高中数学沪教版(上海)高一第一学期-3.4 函数的最大值与最小值教案

高中数学沪教版高一上册第3章《3.4 函数的基本性质》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
掌握函数最大值最小值的概念。

会结合函数图像及单调性求一次函数，反比例函数及二次函数在区间上的最值。

经历函数最值概念的形成和函数最值求法的过程。

理解函数最值的意义并会作简单的运用。

积累求函数最值的经验。

2学情分析
本节内容位于第三章第四小节函数的基本性质之函数的最值。

最值是函数性质中最重要的性质之一，而二次函数是生活中应用最广泛的一种函数，在高中代数中占有重要地位，具有承上启下的作用。

而且从现实意义上来说，函数的最值在生活中可以解决成本最低，产量最高，效益最大等实际问题。

3重点难点
重点：函数最值概念的形成，会结合函数图像及单调性求函数在闭区间上的最值并作简单运用。

难点：理解函数最值的概念
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【活动】函数的最值
1.情境引入
动物园要建造一面靠墙地间面积相等的长方形熊猫居室(如图).如果可供建造围墙的材料长是30米,那么为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大?最大面积是多少平方米?
分组讨论后回答。

高中数学是一门考验学生能力的学科，其中函数是数学的一个重要分支。

函数的最大最小值在数学中也是一个核心概念，也是数学中最常见的问题之一。

因此，学生需要在学习函数的过程中，掌握函数的最大最小值，以应对考试和实际应用中的问题。

本文将分享一份关于高中数学函数的最大最小值教案，帮助教师和学生更好地掌握这一重要知识点。

一、教学目标1.掌握函数最值和最值的概念；2.掌握函数最值的求解方法；3.通过实例练习能够应用函数的最值问题。

二、教学过程1.引入教师应该先向学生说明什么是函数的最大最小值，以及为什么它如此重要和常见。

教师应该解释函数最大值和最小值的定义，因此需要对以下概念加以说明：最大值：函数在一段区间上的最大值，即函数在该区间内取最大的函数值。

最小值：函数在一段区间上的最小值，即函数在该区间内取最小的函数值。

同时，教师还需要解释为什么需要学习函数的最大最小值。

函数最大最小值是解数学问题的重要途径，并有助于学生理解函数在实际应用中的运用。

因此，学生需要掌握函数最大最小值的概念和求解方法，以应对不同场景下的数学问题。

2.方法教师可以通过讲解和讨论最值的基本概念，引导学生理解函数最大最小值问题的基本情况。

在此基础上，教师可以引入函数最值的求解方法，包括以下几步：（1）求出函数的一阶导数 f ' ( x ) f'(x) 以及二阶导数 f ′′ ( x ) f''(x) ；（2）解出一阶导数为 0 的所有实数解 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1, x_2, \cdots, x_n ；（3）将区间端点和解集中的实数代入函数，求出函数的最大值和最小值。

为更好地帮助学生理解如何使用函数最值的求解方法，我们可以通过以下三个实例进行练习。

3.实例练习区间上的最大值和最小值。

解：我们来求出这个函数的一阶导数和二阶导数：f ′ ( x ) = 2 x − 2 f''(x)=2我们要求出一阶导数为 0 的实数解：4.x − 2 = 0 2x-2=0x = 1 x=1因此，我们得到唯一的实数解 x = 1 x=1。

函数的基本性质【教学目标】1．掌握偶函数与奇函数的概念，学会判断函数的奇偶性；2．帮助学生掌握由“具体到抽象”、“数形结合”的思维方法；3．在引导学生发现问题、研究问题和解决问题的过程中，激发学生自主学习的兴趣；4．理解函数最大、最小值的概念，掌握几种类型的函数最值的求法；5．学会“转化”的思维方法；6．让学生懂得数学既是从现实原型中抽象出来的，又随着数学本身的发展而逐步得到完善的，并树立严格定义的思维。

【教学重点】1．偶函数与奇函数的概念，函数奇偶性的判断。

2．理解函数最大、最小值的概念，求基本函数的最值。

【教学难点】1．偶函数与奇函数图像性质的证明，简单复合函数奇偶性的判断。

2．通过转化思想，把复杂函数转化成熟悉的基本函数，再求最值。

【教学过程】（一）知识点一、函数单调性的证明步骤：1．取值：设为该区间任意的两个值，且。

2．作差变形：f(X 1)-f(X 2)，变形。

3．定号：确定上述差值的正负；当正负不确定时，可考虑分类讨论。

4．判断：做出结论。

注意点：（1）f(X 1)-f(X 2)变形计算时，尽量分解成因式形式，方便作差计算；（2）若要证明f(x)在上不是单调函数时，只要举出反例即可。

延伸：导数与单调性：例题一、证明函数在上是减函数。

21,x x 21x x <[]b a ,1()f x x x=+()0,1证明：设，则 已知，则即。

即在上是减函数。

扩展：可以用同样的方法证明在上和分别是减函数。

但根据的图像可以看到函数在上并不是单调递减的。

今后，遇到形如的函数可以类似考虑。

（二）知识点二：知识点利用函数的单调性求最值对于单调函数，最大值或最小值出现在定义域（区间）的边缘；对于非单调函数，需借助图像求解；分段函数的最值先需分段讨论，再下结论考查：最值是高考的必考点，熟练掌握二次函数求最值。

例题二、已知函数当时，求函数的最小值 （练习4）（三）知识点三、函数的奇偶性1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件；2．是奇函数； 3．是偶函数 ；4．奇函数在原点有定义，则；5．在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性。

3.4 函数的基本性质一、教学目标：1、理解函数的奇偶性的概念，并能判断一些函数的奇偶性；2、在奇偶性概念形成的过程中，培养学生的观察、归纳能力，同时渗透数形结合和由特殊到一般的数学思想.3、体会数学研究的严谨性，感受函数图像的对称美。

二、教学重难点教学重点：函数奇偶性的概念的形成及奇偶性的判断。

教学难点：函数奇偶性概念的探究与理解三、教学过程1. 问题引入在初中时候我们学过轴对称和中心对称图形，生活中具有这样对称性的图形有很多，举例看看？2.概念形成观察函数2y x =的图像。

引导学生观察：1.从图形上看，函数图象是关于y 轴轴对称2. 从函数值的角度看，引导学生发现f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)的关系？ 函数值都是相等的一般地，若函数y=f(x)的图象关于y 轴对称，当自变量x 任取定义域中的一对相反数时，他们的函数值的关系？ 函数值相等。

即 f(-x)=f(x)问题：通过上面这个例子，同学们思考，对于图像关于y 轴对称的函数，如何从代数的角度来刻画这种函数的对称性？定义域内任意一个值x ，都有()()f x f x -=偶函数的定义：定义：对于函数()f x 的定义域内任意一个值x ，都有()()f x f x -=成立，则函数()y f x =就叫做偶函数；问定义中的关键词：任意x ，都有()()f x f x -=，是函数整体的性质同学们思考偶函数的图像的特征：例1：判断下列函数是否为偶函数422(1)()||,(2)(),(3)(),[2,3]f x x f x x x f x x x ==+=∈-1.掌握判断偶函数的定义法2.函数是偶函数的必要条件是定义域关于原点对称.3. 类比探究仿照讨论偶函数的过程，回思下列问题，函数 ()1f x x=的图像特征？ 函数值f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)有什么关系？怎么用代数语言描述这个函数图象的特征？定义域内任意x,都有()()f x f x -=-，这样的函数叫奇函数奇函数的定义定义：对于函数()f x 的定义域内任意一个值x ，都有()()f x f x -=-成立，则函数()y f x =就叫做奇函数；奇函数图像的特征：关于原点对称的中心对称函数例2：判断下列函数是否为奇函数33(1)(),(2)(),(3)(),[2,2),(4)()1f x x f x x f x x x f x x ===∈-=+析:(1)判断奇函数的定义法（2）否定函数是奇函数的方法4. 总结深化（1）凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.（2）函数()f x 不具有奇偶性的，举反例，具有奇偶性的，用定义证明。

高中数学沪教版高一（上）函数的单调性与最值同步教学案【解析版】教学目的①理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义； ②会运用函数图像理解和研究函数的性质；知识要点梳理1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义(2) 单调区间的定义若函数f (x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做f (x)的单调区间． 二．难点与疑点1. 函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2. 函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单碉区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． 3. 单调区间的表示增函数 减函数定义一般地，设函数f (x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1,x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x)在区间D 上是增函数 当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x)在区间D 上是减函数 图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号"U ”联结，也不能用“或”联结． 三．基础自测 1．2()2([2,4])f x x x x 的单调增区间为 [1，4] ；max()f x 8【解析】函数f (x)的对称轴：x=1，单调增区间为[1，4]，max()(2)(4)8f x f f2．已知函数y=f (x)在R 上是减函数，A(0，-2)、B(-3，2)在其图象上，则不等式-2<f(x)<2的解集为 (-3，0) ．【解析】画一个草图，数形结合，得不等式的解集为(-3，0)． 【点评】数形结合是解决此类题目的常用方法． 3．已知2()2(1)2f x x a x 的单调递减区间是（-∞，3]，则实数a 的值是 -2 ．【解析】由题意得：l -a =3，即a =-2． 4．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( B ) A. y =－x+l B ．y x C ．y=x 2-4x+5 D. 2yx【解析】221,45,y x yx x yx分别为一次函数、二次函数、反比例函数，从它们的图象上可以看出在(0，2)上都是减函数．5．已知函数f (x)为R 上的减函数，则满足1(||)(1)f f x的实数x 的取值范围是 ( C )A ．（-1，1）B ．(0，1)C ．(-1,0)U(0,1)D ．(-∞，-1)U(1, +∞) 【解析】由f (x)为R 上的减函数且1(||)(1)f f x，得：1||1x x ，即||1010x x x 或-l<x<0.四．题型分类题型一 函数单调性的判断例1：判断并证明函数f (x)=x 3+a (a ∈R, a 是常数）的单调性．【思维启迪】判断函数的单调性—般有两种方法：①利用函数单调性的定义；②利用导数法（高二的内容）； 【解析】3()f x x a 在R 上是增函数，证明如下：设12,x x 是R 上任意两个实数，且x 1<x 2， 则331212()()()()f x f x xa x a ＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋3x 224，∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋3x 224>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，3()f x x a 在R 上是增函数。

高中数学沪教版高一（上）函数的单调性与最值同步教学案教学目的①理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义； ②会运用函数图像理解和研究函数的性质； 一．课堂导入知识要点梳理1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义(2) 单调区间的定义若函数f (x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做f (x)的单调区间． 二．难点与疑点1. 函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2. 函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单碉区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．增函数 减函数定义一般地，设函数f (x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1,x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x)在区间D 上是增函数 当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x)在区间D 上是减函数 图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的3. 单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号"U ”联结，也不能用“或”联结． 三．基础自测 1．2()2([2,4])f x x x x ，[]4,2x ∈的单调增区间为 ；max ()f x2．已知函数y=f (x)在R 上是减函数，A(0，-2)、B(-3，2)在其图象上，则不等式-2<f(x)<2的解集为 ．3．已知2()2(1)2f x x a x 的单调递减区间是（-∞，3]，则实数a 的值是 ．4．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( ) A. y =－x+l B ．y x C ．y=x 2-4x+5 D. 2yx5．已知函数f (x)为R 上的减函数，则满足1(||)(1)f f x的实数x 的取值范围是 ( )A ．（-1，1）B ．(0，1)C ．(-1,0)U(0,1)D ．(-∞，-1)U(1, +∞)四．题型分类题型一 函数单调性的判断例1：判断并证明函数f (x)=x 3+a (a ∈R, a 是常数）的单调性．变式训练1：讨论函数()(0)a f x xa x的单调性．题型二 求函数的单独区间 例2：求函数212log (32)y x x 的单调区间．变式训练2：函数212log (231)yx x 的递减区间为 （ ）A ．（1，+∞） B.⎥⎦⎤ ⎝⎛∞43-， C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，43 题型三 求函数的最值例3：已知函数f (x)对于任意x ，y ∈R ，总有f (x)+f (y)=f (x+y)，且当x>0时，2()0,(1)3f x f (1) 求证：f (x)在R 上是减函数；(2) 求f (x)在[－3，3]上的最大值和最小值.变式训练3：已知定义在区间(0，+∞)上的函数f (x)满足1122()()()x f f x f x x ，且当x>l 时，f (x)<0．(1)求f (l)的值； (2)判断f (x)的单调性；(3)若f (3)= -1，求f (x)在[2，9]上的最小值．五．答题模板3. 函数的单调性与不等式试题：函数f (x)对任意的m 、n ∈R,都有f (m+n)= f (m)+ f (n)-1，并且x>0时，恒有f (x)>1(1)求证：f (x)在R 上是增函数； (2)若f (3)=4，解不等式f (a 2+a -5)<2.六．方法与技巧1．根据函数的单调性的定义，证明（判定）函数f (x)在其区间上的单调性，其步骤是 (1)设12,x x 是该区间上的任意两个值，且12x x (或12x x )；(2)作差12()()f x f x ，然后变形； (3)判定12()()f x f x 的符号；(4)根据定义得出结论． 2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间，常用方法有：根据定义，利周图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质． 3．复合函数的单调性 对于复合函数[()]yf g x ，若()t g x 在区间(a ，b)上是单调函数，且()y f t 在区间（g(a)，g(b)）或者（g(b)，g(a)）上是单调函数，若()t g x 与()yf t 的单调性相同（同时为增或减），则[()]y f g x 为增函数；若()t g x 与()y f t 的单调性相反，则[()]y f g x 为减函数．简称为：同增异减．七．失误防范1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．2．两函数f (x)、g(x)在x ∈(a ，b)上都是增(减)函数，则f (x)+g(x)也为增（减）函数，但f (x)·g(x)，1()f x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． 八．补充练习1．给定函数①y ＝12x ，①y ＝12log (x ＋1)，①y ＝|x －1|，①y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)单调递减的函数的序号是( ) A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1)⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 ( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)3．若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增4．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是 ( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)5．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是 ( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，32B.⎣⎡⎭⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎤－1，32D.⎣⎡⎭⎫32，4 6．函数f (x )＝x 2－2x －3的单调增区间为_ __．7．设x 1，x 2为y ＝f (x )的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0； ①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0； ①f x 1－f x 2x 1－x 2>0； ①f x 1－f x 2x 1－x 2<0.其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是 9．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则m 的取值范围是__ __．10．已知函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数，试比较f ⎝⎛⎭⎫34与f (a 2－a ＋1)的大小．11. 已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．12．已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x )在(－1,1)上是减函数，解不等式f (1－x )＋f (1－x 2)<0.。