沪教版2017年高中数学高二上册《数列》全套教案

沪教版高中数学高二上册《数列》教案目录➢7.1 数列（数列的递推公式） (1)➢7.1 数列（数列的递推公式） (7)➢数列的递推关系 (12)➢7.1 (1)数列（数列及通项） (15)➢第三章数列 (23)➢用构造法求数列的通项公式 (25)➢等差数列（二） (31)➢7.2(1)等差数列 (35)➢等差数列 (38)➢等差数列 (40)➢7.2（4）等差数列的通项公式和前 (46)➢7．3（3）等比数列的前n项和（1） (53)➢7.3(4)等比数列的前n项和（2） (59)➢等比数列的前 (64)➢7.4 数学归纳法 (66)➢7.5数学归纳法的应用 (78)➢7．6 归纳—猜想—论证 (85)➢7.7 (2)极限的运算法则 (89)➢数列极限的定义 (99)➢7.8（1）无穷等比数列的各项和（1） (101)➢7.8 (2) 无穷等比数列的各项和（2） (108)➢课题:无穷等比数列各项的和（1） (113)➢无穷等比数列各项的和 (117)7.1 数列（数列的递推公式）一、教学内容分析本节课是数列的第二课时，教学内容是“数列的递推公式”，学生对数列已有的认知程度：数列的有关概念和数列的通项公式.二、教学目标设计1、知道递推公式也是给出数列的一种方法；2、理解数列通项公式的意义，观察数列项与项之间的内在联系，逐步形成学生的观察能力；3、通过阅读框图，正确理解算法程序，掌握建立递推关系式的方法，形成数学阅读能力.三、教学重点及难点重点：理解数列通项公式的意义，利用递推关系式，揭示数列项与项之间的内在联系.难点：阅读算法程序框图，建立递推关系式.四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．观察3、6、9、12、15、18、21. ①2．思考在数列①中，项与项之间有什么关系？[说明]：13,a =2132433,3,3,a a a a a a =+=+=+或 2132432,3,24,3a a a a a a === 3．讨论由此，数列①也可以用下面的公式表示：113(27)3n n a a n a -=+ ≤≤⎧⎨=⎩ 或 11(27)13n n n a a n n a -⎧= ≤≤⎪-⎨⎪=⎩二、学习新课1．概念辨析如果已知数列}{n a 的任一项与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法.2．例题分析例3.根据下列递推公式写出数列的前4项： （1）1121(2),1;n n a a n a -=+ ≥⎧⎨=⎩ （2）1115(2),100.n n a a n a -=- ≥⎧⎨=⎩ 解：（1）由题意知：121324312121132123172127115a a a a a a a ==+=⨯+==+=⨯+==+=⨯+=这个数列的前4项依次为1，3，7，15.（2）由题意知：1213243100,1515100851515(85)100,151510085a a a a a a a ==-=-=-=-=--==-=-=-这个数列的前4项依次为100，-85，100，-85.[说明] 已知数列的首项（或前几项），利用递推公式可以依次求出数列以后的项. 例4．根据图7-5中的框图，建立所打印数列的递推公式，并写出这个数列的前5项. 解：由图7-5可知，数列的首项为3，从第二项起数列中的每一项都是前一项与前一项减1所得的差之积，即111(1)(210),3.n n n a a a n a --=- ≤≤⎧⎨=⎩ 利用上述递推公式，计算可得到数列的前5项依次为3，6，30，870，756030.[说明] 解答本例的关键是要读懂框图，框图呈现的是算法程序，该程序就是递推关系.3．问题拓展例1.1112(2),1, 1.n n n a a a n a a +-=+ ≥⎧⎨==⎩解：由题意知：123214321,1112213a a a a a a a a ===+=+==+=+=这个数列的前4项依次为1，1，2，3.[说明] 由递推公式1112(2),1, 1.n n n a a a n a a +-=+ ≥⎧⎨==⎩给出的数列叫做斐波那契数列.斐波那契（L.Fibonacci,1170-1250），意大利数学家，他在1202年所著的《计算之书》中，提出的“兔子问题”所用的数列被后人称为斐波那契数列. 斐波那契的兔子问题：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每个月都会生下一对兔子．那么，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？ 用记号“”表示初生的幼兔，“•”表示成熟的兔子，则有下图得到前七项：1，1，2，3，5，8，13进一步可以发现：从第三项起，每一项都是前面两项之和.下面给出证明：设n a 表示第n 个月的兔子数，n b 表示第n 个月幼兔，n c 表示第n 个月的成熟兔，则：n n n a b c =+由题意有：11112,nn n n n n n c c b a b c a -----=+=== *21(2,)n n n a a a n n N --∴=+≥∈，证毕. ∴1到12个月的兔子数依序是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，243. ∴12个月后共有243对兔子.例2.已知数列{}n a 的第1项是1，第2项是2，以后各项由12(3)nn n a a a n --=+ ≥给出.（1）写出这个数列的前5项； （2）利用上面的数列{}n a ，通过公式1n n na b a +=构造一个新数列{}n b ，写出数列{}n b 的前5项；（3）继续计算数列{}n b 的第6项到第10项，你发现数列{}n b 的相邻两项之间有怎样的关系. 解：由递推关系：1212(3),1, 2.n n n a a a n a a --=+ ≥⎧⎨==⎩ （1）数列{}n a 的前5项依次为：1，2，3，5，8（2）数列{}n b 的前5项依次为：358132,,,,2358. （3）数列{}n b 的第5项到第10项依次为：21345589144,,,,1321345589. 观察1：2341231,1,1235b b b =+=+=+，…，1055189b =+. 于是，数列{}n b 的相邻两项之间具有：111(2)n n b n b -=+ ≥.观察2：212323121(1)1,1(1)1,23b b b b b b -=⇒-=-=⇒-=，…， 10910551(1)189b b b -=⇒-=. 于是，数列{}n b 的相邻两项之间具有：1(1)1(2)n n b b n --= ≥.[说明]（1）题是利用递推关系求数列的项；（2）题是构造一个数列写出部分项；（3）题是通过观察部分项，猜想递推关系式.例3.根据框图，建立所打印数列的递推公式，并写出数列的前5项.解：根据框图，数列的递推公式为1112(210,*)231n n n a a n n N a a --+⎧= ≤≤∈⎪+⎨⎪=⎩ 数列的前5项依次为：313552331,,,,52189377. [说明] 阅读框图，正确理解框图中的赋值语句，准确把握递推信息，是解此类题的关键.三、巩固练习: 7.1（2）1,2.四、课堂小结1、数列递推公式的概念；2、利用递推公式解题的基本类型：（1）根据递推公式，求数列的部分项；（2）已知数列的部分项，写出数列相邻两项的关系；（3）根据算法程序框图，建立递推关系式.五、作业布置练习册（A ）6、7、8；练习册（B ）2、4.七、教学设计说明本节课是数列的第二课时，学生对数列已有的认知程度：数列的有关概念和数列的通项公式．因此，本节课的教学设计应围绕以下几点开展教学：1、让学生明白：递推公式也是给出数列的一种方法；2、理解数列通项公式的意义，观察数列项与项之间的内在联系，以此来培养学生的观察能力；3、通过阅读框图，正确理解算法程序，掌握建立递推关系式的方法，以培养学生的数学阅读能力.7.1 数列（数列的递推公式）教学目的：1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3．能根据所给的计算机框图语言写出数列的递推公式教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点：能根据所给的计算机框图语言写出数列的递推公式授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展递推是数学里的一个非常重要的概念和方法在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担考虑到学生是在高二刚开始学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下能根据递推公式写出一个数列的前几项、能根据所给的计算机框图语言写出数列的递推公式就行了教学过程：一、复习引入：上节学习知识点如下⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.5．数列的图像都是一群孤立的点.6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.7． 有穷数列：项数有限的数列.8． 无穷数列：项数无限的数列.9．递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

沪科版数学高中数列教案
我们需要明确教案的教学目标。

在数列单元中，学生应该能够理解数列的基本概念，包括通项公式、递推关系等；掌握等差数列与等比数列的性质及其求和公式；了解并运用数列在解决实际问题中的应用。

还需要培养学生通过数列问题进行逻辑推理的能力，以及利用数学工具进行探究和证明的技能。

接下来是教学内容的组织。

教案应从数列的定义出发，引导学生认识并区分不同类型的数列，如等差数列、等比数列以及其他特殊数列。

在此基础上，进一步讲解数列的通项公式和求和公式的推导过程，使学生不仅仅停留在记忆公式的表面，而是能够深刻理解公式背后的数学原理。

教学方法的选择也是教案设计中的关键一环。

建议采用启发式和探究式的教学方法，鼓励学生参与到问题的发现、分析和解决过程中来。

例如，在讲解等差数列的求和公式时，可以设置一个与学生生活相关的现实问题，让学生尝试通过建立数列模型来解决问题，从而深化对知识点的理解。

为了检验学生的学习效果，教案还包括了相应的练习题和案例分析。

这些题目应当覆盖数列的各个知识点，既有基础的计算题，也有一定难度的应用题和证明题。

通过不同层次的题目训练，学生可以逐步提升解题技巧和逻辑思维能力。

评价方式的设定也不容忽视。

教案应提出多元化的评价标准，不仅关注学生的考试成绩，还要重视学生在课堂讨论、作业完成以及实际操作中的表现。

这样的评价体系有助于全面了解学生的学习状况，同时也鼓励学生在多方面展示自己的能力。

等差数列教材：等差数列（二）目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。

过程：一、复习：等差数列的定义，通项公式二、例一 在等差数列{}n a 中，d 为公差，若+∈N q p n m ,,,且q p n m +=+求证：1︒ q p n m a a a a +=+ 2︒ d q p a a q p )(-+=证明：1︒ 设首项为1a ，则d q p a d q a d p a a a dn m a d n a d m a a a q p n m )2(2)1()1()2(2)1()1(111111-++=-++-+=+-++=-++-+=+∵ q p n m +=+∴q p n m a a a a +=+2∵d p a a p )1(1-+= d p a d q p d q a d q p a q )1()()1()(11-+=-+-+=-+ ∴ d q p a a q p )(-+=注意：由此可以证明一个定理：设成等差数列，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和 ，即：ΛΛ=+=+=+--23121n n n a a a a a a同样：若p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+例二 在等差数列{}n a 中，1︒ 若a a =5 b a =10 求15a解：155102a a a += 即152a a b += ∴ a b a -=2152︒ 若m a a =+83 求 65a a +解：65a a +=m a a =+833︒ 若 65=a 158=a 求14a解：d a a )58(58-+= 即 d 3615+= ∴ 3=d从而 33396)514(514=⨯+=-+=d a a4︒ 若 30521=+++a a a Λ 801076=+++a a a Λ 求151211a a a +++Λ解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ……∴ 11162a a a += 12272a a a += ……从而)(151211a a a +++Λ+=+++)(521a a a Λ2)(1076a a a +++Λ ∴151211a a a +++Λ=2)(1076a a a +++Λ-)(521a a a +++Λ =2×80-30=130三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法1．定义法：即证明 )(1常数d a a n n =--已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 232-=，求证数列{}n a 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。

第三章 数列教材：数列、数列的通项公式目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。

过程：一、从实例引入1． 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,102． 正整数的倒数 51,41,31,21,1 3． ，，，，的不足近似值，，精确到414.141.14.11001.01.0124． 1的正整数次幂：1,1,1,1,…5． 无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…二、提出课题：数列1． 数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）2． 名称：项，序号，一般公式n a a a ,,,21 ，表示法{}n a3． 通项公式：n a 与n 之间的函数关系式如 数列1： 3+=n a n 数列2：na n 1= 数列4：*,)1(N n a n n ∈-= 4． 分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；有穷数列、无穷数列。

5． 实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n }）的函数，当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。

6． 用图象表示：— 是一群孤立的点例一 （见教材 例一 略）三、关于数列的通项公式1． 不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3）2． 数列的通项公式不唯一 如 数列4可写成 n n a )1(-=和 ⎩⎨⎧-=11n a *,2*,12N k k n N k k n ∈=∈-= 3． 已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要=四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数：1．1，0，1， 0 *,2)1(11N n a n n ∈-+=+ 2．32-，83，154-，245，356- 1)1(1)1(2-++⋅-=n n a n n 3．7，77，777，7777 )110(97-⨯=n n a 4．1，7，13，19，25，31 )56()1(--=n a n n5．23，45，169，25617 12212-+=n n n a 五、小结：1． 数列的有关概念2． 观察法求数列的通项公式六、作业：。

7.1 (1)数列（数列及通项）一、教学内容分析本小节的重点是数列的概念．在由日常生活中的具体事例引出数列的定义时，要注意抓住关键词“次序”，准确理解其概念，还应让学生了解数列可以看作以正整数集（或它的有限子集）为定义的函数()na f n =，使学生能在函数的观点下理解数列的概念，这里要特别注意分析数列中项的“序号n ”与这一项“n a ”的对应关系（函数关系），这对数列的后续学习很重要．本小节的难点是能根据数列的前几项抽象归纳出一些简单数列的通项公式．要循序渐进的引导学生分析归纳“序号n ”与“n a ”的对应关系，并从中抽象出与其对应的关系式．突破难点的关键是掌握数列的概念及理解数列与函数的关系，需注意的是，与函数的解析式一样，不是所有的数列都有通项公式；给出数列的有限项，其通项公式也并不唯一，如给出数列的前k 项，若()na f n =，则()(1)(2)()n a f n n n n k =+-⋅--L 都是数列的通项公式，教学上只要求能写出数列的一个通项公式即可． 二、教学目标设计理解数列的概念、表示、分类、通项等，了解数列与函数的关系 ，掌握数列的通项公式，能用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．发展和培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力． 三、教学重点及难点理解数列的概念；能根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式． 四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习回顾思考并回答问题：函数的定义二、讲授新课1、概念引入请同学们观察下面的例子，看看它们有什么共同特点：（课本p5）①食品罐头从上到下排列成七层的罐头数依次为：3，6，9，12，15，18，21②延龄草、野玫瑰、大波斯菊、金盏花、紫宛花、雏菊花的花瓣数从少到多依次排成一列数：3，5，8，13，21，34③1，1.7，1.73，1.732，1.7320,1.73205,L④-2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂L依次排成一列数：-2，4，-8，16，L⑤无穷多个1排成一列数：1，1，1，1，1，L⑥谢尔宾斯基三角形中白色三角形的个数，按面积大小，从大到小依次排列成的一列数：1，3，9，27，81，L⑦依次按计算器出现的随机数：0.098,0.264,0.085,0.956由学生回答上面各例子的共同特点：它们均是一列数，它们是有一定次序的，由此引出数列及有关定义：1、定义：按一定次序排列起来的一列数叫做数列．其中，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，第3项L ,第n 项，L数列的一般形式可以写成:123,,,n a a a a L L简记作{}n a2、函数观点：数列可以看作以正整数集N *（或它的有限子集）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的 顺序依次取值时，所对应的一列函数值3、数列的分类：有穷数列： 项数有限的数列 （如数列①、②、⑦）无穷数列：项数无限的数列 （如数列③、④、⑤、⑥） 4、数列的通项：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间可以用一个公式()na f n =来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．启发学生练习找上面各数列的通项公式： 数列① ：3(17)n a n n =≤≤数列④：(1)2n n n a =-⋅数列⑤：1n a = （常数数列）数列⑥：13n na -=指出（由学生思考得到）数列的通项公式不一定都能由观察法写出（如数列②）；数列并不都有通项公式（如数列③、⑦）；由数列的有限项归纳出的通项公式不一定唯一 （如数列①的通项还可以写为：3(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(17)n a n n n n n n n n n =+-------≤≤5、数列的图像：请同学练习画出数列①的图像，得出其特点：数列的图像都是一群孤立的点2、例题精析例1：根据下面的通项公式，写出数列的前5项：（课本P6） （1）21n n a n -=+； （2）344()4n n a =+-解：（1）前5项分别为：1121,0,,,2452-（2）前5项分别为：25373377811,,,,41664256[说明]由数列通项公式的定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.例2：写出下面数列的一个通项公式，使它前面的4项分别是下列各数： （1）1，5，9，13；（2）222221314151,,,;2345-+-+（3）3579,,,24816解：（1）43na n =-（2）2(1)(1)1n n n a n ++-=+（3）212nn n a +=[说明]：认真观察各数列所给出的项，寻求各项与其项数的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式.例3：观察下列数列的构成规律，写出数列的一个通项公式（补充题） （1）1111,,,, (24816)--（2）9，99，999，9999，L（3）32537,,,,,23121030L（4）2，0，2，0，2，0，L解：（1）1(1)2nn na =-（2）9101,991001,101n n a =-=-∴=-Q L（3）32537,,,,,23121030L 可写成345672,,,,,26122030(1)n n a n n +∴=+L （4）Q 2=1+1，0=1-1 11(1)n na +∴=+-（或22sin ,1cos 2n n n a a n ππ==-，或2(0(n n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数）为偶数））[说明] 本例的（2）-（4）说明了对数列项的一般分拆变形技巧．例4、根据图7-5中的图形及相应的点数，写出点数的一个通项公式 ： （课本Ｐ７）解：(1)na n n =+[说明] 本类“图形分析”题，解题关键在于正确把握图形依次演变的规律，再依点数写出它的通项公式三、巩固练习 练习７.１（１）四、课堂小结本节课学习了数列的概念，要注意数列与数集的区别，数列中的数是按一定次序排列的，而数集中的元素没有次序；本节课的难点是数列的通项公式，要会根据数列的通项公式求其任意一项，并会根据数列的一些项由观察法写出一些简单数列的一个通项公式．五、课后作业1．书面作业：课本习题７．１ A 组 习题1.----5 2．思考题：（补充题及备选题） １．有下面四个结论,正确的是（Ｃ） ①数列的通项公式是唯一的； ②每个数列都有通项公式；③数列可以看作是一个定义在正整数集上的函数 ④在直角坐标系中，数列的图象是一群孤立的点 A 、①②③④ B 、③ C 、④ D 、③④L，则A 、第6项B 、第7项C 、第8项D 、第9项 ３．数列7，9，11，13，… 2n -1 中，项的个数为（Ｃ） A 、n B 、２n －１ C 、n －３ D 、n －４ ４．已知数列的通项公式为：1(21,)12(2,)n n n k k N n a n k k N **⎧=-∈⎪+=⎨⎪=∈⎩，它的前四项依次为____________解：前四项依次为：11,4,,1624５．试分别给出满足下列条件的无穷数列}{na 的一个通项公式（1）对一切正整数n ，1n a n<（2）对一切正整数n ，11n n a a +-<解：（１）11n a n =+（不唯一）（２）11,2nn a n a n== 等（不唯一）６．写出下列数列的一个通项公式（１）11112,4,6,8,35917L（２）3，8，15，24，35， (3)1317,,,,38324--L（４）0，0.3,0.33,0.333,0.3333,… （５）1，0，-1，0，1，0，-1，0，… 解：（１）1221n na n =++； （２）2(1)1n a n =+- （３）1221(1)(1)1n nn a n +-=-+- （４）111(1)310nn a -=-（５）sin2n n a π=７．根据下面的图像及相应的点数，写出点数的一个通项 公式：解：以中间点为参照点，把增加的点作为方向点来分析，有： 第1个图形有一个方向，点数为1点； 第2个图形有2个方向，点数为1+2⋅1=3点； 第3个图形有3个方向，点数为1+3g 2=7点； 第4个图形有4个方向，点数为1+4⋅3=13点；…………第n 个图形有n 个方向，点数21(1)1n n nn +⋅-=-+点21na n n ∴=-+六、教学设计说明本节课为概念课，按照“发现式”教学法进行设计结合一些具体的例子，引导学生认真观察各数列的特点，逐步发现其规律，进而抽象、归纳出其通项公式例题设计主要含以下二个题型：（１） 由数列的通项公式，写出数列的任意一项；（２） 给出数列的若干项，观察、归纳出数列的一个通项公式补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．。

7.7（1）数列的极限一、教学内容分析极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要.二、教学目标设计1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣.三、教学重点及难点重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.难点：数列极限的定义的理解.四、教学用具准备电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发思考、化解难点，即对极限定义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练习中的优点和不足之处，及时反馈.五、教学流程设计一、情景引入1、创设情境，引出课题1. 观察教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 哪位同学能解释一下此话意思？学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，…… ，如此继续下去，永远也无法取完.思考教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？学生：,21,,81,41,21n3．讨论教师；随着n的增大，数列{}na的项会怎样变化？学生： 慢慢靠近0.教师：这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题 二、学习新课2、观察归纳，形成概念 （1）直观认识教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势（a ）,101,,101,101,10132n①“项”随n 的增大而减小 ②但都大于0③当n 无限增大时，相应的项n101可以“无限趋近于”常数0（b ） ,)1(,,31,21,1n n ---①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小②当n 无限增大时，相应的项n n)1(-可以“无限趋近于”常数0（c ） ,1,,43,32,21+n n①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1③当n 无限增大时，相应的项1+n n可以“无限趋近于”常数1教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式：（a ）从右趋近 （c ）从左趋近 （b ）从左右 两方趋近，使学生明白不同的趋近方式 教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其 实我们的先辈还会用极限的思想解决问题,我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前 263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他的操作方法概括这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣.”概念辨析教师：归纳数列极限的描述性定义学生：一般地，如果当项数n 无限增大时，数列{}n a 的项无限的趋近于某一个常数n 那么就说数列{}n a 以a 为极限.教师：是不是每个数列都有极限呢？ 学生1：（思考片刻）不是.如na n =学生2： 2n a n = nn a )1(-=教师：请大家再看一下，下面的数列极限存在吗？如果有，说出极限.（a ）⎪⎩⎪⎨⎧-=n n n a n 11 （b ）无穷数列：,3333.0,,333.0,33.0,3.0n学生1：数列（a ）有极限，当n 是奇数时，数列{}n a 的极限是0，当n 是偶数时，数列{}n a 的极限是1.数列（b ）的极限是0.4.教师： 有不同意见吗？学生2：数列（b ）的极限是0.34 学生3：数列（b ）的极限不存在（这时课堂上的学生们都在纷纷议论，大家对数列（b ）的极限持有各自不同的观点，但对数列（a ）的极限的认识基本赞同学生1的观点.）教师： 数列（a ）有极限吗？数列（b ）的极限究竟是多少？（学生们沉思）学生4：数列（a ）没极限，原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数,数列（b ）的极限是31.教师：回答的非常正确（用动画演示数列（b ）的逼近过程），同学们对（a ）判断错误的原因是对描述性定义还未很好的理解.对（b ）判断错误的原因是描述性定义的局限性导致的，数列（b ）随着n 的无限增大，它会趋近于0.4、0.34、0.334，但是接近到一定的程度就不在接近了，所以无限的接近必须有量化的表述.（2）量化认识教师：用什么来体现这种无限接近的过程呢？学生：用nn a 和a 之间的距离的缩小过程，即 a a n - 趋近教师：现在以数列n n a nn )1(-=为例说明这种过程观察：距离量化：n 是奇数 n是偶数nn a n n 10)1(0=--=-，随着n 的增大，n 1的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记为ε），只要n n 充分的大，都有n 1比给定的正数小.教师：请同桌的两位同学，一个取ε，另一个找n . 问题拓展学生：老师再来几个其它的数列教师：以上我们以提到的 , 21, , 81 , 41 , 21n 和,1011,,1011,1011,101132n ---- 为例，大家可以再操作一下.教师：（学生问答完毕）大家作了这项活动以后有什么感受？学生：只要数列有极限，对于给定的正数ε，总可以找到一项N a ，使得它后面的所有的项与数列的极限的差的绝对值小于ε.教师：顺理成章的给出数列极限的N -ε定义： 一般地，设数列{}n a 是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数N n >，就有ε<-a a n ，那么就说数列{}na 以a 为极限，记作aa n n =∞→lim ，或者∞→n 时a a n →.教师：常数数列的极限如何？学生：是这个常数本身. 教师：为什么？学生：因为极限和项的差的绝对值为0，当然比所有给定的正数小. 三、巩固练习 讲授例题已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n ① 把这个数列的前5项在数轴上表示出来. ②写出n1-n a 的解析式.③⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n 中的第几项以后的所有项都满足10011<-n a ④指出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n 的极限. 课堂练习第41至42的练习. 四、课堂小结①无穷数列是该数列有极限的什么条件. ②常数数列的极限就是这个常数. ③数列极限的描述性定义. ④数列极限的N -ε的定义.五、作业布置1．课本第42页习题2，3,42．根据本节课的学习，结合你自己对数列极限的体会，写一篇《我看极限》的短文，格式不限（本作业的意图是想把学生的态度、情感、价值观融入到所学的知识中去.）七、教学设计说明对于数列极限的学习，对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃，由于学生知识结构的局限性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，根据一般的认识规律和学生的心理特征，设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤，由浅入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使学生很好的理解极限的概念.。

2.1.2数列的概念及简单表示(一）内容：（二）解析：本节课要学的内容()指的是(),其核心(或关键)是(),理解它关键就是要().学生已经(),本节课的内容()就是在此基础上的发展.由于它还与()有()的联系,所以在本学科有()的地位,并有()作用,是本学科的核心内容(或一般内容,次要内容).教学的重点是(根据数列的递推公式写出数列的前几项),解决重点的关键是()二、教学目标及解析(一)教学目标:了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；(二)解析:(1)就是指三、问题诊断分析在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是(理解递推公式与通项公式的关系),产生这一问题的原因是().要解决这一问题,就是要(),其中关键是().四、教学过程讲授新课数列的表示方法1.通项公式法如果数列{}n a的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；2.图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．3. 列表法比如正偶数数列可以用下列表格的形式来表示 n 1 2 3 … k …a n 2 4 6 … 2k …4.递推公式法观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。

沪科版数学高中数列教案教案内容：
一、授课目标
1.了解数列的概念和基本性质；
2.掌握等差数列和等比数列的求和公式；
3.能够判断数列的公式及求解未知数；
4.能够应用数列在实际生活中解决问题。

二、教学重点
1.等差数列和等比数列的求和公式；
2.数列的概念及基本性质。

三、教学难点
1.判断数列的公式及求解未知数；
2.数列在实际问题中的应用。

四、教学准备
1.教师准备：课件、板书笔、教案；
2.学生准备：课本、笔记本、作业本。

五、教学过程
1.导入：通过举例子引入数列的概念，引起学生的兴趣；
2.讲解等差数列和等比数列的概念和性质；
3.介绍等差数列和等比数列的求和公式和推导过程；
4.解答学生提出的疑问，并做一些相关练习；
5.让学生进行课堂练习，巩固所学知识；
6.布置作业，让学生在家继续练习。

六、教学反思
1.本节课教学中，学生对数列的基本概念和性质有了初步了解，但在求解未知数和应用数列问题方面仍存在一些困难，需要在以后的课堂上多加练习和讲解；
2.教师应根据学生的学习情况及时调整教学方法，提高教学效果。

七、作业
1.完成课堂练习；
2.做好课后作业，并准备下节课的知识点。

八、教学反馈
1.收集学生作业，查看学生的掌握情况；
2.针对学生的错误和不懂之处进行讲解和强化。

以上是本节课的教案范本，希望对您有所帮助。

如果有其他问题，请随时与我们联系。

第2章 数列【知识结构】重点：数列及其通项公式的定义；数列的前n 项和与通项公式的关系及其求法；难点：正确运用数列的递推公式求数列的通项公式；对用递推公式求出的数列的讨论；等差等比数列的应用和性质。

第1课 数列的概念及其通项公式2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；3．理解数列的通项公式的概念，并会用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式；4．提高观察、抽象的能力．【自学评价】 1．数列的定义：___________________叫做数列(sequence of number). 【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.思考:简述数列与数集的区别.__________________________________________________________________________.2．数列的项：_________________都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….3．数列的分类： 按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无限）.4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（theformula of general term ）.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41，1.414，…；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n ； ⑶数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项. 5. 数列的图像都是一群孤立的点. 从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象．6．数列的表示形式：________________________________________________________.【精典范例】【例1】 已知数列的第ｎ项a n 为２ｎ－１，写出这个数列的首项、第２项和第３项．【解】【例2】根据下面数列{}n a 的通项公式，写出它的前5项，并作出它的图象：(1);(2)(1)1n n n na a n n ==-⋅+. 【解】【例3】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）211⨯，-321⨯， 431⨯，-541⨯； （2）0, 2, 0, 2分析：写出数列的通项公式，就是寻找n a 与项数n 的对应关系()n a f n =【解】点评:(1)将数列的整数部分和分数部分进行分别处理,然后再整体合并;(2) 将数列进行整体变形以便能呈现出与序号n 相关且便于表达的关系.【追踪训练一】 1．下列解析式中不．是数列1，-1，1，-1，1，-1，…的通项公式的是 （ ）A. (1)n n a =-B. 1(1)n n a +=-C. 1(1)n n a -=-D.{11n n a n =-，为奇数，为偶数2，的一个通项公式是 （ ）A. n a =n a =C. n a =D.n a =3．数列1524354863,,,,,,25101726的一个通项公式为___________________.【选修延伸】【例3】在数列{a n }中，a 1=2,a 17=66，通项公式是项数n 的一次函数.(1)求数列{a n} (2)88是否是数列{a n }中的项. 【解】思维点拔:已知数列的通项，怎样判断一个含有参数的代数式是否为数列中的项？例如：已知数列{}n a 的通项为27n a n =-，判断27()m m N +∈是否为数列中的项？提示：可把27()m m N +∈化成通项公式的形式，即272(7)7m m +=+-，因为m N ∈，所以7m N +∈满足通项公式的意义，所以27m +是数列中的第7m +项．【追踪训练二】1．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第 （ ）项.A. 9B. 10C. 11D. 122．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为 （ ）A. 非负整数集B. 正整数集C. 正整数集或其子集D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n3．已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且， 则17a = .。

数列的递推关系教材：数列的递推关系目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，会根据给出的递推公式写出数列的前n 项。

过程：一、复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）二、例一：若记数列{}n a 的前n 项之和为S n 试证明：⎩⎨⎧-=-11S S S a n n n )1()2(=≥n n 证：显然1=n 时 ，11S a =当1≠n 即2≥n 时 n n a a a S +++= 21 1211--+++=n n a a a S∴ n n n a S S =--1 ∴⎩⎨⎧-=-11S S S a n n n )1()2(=≥n n 注意：1︒ 此法可作为常用公式2︒ 当)(11S a =时 满足1--n n S S 时，则1--=n n n S S a例二：已知数列{}n a 的前n 项和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n求数列{}n a 的通项公式。

解：1．当1=n 时，111==S a当2≥n 时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n经检验 1=n 时 11=a 也适合 34-=n a n2．当1=n 时，311==S a当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(122=-----++=∴ ⎩⎨⎧=n a n 23 )2()1(≥=n n 三、递推公式 （略讲）以上一教时钢管的例子 3+=n a n从另一个角度，可以： 1411+==-n n a a a )2()1(≥=n n“递推公式”定义：已知数列{}n a 的第一项，且任一项n a 与它的前 一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫 做这个数列的递推公式。

例三 已知21=a ，41-=+n n a a 求n a ． 解一：可以写出：21=a ，22-=a ，63-=a ，104-=a ，…… 观察可得：)1(42)4)(1(2--=--+=n n n a n 解二：由题设： 41-=-+n n a a∴44432211-=--=--=------n n n n n n a a a a a a )+412-=-a a )1(41--=-n a a n ∴ )1(42--=n a n例四 已知21=a ，n n a a 21=+ 求n a ． 解一：21=a 22222=⨯=a 323222=⨯=a 观察可得： n n a 2=解二：由n n a a 21=+ ∴12-=n n a a 即21=-n n a a ∴ 112322112------=⨯⨯⨯⨯n n n n n n n a a a a a a a a ∴ n n n a a 2211=⋅=-四、小结： 由数列和求通项递推公式 （简单阶差、阶商法）五、作业：。