实验十一：非线性系统的相平面分析

第2章相平面分析方法212.1相平面分析的概念2.2 线性系统的相平面分析2.3 非线性系统的相平面分析2.1 相平面分析的概念211i 2.1.1 相平面图（Phase portraits ）二阶自治系统1112(,)xf x x =&(2.1)a 2212(,)xf x x =&(2.1)b 以状态x 1与x 2为坐标的平面，称为相平面。

给定一对初值(0)=x (0)x 0，可以确定系统的一个解，在相平面中得到一条相平面轨线。

对不同初值的一簇相平面轨线称为系统的相平面图（相图）。

例2.1质量-弹簧系统k =1m=1&&系统的动态方程x x +=假设质点初始位置在x 0，其解为0()cos x t x t ==−&0()sin xt x t 相轨线方程2&22x xx +=图2.1 质量-弹簧系统相平面图相图的作用：一旦得到系统的相图，则系统对应于不同初值的特性即21展漏无遗。

从例2.1可以看出，系统的相轨线既不趋于零也不趋于无穷，而是以原点为中心的同心圆，表示系统处于临界稳定状态。

2.1.2 奇异点(Singular point)满足=奇异点是相平面上的一个平衡点。

112212(,)0(,)0f x x f x x=对线性系统，奇异点通常只有一个。

对非线性系统，则经常存在多个孤立的奇异点。

20.630x xx x +++=&&&例2.2二阶非线性系统两个奇异点：收敛区0x =3x =−奇异点是相平面不稳定奇异点的重要特征。

线性系统的稳定性完全由奇异点的本质决定，而非线性系统则会存在一些复杂22特征。

图2.2 系统相平面图2.2 线性系统的相平面分析0x axbx ++=&&&考虑下面二阶线性系统(2.2)系统的解为121212(),t tx t k e k e λλλλ=+≠111212(),ttx t k e k te λλλλ=+=系统(22)(2.2)只有一个奇异点（设b ≠0），但奇异点附近的系统轨线根据参数a 和b 的不同表现出不同的特征。

实验九实验九 非线性系统的相平面法分析非线性系统的相平面法分析一．实验目的一．实验目的1．掌握相平面法分析非线性系统；．掌握相平面法分析非线性系统；2．用相平面法分析非线性二阶系统，并绘制相轨迹图；．用相平面法分析非线性二阶系统，并绘制相轨迹图；二．实验内容1．搭建继电型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图；．搭建继电型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图；2．搭建带速度反馈的继电型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图；．搭建带速度反馈的继电型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图； 3．搭建饱和型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图。

．搭建饱和型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图。

三．实验步骤三．实验步骤在实验中观测实验结果时，可选用普通示波器，也可选用本实验台上的虚拟示波器。

在实验中观测实验结果时，可选用普通示波器，也可选用本实验台上的虚拟示波器。

如果选用虚拟示波器，如果选用虚拟示波器，只要运行只要运行ACES 程序，程序，选择菜单列表中的相应实验项目，选择菜单列表中的相应实验项目，选择菜单列表中的相应实验项目，再选择再选择开始实验，就会打开虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验台上的虚拟示波器CH1、CH2两通道观察被测波形。

具体用法参见用户手册中的示波器部分。

两通道观察被测波形。

具体用法参见用户手册中的示波器部分。

1．继电型非线性二阶系统．继电型非线性二阶系统实验中所用到的功能区域：实验中所用到的功能区域：阶跃信号、虚拟示波器、实验电路A1A1、、A2A2、、A3A3、、A5A5、、A6A6。

继电型非线性二阶系统模拟电路如图1-9-1所示所示图1-9-1继电型非线性二阶系统模拟电路继电型非线性二阶系统模拟电路（1） 设置阶跃信号源：设置阶跃信号源：A ．将阶跃信号区的选择开关拨至“．将阶跃信号区的选择开关拨至“00～5V 5V””； B ．将阶跃信号区的“．将阶跃信号区的“00～5V 5V”端子与实验电路”端子与实验电路A1的“的“IN11IN11IN11”端子相连接；”端子相连接；”端子相连接； C ．按压阶跃信号区的红色开关按钮就可以在“．按压阶跃信号区的红色开关按钮就可以在“00～5V 5V”端子产生阶跃信号。

7-5 非线性控制系统的相平面分析法相平面法在分析非线性系统时是很有用处的。

但是，我们在介绍非线性系统的分析方法之前，先讨论一下相平面法在分析线性二阶系统中的应用是很有好处的。

因为许多非线性元件特性一般都可分段用线性方程来表示，所以非线性控制系统也可以用分段线性系统来近似。

一、线性控制系统的相平面分析1、阶跃响应 设线性二阶控制系统如图7-38所示。

若系统开始处于平衡状态。

试求系统在阶跃函数)(1)(0t R t r ⋅=　作用下，在e e -平面上的相轨迹。

建立系统微分方程式，由图示系统可得Ke c cT =+ 因为c r e -=，代入上式得r r T Ke e e T +=++ （7-31） 对于->⋅=0),(1)(0t t R t r 时，0)()(==t r t r因此上式可写成0=++Ke e e T （7-32）方程（7-32）与（7-22）式相仿。

因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差信号的初始条件是0)0(R e =和0)0(=e。

e e -平面上的相轨迹起始于)0,(0R 点，而收敛于原点(系统的奇点)。

当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a)所示。

根据ee -平面上的相轨迹就可方便的求得c c -平面上系统输出的相轨迹，如图7-39(b)所示。

由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量P σ及系统在稳态时的误差为零。

因为e e -平面相轨迹最终到原点，即奇点；所以在cc -平面上相轨迹最终到达0R c =的稳态值，则奇点坐标为)0,(0R 。

2、斜坡响应 对于斜坡输入t V t r 0)(=；当0>t 时，)(t r 的导数0)(V t r= 及0)(=t r 。

因此，方程（7-31）可以写成0V Ke e eT =++ 或 0)(0=-++KV e K e e T 令v e K V e =-0，代入上式，则有0V Ke ee T =++ννν （7-33） 在v v ee -平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在e e -平面上方程（7-32）给出的相平面图是相同的。

非线性系统的相平面分析实验指导书 合肥工业大学电气与自动化实验中心非线性系统的相平面分析实际应用中，完全线性的系统是不存在的，因为组成控制系统的元件，其静态特性都存在着不同程度的非线性，但只要系统不包含有特殊本质的非线性元件，并且传输的信号也不太大，那么根据线性系统分析法所得到的结果也同样适用于该类系统。

非线性系统与线性系统的本质区别。

线性系统输入与输出的关系可用线性微分方程来描述，能用叠加原理进行分析；而非线性系统的输入与输出的关系要用非线性微分方程描述，不能用叠加原理来分析。

线性系统的稳定性仅取决于系统本身的结构和参数，与初始条件和输入信号无关；而非线性系统的稳定性，除了与系统本身的结构和参数有关系外，还依赖于初始条件和输入信号的性质。

从频域的观点出发，给线性系统输入一个正弦或余弦信号，则输出响应也是同一频率的正弦或余弦信号，不同的仅在于输出响应的振幅和相位依系统特性和输入信号的频率而定。

输入信号振幅的变化，仅使输出响应的振幅呈比例变化，而不影响其波形，即线性系统不会输出输入信号未包含的频率分量。

但是，非线性系统输出信号的波形不仅与系统的特性有关，而且强烈地依赖输入信号的大小，即输出信号常含有输入信号所没有的频率分量。

调换线性系统各串联环节的位置不影响分析的结果；但在非线性系统中，非线性环节和线性环节的位置不能互相调换，否则会导致错误的结论。

本章实验先从典型环节的特性研究着手，然后用相平面分析法再对非线性系统的性能进行分析、研究并结合实验，描述了如何改善非线性系统的性能指标。

1.1 典型非线性环节本次实验以运算放大器为基本单元，在输入端和反馈网络中设置相应元件 (稳压管、二级管、电阻和电容) 组成各种典型非线性的模拟电路，来模拟实际系统中常见的继电、饱和、死区、间隙等典型的非线性特性，并对典型非线性特性进行详细的理论分析和实验研究，从而为非线性系统的研究打下良好的基础。

1.1.1 实验目的1．熟悉各典型非线性环节的理论分析。