闭区间上连续函数的性质(详细版)-完整版

则 ∃x1 > 0 , 使 f ( x1 ) > 0 则 ∃x 2 < 0, 使 f ( x 2 ) < 0
由零点定理， 由零点定理，得
∃ξ ∈ ( x2 , x1 ), 使 f (ξ ) = 0 即方程有实根. 即方程有实根
福州大学数计学院
13
定理3(介值定理) 在闭区间[a,b]上连续 , 定理3(介值定理) 设 f(x) 在闭区间 3(介值定理 上连续
第二类间断点
处的左、 如果 f ( x )在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存 在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 .
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3
对于连续函数，极限符号与函数符号可以交换， 因为 lim f ( x) = f ( x0 ) = f (lim x) .
x → x0 x → x0
连续的定义
复习
定义1 内有定义， 定义1 设 f ( x ) 在 U ( x 0 , δ ) 内有定义， 若 lim [ f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )] = 0 ，那末就称 f ( x ) ∆x → 0 连续， 为的连续点。 在点 x0 连续， 称 x0 为的连续点。 定义2 内有定义, 定义 设函数 f ( x ) 在 U ( x0 , δ ) 内有定义 若 lim f ( x ) = f ( x0 ) x→ x→ x 连续. 则称函数 f ( x ) 在点 x 0 连续
至少有一根 .
另例 证明 方程 x 3 − 6 x + 2 = 0 在 (－3,－2) , ( 0,1) ,
( 2,3) 内各有一个实根 .
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10
例2 证 明 方 程 x + e x = 0 在 区 间 ( − 1, 1)内 )内

则称 f ( x0 )是函数 f ( x)在区间 I上的最大值 (最小值).
例如 y 1 sin x,
在[0,2]上, ymax 2, ymin 0.
2.有界性与最大值最小值定理
定理1 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且 一定有最大值和最小值.
即：设 f (x)在[a , b] 上连续,
o
12 x
二、零点定理与介值定理
1.零点定理 定理2
即方程 f ( x) 0在(a, b)内至少存在一个实根 .
几何解释:
连续曲线弧 y f ( x)的两个端点 位于x轴两侧，则曲线弧与 x轴 至少有一个交点.
y y f (x)
a
o
bx
2.介值定理 定理3
A B,
证明 作辅助函数，
(x) f (x)C 则(x)C [a , b] ,且
证明 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F (b) f (b) b 0, 由零点定理,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0, 即 f ( ) .
小结
设 f ( x)在闭区间[a , b]上连续, (1) f ( x)在[a , b]上有界；
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
1.最大值最小值定义
对于在区间 I上有定义的函数 f ( x), 若有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ))
(2) f ( x)在[a , b]上达到最大值与最小值； (3) f ( x)在[a , b]上可取得最大值与最小值之间的任何值；

微
积
分
推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最
大值之间的任何值 .
例2. 证明方程 一个根 . 证: 显然
在区间 又 使
内至少有
故据零点定理, 至少存在一点
即
方程x 3 4 x 2 1 0在(0,1)内至少有一根 .
微
积
分
内容小结
作业：P66第1、2题 在 在 在 4. 当 注意 上有界; 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 时, 必存在 1．闭区间； 2．连续函数． 使
证 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续,
而 F ( a ) f ( a ) a 0,
F ( b ) f ( b ) b 0,
由零点定理,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
不正确.
0 x1 x0 f (0) (1) 2e 0.
f ( x ) 在(0,1) 内连续,
但 f ( x ) 在(0,1) 内无零点.
微
积
分
例3 设函数 f ( Байду номын сангаас )在区间[a , b] 上连续, 且f (a ) a ,
f (b) b. 证明 (a , b), 使得 f ( ) .
a x b
f ( 2 ) max f ( x)
a x b
o a 1 2
b
x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
微
积
分
例如, 无最大值和最小值 又如,

y
证: 作辅助函数
y f (x)
则 ( x ) C [ a , b ] , 且
(a) (b) ( A C )( B C )
B C A
O a

b x
使 故由零点定理知, 至少有一点 即 推论: 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与
最大值之间的任何值 .
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O a 1 2 y
b x
y f (x)
a
O

b x
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结束
定理3. ( 介值定理 ) 设 f ( x) C [ a , b ] , 且 f (a) A , f (b) B , A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有 一点 使
( x) f ( x) C
O
1
2
x
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结束
推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 证: 设
x[ a , b ]
由定理 1 可知有
y
x[ a , b ]
M max f ( x) , m min f ( x)
y f (x)
M
上有界 .
m
二、介值定理
定理2. ( 零点定理 ) 且 使 至少有一点
( 证明略 )
例. 证明方程 一个根 . 证: 显然 故据零点定理, 至少存在一点 说明:
x
1 , 2
在区间 又 使
内至少有
即
f
(1) 2

1 8
0,

O
二分法
1 2
3 4
则 ( 1 ,1) 内必有方程的根 ; 2

第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理
一、最值定理
定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f (x) C[ a , b ] , 则 1 ,2 [ a , b ] , 使
f
(1)
min
a xb
f
(x)
y y f (x)
f
(2 )
max
a xb
f
(x)
(证明略)
o a1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断
点 , 结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值
又如,
也无最大值和最小值
y 1
o
1x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
2 1
o 1 2x
推论. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
证: 设
由定理 1 可知有
M max f (x) , m min f (x) y
证: 令
,则
f (x1) f (x2) [ f (x1) f (x2 )]2 0
当
时, 取
或
, 则有
故由零点定理知 , 存在
使
即
内容小结
在 在 在 4. 当
上有界;
上达到最大值与最小值;
上可取最大与最小值之间的任何值;
时, 必存在
使
作业
P73 2；4.
一点
使
证: 作辅助函数
φ( x) f ( x) C
则(x) C[ a , b ] , 且
φ(a)φ(b) (A C)(B C)
y y f (x) B C A
o a bx

则面积函数 S ( ) C [ , ]
因 S ( ) 0 ,S ( ) A
S ( )

O
x
故由介值定理可知:
A ( , ) ,使S( 0) . 0 2
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因为 则 但
1 1 ,x ( n N ) , 取点 x 0 ( 0 1 ) , 1 n 2n 1


1 1 1 x x 1 2 n n 1 n( n1) 可以任意小
f ( x ) f ( x ) n ( n 1 ) 1 1 2
) 0 ,即 使 f( ( 0 , 1 ) , 故据零点定理, 至少存在一点
3 2 4 1 0
说明: 1 1 f ( ) 0 , x1 , 取 [0,1]的中点 2 8 2
则(1 , 1) 内必有方程的根 ; 2


1 2
二分法
x 1 3 3 x , 取[ 1 的中点 f ( )0 , , 1 ] 4 4 2 3 , ) 则 (1 可用此法求近似根. 2 4 内必有方程的根 ;
M max f( x ), m min f( x ) y
x [ a ,b ]
x [a ,b ]
有 m f ( x ) M , 故 x [ a , b ] ,
因此 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界 .
M
yf( x )
二、介值定理
( x ) C [ a , b ] , 定理2. ( 零点定理 ) f
显然 F ( x ) C [ a , b ]
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内容小结

即 f ( ) .
内蒙古工业大学
9
贾永旺
Advanced Mathematics
例 3 证明方程 x a sin x b ，其中 a 0 , b 0 ，至少 有一个正根，并且它不超过 a b .
证：f ( x ) x a sin x b 在0，a b上连续，
取 K max{ m , M },
内蒙古工业大学
则有 f ( x ) K .
3 贾永旺
函数f ( x )在[a, b]上有界.
Advanced Mathematics
二、介值定理
定义: 如果 x0使 f ( x0 ) 0, 则 x0称为函数
f ( x )的零点.
定理 2(零点定理) 设函数 f ( x ) 在闭区间 a, b 上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) f (b ) 0 ),
若 f ( x ) C [a , b], 则 , [a , b], 使得 x [a , b], 有 f ( ) f ( x ), f ( ) f ( x ).
y
y f ( x)
o
a


b
x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
10
贾永旺
Advanced Mathematics
小结
四个定理
最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数．
这两点不满足, 上述定理不一定成立．
解题思路
1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;
2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;

利用函数性质判定
有些函数由于其自身的性质，如周期性、有界性等，可以很 容易地判定其一致连续性。
一致连续与非一致连续函数区别
一致连续函数
对于一致连续函数，无论区间I上的点x'和x"如何接近，只要它们的距离小于某一正数δ （这个δ只与ε有关），那么函数在这两点上的函数值的差就小于ε。这说明一致连续函
数在整个区间I上都有一种“均匀”的连续性。
相关定理与引理01源自零点定理如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，则
在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=0$。
02 03
介值定理
如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同 的函数值$f(a)=A$及$f(b)=B$，则对于$A$与$B$之间的任意一个数 $C$，在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=C$ （$a<c<b$）。
判定零点存在性方法
判断函数在区间端点的函数值是 否异号。
如果异号，则根据零点存在性定 理，该区间内必存在使得函数值
为零的点。
如果同号，则需要进一步分析， 如通过求导判断函数的单调性等。
零点存在性在解决实际问题中应用
1
在求解方程根的问题中，可以利用零点存在性定 理判断方程在给定区间内是否存在根。
2
理论研究
在数学的各个分支中，连续函数的最 值性质都是重要的研究对象，具有广 泛的应用价值。
04 零点存在性定理及其应用
零点存在性定理内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续， 且f(a)与f(b)异号，则在开区间(a,b) 内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。

例 一个登山运动员从早上7:00开始攀登某座山 峰，在下午7:00到达山顶；第二天早上7:00再次从 山顶沿原路下山，下午7:00到达山脚。证明这个
运动员在这两天的某一相同时刻经过登山路线的 同一地点。
C
a
o
A
1
2 3
bx
连续y曲 f(x 线 )与水平 yC 直 至线 少有一 .
设 (x)f(x)C
则 (x)在 [a,b]上连 , 续
且 (a )f(a ) C(b)f(b)C
因 C 是f介 (a )f,(b 于 )之间 (a ) ， (b ) 0 故 ,
由零点定理, (a,b)使 ,
例如：y=x在开区间(a,b)内是连续的，但在 (a,b)内无最大值和最小值。
y
a o
b x
又如函数
在闭区间[0,2]上有间断点x=1，f(x)在此区间上 无最大最小值。
y
2
1
x
o
12
二 介值定理
1 ,若 x0使 f(x 得 0)0 ，x 则 0 为称 f函 (x)的 数 零点
定理（零点定理数） f(x设 )在函闭区[a间 ,b]上连续， 且f(a)与f(b)异号，则在开 (a,区 b)内间至少存在函
证 令 f(x ) x 3 4 x 2 1 ,则 f(x)在 [0,1]上连 , 续 又 f(0)10 , f(1 ) 20 , 由零点定理,
(a,b),使f()0, 即 34 210 ,
方x3 程 4x210在 (0,1)内至少 . 有一
方x程 34x210在 (0,1)内只有 . 一根
第7节 闭区间上连续函数 的性质
一、最值定理
1、定 义 ： 设 函 f (x数 )在I上 有 定, x义 0 I,如 果 对 任 意 xI,都有

因
f(x)a0xn1aa01x aa0xnn,
13
可见：
lim f(x) ,lim f(x)
x
x
故，存在 x1 0 , 使得 f (x1) 0;
同理存在 x 2 0 , 使得 f (x2) 0.
因 f(x)C[x2,x1], 由零点定理，知存在 x0 x2,x1
使得 f (x0) 0.
和最小值. 证明从略.
从右边的图中可以看出, y
若函数 f ( x ) 在闭区间上连 续, 则 f ( x ) 在点 和 处
y f x
分别取到最大值和最小 值.
O a
bx
5
用简单的数学符号，定理1可表述为：
f C[a,b]
, [a ,b ],使 f() m a x { f(x )} , x [a ,b ] f()min{f(x)}. x[a,b]
由零点定理, 存在 x0 (a,b) 使得
F(x0) 0.
即
f (x0) .
15
注 零点定理是介值定理的特殊情况.
y
y f x
o a x0
bx
y y f x
o a x0
bx
16
推论1 闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值 之间的任何值. 即
f C[a,b]
xm [a in ,b]f(x),x m [a a,x b]f(x),
值得注意的是，定理1中的条件 f ( x ) 在闭区间上连续，
不能改为开区间.
6
例 设函数 f ( x ) 在 a , b 内连续，且 f ( a ) 存在， 证明 f ( x ) 在 a , b 内有界.
证 因 f ( a ) 存在，由局部有界性定理，存在 0 ,