数学：《对数的概念及运算》教案(沪教版高一下)

4.4对数概念及其运算【教学目标】1. 理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题.2. 通过法则的探究与推导，体会从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力.3. 通过法则探究，激发学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神.【教学重点与难点】对数运算法则的推导及应用.【教学过程】一、复习回顾：1. 指数式和对数式的互相转化：b a N =⇔log a b N =；2. log 10,log 1a a a ==(0,1)a a >≠；3. 回顾指数的运算性质.问题：1.对数与指数有怎样的相互转化关系？2. 指数有哪些运算性质？设计意图：因为任何新知识的学习、新发现的创造都得以现有认知水平和经验为基础，因此，设计旧知识的复习是非常有必要的，它为下一步学生自主探究发现铺平了道路.二、情景引入：引入：观察以下三组对数：（1）222log 4,log 8,log 32； （2）222log 3,log 5,log 15； （3）lg 2,lg5,1.问题：你能从这三组对数中得出对数运算的规律吗？设计意图：培养学生自主发现问题提出问题的能力，并为下一步探究发现指明方向.给学生自主探究创设情景，培养学生由特殊到一般的科学思维方法.导出结论: ()log log log a a a MN M N =+[说明] 体会从特殊到一般化归思想三、学习新课：1. 运算性质一般地，对数有下列运算性质：如果0a >，1a ≠，0M >，0N >，那么（1）()log log log a a a MN M N =+；（2）log log log a a a M M N N=-； （3）log log n a a M n M =.[说明] 证明体会化归思想设计意图：培养学生逻辑推理能力，勇于探索，敢于展示的精神.2. 实践应用例1：判断下列各式是否正确（1）3log 814=（ ）（2）222log [(2)(4)]log (2)log (4)-⨯-=-+-（ ）（3）3333log 2727log log 31log 99===（ ） （4）2(log )2log (0,1)a a b b a a =>≠（ ）（5）log log a a x n=(0,1,)a a n N >≠∈（ ） [说明] 通过观察，能准确记忆对数的运算性质设计意图：培养学生自主发现问题，解决问题的能力.练习：快速计算（1）22log 6log 3-=1 （2）lg5lg 20+=2（3）551log 3log 3+=0 （4）33log 5log 15-=-1 [说明] 能快速准确的应用运算性质解决较简单的题目例2：用log a x 、log a y 、log a z 表示下列各式（1）log a xy z ；（2）log a [说明] 能准确使用对数的运算性质计算：（1）4lg 0.01； （2）(42log 2；（3）3332726log log log 535+-. （4）()2lg 2lg 2lg50lg 25+⋅+ [说明] 巩固对数的运算性质思考：设,x y R +∈且x y ≠，()2lg 2lg lg x y x y -=+，求x y的值. [说明] 对数运算性质的应用【小结】【课后作业】 1、补充题；2、思考题.【反思】本节课是区公开课，在上完本节课后，区里的老师都对我提出了很多宝贵的意见。

对数概念及其运算【教学目标】1．理解对数的意义，掌握底数、真数、对数的允许值范围；2．掌握对数式与指数式的互化，理解对数式中的底数、真数、对数与指数式中底数、幂、指数之间的对应关系；3．知道特殊对数的表示方法，会利用计算器计算常用对数值；4．经历由指数式提出对数概念的过程；5．养成类比、转化的思维习惯；【教学重难点】对数式与指数式的互化。

【教学过程】一、情景引入假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长%8，那么经过多少年国民生产总值是2002年时的2倍？解：设经过x 年国民生产总值为2002年时的2倍，根据题意有a a x 2%)81(=+，即208.1=x 。

问题：已知底数和幂的值，求指数？该如何描述？二、学习新课1．概念辨析：一般地，如果)1,0(≠>a a a 的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ，其中a 叫做底数，N 叫做真数。

说明：结合指数的性质特点，以及指对数之间的互化关系发现：N a b =⇔b N a =log （R b N a a ∈>≠>,0,1,0）。

（1）对数的底数必须大于0且不等于1；（2）对数的真数必须大于0，也即负数与0没有对数；（3）对数的值可以为一切实数，也即对数值可正、可负、可为零；（4）通常以10为底的对数，叫做常用对数。

为了简便，N 的常用对数N 10log ，简记作N lg ；（5）将以无理数Λ7182.2=e 为底的对数叫做自然对数。

为了简便，N 的自然对数N e log 简记作N ln 。

2．例题分析。

例1．将下列指数式化为对数式。

①62554=； ②32125=-； ③813=a ； ④73.5)31(=m 。

例2．将下列对数式化为指数式： ①416log 21-=； ②71281log 2-=； ③201.0log 10-=； ④303.210ln =； 例3．求下列各式的值：①49log 7； ②21log 8； ③1log a （1,0≠>a a ）； ④243log 271； ⑤a a log （1,0≠>a a ）；3．问题拓展。

高一数学教案：《对数》教学设计
高一数学教案：《对数》教学设计
教学目标
1．理解对数的概念，把握对数的运算性质．
(1) 了解对数式的由来和含义，清晰对数式中各字母的取值范围及与指数式之间的关系．能熟悉到指数与对数运算之间的互逆关系．
(2) 会利用指数式的运算推导对数运算性质和法则，能用符号语言和文字语言描述对数运算法则，并能利用运算性质完成简洁的对数运算．
(3) 能依据概念进行指数与对数之间的互化．
2．通过对数概念的学习和对数运算法则的探究及证明，培育同学从特别到一般的概括思维力量，渗透化归的思想，培育同学的规律思维力量．
3．通过对数概念的学习，培育同学对立统一，相互联系，相互转化的思想．通过对数运算法则的探究，使同学擅长发觉问题，揭示数学规律从而调动同学思维的主动参加，培育同学分析问题，解决问题的力量及大胆探究，实事求是的科学精神．
教学建议
教材分析
假如看到这个式子会有何联想?
由同学回答1) (2) (3) (4) ．．
也就要求同学以后看到对数符号能联想四件事．从式子中，可以总结出从概念上讲，对数与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今日重点讨论对数的运算法则．
二．对数的运算法则(板书)
对数与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则．
由同学上黑板写出求解过程．
四．小结
1．运算法则的内容
2．运算法则的推导与证明
3．运算法则的使用
五．作业略
六．板书设计。

第4章 幂函数、指数函数和对数函数对数的概念及运算（第三课时）—换底公式学习目标1、掌握换底公式及其应用；2、初步形成归纳、猜想的能力.学习过程引入：如何求解206.1=x 中的x ?分析：206.1=x ⇒ 2log 06.1=x ；206.1=x ⇒ 2log 06.1log 1010=x ⇒ 2log 06.1log 1010=⋅x ⇒06.1log 2log 1010=x ； ∴06.1log 2log 2log 101006.1=猜测：bN N a a b log log log =（0a >且1a ≠，0>b 且1≠b ，0>N ） 证明：换底公式：bN N a a b log log log = （0a >且1a ≠，0>b 且1≠b ，0>N ） 推论：b b a a a a a b log 1log log log ==； b b a a log log αββα=例题分析例1：计算下列各式的值：① 32log 3log 94⋅； ② 6log 18log )3(log 2626+； ③ 3log 13log 15.132+； ④ 10log 5lg 10log 2lg 550+；例2：已知a =3log 2，b =7log 3，试用a 、b 表示56log 42.例3：已知k =27log 12，试用k 表示16log 6.问题拓展例4：已知正数x 、y 、z 满足：z y x 643==，求证：y x z 2111=-巩固练习:归纳小结反思:今天学习了对数函数的换底公式,及其利用相关概念,进行运算,化简.是对数函数基本的性质.在作业中发现,不少学生不熟悉常用对数和自然对数,公式运用不大自如.特别是例三这个题型学生不会做,换底公式不大懂.。

（1）定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底数，N 称真数。

①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；②以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； （2）基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）； 2）01log =a ； ③1log =a a ； 4）对数恒等式：N a Na =log 。

（3）运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M NMa a alog log log -=；③∈=n M n M a n a (log log R ）。

（4）换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a两个非常有用的结论①1log log =⋅a b b a ；②b mnb a na m log log =。

例１ 求下列各式的值：（１）3log 1 （２）3log 43（３）log 5例２ 求下列对数的值： （１）2log 8，（２）21log 4例３ 求2log 32和2log例４ 求31log 9的值。

【当堂训练】1、已知3234+⋅-=xxy 的值域为[1，7]，则x 的取值范围是 （ ） A.［２，４］ B.)0,(-∞ C.]4,2[)1,0(Y D.]2,1[)0,(Y -∞ 2、若,310,210==y x则=-2310y x3、已知1249a =(a>0) ，则23log a = . 4、（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；（2）化简32233--+（3）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--。

4.4对数概念及其运算（一）学情分析：对数这一节主要介绍对数的概念，对数式与指数式的互化，对数的运算法则和换底公式。

对数概念的理解是本节教学的重点和难点，所以引入中采用了两种途径，一是由已知幂值求指数引出，体现出对数的产生是数学本身发展的需求；二是由课本例题（实际问题）引出，体现了对数的产生也是生产实际的需求。

针对我校学生的实际情况，课堂上采用了“读读、议议、讲讲、练练”的教学方法，使学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对定义的理解，为下一节学习对数运算法则打好基础。

教学目标：1、 理解对数的概念。

通过具体实例引出对数的概念，使学生感受到数学源于实际生活，激发学生的学习兴趣；2、 理解指数式和对数式之间的关系，能熟练进行对数式和指数式的互化；3、 通过学生的交流，加深对数概念理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质；教学重点：对数的定义教学难点：对数概念以及对数符合的理解教学过程：一、 问题引入:若82=x ，则x= ;若72=x ，则x= ;已知底数和幂的值，求指数问题，依靠现有运算不能完全解决，因此要引入一种新的运算——对数。

今天我们就学习对数问题。

二、新课讲授：阅读课本114页至115页例题上面。

思考讲了几个概念，有什么疑问。

共同完成老师设计的学习笔记。

1、 对数的定义一般地，当10≠>a a 且时，若N a b =，则b 叫做以a 为底N 的对数， 记作：b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

练习1、根据对数的定义写出几个对数式，同桌之间互相检查写法是否正确。

问题1、如何理解“log ”和“N a log ”？符号“log ”与“+、”等符号一样表示一种运算。

“N a log ”是一个整体，表示以a 为底N 的对数，不表示log 、a 、N 三者的乘积； 读作以a 为底N 的对数。

注意a 的书写位置。

问题3、是否所有的实数都有对数？在对数式b N a =log 中，真数N 可以取哪些数？为什么？（结合指数式 ） ∵在指数式中，幂0>=b a N ∴在对数式中，真数N>0 负数与零没有对数问题4、根据对数的定义以及对数式和指数式的关系，求1log a 和a a log (a>0且a ≠1)的值。

第二十二课时 对数（3）学习要求1．初步掌握对数运算的换底公式及其简单应用。

2．培养学生的数学应用意识。

自学评价1．对数换底公式log log log m a m N N a= 2．说明：由换底公式可得以下常见结论（也称变形公式）：① log log 1a b b a ⋅=；② log log m n a a n b b m=； ③ log log log b a b a x x = ３．换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则，所以利用换底公式可以解决一些对数的底不同的对数运算。

【精典范例】例1：计算（1）83log 9log 32⨯（2）427125log 9log 25log 16⋅⋅ （3）483912(log 3log 3)(log 2log 2)log ++-分析：这是底不同的对数运算，可考虑用对数换底公式求解。

【解】 （1）原式lg 9lg 32lg8lg 3=⨯2lg 35lg 23lg 2lg 3=⨯ 103= （2）原式lg 9lg 25lg16lg 4lg 27lg125=⨯⨯ 2lg 32lg 54lg 282lg 23lg 33lg 59=⨯⨯= 另解：原式23524log 3log 5log 233=⋅⋅89=（3）原式= 2233111(log 3log 3)(log 2log 2)232+⋅+ 25log 24+53556242=⨯+= 点评: 利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起了重要作用，在解题过程中应注意：⑴针对具体问题，选择恰当的底数；⑵注意换底公式与对数运算法则结合使用；⑶换底公式的正用与逆用；（4） 变形公式可简化运算。

例2：1）已知3log 12a =，试用a 表示3log 24（2）已知3log 2a =，35b =，用a 、b 表示 30log 3（3）已知18log 9,185b a ==，用,a b 表示36log 45【解】（1）∵333log 12log (34)12log 2a =⨯=+= ∴31log 22a -= 333log 24log (83)13log 2=⨯=+1311322a a --=+⨯= （2）∵35b =， 3log 5b = ∴30log 331log 302= 331(log 5log 21)2++=1(1)2a b ++ （3）由185b =，得18log 5b =∴36log 45181818log 45log 5log 9log 361log 2+==+ 182log 92a b a b a++==-- 点评:当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般要把问题转化，统一到一种表达式上，在求解过程中，根据题目的需要，将指数式转化为对数式，或将对数式转化为指数式，这正是数学数学转化思想的具体表现。

D CB A 对数与对数函数 姓名____________【知识要点】对数运算：（1）log log log a a a M N M N +=⋅； （2）log log log a a aM M N N -=； （3）log log log a N a M M N =； （4）log log a a b b αββα= （5）log a N a N =对数函数的图象规律：教学目标：1。

理解对数函数的生成，形成与发展。

2。

会基本的对数运算。

3。

会对数函数性质的应用教学重难点：对数函数性质的理解与应用例1．若5log log 3=⋅a b a ，则_______=b 。

求)2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+的值。

已知a =3log 5，试用a 表示9log 45；求下列各式的值：（1）23log 22- （2）22log 39 （3）4log 273例2．函数)(x f 的图像如图所示，则)(log 2.0x f y =的图像示意图为：例3．若函数|log (2)a y ax =-在[]0,1上是增函数，求a 的取值范围。

已知(31)4(1)()log (1)aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，求a 的取值范围。

已知函数lg(3)(0,1)ax y aa a -=>≠在其定义域[]1,1-上是减函数，求实数a 的取值范围。

例4（扩展例题）．设方程03log 3=-+x x 的根为1x ，方程033=-+x x 的根为2x ，求21x x +的值。

a 取何值时，方程)1lg()3lg()1lg(ax x x -=-+-有一解，有两解，无解？讨论下面方程实数解的个数：（1）x x sin 2log 3= （2）1)9(lg 2+--=x x如果不等式2log 0a x x -<在区间1(0,]2上恒成立，求实数a 的取值范围。