应用．1975年，李天岩与James A ·Yorke 发表在《美国数学月刊》上的论文《周期3蕴涵混沌》(Period Three ImpliesChaos)，正是闭区间上连续函数性质的巧妙应用．我是想通过若干例子，刻画一下这些性质的应用，进而提高人们对这些性质的认识．例[1](74)1P 设函数()(),lim ()x f x C R f x →∞∈=+∞．证明()f x 在R 上可取到最小值．分析 直接使用条件中的()()f x C R ∈，这一结论未必易证．关键是要将无穷区间的问题“转移”到有限闭区间上来考虑．考虑常数(0)f ．利用条件lim ()x f x →±∞=+∞可以看出必定存在0a <及0b >，使对(][),,x a b ∀∈-∞+∞U 都有()(0)f x f ≥成立．由此不难判定()f x 在有限闭区间[],a b 上的最小值即为所求．例[2](104)2P 设()f x 在[)(],(,)a a +∞-∞上连续，且()()()f x f a x →→+∞，(()()())f x f a x →→-∞，则()f x 必达到其在[)(],(,)a a +∞-∞上的最大、最小值，且至少有一个在内点达到．证明 若()f x 在[),a +∞上恒为常数：()()f x f a ≡，则结论显然．设()()f x f a ≠，则必存在()1,x a ∈+∞，使得1()()f x f a >或1()()f x f a <．现设前者发生，来证()f x 必在[),a +∞的某一内点达到最大值．因为()()()f x f a x →→+∞，所以对10()()02f x f a ε-=>，存在0A a >，使得当0x A ≥时有101()()()()()2f x f a f x f a f x ε+<+=<于是，在[]0,a A 上，()f x 连续，必达到其最大值，但由上所证，有()10,x a A ∈，使得101()(),()()f a f x f A f x <<所以()f x 在[]0,a A 上的最大值不可能在端点达到，故存在0(,)a A ξ∈，使得[]01,()max ()()x a A f f x f x ξ∈=≥又因为当0x A ≥时有1()()f x f x <， 所以[)()max ()(,)f f x x a ξ=∈+∞再来证()f x 在[),a +∞上必达到其最小值．若[),x a ∀∈+∞，有()()f a f x ≤，则[)()min ()(,)f a f x x a =∈+∞结论成立．现设至少存在0(,)x a ∈+∞，使得0()()f x f a <，因为()()()f x f a x →→+∞，所以对01()()02f a f x ε-=>，存在0B a >，使得当0x B ≥时有000()()()()()2f x f a f x f a f x ε+>-=>于是，对闭区间[]0,a B 上的连续函数()f x 有000()(),()()f a f x f B f x >>，故其最小值不能在端点a 与0B 处达到，即必存在()0,a B η∈，使得[]00()min ()()(,)f f x f x x a B η=≤∈又因为当0x B ≥时有0()()f x f x >，所以[)()min ()(,)f f x x a η=∈+∞．同理可证(],a -∞的情形．例[2](103)3P 证明方程30(0)x px q p ++=>有且仅有一个实根．证明 设3()(0)f x x px q p =++>，则()f x 在(,)-∞+∞上连续，且因为0p >，所以对足够大的,0A B >，有2()()0f A A A p q =++> 2()()0f B B B p q -=-++<由连续函数介值定理，至少存在(,)B A ξ∈-，使得()0f ξ=，即方程()0f x =有实根(,)(,)B A ξ∈-⊂-∞+∞．为证唯一性，只要证()f x 在(,)-∞+∞上严格单调即可，因为12,(,)x x ∀∈-∞+∞，当12x x >时，有33121212()()()()0(0)f x f x x x p x x p -=-+->>所以()f x 在(,)-∞+∞上严格单调增．于是方程()0f x =在(,)-∞+∞上有且仅有一个实根．例[2](111)4P 证明方程ln (0)ax x a =<在(0,)+∞内有且仅有一根．证明 设1()(0)af x x a =<，2()ln f x x =．因为12,(0,)x x ∀∈+∞，1112()()f x f x ≠，2122()()f x f x ≠且1122(1)1(2),(1)0(2)f f f f =>=<．因为1()f x 在(0,)+∞上严格单调减，2()f x 在(0,)+∞上严格单调增，故若方程12()()f x f x =有解，必唯一；令12()()()F x f x f x =-，则()F x 在(0,)+∞上连续，且(1)10F =>，()()F x x →-∞→+∞． 故存在1A >，使()0F A <，由连续函数介值定理知，存在(1,)A ξ∈，使()0F ξ=，即12()()f f ξξ=．例[1](74)5P 设函数()f x 在[],a b 上定义，且()f x 的每个值恰好取到两次，证明()f x 在[],a b 上必不连续．分析 用反证法．若[](),f x C a b ∈，由条件()f x 在[],a b 上可在两处取到最大值，两处取到最小值．因此，这四处最值点中至少有两处在(),a b 内，不失一般性，可记()()[](){}0000,max ,x a b f x f x f x a x x b ∈''==<<≤现在(),a b 内取三点()12310230,,x x x x x x x x '<<<<．记()()()()123max ,,A f x f x f x =，(),a b 内至少有三处()f x 取值相同且都等于A ，这与题设条件矛盾．用介值定理不难写出完整的证明．例6 设函数()(),f x C a b ∈，若{}{}(),,n n x y a b ∃⊂，满足lim lim n n n n x y a →∞→∞==，且有()()lim ,lim n n n n f x A f y B →∞→∞==，则对λ∀（λ介于,A B 之间），证明存在{}(),n z a b ⊂，使lim n n z a →∞=且()lim n n f z λ→∞=．分析 不失一般性可令A B λ<<．利用函数极限的局部保号性，可证明当n 充分大时恒有()n f x λ<，而()n f y λ>．只要在闭区间[](),,n n x y a b ⊂（或[](),,n n y x a b ⊂）上应用连续函数的介值定理，则此时总可以找到介于,n n x y 之间的n z ，使得()n f z λ=恒成立．例7 设周期函数()()f x C R ∈且以0T >为其周期，证明()f x 在R 上一致连续． 证明 因()()f x C R ∈，故()f x 在[](),0T T T ->上一致连续，于是()0,0T εδδ∀>∃<<，使得[](),,y y T T y y δ''''''∀∈--<有()()f y f y ε'''-<．对(),x x R x x δ''''''∀∈-<，由()f x 的周期性必[],,y y T T '''∃∈-以及n Z ∈，使得,x nT y x nT y ''''''=+=+．此时有y y δ'''-<，于是()()()()()()f x f x f nT y f nT y f y f y ε''''''-=+-+'''=-<．从而()f x 在R 上一致连续．例8 ()f x 在[],a b 上连续，1a x <<…n x b <<．证明：存在[]1,n x x ξ∈，使得11()()nk k f f x n ξ==∑证明 令[1max (),M f x =…],()n f x ，[1min (),m f x =…],()n f x ，则必存在{,1,2,i j ∈…},n ，使得(),()i j f x M f x m ==，记[]11()()(),,nk k F x f x f x x a b n ==-∈∑则有[]1111()()()()0n ni i k k k k F x f x f x M f x n n ===-=-≥∑∑[]1111()()()()0n nj j k k k k F x f x f x m f x n n ===-=-≤∑∑因为()f x 在[],a b 上连续，故()F x 在[]1,,i j n x x x x ⎡⎤⊂⎣⎦（或[]1,,j i n x x x x ⎡⎤⊂⎣⎦）上连续．若()0i F x ≥或()0j F x ≤中有一个等号成立，则命题得证．现设()0i F x >且()0j F x <，由连续函数介值定理，至少存在[]1,,i j n x x x x ξ⎡⎤∈⊂⎣⎦（或[]1,,j i n x x x x ξ⎡⎤∈⊂⎣⎦），使得11()()()0nk k F f f x n ξξ==-=∑即11()()nk k f f x n ξ==∑例9 设()f x 在[],a b 上有定义，且满足条件 (i) 在[],a b 上单调有界；(ii) 函数值充满[](),()f a f b （或[](),()f b f a ），证明()f x 在[],a b 上连续．证明 不妨设()f x 在[],a b 上单调增．现假定在题设条件下，结论不成立，即至少存在[]0,x a b ∈，使()f x 在0x 处间断．由条件（i ）及单调有界变量必有极限知，()f x 在0x 处发生第一类间断．1）若0x a =，则()(0)f a f a ≠+发生．由单调增性，当[],x a b ∈时，()()()f a f x f b ≤≤，故(0)lim ()()x af a f x f a +→+=≥，由假设，等号不成立．即有()[](),(0)(),()f a f a f a f b +⊂，且[](),,()(),(0)x a b f x f a f a ∀∈∉+，这与条件（ii ）矛盾．2）现假定()0,x a b ∈，则至少有00(0)()f x f x +≠与00(0)()f x f x -≠之一发生，不妨设前者发生，同１）讨论，由单调增性，必有00()(0)f x f x <+发生，且当[]0,x a x ∈时，0()()f x f x ≤，当[]0,x x b ∈时，()[]00()(),(0)(),()f x f x f x f a f b ∉+⊂， 即[]()[]00,,()(),(0)(),()x a b f x f x f x f a f b ∀∈∉+⊂，矛盾．综合1），2），()f x 在[],a b 上任一点不可能发生右间断，同理可证，()f x 在[],a b 上任一点不可能发生左间断．5 与实变函数相联系向量值函数在一点连续，它在这点近旁所具有的局部性质，除没有局部保号性定理外，其他都与实值连续函数相类似．以下是实值连续函数在有界闭域（或有界闭集）上的整体性质在向量函数形式下的推广． 5.1 有界性定理的推广定理 设n D R ⊂为一有界闭集．若:mf D R →为D 上的连续函数，则()mf D R ⊂必定也是一个有界闭集．证明 先用反证法证()f D 为有界集．倘若()f D 无界，则存在点列{}k x D ⊂，使(),1,2k f x k k >=，…．由于D 是有界闭集，因此存在{}{}j k k x x ⊂，使0lim j k j x x D →∞=∈．又因()f D 在点0x 连续，故()f x 在点0x 局部有界，这与(),1,2,j k j f x k j j >≥=…相矛盾．再证()f D 为闭集，即若0y 为()f D 的任一聚点，欲证0()y f D ∈．设0()(),lim k k k k y f x f D y y →∞=∈=，由于{}k x D ⊂有界，因此存在收敛子列{}{}j k k x x ⊂，0lim j k j x x D →∞=∈．又因()f D 在0x 连续，从而有00lim lim ()()()j j k k j j y y f x f x f D →∞→∞===∈．上定理指出：连续映射把有界闭集映射为有界闭集．5.2 最大、最小值定理的推广定理 设n D R ⊂为一有界闭集，若:mf D R →为D 上的连续函数，则()f D 的直径是可达的，即存在,x x D '''∈，使1212,()()sup ()()x x Df x f x f x f x ∈'''-=-．证明 1）先证1m =，即()f D 为实值函数的情形．由上定理已知()f D 为有界数集，故存在inf (),sup ()s f D S f D ==．可证必有一点x D '∈使()f x S '=（同理可证存在x D ''∈，使()f x s ''=）．倘若不然，对任何x D ∈，都有()0S f x ->，则对于正值连续函数1()()F x S f x =-，F 在D 上亦有界．另一方面，因()f D 在D 上不能达到上确界S ，所以存在收敛点列{}k x D ⊂，使lim ()k k f x S →∞=．于是有lim ()k k F x →∞=+∞，导致与F 在D 上有界的结论相矛盾．从而证得()f D 在D 上能取得最大值S 和最小值s ；也就是说，()f D 的直径S s -是可达的．2）对于2m ≥，()f D 为向量值函数的情形，只需考察1212(,)()()g x x f x f x =-，它是定义在2nD D R ⨯⊂上的一个实值函数．由于D D ⨯仍为一有界闭集，因此由上面已证得的（i ），g 在D D ⨯上存在最大值，即有,x x D '''∈，使得1212,(,)()()sup ()()x x g x x f x f x f x f x ''''''=-=-，故命题结论成立．5.3 介值性定理的推广定理 设n D R ⊂是一道路连通集，则D 中任意两点之间能用一条完全含于D 的连续曲线把它们连接起来．若()f D 是D 上的连续函数，则()mf D R ⊂必定也是一个道路连通集．证明 任给,()y y f D '''∈，必有,x x D '''∈，使(),()y f x y f x ''''''==．因为D 是道路连通的，所以存在连线曲线[](),,x t D t ϕαβ=∈∈，(),()x x ϕαϕβ'''==．由复合函数的连续性定理知，复合函数[]:,mf R ϕαβ→g 也是连续的，且[](())(),,f t f D t ϕαβ⊂∈，(()),(())f y f y ϕαϕβ'''==．这表示在()f D 中存在连续曲线(())y f t ϕ=[],,t αβ∈，能把y '和y ''连接起来，即()f D 也是道路连通集．上定理是实值连续函数具有介值性的推广．5.4 一致连续性定理的推广定理 设nD R ⊂为一有界闭集．若:mf D R →是D 上的连续函数，则()f D 在D 上必定一致连续，即对于任给的0ε>，存在只依赖于ε的0δ>，只要,x x D '''∈，且满足x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<．证明 这里用致密性定理来证明．倘若()f D 在D 上连续而不一致连续，则存在某个00ε>，对于任何0δ>，例如1,1,2k k δ==，…．总有相应的点,k k x x D '''∈，虽然1k k x x k'''-<，但是0()()k k f x f x ε'''-≥．由于D 为有界闭集，因此存在收敛子列{}{}jk k x x ''⊂，使0lim j k j x x D →∞'=∈．再在{}k x ''中取出与{}j k x '下标相同的子列{}j k x ''，由于()110,j j k k j x x j k j'''-<≤→→∞，因此有 0lim lim j j k k j j x x x →∞→∞'''==．利用()f D 在0x 连续，得到00lim ()()()()0j j k k j f x f x f x f x →∞'''-=-=．而这与0()()0j jk k f x f x ε'''-≥>相矛盾，所以()f D 在D 上为一致连续[6].6 小结在这篇论文中，我陈述了闭区间上连续函数的四种性质，并且把这些性质通过例题表现出来．在这里，我们领会到：1）要善于准确的使用概念，从定义、性质出发进行论证．2）要会构造合适的辅助函数，利用辅助函数进行论证．3）要恰当的使用反证法，利用已知条件推出矛盾，证明命题．从这篇论文中，闭区间上连续函数性质的满足条件在第三部分中一目了然，能帮助我们更深刻的理解和学习连续函数．我把闭区间上的连续函数由有界闭集延拓到有界闭域，展现出数学相通的思想，也使我的学习更加全面．这就是我在参阅资料及写作论文中的想法和启示．。
