非线性系统的分析相平面优秀课件
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非线性系统分析-PPT课件可修改文字
k(x a) y 0
k(x a)
x a | x | a xa
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死去的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰 能力。 2．饱和特性
y
M
a k
0a
x
M
M
y
kx
M
x a | x | a xa
1
2
平面，相应的分析法称为相平面法；
相平面上的点称为相点；
由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
2.相轨迹方程和平衡点
考察二阶非线性时不变微分方程:
x f (x, x)
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写成二 元一阶微分方程组:
此时两个状态变量对时间的变化率 都为零，系统的状态不再发生变化，即 系统到达了平衡状态，相应的状态点 （相点）称为系统的平衡点。平衡点处 有的斜率
dx 2 dx2 dt 0 dx1 dx1 0
dt
则上式不能唯一确定其斜率，相轨迹上斜 率不确定的点在数学上也称为奇点，故平 衡点即为奇点。
奇点处，由于相轨迹的斜率dx2／dx1为 不定值，可理解为有多条相轨迹在此交汇 或由此出发，即相轨迹可以在奇点处相交。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一 族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原 点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是 一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
无阻尼二阶线性系统的相轨迹
2、欠阻尼运动（01）
系统特征方程的根为一对具有负实部的共 轭复根,系统的零输入解为
非线性系统分析 PPT课件
1 A
2 A
1 ( 2 )2 1 AA
1
(
1 A
)
2
第15页/共24页
7.3 非线性系统的描述函数法
通过描述函数，一个非线性环节就可以看作是一个线性环节，而非 线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的频率 法对系统进行分析。这种利用描述函数对非线性系统分析的方法称为 描述函数法。但这种方法一般只能用于分析系统的稳定性和自振荡。
可以近似认为非线性环节的稳态输出中只包含有基波分量，即
y(t) A1 cos nt B1 sinnt Y1 sin(t 1)
式中：A1
Y1
1 2
0
A12
y (t ) B12 ,
costd (t),
1
arctg
A1 B1
1
B1
2
y(t ) sintd (t )
0
（2）描述函数的定义
③自激振荡的计算
对于稳定的自激振荡，其振幅和频率是确定并且是可以测量的，具 体的计算方法是：振幅可由 1 N(A) 曲线的自变量A来确定，振荡频率
y
2 1 k2
x 12
由串联后的等效非线性特性，对照表7-1的死区加饱和非线性特性， 可见，k 2,a 2, 1
第14页/共24页
于是，等效非线性特性的描述函数为
N ( A)
2k
arcsin
a A
arcsin
A
a A
1 ( a )2 AA
1
(
A
)
2
4
arcsin
2 A
arcsin第3页ຫໍສະໝຸດ 共24页三、典型非线性特性
（1）饱和特性
非线性系统分析方法PPT课件
相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点
第30页/共52页
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
0
中心点
相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点
第31页/共52页
••
•
x 2n x n2 x 0
j s
dx/dt x
s 平面
鞍点
系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于——然后远离原 点，称为鞍点
第32页/共52页
•
x
x 0
相平面
•
x/ 0
x 0
•
(0,10) x
x 0
相平面 (0,-10)
第24页/共52页
4. 相轨迹的奇点
➢定义：二阶系统
••
•
x f (x, x) 0
在相平面上满足
x 0
f
(x,Βιβλιοθήκη x)0➢在奇点上相轨迹的斜率不定，为
的点
•
•
d x f (x, x) 0
dx
•
x
0
由奇点可以引出不止一条相轨迹
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
第49页/共52页
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
•
相轨迹的等倾线方程 • f (x, x) x
第16页/共52页
•
• f (x, x)
x
97第七章 非线性控制系统的分析方法PPT课件
第七章 重点
重点掌握非线性系统的相平面分析法。
相平面、相轨迹的基本概念 奇点类型和极限环分析
二阶非线性系统的阶跃响应☆和斜坡响应分 析
饱和特性、死区特性和继电特性
1
概述
1
点击输入简要文字内容，文字内容需概括精炼，不用多余 的文字修饰，言简意赅的说明分项内容……
2
点击输入简要文字内容，文字内容需概括精炼，不用多余 的文字修饰，言简意赅的说明分项内容……
(1)运动收敛于状平态衡 系, 统稳定;
(2)运动 趋 于 平态衡的状过 程是 非 周 期 。性 的
16
17
§7-2-1ζ=2
18
§7-2-4用相平面分析法分析二阶非线性控制系统
C(s)
K
K
X(s) s(Ts 1) Ts 2 s
(Ts 2 s)C(s) KX(s)
Tc '' c ' Kx
5.间隙非线性:当输入量方向改变时,输 出量保持不变,一直到输入量变化超 过一定数值(间隙)后,输出量才跟着 变化。
4
§7非线性控制系统的分析方法 §7-1 概述
三.非线性控制系统的特殊性: 1.迭加原理不适用 2.传递函数、频率特性、根轨迹等方法不适用; 3.对正弦输入信号的响应除包含与输入同频率
10
§7-2-1ζ=0
11
§7-2-1基本概念:ζ=0H:\exp742328.mdl
x A2 2(xA '22ω 1式 ) , :中 A x2 0ω x' 022
(1) ζ=0时二阶线性系统相迹 为一些封闭曲线(长轴为A, 短轴为Aω的椭圆),表明系 统状态将沿封闭曲线回转不 息,说明非全0初始条件时系 统将产生周期运动解;
重点掌握非线性系统的相平面分析法。
相平面、相轨迹的基本概念 奇点类型和极限环分析
二阶非线性系统的阶跃响应☆和斜坡响应分 析
饱和特性、死区特性和继电特性
1
概述
1
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2
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(1)运动收敛于状平态衡 系, 统稳定;
(2)运动 趋 于 平态衡的状过 程是 非 周 期 。性 的
16
17
§7-2-1ζ=2
18
§7-2-4用相平面分析法分析二阶非线性控制系统
C(s)
K
K
X(s) s(Ts 1) Ts 2 s
(Ts 2 s)C(s) KX(s)
Tc '' c ' Kx
5.间隙非线性:当输入量方向改变时,输 出量保持不变,一直到输入量变化超 过一定数值(间隙)后,输出量才跟着 变化。
4
§7非线性控制系统的分析方法 §7-1 概述
三.非线性控制系统的特殊性: 1.迭加原理不适用 2.传递函数、频率特性、根轨迹等方法不适用; 3.对正弦输入信号的响应除包含与输入同频率
10
§7-2-1ζ=0
11
§7-2-1基本概念:ζ=0H:\exp742328.mdl
x A2 2(xA '22ω 1式 ) , :中 A x2 0ω x' 022
(1) ζ=0时二阶线性系统相迹 为一些封闭曲线(长轴为A, 短轴为Aω的椭圆),表明系 统状态将沿封闭曲线回转不 息,说明非全0初始条件时系 统将产生周期运动解;
第8章非线性系统分析PPT课件
奇点称为不稳定的节点。
• 此时相轨迹如右图所示。奇
点称为鞍点，该奇点是不稳
x定的2。nx n2x 0
-
24
特征根和奇点的对应关系
-
25
二、相轨迹作图法
1 等倾线法
设系统微分方程如 xf(x,x)
化为
dx dx
f (x, x) x
令
f
(x, x
x)
a
其中 a为某个常数
表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点
A1
x0 x0 2 1 2
A2
x0 x01 1 2
x(t) A 1 q 1 e q 1 tA 2 q 2 e q 2 t
-
22
（4）负阻尼运动
10
• 相轨迹图如右图所示，此时相
轨迹仍是对数螺旋线，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散 的。这种奇点称为 不稳定的 焦点 。
-
23
1
• 系统的相轨迹图如右图所示，
-
53
饱和特性及其输入-输出波形
-
54
三、间隙特性的描述函数
A / 1 1 2 K ( 2 X b 0 ) c / 21K ( t /o 2 X ( d st ) a s ir t n c1 K sb 1( ) X ic ns 2Xb(o )tt i d ( s b n ) tc ) t o ( d t ) s
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的 一种常见的非线性因素。
•数学表达式为
x2
Kx1 bsi
x2 0
g1nx
| |
x2
K x2
K
x1 x1
|b |b
间隙非线性特性
• 此时相轨迹如右图所示。奇
点称为鞍点，该奇点是不稳
x定的2。nx n2x 0
-
24
特征根和奇点的对应关系
-
25
二、相轨迹作图法
1 等倾线法
设系统微分方程如 xf(x,x)
化为
dx dx
f (x, x) x
令
f
(x, x
x)
a
其中 a为某个常数
表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点
A1
x0 x0 2 1 2
A2
x0 x01 1 2
x(t) A 1 q 1 e q 1 tA 2 q 2 e q 2 t
-
22
（4）负阻尼运动
10
• 相轨迹图如右图所示，此时相
轨迹仍是对数螺旋线，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散 的。这种奇点称为 不稳定的 焦点 。
-
23
1
• 系统的相轨迹图如右图所示，
-
53
饱和特性及其输入-输出波形
-
54
三、间隙特性的描述函数
A / 1 1 2 K ( 2 X b 0 ) c / 21K ( t /o 2 X ( d st ) a s ir t n c1 K sb 1( ) X ic ns 2Xb(o )tt i d ( s b n ) tc ) t o ( d t ) s
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的 一种常见的非线性因素。
•数学表达式为
x2
Kx1 bsi
x2 0
g1nx
| |
x2
K x2
K
x1 x1
|b |b
间隙非线性特性
相平面法ppt课件
9
绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性； 由于系统的平衡点有无穷根相轨迹离开或到达，因此平衡 点附近的相轨迹，最能反映系统的运动特性。 平衡点又称为奇点。
另一反映系统运动特性的相轨迹是极限环（奇线）。 极限环是相平面上一根孤立的封闭的相轨迹，反映了系统 的自激振荡状态，它将无穷大的相平面分为两个部分，有 利于与奇点特性一起分析系统的运动特性。
e
y
0.5 0.5
e e 0 e e 0
e
区域（1） 区域（2）
（1）
0
e
（2）
e e 0
28
区域（1）：
e 0.5 e 0.5t c1 e 0.25t 2 c1t c2
代入初始条件 e(0) 6, e，(0有) 0
e
0 （2）
（1）
A(6,0) e
e e 0
c1 0, c2 6
1,2
2
根据特征方程根的性质，可将奇点分为如下几种情况：
13
a d (a d )2 4(ad bc)
1,2
2
1) 同号相异实根
(a d )2 4(ad bc)
当 a d时 ，0 两根同负，奇点称为稳定的节点； 当 a d时 ，0 两根同正，奇点称为不稳定的节点。
图。
6
令
P( Q(
x1 x1
, ,
x2 x2
) )
0 0
联立求解出的点 ( x10 , x称20为) 系统的平衡点。
相轨迹的特点：
1、相平面上除平衡点外的任意一点只有一根相轨迹通过。 2、由式 dx2 Q可知0 ，相轨迹在平衡点附近切线斜率不定，
dx1 P 0 意味着有无穷多根相轨迹到达或离开平衡点。
绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性； 由于系统的平衡点有无穷根相轨迹离开或到达，因此平衡 点附近的相轨迹，最能反映系统的运动特性。 平衡点又称为奇点。
另一反映系统运动特性的相轨迹是极限环（奇线）。 极限环是相平面上一根孤立的封闭的相轨迹，反映了系统 的自激振荡状态，它将无穷大的相平面分为两个部分，有 利于与奇点特性一起分析系统的运动特性。
e
y
0.5 0.5
e e 0 e e 0
e
区域（1） 区域（2）
（1）
0
e
（2）
e e 0
28
区域（1）：
e 0.5 e 0.5t c1 e 0.25t 2 c1t c2
代入初始条件 e(0) 6, e，(0有) 0
e
0 （2）
（1）
A(6,0) e
e e 0
c1 0, c2 6
1,2
2
根据特征方程根的性质，可将奇点分为如下几种情况：
13
a d (a d )2 4(ad bc)
1,2
2
1) 同号相异实根
(a d )2 4(ad bc)
当 a d时 ，0 两根同负，奇点称为稳定的节点； 当 a d时 ，0 两根同正，奇点称为不稳定的节点。
图。
6
令
P( Q(
x1 x1
, ,
x2 x2
) )
0 0
联立求解出的点 ( x10 , x称20为) 系统的平衡点。
相轨迹的特点：
1、相平面上除平衡点外的任意一点只有一根相轨迹通过。 2、由式 dx2 Q可知0 ，相轨迹在平衡点附近切线斜率不定，
dx1 P 0 意味着有无穷多根相轨迹到达或离开平衡点。
自动控制理论最新版精品课件第7章 非线性系统的分析
倒特性
被线1性N部( A分) 的乃氏曲G(线j)
包围，则系统为不稳定的。
Im
G 0 Re
N
1
N A
Gj
a)
Gj
1
N A
b)
Im
Im
0 Re
B
Re
1
N A
A
Gj
c)
描述函数法分析非线性系统稳定性
二、非线性系统自持振荡分析
• 如果1 N与( A) G曲(线j相) 交，则可能产生自持振荡。
• 严格地讲，自持振荡不是正弦的，但可以用正弦 来近似。
二、描述函数
在谐波线性化系统中，非线性元件的特性， 与频率响应描述线性元件特性相类似，也可采 用一复变函数N(A,w)来描述。
N (A, w)
Y1 A
1
B1
jA1 A
A12 B12 tg 1 A1
A
B1
描述函数N(A,w)定义为非线性元件在输入信号 为正弦函数时，稳态输出的基波分量与输入信 号的复数比。
0
死区特性的描述函数为：
x2
a
a
0
0
2
t a)
N
( A,)
N ( A)
2
K
2
arcsin
a A
a A
1
a A
2
0
x2
x1
2 t
0
x1 b)
Aa Aa
3 滞环特性
K ( Asin t a)
x2
(t
)
K
(
A
a)
K ( Asin t a)
x2 a
0a
x2
3
x1
【优选】自动控制原理课件非线性系统讲义相平面PPT资料
例开上关半2线平面设———系向划右分统移不动同方线性程区域为的边界线 x (3 x 0 ，.5 )x x x 2 0
(相3)平奇面点法(平求（衡1）点系) ：统的平衡点xe，并判定平衡点附近相轨迹的性质。
相平面法（1）
xx0 解 令 相平面法（1）
当系统相轨迹方程比较简单或易于分段线性化时,
x 0 xxx x 当非线性方程在某个区2域可以表示为线性微分方程时，奇点类型e 1决定该区域系统运动的形式。
性系统特征根的分布，确定奇点的类型，进而确定平衡点附
近相轨迹的运动形式。
当非线性方程在某个区域可以表示为线性微分方程时，奇点 类型决定该区域系统运动的形式。
若对应的奇点位于本区域内，则称为实奇点；若对应的奇点
位于其它区域，则称为虚奇点。
相平面法（1）
奇点的位置？过奇点时系统运动的速度和加速度？过奇点的相轨迹个数？相轨迹从奇点处过x轴？
2
( x1)( x1) 0 可使用解析法求出相轨迹方程的解,再绘制相轨迹。
相通非轨过线迹横性上轴系斜时统率的不相 ，确平以xx定面90的 分°点析穿00越..55x轴 xx xx00
特征 方程
s2 s2
0.5s 1 0.5s 1
0 0
s 0.5 j0.97
s
0 x 0 — 向右移动 下半平面 x 0 — 向左移动
顺时针运动
通过横轴时(x 0)，以90°穿越 x
轴
d dx x d dx x d dttf(x x,x )0 0
一个初始条件对应一条相轨迹
(3)奇点 (平衡点) ：相轨迹上斜率不确定的点
• ••
•
相若轨在迹 某上点每处一f (点x,切x• )线和的斜x•率同为时dd为xx 零 xx•，即 f有(x•x,
非线性系统的分析-相平面1PPT课件
ii.作等倾线分布图 iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的
ai
ai
ai1 2
平均斜率依次作短直线便可画得。
2021
7
说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精 度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。
例如 x2 nxn2x0 令 0.5, n1
i.等斜线方程:
y n2 x 1 x
i.等斜线分布图.
止条件。
2021
43
(1) 具有死区特性的非线性控制系统
2021
44
取
作为状态变量，
因为
，
2021
45
给定参数T=1, K k =1，根据二阶线性系统相
轨迹分析结果，可得奇点类型
区域 I：奇点(-△，0)为稳定焦点，相轨迹为向心
螺旋线(
);
区域 II：奇点(x，0)，x∈(-△, △)为稳定焦点，
x+axbx0
则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面
上的位置。设特征根为 1 , 2 ，根据 1 , 2 在复平面
的位置，可以有以下几种情况：
2021
12
①一对具有负实部的共轭复根 每条相轨迹都
以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的 奇点称为稳定焦点。
②一对具有正实部的共轭复根 每条相轨迹都以
态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这 种奇点称为中心点。
2021
15
⑥特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都 是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又 远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中
两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称 为鞍点。
2021
16
《非线性系统分析》PPT课件
0
M
x h2 h2 x h1
x h1
(7 4a)
.
当x 0:
M
y
0
M
x h1 h1 x h2
x h2
(7 4b)
19
图（b）所示继电特性的数学描述由 读者自行导出。
20
4、间隙特性
传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性 特性，齿轮传动是典型的间隙特性，图7-4（a） 表示齿轮传动原理，图7-4（b）表示主动轮位移 与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最 大间隙为2b，那么当主动轮改变方向时，主动轮 最大要运动2b从动轮才能跟随运动。间隙特性类 似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对 控制系统的动态、稳态特性都不利。设齿轮传动 速比为，则图7-4间隙特性的数学描述为：
22相平面法是庞加莱poincare1885年首先提出的本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法两个变量构成的直角坐标系称为相平面方程组的解在相平面上的图象称为相轨这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统并形成了一种特定的相平面法它对弄清非线性系统的稳定性稳定域等基本属性解释极限环等特殊现象起到了直观形象的作23因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力
一点在 x x平面上绘出的曲线，表征了系统的
运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二 阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。
26
例7-1 考虑二阶系统：
..
x ax 0 , a 0, x(t0 ) x0 ,
将它写成微分方程组：
dx
.
x
dt.
d x ax
dt
两式相除得到：
.
dx dx
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非线性系统的分析相平面优秀课件
➢1.相平面:以x和 x 为横轴和纵轴构成的坐标平
面. ➢2.相点:相平面上任一点 (x, x) ➢3.相轨迹: 对二阶系统来讲，从某一初始状态出发， 以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。
x
M 1
x
M2
4.相轨迹特点: ⑴与初始点(状态)密切相关. ⑵可以不直接求出微分方程而获得系统所有 运动状态. 5.相轨迹判断系统稳定性
ai
ai
ai1 2
平均斜率依次作短直线便可画得。
说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精 度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。
例如 x2 nxn2x0 令 0.5, n1
i.等斜线方程:
y n2 x 1 x
i.等斜线分布图.
2n a 1a
ii.相轨迹 A点
a1
1 过点A,
a
1
1 1.2 2
x
x
x
(x 0,x 0)
(x 0,x 0)
x
x
(x,,x)
x
漸進穩定系統
不穩定
持續振蕩
二、相平面图绘制方法
1.解析法:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线 性化.
设二阶系统 xf(x,x)0 (*)
若令 y x 则 yf(x,y)0 dyf (x, y)
dt
dydtdtf(x,y) dy f (x, y)
②不稳定的极限环
如图(b)所示。起始于极限环内部和外部的相 轨迹，最终都卷离极限环。当系统受到很小的 扰动而偏离极限环时，系统状态再也不会回到 极限环上来，因此称为不稳定的极限环。
③半稳定的极限环 如果极限环两侧的相轨迹，一侧是卷向极限 环，而另一侧卷离极限环，则该极限环称为半 稳定的极限环，如图(c)与图(d)所示。
①稳定的极限环
如果起始于极限环内部和外部的相轨迹最终都 趋于极限环上，则该极限环称为稳定的极限环， 如图 (a)所示。当系统受到小扰动的作用而偏离 极限环时，经过一段时间后，系统的状态又能 回到极限环上。
因此，稳定的极限环 上系统就表现为自激振 荡。极限环横向与纵向 的最大值分别对应自激 振荡的振幅与最大变化 率。
对于图(c)所示的系统显然是一个不稳定的系统，设 计系统时应设法避免；而图(d)所示的系统则同不稳 定的极限环一样，应使它的尺寸尽可能的大。
5）由相轨迹求时间增量
当相轨迹在 x 方向移动一个增量 x 时，如果在
x 区间 x 的变化不很剧烈，则可以把该区间内 x
的平均值 x a v 近似当成 x 在此区间内匀速变化的速度。 这样就可以用下式近似求出该区间对应的时间增
f(0,0)=0，则原点也是奇点。又设 f ( x, x) 在原点附近展 成台劳级数
f(x,x)= a x b xg(x,x)
高阶无穷小量 g ( x, x ) 可以省略，得到
x+axbx0
则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面
上的位置。设特征根为 1 , 2 ，根据 1 , 2 在复平面
1.1
直线段交 a 2 = －1.2线于B.
1
三.相轨迹和相平面图的性质
1)相轨迹的斜率
若相轨迹上任意一点的斜率为 a ，则
adxdx/dtxf(x,x) dx dx/dt x x
2)相轨迹的对称性 按照图形对称的条件，关于横轴或纵轴对称
的曲线，其对称点处的斜率大小相等，符号相 反；关于原点对称的曲线，其对称点处斜率大 小相等，符号相同。
f(x,x )f(x,x ) f(x,x )f(x,x )
则相轨迹关于x 对称(左右对
称)。
则相轨迹关于 x对称(上下对
称) 。
f(x,x)f(x,x) 则相轨迹关于原点对称。
3)相平面图的奇点
奇点：相平面上同时满足 x0和 f(x,x)0
的点称为奇点。
设二阶系统 x+f(x,x)=0的平衡点在原点，即
④特征根为两个正实根 对应的相轨迹以非震 荡方式从平衡点散出。这种类型的奇点称为不 稳定节点。
⑤特征根为一对共轭纯虚根，系统处于无阻尼运动状 态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这 种奇点称为中心点。
⑥特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都 是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又 远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中 两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称 为鞍点。
4）极限环
在非线性系统的相轨迹中，可能会存在特殊 的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点 的多个区域，这种特殊的相轨迹就称为奇线。
极限环就是最常见的一种奇线，它是相平面上一 条孤立的封闭相轨迹，而且附近的其他相轨迹都无 限地趋向或者离开它。
极限环作为一条相轨迹来说，既不存在平衡点， 也不趋向无穷远，而是一个无首无尾的封闭环圈。
x2 A2
y2
(n A)2
1
其中
A
x0
2
y02
n2
上式表示一族封闭椭圆，说明:ξ=0时的状态为临界
稳定，但实际中不存在，将随时间不是发散就是收敛。
⒉图解法之一：等倾线法
它多用于解析法中求解微分方程困难的情况。
二阶微分方程 xf(x,x)0令 y x dy f (x, y)
dx
y
若令 dy 常 数 a
dtdx dxdx Nhomakorabeay
直接积分,便解出相轨迹方程 yxf(x)
并由此画出相轨迹。
例：如无阻尼二阶系统 xn2x0
令x y 则
dy dx
n2
x y
，设初始条件为 (x0, y0)
整理上式并积分
y y0
ydy
x
x0 n
2
xdx
1 2(y2y02)1 2n2(x02x2)
n2x2y2n2x02y02
的位置，可以有以下几种情况：
①一对具有负实部的共轭复根 每条相轨迹都 以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的 奇点称为稳定焦点。
②一对具有正实部的共轭复根 每条相轨迹都以 震荡方式“卷离”平衡点，这种类型的奇点称为不稳 定焦点。
③特征根为两个负 实根
对应的相轨迹以非震
荡方式趋聚于平衡点。这种类型的奇点称为稳定节点。
dx
f(x,y)ya0 等倾线方程
➢满足相轨迹上的切线斜率为a
➢相轨迹必然以a的斜率经过等斜线。
⑴画图原理： 据不同的斜率a可画出等斜线方向场（分布）可 证明不同a不相交，则对确定初始点 (x0, y0)沿等 斜率切线变化规律唯一。这样便可画出相轨迹 （近似）
⑵画图步骤：
i.求出等倾线方程
ii.作等倾线分布图 iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的
➢1.相平面:以x和 x 为横轴和纵轴构成的坐标平
面. ➢2.相点:相平面上任一点 (x, x) ➢3.相轨迹: 对二阶系统来讲，从某一初始状态出发， 以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。
x
M 1
x
M2
4.相轨迹特点: ⑴与初始点(状态)密切相关. ⑵可以不直接求出微分方程而获得系统所有 运动状态. 5.相轨迹判断系统稳定性
ai
ai
ai1 2
平均斜率依次作短直线便可画得。
说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精 度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。
例如 x2 nxn2x0 令 0.5, n1
i.等斜线方程:
y n2 x 1 x
i.等斜线分布图.
2n a 1a
ii.相轨迹 A点
a1
1 过点A,
a
1
1 1.2 2
x
x
x
(x 0,x 0)
(x 0,x 0)
x
x
(x,,x)
x
漸進穩定系統
不穩定
持續振蕩
二、相平面图绘制方法
1.解析法:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线 性化.
设二阶系统 xf(x,x)0 (*)
若令 y x 则 yf(x,y)0 dyf (x, y)
dt
dydtdtf(x,y) dy f (x, y)
②不稳定的极限环
如图(b)所示。起始于极限环内部和外部的相 轨迹，最终都卷离极限环。当系统受到很小的 扰动而偏离极限环时，系统状态再也不会回到 极限环上来，因此称为不稳定的极限环。
③半稳定的极限环 如果极限环两侧的相轨迹，一侧是卷向极限 环，而另一侧卷离极限环，则该极限环称为半 稳定的极限环，如图(c)与图(d)所示。
①稳定的极限环
如果起始于极限环内部和外部的相轨迹最终都 趋于极限环上，则该极限环称为稳定的极限环， 如图 (a)所示。当系统受到小扰动的作用而偏离 极限环时，经过一段时间后，系统的状态又能 回到极限环上。
因此，稳定的极限环 上系统就表现为自激振 荡。极限环横向与纵向 的最大值分别对应自激 振荡的振幅与最大变化 率。
对于图(c)所示的系统显然是一个不稳定的系统，设 计系统时应设法避免；而图(d)所示的系统则同不稳 定的极限环一样，应使它的尺寸尽可能的大。
5）由相轨迹求时间增量
当相轨迹在 x 方向移动一个增量 x 时，如果在
x 区间 x 的变化不很剧烈，则可以把该区间内 x
的平均值 x a v 近似当成 x 在此区间内匀速变化的速度。 这样就可以用下式近似求出该区间对应的时间增
f(0,0)=0，则原点也是奇点。又设 f ( x, x) 在原点附近展 成台劳级数
f(x,x)= a x b xg(x,x)
高阶无穷小量 g ( x, x ) 可以省略，得到
x+axbx0
则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面
上的位置。设特征根为 1 , 2 ，根据 1 , 2 在复平面
1.1
直线段交 a 2 = －1.2线于B.
1
三.相轨迹和相平面图的性质
1)相轨迹的斜率
若相轨迹上任意一点的斜率为 a ，则
adxdx/dtxf(x,x) dx dx/dt x x
2)相轨迹的对称性 按照图形对称的条件，关于横轴或纵轴对称
的曲线，其对称点处的斜率大小相等，符号相 反；关于原点对称的曲线，其对称点处斜率大 小相等，符号相同。
f(x,x )f(x,x ) f(x,x )f(x,x )
则相轨迹关于x 对称(左右对
称)。
则相轨迹关于 x对称(上下对
称) 。
f(x,x)f(x,x) 则相轨迹关于原点对称。
3)相平面图的奇点
奇点：相平面上同时满足 x0和 f(x,x)0
的点称为奇点。
设二阶系统 x+f(x,x)=0的平衡点在原点，即
④特征根为两个正实根 对应的相轨迹以非震 荡方式从平衡点散出。这种类型的奇点称为不 稳定节点。
⑤特征根为一对共轭纯虚根，系统处于无阻尼运动状 态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这 种奇点称为中心点。
⑥特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都 是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又 远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中 两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称 为鞍点。
4）极限环
在非线性系统的相轨迹中，可能会存在特殊 的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点 的多个区域，这种特殊的相轨迹就称为奇线。
极限环就是最常见的一种奇线，它是相平面上一 条孤立的封闭相轨迹，而且附近的其他相轨迹都无 限地趋向或者离开它。
极限环作为一条相轨迹来说，既不存在平衡点， 也不趋向无穷远，而是一个无首无尾的封闭环圈。
x2 A2
y2
(n A)2
1
其中
A
x0
2
y02
n2
上式表示一族封闭椭圆，说明:ξ=0时的状态为临界
稳定，但实际中不存在，将随时间不是发散就是收敛。
⒉图解法之一：等倾线法
它多用于解析法中求解微分方程困难的情况。
二阶微分方程 xf(x,x)0令 y x dy f (x, y)
dx
y
若令 dy 常 数 a
dtdx dxdx Nhomakorabeay
直接积分,便解出相轨迹方程 yxf(x)
并由此画出相轨迹。
例：如无阻尼二阶系统 xn2x0
令x y 则
dy dx
n2
x y
，设初始条件为 (x0, y0)
整理上式并积分
y y0
ydy
x
x0 n
2
xdx
1 2(y2y02)1 2n2(x02x2)
n2x2y2n2x02y02
的位置，可以有以下几种情况：
①一对具有负实部的共轭复根 每条相轨迹都 以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的 奇点称为稳定焦点。
②一对具有正实部的共轭复根 每条相轨迹都以 震荡方式“卷离”平衡点，这种类型的奇点称为不稳 定焦点。
③特征根为两个负 实根
对应的相轨迹以非震
荡方式趋聚于平衡点。这种类型的奇点称为稳定节点。
dx
f(x,y)ya0 等倾线方程
➢满足相轨迹上的切线斜率为a
➢相轨迹必然以a的斜率经过等斜线。
⑴画图原理： 据不同的斜率a可画出等斜线方向场（分布）可 证明不同a不相交，则对确定初始点 (x0, y0)沿等 斜率切线变化规律唯一。这样便可画出相轨迹 （近似）
⑵画图步骤：
i.求出等倾线方程
ii.作等倾线分布图 iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的