7.2 相平面法
相平面法是Poincare. H 于1885年首先提出来的，它是求解一、二阶线性或非线性系统的一种图解法，可以用来分析系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度以及初始条件和参数对系统运动的影响。
7.2.1 相平面的基本概念
1．相平面、相轨迹
设一个二阶系统可以用常微分方程
0),(=+x x f x
&&& (7-5) 来描述。其中是),(x
x f &x 和的线性或非线性函数。在非全零初始条件(,)或输入作用下，系统的运动可以用解析解和描述。 x &0x 0x &)(t x )(t x
&取x 和构成坐标平面，称为相平面，系统的每一个状态均对应于该平面上的一点。当变化时，这一点在x
&t x -平面上描绘出的轨迹，表征系统状态的演变过程，该轨迹就叫做相轨迹，如图7.8(a)
所示。
x
&
图7-8 相轨迹
2．相平面图
相平面和相轨迹曲线簇构成相平面图。相平面图清楚地表示了系统在各种初始条件或输入作用下的运动过程，可以用来对系统进行分析和研究。
7.2.2 相轨迹的性质
1．相轨迹的斜率
相轨迹在相平面上任意一点处的斜率为 ),(x
x &
d d d (,d d d )?==
&&&&x
x t f x x x x t x
（7-6） 只要在点处不同时满足和),(x
x &0=x &0),(=x x f &，则相轨迹的斜率就是一个确定的值。这样，通过该点的相轨迹不可能多于一条，相轨迹不会在该点相交。这些点是相平面上的普通点。
2．相轨迹的奇点
相平面上同时满足和0=x
&0),(=x x f &的点处，相轨迹的斜率 d (,)d 00?==&&&x
f x x x x
即相轨迹的斜率不确定，通过该点的相轨迹有一条以上。这些点是相轨迹的交点，称为奇点。
显然，奇点只分布在相平面的x 轴上。由于在奇点处，0==x x &&&
，故奇点也称为平衡点。 3．相轨迹的运动方向
相平面的上半平面中，，相迹点沿相轨迹向0>x
&x 轴正方向移动，所以上半部分相轨迹箭头向右；同理，下半相平面0 &，相轨迹箭头向左。总之，相迹点在相轨迹上总是按顺时针方向运动的。 4．相轨迹通过x 轴的方向 相轨迹总是以垂直方向穿过x 轴的。因为在x 轴上的所有点均满足，所以除去其中的奇点外，在其他点上的斜率0x =&(,)0f x x =&d d →∞&x x 。这表示相轨迹与相平面的x 轴是正交的。 7.2.3 相轨迹的绘制 绘制相轨迹是用相平面法分析系统的基础。相轨迹的绘制方法有解析法和图解法两种。 解析法通过求解系统微分方程找出x 和的解析关系，从而在相平面上绘制相轨迹。图解法则通过作图方法间接绘制出相轨迹。 x &1．解析法 描述系统的微分方程比较简单时，适合于用解析法绘制相轨迹。例如，研究以方程 2 2n n x x x ξωω++&&&0= （7-7） 描述的二阶线性系统在一组非全零初始条件下的运动。当0=ξ时，式（7-7）变为 2 0n x x ω+=&& 考虑到 2 d d d d 0d d d d ω= ===?=&&&&&&n x x x x x x t x t x x 用分离变量法进行积分，有 2d d n x x x ω=?&&x 00 2d d x x n x x x x x ω=?∫ ∫&&&&x 22 2 n x 2x A ω+ =& （7-8） 式中，A = (,)决定的常数。式（7-8）表示相平面上以原点 0x 0x &为圆心的椭圆。当初始条件不同时，相轨迹是以 (,)为起始点的椭圆族。系统的相平面图如图7-9所示，表明系统的响应是等幅周期运动。图中箭头表示时间增大的方向。 0x 0x &t 2．图解法 绘制相轨迹的图解法有多种，其中等倾斜线法简单实用，在实际中被广泛采用。 等倾斜线法是一种通过图解方法求相轨迹的方法。由式（7-6）可求得相平面上某点处的相轨迹斜率 d (,d )?= &&&x f x x x x 若取斜率为常数α，则上式可改写成 (,)f x x x ?α= && （7-9） 式（7-9）称为等倾斜线方程。很明显，在相平面中，经过等倾斜线上各点的相轨迹斜率都等于α。给定不同的α值，可在相平面上绘出相应的等倾斜线。在各等倾斜线上作出斜率为α的短线段，就可以得到相轨迹切线的方向场。沿方向场画连续曲线就可以绘制出相平面图。以下举例说明。 例7-1 设系统微分方程为，用等倾斜线法绘制系统的相平面图。 0x x x ++=&& &解 由系统微分方程，有 (),(dx )x x x x x x dx =?+=?+&&&&&& 设x x d d &= α为定值，可得等倾斜线方程为 α +?=1x x & （7-10） 式（7-10）是直线方程。等倾斜线的斜率为)1/(1α+?。给定不同的α，便可以得出对应的等倾斜线斜率。表7-1列出了不同α值下等倾斜线的斜率以及等倾斜线与x 轴的夹角β。 表7-1 不同α值下等倾斜线的斜率及β β 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° 图7-10 确定相轨迹切线方向的方向场 及相平面上的一条相轨迹 图7-10绘出了α取不同值时的等倾斜线，并在其上画出了代表相轨迹切线方向的短线段。根据这些短线段表示的方向场，很容易绘制出从某一点起始的特定的相轨迹。例如，从图7-10中的A 点出发，顺着短线段的方向可以逐渐过渡到B 点、C 点……,从而绘出一条相应的相轨迹。由此可以得到系统的相平面图，如图7-10所示。 7.2.4 由相轨迹求时间解 相轨迹能清楚地反映系统的运动特性。而由相轨迹确定系统的响应时间、周期运动的周期以及过渡过程时间时，会涉及由相轨迹求时间信息的问题。这里介绍增量法。 设系统相轨迹如图7-11(a)所示。在时刻系统状态位于点，经过一段时间后，系统状态移动到新的位置点A t (,)A A A x x &AB t Δ(,)B B B x x &。如果时间间隔比较小，两点间的位移量不大，则可用下式计算该时间段的平均速度： B A AB AB x x x x t t ?Δ== ΔΔ& 又由 2 A B AB x x x +=&&& 可求出点A 到点B 所需的时间 2() B A AB A B x x t x x ?Δ= +&& （7-11） 同理可求出点B 和点C 之间所需的时间BC t Δ……利用这些时间信息以及对应的()x t ，就可绘制出相应的()x t 曲线，如图7-11(b)所示。 图7-11 由相轨迹求时间解 注意，在穿过x 轴的相轨迹段进行计算时，最好将一点选在x 轴上，以避免出现。 0AB x =&7.2.5 二阶线性系统的相轨迹 许多本质性非线性系统常常可以进行分段线性化处理，而许多非本质性非线性系统也可以在平衡点附近做增量线性化处理。因此，可以从二阶线性系统的相轨迹入手进行研究，为非线性系统的相平面分析提供手段。 由式（7-7）描述的二阶线性系统自由运动的微分方程 022 =++x x x n n ωξω&&& 可得 22n n x x dx dx x ωξω+=?&&& （7-12） 根据式（7-12）利用等倾斜线法，或者从式（7-12）解出系统的相轨迹方程1()x f x =&，就可以绘制出相应的相平面图。将不同情形下的二阶线性系统相平面图归纳整理，列在表7-2中。 在式（7-7）中，令，可以得出唯一解0x x ==&& &0e x =，这表明线性二阶系统的奇点（或平衡点）就是相平面的原点。根据系统极点在复平面上的位置分布，以及相轨迹的形状，将奇点分为不同的类型。 （1）当1ξ≥时，1λ，2λ为两个负实根，系统处于过阻尼（或临界阻尼）状态，自由响应按指数衰减。对应的相轨迹是一簇趋向相平面原点的抛物线，相应奇点称为稳定的节点。 （2）当10<<ξ时，1λ，2λ为一对具有负实部的共轭复根，系统处于欠阻尼状态。自由响应为衰减振荡过程。对应的相轨迹是一簇收敛的对数螺旋线，相应的奇点称为稳定的焦点。 （3）当0=ξ时，1λ，2λ为一对共轭纯虚根，系统的自由响应是简谐运动，相轨迹是一簇同心椭圆，称这种奇点为中心点。 （4）当01< （5）当1?<ξ时，1λ，2λ为两个正实根，系统的自由响应为非周期发散状态。对应的相轨迹是发散的抛物线簇。相应的奇点称为不稳定的节点。 （6）若系统极点1λ，2λ为两个符号相反的实根，此时系统的自由响应呈现非周期发散状态。对应的相轨迹是一簇双曲线，相应奇点称为鞍点，是不稳定的平衡点。 当系统至少有一个为零的极点时，很容易解出相轨迹方程（见表7-2中序号7，8，9），由此绘制相平面图，可以分析系统的运动特性。 表7-2 二阶线性系统的相轨迹 系统方程 序 号 方程 参数 极点分布 相轨迹 奇点 相轨迹方程 1 1ξ≥ (0,0) 特殊相轨迹：稳定 节点抛物线 (收敛) 12x x λx x λ=?? =?&& 2 01ξ<< (0,0) 稳定 点 (收敛) 3 焦 螺线 0ξ= (0,0) 中心点椭圆 4 10ξ?<< 不稳定 (发散) 5 (0,0) 焦点 螺线 2 20 n n x x x ξωω++=&&& 1ξ (0, 0) 不稳定 节点 抛物线 发 散) 特殊相轨迹： (12x x x x λλ=??=?&& 6 a b ?? >?任意 (0,0) 鞍点 双曲线 特殊相轨迹： 12x x x x λλ=?? =?&& 7 0a b >??=? x 轴 0x x ax C =?? =?+?&& 8 0a b x 轴 0x x ax C =?? =?+?&& 9 x ax bx +?=&&& 0a b =??=? x 轴 x C =& 7.2.6 非线性系统的相平面分析 1．非本质非线性系统的相平面分析 如果描述非线性系统的微分方程式（7-5）中，函数(,)f x x &是解析的，则可在平衡点处将其进行小偏差线性化近似，然后按线性二阶系统分析奇点类型，确定系统在该奇点附近的稳定性。也可以绘制系统的相平面图，全面研究系统的动态特性。 例7-2 试确定下列二阶非线性系统的平衡点及其类型 22 10x (x )x x x ??+?=&& &解 令，有0==x x &&& 2 10x x x(x )?=?=。系统的平衡点为 120 1==e e x x 分别在各平衡点处对系统进行线性化处理，分析其性质。 在处，令10e x =1e x x x x =Δ+=Δ代入原方程，略去高次项，得出1e x 处的线性化方程 0x x x Δ?Δ+Δ=&&&相应的特征方程为，特征根为 012=+?s s 12122 ,j λ= ± 平衡点为不稳定的焦点。 10e x =同理，令21e x x x x =Δ+=Δ+，代入原方程，略去高次项，得出2e x 处的线性化方程 0x x Δ?Δ=&& 相应的特征方程为，特征根为 210s ?=1211λλ=?=+ 平衡点为鞍点。 21e x =2．本质非线性系统的相平面分析 许多非线性控制系统所含有的非线性特性是分段线性的，或者可以用分段线性特性来近似。用相平面法分析这类系统时，一般采用“分区-衔接”的方法。首先，根据非线性特性的线性分段情况，用几条分界线(开关线)把相平面分成几个线性区域，在各线性区域内，分别用线性微分方程来描述。其次，分别绘出各线性区域的相平面图。最后，将相邻区间的相轨迹衔接成连续的曲线，即可获得系统的相平面图。 例7-3 试确定下列方程的奇点及其类型，绘出奇点附近相轨迹的大致图形。 （1） 0sgn =++x x x &&&（2） 0||=+x x &&解 （1）系统方程可写为 ),0(),0(,001001区即轴即区）即（ΙΙ>>Ι>??? ??=?+=+=++x x x x x x x x x x &&&&&&&&& 系统的奇点为 Ⅰ区： 11e x =? Ⅱ区： 21e x = 系统特征方程为，特征根012=+s j s ±=2,1，奇点为中心点。绘出系统的相平面图如图7-12所示。x 轴是两部分相轨迹的分界线，称之为“开关线”。上、下两半平面的相轨迹分别是以各自奇点1e x 和2e x 为中心的圆，两部分相轨迹相互连接成为相轨迹图。由图可见，系统的自由响应运动最终会收敛到区间)1,1(?。奇点在-1～1之间连成一条线，称之为奇线。 图7-12 例7-3(1)相平面图 图7-13例7-3(2)相平面图 （2）系统方程可写为 ) ,0() ,0(00区区ΙΙ<Ι≥?? ?=?=+x x x x x x && && 特征方程、特征根和奇点为 Ⅰ区：，012=+s j s ±=2,1， 奇点0=Ιe x （中心点） Ⅱ区：, 012=?s 12,1±=s ， 奇点0=Πe x (鞍点) 绘出系统的相平面图如图7-13所示。轴是开关线，左半平面相轨迹由鞍点决定，右半平面相轨迹由中心点确定。由图可见，系统的自由响应总是会向x &x 轴负方向发散，系统不稳定。 3．非线性控制系统的相平面分析 对于用结构图形式表示的非线性控制系统，首先要根据线性环节、非线性环节以及比较点分别列写回路上各个变量之间的数学关系式；然后经过代换消去中间变量，导出以相变量描述的系统方程；最后用本质非线性系统的相平面分析方法进行处理。 例7-4 系统结构图如图7-14所示。试用等倾斜线法绘出系统的x x &?相平面图。系统参数为1====h M T K 。 图7-14 非线性系统结构图 解 对线性环节，有 Ku c c T s KU s C s Ts s U s C Ts s K =+=+= +&&&)()()()() ()1(2 将c x ?=代入上式，得出以x 为变量的系统微分方程 Ku x x T ?=+&&& 对非线性环节，有 I ,0,II ,0x h M x h x u x h M x h x ?>?? ?>? ?<>?? &&区 区 代入微分方程，有 ?? ?> ?>?=+Ι0,:0,:x h x h x KM x x T x h x h x KM x x T &&&&&&&&区区 开关线将相平面分为两个区域，各区域的等倾斜线方程可推导如下： Ⅰ区： KM x x x T x x x x T x x T ?=+=+=+&&&&&&&&)1d d (d d 令 x x d d &= α，得 1+?=αT KM x & （水平线） 同理，可得Ⅱ区的等倾斜线方程 1 +=αT KM x & 计算列表（取），见表7-3 1====h M T K 表7-3 例7-4 计算表 采用等倾斜线法绘制出系统相平面图如图7.15所示。由图可见，系统运动最终趋向于一条封闭的相轨迹，称之为“极限环”，它对应系统的一种稳定的周期运动，即自振。由相轨迹图可以看出，对于该系统而言，不论初始条件怎样，系统自由响应的最终形式总是自振。 极限环是非线性系统在相平面上一条封闭的特殊相轨迹，它将相轨迹分成环内、环外两部分。极限环分为三种类型：稳定的、不稳定的和半稳定的。非线性系统的自振在相平面上对应一个稳定的极限环。 图7-15 例7-4相平面图 (1)稳定的极限环。如果极限环内部和外部的相轨迹都逐渐向它逼近，则这样的极限环称为稳定的极限环，对应系统的自振运动，如图7-16所示。 图7-16 稳定极限环 图7-17 不稳定极限环 (2)不稳定的极限环。如果极限环内部和外部的相轨迹都逐渐远离它而去，这样的极限环称为不稳定的极限环,如图7-17所示。 (3)半稳定的极限环。如果极限环内部的相轨迹逐渐向它逼近，而外部的相轨迹逐渐远离于它（见图7-18(a)）；或者反之，内部的相轨迹逐渐远离于它，而外部的相轨迹逐渐向它逼近（见图7-18(b)），这样的极限环称为半稳定极限环。具有这种极限环的系统不会产生自振，系统的运动或者趋于发散(图7-18(a))，或者趋于收敛(见图7-18(b))。 非线性控制系统可能没有极限环，也可能有一个或多个极限环。 二阶零阻尼线性系统的相轨迹虽然是封闭的椭圆，但它不是极限环。 图7-18 半稳定极限环 例7-5 已知非线性系统结构图及非线性环节特性如图7-19所示。系统原来处于静止状态，a R t R t r >×?=<<),(1)(, 10β。分别绘出没有局部反馈和有局部反馈时系统相 平面的大致图形。 图7-19 非线性系统结构图及非线性环节特性 解 （1）没有局部反馈时，e e =1，由系统结构图可知 21 )()(s s X s C =。系统运动方程为 ()()() ?? ????<==a e b a e b a e x c ||0&& 因为 c c r e r r t R t r c r e &&&&&&&&&&&?=?===×?=?=0)(1)( 以代入运动方程式，可得 c e &&&& ?=() ()() ??? ??ΙΙΙ?<=ΙΙ>?=Ι<=区，区，区，a e b e a e b e a e e &&&&&&0 因为e e e e d d &&&&=，所以 Ⅰ区： 0d 0d d == e e e e e &&&& 2211()d 0()22 ∫====&&&&e e e c e c A 得 e =&式中，A 为任意常数。相轨迹为一簇水平线。 Ⅱ区： e b e e b e e e d d d d ?=?=&&&& 2()d d 2 ∫=?∫=?+&&&e e e b e be A 式中，A 为任意常数。相轨迹为一簇抛物线，开口向左。 Ⅲ区： d d d d ==&&&&e e b e e b e e 2()d d 2 ∫==+∫&&&e e e b e be A 式中，A 为任意常数。相轨迹为一簇抛物线，开口向右。 开关线方程， 。它是a e =a e ?=e e &?平面上两条垂直线。初始位置 R R c r e ?=??=?=+++0)0()0()0( 000)0()0()0(=?=?=+++c r e &&& 相轨迹如图7-20（）所示，表明系统的误差响应是一个等幅振荡的运动过程。 a 图7-20 例7-5相轨迹图 （2）有局部反馈时，非线性环节的输入信号由e 变为，系统方程为 1e x e ?=&& () ()() ??? ??ΙΙΙ?<=ΙΙ>?=Ι<=区，区，区，a e b e a e b e a e e 111 0&&&&&& 系统的方程没有变，方程所表示的图形也没有变，只是分区的条件变了，开关线方程是 ， 。要绘制平面上的相轨迹，开关线方程必须消去中间变量，用e 和来表示。由系统结构图可知 a e =1a e ?=1e e &?1e e &e e c e e &&ββ+=?=1 令即 a e =1β β βa e e a e e + ?==+1 && 令，有 a e ?=1β β βa e e a e e ? ?=?=+1 && 开关线方程为两条斜率为β 1 ? 、在纵轴上截距分别为 β a 和β a ? 的斜线。当时，分别等于和，如图7-20(b)所示。 0=e &e a a ?相轨迹起始点的位置仍为 R e e ?==0& 相轨迹如图7-20(b )所示。可见，加入测速反馈时，系统振荡消除，系统响应最终会收敛。 一、箍筋表示方法： ⑴ φ10@100/200(2) 表示箍筋为φ10 ，加密区间距100，非加密区间距200，全为双肢箍。 ⑵ φ10@100/200(4) 表示箍筋为φ10 ，加密区间距100，非加密区间距200，全为四肢箍。 ⑶ φ8@200(2) 表示箍筋为φ8，间距为200，双肢箍。 ⑷ φ8@100(4)/150(2) 表示箍筋为φ8，加密区间距100，四肢箍，非加密区间距150，双肢箍。 一、梁上主筋和梁下主筋同时表示方法： ⑴ 3Φ22，3Φ20 表示上部钢筋为3Φ22, 下部钢筋为3Φ20。 ⑵ 2φ12，3Φ18 表示上部钢筋为2φ12, 下部钢筋为3Φ18。 ⑶ 4Φ25，4Φ25 表示上部钢筋为4Φ25, 下部钢筋为4Φ25。 ⑷ 3Φ25，5Φ25 表示上部钢筋为3Φ25, 下部钢筋为5Φ25。 二、梁上部钢筋表示方法：（标在梁上支座处） ⑴ 2Φ20 表示两根Φ20的钢筋，通长布置，用于双肢箍。 ⑵ 2Φ22+（4Φ12）表示2Φ22 为通长，4φ12架立筋，用于六肢箍。 ⑶ 6Φ25 4/2 表示上部钢筋上排为4Φ25，下排为2Φ25。 ⑷ 2Φ22+ 2Φ22 表示只有一排钢筋，两根在角部，两根在中部，均匀布置。 三、梁腰中钢筋表示方法： ⑴ G2φ12 表示梁两侧的构造钢筋，每侧一根φ12。 ⑵ G4Φ14 表示梁两侧的构造钢筋，每侧两根Φ14。 ⑶ N2Φ22 表示梁两侧的抗扭钢筋，每侧一根Φ22。 ⑷ N4Φ18 表示梁两侧的抗扭钢筋，每侧两根Φ18。 四、梁下部钢筋表示方法：（标在梁的下部） ⑴ 4Φ25 表示只有一排主筋，4Φ25 全部伸入支座内。 ⑵ 6Φ25 2/4 表示有两排钢筋，上排筋为2Φ25，下排筋4Φ25。 ⑶ 6Φ25 （-2 ）/4 表示有两排钢筋，上排筋为2Φ25，不伸入支座，下排筋4Φ25，全部伸入支座。 ⑷ 2Φ25 + 3Φ22（-3）/ 5Φ25 表示有两排筋，上排筋为5根。2Φ25伸入支座，3Φ22，不伸入支座。下排筋 5Φ25，通长布置。 五、标注示例： KL7（3）300×700 Y500×250 φ10@100/200(2) 2Φ25 N4Φ18 （-0.100） 4Φ25 6Φ25 4/2 6Φ25 4/2 6Φ25 4/2 4Φ25 □———————————□———————□———————————□ 4Φ25 2Φ25 4Φ25 相平面法例题解析： 要求： 1.正确求出对于非线性系统在每个线性区的相轨迹方程，也就是e e - 之间关系的方程（或c c - ）。会画相轨迹（模型中是给具体数的）。※※关键是确定开关线方 程。 2. ※※※如果发生自持振荡，计算振幅和周期。 注意相平面法一般应： 1）按照信号流向与传输关系。线性部分产生导数关系，非线性部分形成不同分区。连在一 起就形成了不同线性分区对应的运动方程，即含有c 或者e 的运动方程。 2）※※※根据不同线性分区对应的运动方程的条件方程确定开关线方程。开关线方程确定很关键。 3）※※※根据不同线性分区对应的运动方程，利用解析法（分离变量积分法或者消去t 法） 不同线性分区对应的相轨迹方程，即c c - 和e e - 之间关系。 4）※根据不同分区的初始值绘制出相轨迹，并求出稳态误差和超调、以及自持振荡的周期和振幅等。 例2 问题1. 用相平面法分析系统在输入r (t ) = 4.1(t )时的运动情况。 问题2. 如果发生自持振荡 ，求自持振荡的周期和振幅。 解：问题1：1）设系统结构图，死区特性的表达式： 0,||2 2,22,2x e x e e x e e =≤?? =->??=+<-? 2）线性部分： 2 ()1 ()C s X s s =，则微分方程为：c x = 3）绘制e e - 平面相轨迹图。因为e r c =-，c r e =-，c r e =- ，c r e =- 。代入则 e x r =-+ （1） 当0t >，0r = ，0r = 。代入，则各区的运动方程0,||2I 2,2II 2,2III e e e e e e e e =≤--?? =->---??=--<----? 由于非线性特性有3个分区，相平面e e -分为3个线性区。 注意，当相平面选好后，输入代入后，最后代入非线性特性。 4） 系统开关线：2e =±。 5） 由题意知初始条件(0)(0)(0)4e r c =-=，(0)(0)(0)0e r c =-= 在II 区，则从 第八章 习题 8-1已知具有理想继电器的非线性系统如图8-1所示，试用相平面法分析： 图8-1 （1）T d =0时系统的运动； （2）T d =0.5时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用； （3）T d =2,并考虑实际继电器有延迟时系统的运动。 8-2 设三个非线性系统的非线性环节一样，其线性部分分别为 (1)1 ();(0.11) G s s s = + (2)2 ();(1)G s s s = + (3)2(1.51) ()(1)(0.11) s G s s s s += ++ 用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高。 8-3某单位反馈系统，其前向通路中有一描述函数4 ()j e N A A π-=的非线性元件， 线性部分的传递函数为15 ()(0.51) G s s s =+，试用描述函数法确定系统是否存在 自振？若有，参数是多少？ 8-4已知非线性系统的结构图如图8-2所示，图中非线性环节的描述函数 6 ()(0),2 A N A A A +=>+试用描述函数法确定： 图8-2 (1)使该非线性系统稳定，不稳定以及产生周期运动时，线性部分的k 值范围； (2)判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。 8-5非线性系统如图8-3所示，试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定系统输出信号振荡的振幅和频率。 图8-3 8-6试用描述函数法说明图8-4所示系统必然存在自振，并确定c 的自振振幅和频率，画出c,x,y 的稳态波形。 图8-4 8-7某线性系统的结构图如图8-5所示，试分别绘制下列三种情况时，变量e 的相轨迹，并根据相轨迹分别作出相应的e(t)曲线。 图8-5 （1）J=1，K 1=1，K 2=2，初始条件e(0)=3, (0)0;(0)1,(0) 2.5e e e ===- ; （2）J=1，K 1=1，K 2=0.5，初始条件e(0)=3, (0)0;(0)3,(0)0e e e ==-= ; （3）J=1，K 1=1，K 2=0，初始条件e(0)=1, (0)1;(0)0,(0)2e e e === ; 8-8设一阶非线性系统的微分方程为3x x x =-+ 试确定系统有几个平衡状态，分析各平衡状态的稳定性，并作出系统的相轨迹。 8-9试确定下列方程的奇点及类型，并用等倾线法绘制它们的相平面图： （1）||0x x x ++= ； （2）0x x sign x ++= ； （3）0x sin x += ； 第 1 页 实验十一 非线性系统的相平面分析 一、实验目的 (1)掌握非线性系统的模拟方法。 (2)用相平面分析法分析继电型非线性系统、饱和型非线性系统的瞬态响应和稳态误差。 二、实验设备 序 号 型 号 备 注 1 DJK01 电源控制屏 该控制屏包含“三相电源输出”等几个模块。 2 DJK15控制理论实验挂箱 或DJK16控制理论实验挂 箱 3 慢扫描示波器 4 万用表 三、实验线路及原理 相平面法是分析一阶和二阶非线性系统的有效方法。通过作出的相轨迹，就能直观的知道系统的运动情况。 图11-1 非线性控制系统 第 2 页 图11-2 理想继电器特性的模拟线路图 图11-1为一具有理想继电器特性的非线性系统的框图，图11-2为理想继电器特性的具体接线参考图。由图11-1得 Km C C =+。 。。 ,0, 0m e m m e >?=??=?+e KM C C e KM C C 令 r(t) = R，则 r(t)=0。因为 r –c =e， 所以e = -c 。于是上式改写为 ） ，（），（。。。。。。0000<=?+>=++e KM e e e KM e e 第 3 页 初始条件 e（0）= r（0）- c（0）=R ，用等倾线法作出该系统的相轨迹如图11-3所示。由图可见，系统从初始点A 出发，最后运动到坐标原点。这不仅表明该系统稳定，而且由图还能确定系统的超调量δ%=0F/0A ×100%。和稳定误差为零等性能指标。 图11-3 四、思考题 (1)实验中如何获得c 和c 的信号？如何获得e 和e 的信号？ (2)试说明e ?e 相轨迹和c ?c 相轨迹间的关系。 (3)你是如何从相平面图上得到超调量σρ和稳态误差ess 的？ 五、实验方法 (1)用相轨迹分析图8-54所示的具有理想继电器特性的非线性系统在阶跃信号作用下的瞬态响应和稳态误差。 ①根据图8-54设计相应的实验线路图，其中M=5V，K=1。 ②在系统的输入分别为3V 和1V 时，用示波器观察系统e ?e 平法讲座 ########公司 2014年7月 目录 第一部分基本概念 (1) 第二部分柱平面表示法 (3) 一、注写 (3) 二、抗震KZ钢筋构造 (5) 三、非抗震KZ钢筋构造 (8) 四、柱钢筋制作安装质量通病 (9) 第三部分梁平面表示法 (10) 一、注写 (10) 二、抗震KL、WKL纵向钢筋构造 (12) 三、梁配筋构造 (15) 四、非抗震KL同抗震KL的异同点 (16) 五、梁钢筋制作安装质量通病 (16) 第四部分剪力墙平面表示法 (17) 一、墙柱 (17) 二、墙身 (20) 三、墙梁 (22) 四、洞口平面表示法 (24) 第一部分基本概念 1、接头百分率 （1）排扎接头连接区段长度为1.3L，区段内接头面积百分率梁板墙不宜＞25%，柱不宜＞50%，确有必要增加时梁不应＞50%，其他构件可放宽。 （2）机械连接及焊接接头连接区段为35d（d为较大直径）且不小于500mm，凡接头中心点位于该区段内的接头均属于内一区段，区段内接头百分率，受拉区不宜＞50%，接头不宜设在抗震框架梁、柱端加密区。直接承受动力荷载的不宜采用焊接接头。 2、HPB235钢筋：180°弯钩，内直径≥2.5d，平直段长度不应小于3d，箍筋弯钩内直径不小于受力钢筋，一般结构弯90°，平直部分不宜小于5d，抗震结构应为135°，平直部分不应小于10d且不应小于75。 3、抗震等级 钢筋混凝土房屋根据烈度、设防类型、结构类型和房屋高度，场地类别采用不同的抗震等级并应符合相应计算和构造措施要求。 4、锚固长度 L 1、L 1E 纵向受拉钢筋绑扎搭接长度l1E、l1 纵向受拉钢筋搭接长度修正数 注：当不同直径的钢筋搭接时，其l1E与l1值按较小的直径计算；在任何情况下l1不得小于300mm；式中ζ为搭接长度修正数。 一、梁上主筋和梁下主筋同时表示方法： ⑴3Φ22，3Φ20 表示上部钢筋为3Φ22, 下部钢筋为3Φ20。 ⑵2φ12，3Φ18 表示上部钢筋为2φ12, 下部钢筋为3Φ18。 ⑶4Φ25，4Φ25 表示上部钢筋为4Φ25, 下部钢筋为4Φ25。 ⑷3Φ25，5Φ25 表示上部钢筋为3Φ25, 下部钢筋为5Φ25。 二、梁上部钢筋表示方法：(标在梁上支座处) ⑴2Φ20 表示两根Φ20的钢筋，通长布置，用于双肢箍。 ⑵2Φ22+(4Φ12) 表示2Φ22 为通长，4φ12架立筋，用于六肢箍。 ⑶6Φ25 4/2 表示上部钢筋上排为4Φ25，下排为2Φ25。 ⑷2Φ22+ 2Φ22 表示只有一排钢筋，两根在角部，两根在中部，均匀布置。 三、梁腰中钢筋表示方法： ⑴G2φ12 表示梁两侧的构造钢筋，每侧一根φ12。 ⑵G4Φ14 表示梁两侧的构造钢筋，每侧两根Φ14。 ⑶N2Φ22 表示梁两侧的抗扭钢筋，每侧一根Φ22。 ⑷N4Φ18 表示梁两侧的抗扭钢筋，每侧两根Φ18。 四、梁下部钢筋表示方法：(标在梁的下部) ⑴4Φ25 表示只有一排主筋，4Φ25 全部伸入支座内。 ⑵6Φ25 2/4 表示有两排钢筋，上排筋为2Φ25，下排筋4Φ25。 ⑶6Φ25 (-2 )/4 表示有两排钢筋，上排筋为2Φ25，不伸入支座，下排筋4Φ25，全部伸入支座。 ⑷2Φ25 + 3Φ22(-3)/ 5Φ25 表示有两排筋，上排筋为5根。2Φ25伸入支座，3Φ22，不伸入支座。下排筋5Φ25，通长布置。 1、箍筋表示方法： ⑴ φ10@100/200(2) 表示箍筋为φ10 ，加密区间距100，非加密区间距200，全为双肢箍。 ⑵ φ10@100/200(4) 表示箍筋为φ10 ，加密区间距100，非加密区间距200，全为四肢箍。 ⑶ φ8@200(2) 表示箍筋为φ8，间距为200，双肢箍。 ⑷ φ8@100(4)/150(2) 表示箍筋为φ8，加密区间距100，四肢箍，非加密区间距150，双肢箍。 2、梁上主筋和梁下主筋同时表示方法： ⑴ 3Φ22，3Φ20? 表示上部钢筋为3Φ22, 下部钢筋为3Φ20。 ⑵ 2φ12，3Φ18 表示上部钢筋为2φ12, 下部钢筋为3Φ18。 ⑶ 4Φ25，4Φ25 表示上部钢筋为4Φ25, 下部钢筋为4Φ25。 ⑷ 3Φ25，5Φ25 表示上部钢筋为3Φ25, 下部钢筋为5Φ25。 3、梁上部钢筋表示方法：（标在梁上支座处） ⑴ 2Φ20 表示两根Φ20的钢筋，通长布置，用于双肢箍。 ⑵ 2Φ22+（4Φ12）表示2Φ22 为通长，4φ12架立筋，用于六肢箍。 ⑶ 6Φ25 4/2 表示上部钢筋上排为4Φ25，下排为2Φ25。 ⑷ 2Φ22+ 2Φ22 表示只有一排钢筋，两根在角部，两根在中部，均匀布置。 4、梁腰中钢筋表示方法： ⑴G2φ12 表示梁两侧的构造钢筋，每侧一根φ12。 ⑵ G4Φ14 1.含有死区继电器特性的非线性系统框图如图2-1所示。 图2-1 系统框图 系统中非线性部分的输入输出关系为： 非线性部分的输入与输出关系可用下式表示： 试用等倾线法绘制其相轨迹。 解： 首先在图2-2中设q为不同值时画出一系列等倾线。在每条等倾线上按q值求出α=arctan q，并按该倾角画出短线短。相轨迹应以该斜率穿过等倾线。如果系统外部输入为r=0，在初始状态x1(0)=3情况下，其相轨迹如图2-2所示。由图可见，在给定条件下，x是单调衰减的。由于存在死区非线性特性，x1不能衰减到0，存在稳态误差。 图2-2 用等倾线法绘制图2-1所示系统的相轨迹 2.如图2-3所示，非线性控制系统，在t=0时，加上一个幅度为6的阶跃输入， 图2-3 继电控制系统 系统的初始状态为e(0)=6，e(0)=0，问系统经过多长时间可到达原点。 图2-4 继电控制系统的相轨迹 3.试分析图2-5所示具有摩擦阻力的系统。图中F f表示摩擦阻力，它包括 图2-5 系统框图 或 在图2-6中画出了当系统参量为K=1.25，f c=0.25，f v=0.25时的相轨迹。 图2-6 图2-5系统的相轨迹 图2-5所示系统的稳定性没有问题，但稳态误差可能比较大，也就是要求系统总是最终收敛到状态平面的原点是难于做到的。在实际中，对于具有干摩擦非线性的系统，为提高稳态精度，可用反复加入微小的正、负输入信号，以克服由于干摩擦带来的稳态精度不高的缺点。 4.非线性控制系统如图2-7所示，令K=1。讨论下面情况下的e-e相轨迹：当输入信号为阶跃信号r(t)=R，系统的初始状态为0。 图2-7 系统框图 解：首先根据控制系统框图，设法得到各分区的线性方程。由 得到：；将代入方程，有： 7-4 相 轨 迹 一、相轨迹的概念 设二阶系统可以用下列常微分方程描述 ),(x x f x = 或 ),(x x f dt x d = 式中),(x x f 一般是x 和x 的非线性函数。该系统的时域解，可以用x 与t 的关系曲线来表示。也可把时间t 作为参 变量，用x 与x 之间的关系曲线来表示。下面以线性二阶系统为例加以说明。 设线性二阶系统如图7-34(a)所示，其单位阶跃响应及其导数如图7-34(b)所示。即可把系统的阶跃响应 用图7-34(c)所示的x 与x 之间的关系曲线来描述，由图可见，x x -曲线同样很直观地表示了系统的运动特性。从某种意义上来说，甚至比)(t x 曲线更形象，可获得更多的信息。 显然，如果把方程),(x x f x =看作是一个质点运动方程，用x 表示质点的位置，那么x 就表示质点的运动速度。用x 和x 描述方程的解，也就是用质点的“状态”（位置和速 度）来表示该质点的运动。在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量来描述运 动的方法称为相空间方法，也称为状态空间法。在自动控制理论中，把具有直角坐标x x -的平面称为相平面。相平面是二维的状态空间（平面），相平面上的每个点对应着系统的 一个运动状态，这个点就称为相点。相点随时间t 的变化在x x -平面上描绘出的轨迹线，表征了系统运动状态（相）的演变过程，这种轨迹称为相轨迹。对于二阶系统，它的状态变量只有两个，所以二阶系统的运动可在相平面上表示出来。对于三阶系统，它有三个状态变量，必须用三维空间来描述其相迹，这就比较困难了。对于三阶以上的系统，要作其相轨迹就更加困难；然而原则上可以将二维空间中表示点运动的概念扩展到n 维空间去。 相平面法是一种用图解求下列两个联立一阶微分方程组的方法。首先把二阶常微分运动方程 ),(x x f x = 改写成两个联立一阶微分方程，令1x x =，21x x =? 则有 平面整体表示方法（平法）专题讲座 一、概述： 1、平法的产生： 国内传统设计方法效率低、质量难以控制。日本的结构图纸没有节点构造详图，节点构造详图由建筑公司（施工单位）进行二次设计，设计效率高、质量得以保证。美国的结构设计只给出配筋面积，具体配筋方式由建筑公司搞。据此中国传统的设计方法也必须改革。 2、平法的原理： 设计流程：设计结构体系—〉结构分析（力学分析）—〉结构施工图设计。 结构设计是一种是商品，有使用价值和价值，是一种特殊的商品，分为创造性劳动和重复性劳动（非创造性劳动）。现在由结构工程师完成创造性设计部分（创造性劳动），节点构造、节点外构造不是结构工程师的劳动成果，是抄的规范。（注：节点构造是算不出来的，是由研究人员试验出来的。）传统的单构件正投影表示方法将创造性劳动和非创造性劳动混在一起，节点内构造和节点外构造的设计属于重复性劳动（非创造性劳动）。基于此产生了结构标准化、构造标准化的思路，用数字化、符号化的表示方法即平面整体表示方法表示创造性设计。平面整体设计方法，含表示方法和标准图两部分。节点构造标准化后，施工公司的劳动量加大。 3、平法的应用： 1991年9月份平法开始在山东应用于工程，开始推广平法。构造图适合于所有的构件，平法一张图上都有，走哪看哪，非常方便。平法推出后，有坚决支持、坚决反对、不表态三种人，后来将专利贡献给国家，成为国家标准。 平法是给从事结构设计与施工的专业人员看的，提高了科技含量，不让非专业人员看懂，设计方法的改革也促进了施工单位技术人员水平的提高。平法是结构设计领域的一次革命，提高效率两倍以上，能够使中国结构界不合理的人员配置情况得到改善。现在，3个建筑师配1个结构师。 二、柱平法： 1、定义疑问： （1）嵌固部位是指地下室顶板处，地面以下的结构构造（含地下室部分）划归基础结构（待出图集）。嵌固部位以下箍筋也划归到基础结构部位，不归本图集。 （2）柱钢筋总截面为柱截面面积b×h，梁钢筋总截面为梁有效截面面积b×h0，h0为梁高扣单排钢筋35mm、双排钢筋60mm后的数值。 （3）水平段钢筋≥0.45lae,垂直段钢筋≥15lae，达不到以上要求时，将钢筋调细（等面积代换钢筋）。 7.2 相平面法 相平面法是Poincare. H 于1885年首先提出来的，它是求解一、二阶线性或非线性系统的一种图解法，可以用来分析系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度以及初始条件和参数对系统运动的影响。 7.2.1 相平面的基本概念 1．相平面、相轨迹 设一个二阶系统可以用常微分方程 0),(=+x x f x &&& (7-5) 来描述。其中是),(x x f &x 和的线性或非线性函数。在非全零初始条件(,)或输入作用下，系统的运动可以用解析解和描述。 x &0x 0x &)(t x )(t x &取x 和构成坐标平面，称为相平面，系统的每一个状态均对应于该平面上的一点。当变化时，这一点在x &t x -平面上描绘出的轨迹，表征系统状态的演变过程，该轨迹就叫做相轨迹，如图7.8(a) 所示。 x & 图7-8 相轨迹 2．相平面图 相平面和相轨迹曲线簇构成相平面图。相平面图清楚地表示了系统在各种初始条件或输入作用下的运动过程，可以用来对系统进行分析和研究。 7.2.2 相轨迹的性质 1．相轨迹的斜率 相轨迹在相平面上任意一点处的斜率为 ),(x x & d d d (,d d d )?== &&&&x x t f x x x x t x （7-6） 只要在点处不同时满足和),(x x &0=x &0),(=x x f &，则相轨迹的斜率就是一个确定的值。这样，通过该点的相轨迹不可能多于一条，相轨迹不会在该点相交。这些点是相平面上的普通点。 2．相轨迹的奇点 相平面上同时满足和0=x &0),(=x x f &的点处，相轨迹的斜率 d (,)d 00?==&&&x f x x x x 即相轨迹的斜率不确定，通过该点的相轨迹有一条以上。这些点是相轨迹的交点，称为奇点。 显然，奇点只分布在相平面的x 轴上。由于在奇点处，0==x x &&& ，故奇点也称为平衡点。 3．相轨迹的运动方向 相平面的上半平面中，，相迹点沿相轨迹向0>x &x 轴正方向移动，所以上半部分相轨迹箭头向右；同理，下半相平面0 相平面法例题解析 x x 2x s x =1 x sx =x 2s x =1s x ※稳定焦点 不稳定焦点 1s 2 中心点 x x 2x s x =1x s x =220 n n x x x ζωω+-= 2 20n n x x x ζωω++=例已知线性系统的运动方程0=++e b e a e ，分别给出系统在相平面中具有(a)稳定焦点和(b)鞍点时，参数a 和b 的取值范围。 解：由方程求出两根为1,2 s = (a)稳定焦点10<<ζ，系统具有一对负实部共轭复根，0>a 、b a 42 <且0>b ； (b)鞍点，系统具有符号相反的两个实极点0 7-5 非线性控制系统的相平面分析法 相平面法在分析非线性系统时是很有用处的。但是，我们在介绍非线性系统的分析方法之前，先讨论一下相平面法在分析线性二阶系统中的应用是很有好处的。因为许多非线性元件特性一般都可分段用线性方程来表示，所以非线性控制系统也可以用分段线性系统来近似。 一、线性控制系统的相平面分析 1、阶跃响应 设线性二阶控制系统如图7-38所示。若系统开始处于平衡状态。试求 系统在阶跃函数)(1)(0t R t r ?= 作用下，在e e -平面上的相轨迹。 建立系统微分方程式，由图示系统可得 Ke c c T =+ 因为c r e -=，代入上式得 r r T Ke e e T +=++ （7-31） 对于->?=0),(1)(0t t R t r 时，0)()(==t r t r 因此上式可写成 0=++Ke e e T （7-32） 方程（7-32）与（7-22）式相仿。因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差信号的初始条 件是0)0(R e =和0)0(=e 。e e -平面上的相轨迹起始于)0,(0R 点，而收敛于原点(系统的奇点)。当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a) 所示。根据e e -平面上的相轨迹就可方便的求得c c -平面上系统输出的相轨迹，如图7-39(b)所示。由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量P σ及系统在稳态时的误差 为零。因为e e -平面相轨迹最终到原点，即奇点；所以在c c -平面上相轨迹最终到达0R c =的稳态值，则奇点坐标为)0,(0R 。 2、斜坡响应 对于斜坡输入t V t r 0)(=；当0>t 时，)(t r 的导数0)(V t r = 及0)(=t r 。因此，方程（7-31）可以写成 0V Ke e e T =++ 或 0)(0=-++K V e K e e T 令v e K V e =-0，代入上式，则有 0V Ke e e T =++ννν （7-33） 在v v e e -平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在e e -平面上方程（7-32）给出的相平面图是相同的。 应当指出，特征方程式的根确定了奇点的性质，在v v e e -平面上的奇点的位置是坐标原点，而在e e -平面上奇点坐标为)0,(0K V 点。又因为我们假设系统初始状态为平衡状态。 空间图形在平面内的表示方法教案 教学目标：会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。 教学重点：画水平放置的平面图形的直观图。 教学过程： 一、复习： 确定平面的三个推论 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面。 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面。 二、新授： 1．水平放置的平面图形的直观图 直观图：表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图。 画空间图形的直观图，一般都遵守统一的规则 例1、画水平放置的正六边形的直观图。 画法：略 例2、画水平放置的正六边形的直观图。 画法：略 例3、画棱长为2厘米的正方体的直观图。 画法：略 2．上面画直观图的画法叫做斜二测画法。 这种画法的规则是： （1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox 、Oy ，再取Oz 轴。使∠xOz=900,且∠yOz=900； （2）画直观图时，把它们画成对应的轴x O ''、y O ''、z O ''，使045='''∠y O x （或1350），0 90='''∠z O x 。y O x '''所确定的平面表示水平平面； （3）已知图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴、y '轴或z '轴的线段； （4）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半。 3．说明：应用斜二测画法画直观图时，为了简便，如果要求不太严格，那么长度和角度可“适当地”选取，只要有一定的立体感就可以了。例如，三角形的直观图可“适当地”画成三角形，长方形地直观图可“适当地”画成平行四边形。但习题中要求用斜二测画的，还应该按要求画。 三、做练习：第10页第1、2、3题 小结：1.直观图的概念 2．斜二测画法的规则 五、布置作业：习题9.1第8、9题。 非线性系统的相平面分析 实验一典型非线性环节 一.实验要求 1. 了解和掌握典型非线性环节的原理。 2. 用相平面法观察和分析典型非线性环节的输出特性。 二.实验原理及说明 实验以运算放大器为基本元件, 在输入端和反馈网络中设置相应元件 (稳压管、二极管、电阻和电容组成各种典型非线性的模拟电路,模拟电路见图 3-4-5 ~ 图 3-4-8所示。 1.继电特性 理想继电特性的特点是:当输入信号大于 0时,输出 U 0=+M,输入信号小于 0,输出 U 0=-M。 理想继电特性如图 3-4-1所示, 模拟电路见图 3-4-5, 图 3-4-1中 M 值等于双向稳压管的稳压值。 图 3-4-1 理想继电特性图 3-4-2 理想饱和特性 注:由于流过双向稳压管的电流太小(4mA ,因此实际 M 值只有 3.7V 。 实验步骤: (1 将信号发生器 (B1 的幅度控制电位器中心 Y 测孔, 作为系统的 -5V~+5V输入信号 (Ui : B1单元中的电位器左边 K3开关拨上(-5V ,右边 K4开关也拨上(+5V 。 (2模拟电路产生的继电特性: 继电特性模拟电路见图 3-4-5。 图 3-4-5 继电特性模拟电路 ①构造模拟电路:按图 3-4-5安置短路套及测孔联线,表如下。 (b 测孔联线 ②观察模拟电路产生的继电特性:观察时要用虚拟示波器中的 X-Y 选项 慢慢调节输入电压(即调节信号发生器 B1单元的电位器,调节范围 -5V~+5V ,观测并记录示波器上的 U 0~Ui 图形,如下图: 由图得 M=3.77V (3函数发生器产生的继电特性 ①函数发生器的波形选择为‘继电’ ,调节“设定电位器1” ,使数码管右显示继电限幅值为 3.7V 。 ②测孔联线: ③观察函数发生器产生的继电特性:观察时要用虚拟示波器中的 X-Y 选项 慢慢调节输入电压(即调节信号发生器 B1单元的电位器,调节范围 -5V~+5V ,观测并记录示波器上的 U 0~Ui 图形。实验结果如下 相平面分析matlab 程序 《应用非线性控制》，程代展译 1、P13：质量-弹簧系统 (1) 2、P14：非线性二阶系统 (2) 3、P15：一阶非线性系统 (3) 4、P17：卫星控制系统 (4) 5、P26：课后习题 (7) 题2.2 画下列系统的相图 (7) 题2.4卫星控制系统 (10) 1、P13：质量-弹簧系统 0x x += x D x 相平面分析 clear clc x=1; %修改此值 Dx=0; n=1; t=0; Dt=0.001; for i=1:8000 DDx=-x; Dx=Dx+DDx*Dt; x=x+Dx*Dt; Dx_store(n)=Dx; x_store(n)=x; n=n+1; t=t+Dt; end figure(1) plot(x_store,Dx_store) xlabel('x') ylabel('Dx') title('相平面分析') hold on 2、P14：非线性二阶系统 20.630x x x x +++= x D x 相平面分析 clear clc % x=-6; %i=1:10000 % Dx=10; % x=-8; %i=10000 % Dx=15; % x=5; %i=1:1700 % Dx=7; % x=4; %i=2000 % Dx=8; % x=-7; %i=1:1500 % Dx=10; % x=-5; %i=1:1200 Dx=4; n=1; t=0; Dt=0.001; for i=1:1200 DDx=-0.6*Dx-3*x-x^2; Dx=Dx+DDx*Dt; x=x+Dx*Dt; Dx_store(n)=Dx; x_store(n)=x; n=n+1; t=t+Dt; end figure(1) plot(x_store,Dx_store) xlabel('x') ylabel('Dx') title('相平面分析') hold on 3、P15：一阶非线性系统 34x x x =-+ x D x 相平面分析 clear clc x=1.999; %i=1:2000 %x=2.001; %i=1:700 %x=-1.999; %i=1:3000 上海济光职业技术学院 毕业实践报告（论文） 建筑结构平法施工图的平面整体表示方法 姓名：方利祥 建筑结构平法施工图的平面整体表示方法 、 、- 刖言 图纸则是其重要的表达方式。设计图纸的水平与质量的 然而，设计只是纸面上的想象与构思， 必须经过施工阶 因此，要使建筑工程达到高水平， 设计方与施工方互相 协调、密切配合是关键。要达到建筑工程的高水平，即建筑施工高速度、高质量、高效益和 低消耗的要求，优秀、科学的设计施工图将会起到决定性的作用。 平法施工图是一种符合中 国国情、技术先进、与国际接轨的优秀、科学的施工图。采用平法施工图，可以实现设计方 与施工方的识图同步，减少施工单位与设计单位在识图问题上的沟通， 既节省时间提高效率, 又减少失误增加安全系数， 施工企业可全面提高施工水平， 取得可观的经济效益和社会效益。 本人在实习过程中多次进行梁、板、柱的配筋的核对工作，因此接触到大量的平法施工 图，对梁、板、柱平法施工图的中各信息的表示有一定的认知；且后期进行梁、板、柱平法 施工图的绘制，既在平法施工图上注写梁、板、柱的编号、尺寸、配筋等信息，对平法施工 图中各种信息标注以及绘制规范有所领悟。 固查阅资料写下此篇报告，以总结本人在实习过 程中对平法施工图中各信息的表示方法的学习成果。 设计是工程建设的核心与灵魂, 高低，直接关系到工程项目的优劣。 段才能真正地形成实际上的建筑物。 建筑结构平法施工图的平面整体表示方法 目录 前言 一、平法施工图概述 1.1 平法施工图表示方法的概念和产生 1.2 平法施工图表示方法与传统表示方法的区别和发展历程 1.3 平法施工图基本内容 二、平法施工图中梁的平面表示法 2.1 平面注写方式 2.2 截面注写方式 三、平法施工图中板的平面表示法 3.1 有梁楼盖板的平面表示法 3.2 无梁楼盖板的平面表示法 四、平法施工图中柱的平面表示法 4.1 列表注写方式 4.2 截面注写方式 五、心得体会谢词参考文献 实验五 非线性系统的相平面分析法 一、实验目的 1. 进一步熟悉非线性系统的电路模拟研究方法； 2. 熟悉用相平面法分析非线性系统的特性。 二、实验设备 同实验一。 三、实验内容 1. 用相平面法分析继电型非线性系统的阶跃响应和稳态误差； 2. 用相平面法分析带速度负反馈的继电型非线性控制系统的阶跃响应和稳态误差； 3. 用相平面法分析饱和型非线性控制系统的阶跃响应和稳态误差。 四、实验原理 非线性系统的相平面分析法是状态空间分析法在二维空间特殊情况下的应用。它是一种 不用求解方程，而用图解法给出x 1=e ，x 2=e 的相平面图。由相平面图就能清晰地知道系统的动态性能和稳态精度。 本实验主要研究具有继电型和饱和型非线性特性系统的相轨迹及其所描述相应系统的动、静态性能。 1. 未加速度反馈的继电器型非线性闭环系统 图5-1为继电器型非线性系统的方框图。 图5-1 继电型非线性系统方框图 由图5-1得 0=-+KM c c T (0>e ) 0=++KM c c T (0钢筋的平面表示法
自动控制原理例题详解-相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析
8-1已知具有理想继电器的非线性系统如图8-1所示,试用相平面法分析
实验十一：非线性系统的相平面分析
混凝土结构施工图平面整体表示方法制图规则和构造详图
钢筋混凝土梁平面表示法(习题教学)
相平面分析法
相平面法
平面整体表示方法
相平面法
相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析
非线性控制系统的相平面分析法
空间图形在平面内的表示方法教案
自动控制原理学生实验：非线性系统的相平面分析讲解
相平面分析matlab程序
建筑结构平法施工图的平面整体表示方法
非线性系统的相平面分析法
相关主题
文本预览