复数代数形式的加、减运算及其几何意义

3．2。

1复数代数形式的加、减运算及其几何意义预习课本P107～108,思考并完成下列问题（1)复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何?(2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同?错误!1．复数的加、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（a，b,c，d∈R)，则z1＋z2＝（a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝（a－c)＋(b－d)i.2．复数加法运算律设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1,（z1＋z2)＋z3＝z1＋（z2＋z3）．3．复数加、减法的几何意义设复数z1，z2对应的向量为错误!，错误!,则复数z1＋z2是以错误!，错误!为邻边的平行四边形的对角线错误!所对应的复数,z1－z2是连接向量错误!与错误!的终点并指向错误!的向量所对应的复数．[点睛] 对复数加、减法几何意义的理解它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中．错误!1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）复数与向量一一对应．（)(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．（)(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ）答案：（1)×（2)×(3）×2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于( ）A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i答案：B3．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于( ）A．0 B．2iC．6 D．6－2i答案:D4．在复平面内,复数1＋i与1＋3i分别对应向量错误!和错误!，其中O为坐标原点，则|错误!|等于( ）A。

错误!B．2C。

错误!D．4答案:B复数代数形式的加、减运算[典例] (1)计算：(2－3i）＋（－4＋2i)＝________。

（2）已知z1＝（3x－4y)＋(y－2x）i，z2＝（－2x＋y)＋（x－3y）i,x，y为实数,若z1－z2＝5－3i,则|z1＋z2｜＝________。

7.2 课时1 复数的加减运算及其几何意义 教案【教学目标】1.掌握复数代数形式的加、减运算法则，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.【教学重难点】重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.难点：加、减运算及其几何意义.【教学过程】一、教学导入师:在上一节,我们把实数集扩充到了复数集,引入新数集后,就要研究其中数之间的运算,同学们可以回忆一下在实数集中,四则运算法则是怎样的？以及实数的四则运算都满足什么运算律？【学生思考问题,复习讨论】师:同学们对于实数的运算形式和法则还是很熟悉的,本节课我们就要将这些运算法则和规律转移到复数身上,首先先来学习复数的加、减运算.【设计意图】以学生熟悉的实数运算法则引出课程主题,让学生形成数学系统,对前后知识建立联系二、教学精讲探究1 复数的加法运算及其几何意义师:同学们,我们先来做一个计算题设32,23x a b y a b =+=-,则x y +怎样表示？生:5x y a b +=-师:正确,这是一道我们都很熟悉的代数运算题目,其中进行加法运算时,我们遵循了什么原则？ 生:合并同类项.师:正确.那现在我们引入复数,两个复数的加法运算法则可不可以这样进行呢？【要点知识】复数的加法法则设12i i(z a b z c d a b c d R =+=+∈，，，，)是任意两个复数,则它们的和:()()()()12i i i z z a b c d a c b d +=+++=+++.师:可以看出,两个复数的和仍然是一个确定的复数,并且两个复数相加,类似于两个多项式相加.师:了解了复数的加法运算法则之后,同学们试着用加法定义证明复数加法运算满足:①交换律,②结合律.请同学们分组讨论证明.【将学生分成两个小组分别推导复数的加法运算律,教师总结补充并展示】【要点知识】复数的加法运算律对任意123,,z z z ∈C ,有交换律:1221z z z z +=+,结合律:()()123123z z z z z z ++=++.师:由此可知,复数的加法运算同样满足交换律和结合律.接下来,我们练习几个复数的加法计算题. 例1 计算:(34i)(34i)++-+;(43i)(43i)++-;(34i)(34i)++--.【预设答案】8i 80；； 师:上述三个问题的答案依次为:8i 80；；.所以我们可以把复数的代数形式看作是关于“i”的多项式,则复数的加法运算类似于多项式的加法运算,只需“合并同类项”.并且复数的运算满足交换律和结合律.师:我们知道,复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.同学们还记得向量的加法运算法则是什么吗？ 生:符合平行四边形法则.师:我们讨论过向量加法的几何意义,把复数表示为向量时,能否按照向量加法运算的平行四边形法则进行？【要点知识】复数加法的几何意义设12,OZ OZ 分别与复数i,i a b c d ++对应,则12(,),(,)OZ a b OZ c d ==.由平面向量的坐标运算法则,得 12(,)OZ OZ a c b d +=++.【学生作图验证猜想,教师补充说明并展示】【要点知识】复数加法的几何意义若复数1z ,2z 对应的向量12,OZ OZ 不共线,则复数12z z +是以12,OZ OZ 为两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数,即复数的加法可以按照向量的加法来进行.这就是复数加法的几何意义.【以学论教】从学生的角度出发,以学生熟悉的平面向量计算方法引入,更能把复数的新概念形象地展示出来,有助于学生对新知识的理解和掌握探究2 复数的减法运算及其几何意义师:复数的运算可以和向量的相关知识进行联系,知道了复数的加法运算法则之后,复数的减法运算法则又是怎样的呢？我们知道,实数的减法是加法的逆运算,类比实数减法的意义,如何定义复数的减法？【要点知识】复数的减法法则复数的减法是加法的逆运算,即把满足(i)(i)i c d x y a b +++=+的复数i(x y x +,)y ∈R 叫做复数i(,)a b a b +∈R 减去复数i(,)c d c d +∈R 的差,记作(i)(i)a b c d +-+.即(i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-.【情境学习】学生在已知平面向量的运算方法后,通过形象地图示,体会其与复数加法运算的联系,在具体情境中,学习相关概念,理解运算方法师:这就是复数的减法法则.由此可见,两个复数的差是一个确定的复数,并且两个复数相减,类似于两个多项式相减.现在复数的加法和减法,我们都已经学到了,请同学用一句话描述复数的加、减法运算规律.生:复数的加减运算就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.师:很好！实际上,复数的加减运算就可以简化成上述规律,分清楚实部和虚部.接下来,我们要继续研究复数减法的几何意义,结合向量的相关知识,思考复数减法的几何意义可以怎样描述？【学生作图验证猜想,教师补充说明并展示】【要点知识】复数减法的几何意义设12,OZ OZ 分别与复数1z ,2z 相对应,且12,OZ OZ 不共线,如图,则这两个复数的差12z z -与向量12OZ OZ -对应,这就是复数减法的几何意义.即复数12z z -是连接向量12,OZ OZ 的终点,并指向被减向量所对应的复数.师:这就是复数减法的几何意义,由此可知,复数加、减运算的几何意义就是向量加减运算的平行四边形法则或三角形法则.下面请看例题.例2 计算(56i)(2i)(34i)-+---+生解:(56i)(2i)(34i)(523)(614)i 11i -+---+=--+---=-师:上题答案为 11i -,我们可以利用运算法则计算得出,也可在复平面内用向量表示.下面继续看例题. 例3 根据复数及其运算的几何意义,求复平面内的两点()()111222,,,Z x y Z x y 之间的距离.师:由于复平面内的点()()111222,,,Z x y Z x y 对应的复数分别为11122i,z x y z x =+=+2i y ,由复数减法的几何意义知,复数21z z -对应的向量为12Z Z ,从而点1Z ,2Z 之间的距离为1221Z Z z z =-.所以同学们根据复数运算的几何意义,计算一下这两点之间的距离.生解:因为复平面内的点()()111222,,,Z x y Z x y 对应的复数分别为1112i,z x y z =+=22i x y +,所以点1Z ,2Z 之间的距离为()()()()12122122112121i i i Z Z Z Z z z x y x y x x y y ==-=+-+=-+-=. 师:好了,同学们,掌握了这些基本运算法则和知识后,我们进行一下巩固练习,来看下面这几道题.1.计算：(1)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)；(2)(-3-4i)＋(2+i)-(1-5i)．解：(1)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)＋（-6-1-4）i ＝-11i.(2)(-3-4i)＋(2+i)-(1-5i)＝(-3+2-1)＋[-4+1-(-5)]i ＝-2＋2i.2.已知平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B,C 对应的复数分别为1＋3i ，-i,2＋i.(1)求BC⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数；(2)求点D 对应的复数．解：(1)因为BC⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0C ⃑⃑⃑⃑ －OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以BC⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数为(2＋i)-(-i)，即2+2i. (2)复平面内A,B,C 对应的点坐标分别为（1,3），（0，-1），(2,1), 设D 点的坐标为(x,y ),因为BC⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ∴(x −1,y −3)=(2,2)∴x −1=2,y −3=2∴x =3,y =5故D(3，5)所以点D 对应的复数为3+5i.三、课堂小结师:同学们,我们现在要梳理一下本节主要内容,请同学们分组讨论,梳理出本节的几个核心知识点.。

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□06终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数． (3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□07|z 1－z 2|. 其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.2．复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i探究1 复数的加减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. 拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. 探究2 复数加减运算的几何意义例2 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设D 点对应复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )． 又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．[解] 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当ABCD 是平行四边形时，D 点对应的复数是3＋5i.②当ABDC 是平行四边形时，D 点对应的复数为1－3i.③当ADBC 是平行四边形时，D 点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能． 【跟踪训练2】 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， 所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)， 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210，所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 探究3 复数加减运算的几何意义的应用 例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解]解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【跟踪训练3】若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，所以0≤1－y＝x2＋y－12≤2，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝y i(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ， ∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限． 2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D．4i 答案 B解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3.故选B.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( ) A ．O A →＝O B → B ．|O A →|＝|O B →| C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数； (2)向量CA →对应的复数； (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。