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设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
•推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值
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高等数学 ● 戴本忠
设函数 f ( x)在闭区间a, b上连续，且在这区间的端点取
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
应注意的问题:
并非任何函数都有最大值和 最小值
例 如 ， 函 数 f(x)=x在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
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例如, y = 1 sin x, 在[0, 2 ]上, ymax = 2, ymin = 0;
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 ❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
证明 设 f(x)=x34x21 则f(x)在闭区间[0 1]上连续
并且
f(0)=1>0 f(1)=2<0
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0
即
x 34x 21=0
这说明方程x34x21=0在区间(0 1)内至少有一个根是x
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第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 *三、一致连续性
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学习指导
１．教学目的：了解闭区间上连续函数的性质。 ２．基本练习：了解并通过一定的练习学习最大最
小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理在 函数值的估计和根的估计上的应用。 3．注意事项：闭区间上连续的函数有许多好的性质。 应了解在闭区间上连续函数的最大最小值定理、 有界性定理、零点定理及介值定理。了解定理的 条件和结论，并通过一定的练习学会运用它们．
三、一致连续性
定义：设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意给定 的正数ε，总存在着正数δ，使得对于区间I上的任意两 点x1,x2，当|x1-x2|< δ时，就有|f(x1)-f(x2)|< ε，那么称函 数f(x)在区间I上是一致连续的。
不论在区间I的任何部分，只要自变量的两个数 值接近到一定程度，就可使对应的函数值达到 所指定的接近程度。
mf(x)M 上式表明 f(x)在[a b]上有上界M和下界m 因此函数f(x)在 [a b]上有界
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有界性与最大值最小值定理:在闭区间上连续的 函数有界且一定有最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
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二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么
在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0
❖定理4(介值定理)
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思考题解答
不正确.
例函数
e1 , f (x) =
2,
0 x1 x=0
f ( x)在(0,1)内连续, f (0) (1) = 2e 0.
但 f ( x)在(0,1)内无零点.
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五、小结
关于闭区间上连续函数整体性质的四个定理： 有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理，
至少有一点x1[a b] 使f(x1)是f(x)在[a b]上的最大值 又至少有一点x2[a b] 使f(x2)是f(x)在[a b]上的最小值
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❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
不同的函数值
f (a) = A 及 f (b) = B,
那么，对于 A与B之间的任意一个数C ，在开区间a, b内
至少有一点x，使得 f (x ) = C (a x b).
证 设( x) = f ( x) C,
y M
则( x)在[a,b]上连续, 且 (a) = f (a) C
又如 如下函数在闭区间[0 2] 内既无最大值又无最小值
y=
f
(x)
=
x 1 1
x3
0 x1 x=1 1 x2
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❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
❖定理2(有界性定理)
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证明 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 根据定理1 存在f(x)在区间[a b]上的最大值M和最小值 m 使任一x[a b]满足
= A C,
B y = f (x) C
o
A m
(b) = f (b) C = B C,
高等数学 ●
x
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(a) (b) 0, 由零点定理, x (a, b),使 (x ) = 0,即 (x ) = f (x ) C = 0, f (x ) = C.
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二、零点定理与介值定理 ❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0，那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0
几何解释：线弧y = f (x)的两 个端点位于x轴的不同侧,则曲 线弧与x轴至少有一个交点.
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 x (a , b), 使 f (x ) = 0.
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• P74：2，3
作业
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定理5(一致连续性定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 那么它在该区间上一致连续.
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思考题
下述命题是否正确？
如果 f ( x) 在[a,b]上有定义，在(a, b) 内连续，且 f (a) f (b) 0，那么 f ( x) 在 (a, b)内必有零点.
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例如 函数f(x)=x在开区间(a b) 内既无最大值又无最小值
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❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
注: 如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点
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二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0
例1 证明方程x34x21=0在区间(0 1)内至少有一个根
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如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b 左连续,在左端点a右连续,那么函数f(x)就是在 闭区间[a,b]上连续的。
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一、有界性与最大值最小值定理
❖最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有
y = sgn x, 在(, )上, ymax = 1, ymin = 1; 在(0, )上, ymax = ymin = 1.
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❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
说明:
定理说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么
它们是研究连续函数性质的重要工具。
注意条件： 1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不全满足时上述定理不一定成立．
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内容小结
设 f (x) C[a ,b],则 1. f (x) 在 [a ,b] 上有界; 2. f (x) 在 [a ,b] 上达到最大值与最小值; 3. f (x) 在 [a ,b] 上可取最大与最小值之间的任何值;
证 令 F(x) = f (x) x, 则F(x)在[a,b]上连续,
而 F(a) = f (a) a 0, F (b) = f (b) b 0, 由零点定理, x (a,b), 使 F (x ) = f (x ) x = 0, 即 f (x ) = x.
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几何解释:连续曲线弧 y = f ( x)与水平直线 y = C至少 有一个交点.
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与 最小值m之间的任何值.
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例2 设函数 f (x)在区间[a,b]上连续, 且f (a) a,
f (b) b. 证明 x (a,b), 使得 f (x ) = x.
