§4.2 闭区间上连续函数的性质
一、性质的证明
定理1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即∃M >0,∈∀x [a,b],有|)(x f |≤M .
证法：由已知条件得到函数)(x f 在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数
)(x f 在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从
而得到M >0.
证明：已知函数)(x f 在[a,b]连续，根据连续定义，
∈∀a [a,b]，取0ε=1，0δ∃>0,∈∀x (00,δδ+-a a )⋂[a,b],有 |)(x f )(a f -|<1.从而∈∀x (00,δδ+-a a )⋂[a,b]有 |)(x f |≤|)(x f )(a f -|+|)(|a f <|)(|a f +1
即∈∀a [a,b]，函数)(x f 在开区间(00,δδ+-a a )有界。显然开区间集 { (00,δδ+-a a )|∈a [a,b] }覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n 个开区间
{（k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b] }，k=1,2,3,…,n 也覆盖闭区间[a,b] ，且
∈∀x （k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b]，有|)(x f |≤|)(|k a f +1，k=1,2,3,…,n
取M =max{|)(||,......,)(||,)(|21n a f a f a f }+1. 于是∈∀x [a,b]，∈∃i {1，2,…，n},且∈x （i i a i a i a a δδ+-,）⋂[a,b]， 有|)(x f |≤|)(|i a f +1≤M
定理2（最值性）：若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，则函数()f x 在区间
能取到最小值m 与最大值M ，即：[]12,,x x a b ∃∈使：()1f x m =与()2f x M =
[](),x a b m f x M ∀∈⇒≤≤
证明：根据定理3，数集()[]{}|,f x x a b ∈有界。 设：sup ()[]{}|,f x x a b M ∈=
用反证法：假使[],x a b ∀∈有()f x ([],x a b ∀∈)，且()M f x -在[],a b 连续，于是函数()
1
M f x -在[],a b 连续，根据定理3，
函数
()
1
M f x -在[],a b 有界，即：0c ∃>，[],x a b ∀∈⇒
()1c M f x <-，或，()1
f x M c
<-
由上确界的定义知：M 不是数集()[]{}|,f x x a b ∈的上确界，矛盾，于是
[]2,x a b ∃∈，使()2f x M =。
定理3.(零点定理) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 连续，且)()(b f a f <0(即)(a f 与)(b f 异号)，则在开区间（a,b ）内至少存在一点c ,使)(c f =0
证明：不妨设)(a f <0，)(b f >0.用反证法，假设∈∀x [a,b]，有)(x f ≠0，将闭区间],[b a 二等分，分点为
2b a +.已知)2(b a f +≠0，如果)2
(b
a f +>0,则函数)(x f 在闭区间]2,
[b a a +的两个端点的函数值的符号相反；如果)2(b
a f +<0,则函数)(x f 在闭区间[
2
b
a +,b] 的两个端点的函数值的符号相反.于是两个闭区间]2,
[b a a +与[2
b
a +,b]必有一个使函数)(x f 在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为[11,
b a ]，有)()(11b f a f <0，
再将[11,b a ]二等分，必有一个闭区间，函数)(x f 在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为[22,b a ]，有)()(22b f a f <0，用二分法无限进行下去，得
到闭区间{[n n b a ,]}（b b a a ==00,），且
1）[a,b]⊃ [11,b a ]⊃…⊃[n n b a ,]⊃……; 2))(lim n n n a b -∞
→= n
n a
b 2lim
-∞→=0
对每个闭区间[n n b a ,]，有)()(n n b f a f <0，根据闭区间套定理（4.1定理1），存在唯一数c 属于所有的闭区间，且n n a ∞
→lim =n n b ∞
→lim =c （1）
而c ∈[a,b]，且)(c f ≠0，设)(c f >0.一方面，已知函数)(x f 在c 连续，根据连续函数的保号性，δ∃>0,x ∀:|c x -|<δ,即x ∀),(δδ+-∈c c ，有)(x f >0;另一方面，由（1）式，
当n 充分大时，有[n n b a ,]⊂),(δδ+-c c ，已知)()(n n b f a f <0，即函数)(x f 在),(δδ+-c c 中某点的函数值小于0，矛盾.于是，)(c f ≯0.同法可证)(c f ≮0.所以闭区间[n n b a ,]内至少存在一点c ,使)(c f =0.
二、 一致连续性 已知：()f x =
1
x
在()0,1连续，即：∀0x ∈()0,1，∀ε>0,(限定00||||2x x x -<⇒0||
||2
x x > 011
|
|x x -=00||||||x x x x -≤02
02||||
x x x -<ε 0||x x -<20||*2x ε，取200||||min *,22x x δε⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
于是：∀0x ∈()0,1，∀ε>0,∃0
x δ=2
0||*2
x ε。∀x ：||x x δ- <0x δ⇒()()||f x f x δ-<ε
由此看出，对同一ε，()0,1的不同的点0x ，使上式成立的δ的大小不同，换句
