复数及其代数运算

a 3i 1 2i
数，则实数a的值为(
A．-2
C．-6
(a∈R，i为虚数单位)是纯虚
C
B． 4 D．6
【解析】∵
a3i (a3i)(12i)
12i
5
是纯虚数，
第89讲 复数的代数形式及运算
2019高考复习方案
5．满足 1 1 1 的复数z是 ( A z 13i 3i
A．2+i
2019高考复习方案
基础训练
1．复数z=i+i2+i3+i4的值是( B )
A.-1 B．0 C．1 D．i
【解析】z=i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0.
第89讲 复数的代数形式及运算
2019高考复习方案
2．复数 2 i 3
1 2i
A ．i
C ．2 2 - i
等于( A ) B ．- i D ．-2 2 + i
【解析】
第89讲 复数的代数形式及运算
2019高考复习方案
3．(1 i)(1 2i) A 1． i-2-i
等于( C ) B ．-2+i
C ．2-i
D ．2+ i
【解析】原式= 2 i(12 i) i(12 i)2i
2
第89讲 复数的代数形式及运算
2019高考复习方案
4．若复数
B．-2+3i
C．2+2i
D．2-i
【解析】
1 1 1 z 13i 3i
∴z=2+i .
A
第89讲 复数的代数形式及运算
2019高考复习方案
知识要点 1．复数的运算法则 ①(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a、b、c、d∈R，以下同) ②(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ③(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i；

z1 z1 ③. = z z 2 2
⑤. z = z
⑥. z = z ⇔ z ∈ R
数或0 数或
( z 2 ≠ 0) ⑦. z + z = 0 ⇔ Z为纯虚 为纯虚
④ . z = ( z)
n
n
四.共轭复数与模的性质及其运算 共轭复数与模的性质及其运算
① . | z1 ⋅ z2 |=| z1 | ⋅ | z2 |
| z−z1 | +| z −z2 | =2a (|z1 -z2 |=2a) (5).双曲线： z − z1 | −| z − z2 | = ±2a 双曲线： 双曲线 | (|z1 - z2 |> 2a)
(6).射线：z−z1 | −| z −z2 | =±2a 射线： 射线 |
(7).圆环 圆环: r <| z − z0 |< R 圆环 复数方程与直角坐标方程的转化
1 3 1 3 二. ω = - + i(或ω＝- - i) 的性质 2 2 2 2 2 ①. 1+ ω + ω = 0
② . ω = 1 (周 T = 3) 期
3
③. ω =
1
ω
=ω
2
④ . ω n + ω n +1 + ω n + 2 = 0
一、复数的四则运算问题
1、已知复数z = 1 + i (1)设ω = z 2 + 3 z − 4，求ω； z 2 + az + b = 1 − i，求实数a，b的值 （2）如果 2 z − z +1
a + b = 1 a = −1 ⇒ ∴ a + 2 = 1 b = 2
4 2、设z + ∈ R，z − 2 |= 2，求z | z 解：设z = x + yi( x、y ∈ R，且z ≠ 0)

如：|z+(1+2i)|表示：_________________
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1

i2
(
1

i
)
i2 2
2 2
（
2
）
( )
[
]
( )
i
1
1

i
(
1

i
)
(
1

i
)
2
1
1 (
3

2
i
)(

32
i
)4
i
（
3
）


3

2
i 3

2
i (
3

23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i

即：
两个复数的和（或差）仍然是一个复数，它 们的实部是原来两个复数的实部的和（或 差），它的虚部是原来两个复数的虚部的 和（或差）.
或：
实部和实部相加减作为实部， 虚部和虚部相加减作为虚部.
思考：
1.复数的加法满足交换律和结合律吗？ 即z1+z2=z2+z1吗？请举例说明
复数的加法满足交换律和结合律 即对任意的复数z1，z2，z3，有
(ac+bd)+(bc-ad)i =
c2+d2
分母实 数化！
=
ac+bd + c2+d2
bc-ad c2+d2
i (c+di ≠0)
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0，
所以商
a+bi c+di
是唯一确定的复数.
例题分析
例1 计算:（1+2i)(3-4i)
解：（1+2i)(3-4i)=
1+2i 3-4i
（2i）8 2
i8 1
练习 1.已知复数z1 1 i, z1 • z2 1 i,则复数z2 ______ 2.计算：
(1) (7 - 6i)(3i)
(2) (3 4i)(-2 3i)
(3) (1 2i)(3 4i)(2 i) (4) (1 i)(2 i) i
例4 解下列一元二次方程： （1）2x2 3x 1 0; (2)x2 4x 4 0; (3)x2 x 1 0.
z1+z2=z2+z1， （z1+z2）+z3= z1+（z2+z3）.
例题分析
例1 设复数z1=-3+2i,z2=5-3i,计算： (1) z1+z2 ; (2) z1-z2; (3) z2+z1; (4) z2-z1.

高三数学 复数的运算，在复数集中解方程，复数运算的几何意义 知识精讲（一）复数的运算（1）复数的代数形式：()z a bi a b R =+∈,；（2）复数的加法与减法：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±； （3）复数的乘法与除法：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++；a bi c di ac bd c d bc adc d i ++=+++-+2222； （4）z z z z z z z z z m n m n m n mn n n n⋅==⋅=⋅+，，()()1212； （5）i 的周期性ii i i i i n Z n n n n 414243411++-+==-=-=∈，，，()； （6）ω的性质及应用：若n 为虚数，且ω31=，则称ω为1的虚立方根， 1的立方根为112321232，，-+--i i 且有性质：102++=ωω。

ωωωωω3211===-，，（7）常用计算结果：①()()a bi a bi a b +-=+22； ②()122±=±i i ；③11+-=ii i ； ④122±⎛⎝⎫⎭⎪=±i i 。

（二）在复数集中解方程（1）形如()f z z z ，，||=0型的复数方程解法，通常设()z x yi x y R =+∈,，利用复数相等的充要条件，将复数问题实数化。

（2）一元二次方程ax bx c 20++=，若a 、b 、c 中至少有一个虚数，则 ①求根公式仍适用； ②韦达定理仍适用；③判别式判别根的情况无效； ④虚根成对出现性质无效。

（3）解形如ax b n+=0的二项方程()a b C ,∈（三）复数运算的几何意义（1）复数加、减法的几何意义（平行四边形和三角形法则） （2）复数乘法的几何意义（逆时针和顺时针旋转） （3）复数除法的几何意义 （4）复数开方的几何意义注意：有关模与辐角（主值）的变化。

2 2
(a bi) (c di) （a c) (b d )i
（a c) (b d )
复数乘法：按二项式相乘法则进行， 把i2换成-1,然后把实部和虚部分别 合并．
Z1〃Z2=(a+bi)〃(c+di) =ac+adi+bci+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i
复数的运算
复数的几种表示方法：
代数表示: Z=a+bi(a,b∈R) 几何表示:复平面上的点Z(a,bx
o z 即表示z=a + bi
定义
设z1=a+bi,z2=c+di,加法规则
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 两个复数的和仍然是复数,实部与实部 相加,虚部与虚部相加. 例题
1.（5 + 4 i)- (3 + 2 i)= (5-3)+(4-2)i =2+2i
2. (5 – 6 i) + (-2 - i) - (3 + 4 i) =(5-2-3) +(- 6-1-4 ) i =-11i
几何意义
两个复数相减法,即为 它们对应的向量相减.
oz1 oz2 z2 z1
复数乘方：用二项式定理展开计算．
复数除法：分子、分母同乘以分母的 共轭虚数，根据z〃z =|z|2,使分母 实数化。
z1 a bi (a bi )(c di ) z2 c di (c di )(c di ) ac bd bc ad 2 i 2 2 2 c d c d
1.已知f ( z) 1 z, z1 2 3i, z2 5 i, 求f ( z1 z2 )

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虚单位
称 i 1 为虚单位，且 i 一般地，
2
1, i i , i
3 4k 3
4
1;
i
4k
1, i
4 k 1
i, i
4k2
1, i
i。
复数
称形如 z x iy 或 x yi ( x , y R ) 的数为复数。
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解 (2)

r | z |
sin
2

5
cos
2

5
1;
3 sin cos , cos 5 5 10 2
3 cos sin , sin 5 5 10 2
所以 z 的三角表示式为 ：
x1 x 2 y 1 y 2 x2
2
y2
2
i
x 2 y 1 x1 y 2 x2
2
y2
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复数的运算律
（1）加法、乘法运算律
交换律
z1 z 2 z 2 z1 , z1 z 2 z 2 z1
结合律
z1 ( z 2 z 3 ) ( z1 z 2 ) z 3 , z1 ( z 2 z 3 ) ( z1 z 2 ) z 3
证明（方法二）
2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) 2 Re( z 1 z 2 )
z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 2 Re( z 1 z 2 )

第三节 复数的代数形式及运算【目录】题型1 复数代数形式的运算 题型2 复数代数形式的综合应用三、解答题题型1 复数代数形式的运算1．计算：（1）54)31()22(i i -+； （2）1996)12(32132i ii-+++-。

解：（1）原式===-=+--+=-⋅+w wi i i i i 22)2()2321(2])1[()231(2)1(5252254i i 31)2321(2+-=+-。

（其中ω=i 2321+-）。

（2）原式=9989989982)22(])12[(321)321(i i i i i ii i +=-+=-+++=i+i 4×249+2=i+i 2=-1+i.2．设f(x, y)=x 2y-3xy+y 2-x+8，求：（1）f(1+i, 2-i)的值； （2）[f(2-5i, 2-5i)]-1的值。

解：（1）f(1+ i, 2-i)=(1+i)2·(2-i)-3(1+i)(2-i)+(2-i)2-(1+i)+8 =2i(2-i)-3(3+i)+(3-4i)-1-i+8=2+4i-9-3i+3-4i+7-i=3-4i ；（2）若x=y ，则f(x, y)=x 3-2x 2-x+8，又x=2-5i ，∴(x-2)2=(-5i)2，即x 2-4x+9=0，而x 3-2x 2-x+8=(x 2-4x+9)(x+2)-2x-10, ∴f(2-5i, 2-5i)=0-2(2-5i)-10=-14+25i,∴[f(2-5i, 2-5i)]-1=i i i 108510872165221614)52()14(521422--=--=+---. （3）∵(1-i 3)10=1-C 110·i 3+C 210·(i 3)2-C 310·(i 3)3+…，∴(1-i 3)10的展开式中奇数项之和为复数(1-i 3)10的实数。

又(1-i 3)10=[-2·10)]2321(i +-=210ω10=210ω=210)2321(i +-=-29+29i 3，∴(1-i 3)10的展开式中各奇数项的和为-29。

(3)幅角主值的求法
arc
tan
y x
,
arg
z
arc tan
y x
,
arc
tan
y x
,
,
arc
tan
y x
,
当x在第一象限 当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限
2
arg
z
2
0,
,
当z在正y轴上
当z在负y轴上 当z在正x轴上 当z在负x轴上
4.复球面
扩充复平面的 一个几何模型就是 复球面。
对满足α＜t1＜β, α≤t2≤β, t1≠ t2的t1及t2,当 z(t1)=z2(t)成立时，点z(t1)称为此曲线C的重点；凡 无重点的连续曲线，称为简单曲线或Jordan
目录
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
§2 复数几何表示 §3 复数的乘幂与方根 §4 区 域 §5 复变函数 §6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 复数 形如
z=x+iy 或 z=x+yi
的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i·0=x
点z0为G的边界点，点集G的全部边界点称为G的边 界(如图1.4.1)
注意 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤
立的点所组成的(如图1.4.2)
定义1.4.3 若点集G的点皆为内点，则称G为
开集
定义1.4.4 点集G称为一个区域，如果 它满足：
(1)G是一个开集； (2)G是连通的，就是说G中任何两点z1 和z2都可以用完全属于G的一条折线连接起 来(图1.4.1)
(6) z z 2 Re z, z-z 2i Im z.

D.－i
2.设 i 是虚数单位，若复数 m＋31＋0 im∈R是纯虚
数，则 m 的值为( A )
A.－3
B.－1
C.1
D.3
3.若复数 z＝1＋2 3i，则z＝( C )
1
3
A.2
B. 2
C.1
D.2
4.在复平面内与复数 z＝1＋5i2i所对应的点关于虚
轴对称的点为 A，则 A 对应的复数为( C )
四、复数的综合问题
例4(1) 已知 a∈R，则复数 z＝(a2－2a＋4)－(a2
－2a＋2)i 所对应的点在第__四__象限，复数 z 对应点的
轨迹是 一条射线
.
(2)已知复数 ω 满足 ω－4＝(3－2ω)i(i 为虚数单
位)，z＝ω5 ＋|ω－2|.则以 z 为根的一个一元二次实系数
方程为_x_2－6x＋10＝0_. _.
(a,-b)
(0,-b)
(a,0) x
结论（2z）1=：a+任bi意两个互为共轭z1=复bi数的乘积是一个z1=实a 数且 结论（1）：在复平面内，共轭复数 z1 ,z2 所对应的点关于实轴对称.
6、复数的除法
例3 计算(1 2i) (3 4i).
解 (1 2i) (3 4i)
Step2：分母实数化, 分子分母同时乘以
1 2i
分母的共轭复数
3 4i
Step1：先写 成分式形式
(1 2i)(3 4i) 3 8 6i 4i
(3 4i)(3 4i)
32 42
5 10i 1 2 i.
25
55
实数化因式
Step3：结果化
简成代数形式
【基础检测】
1.复数（1－2ii）2＝( B )

z x iy
x
o
z x iy
实部
虚部
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数;
当 y 0 时, z x 0i x为实数.
3. 两复数相等: 当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 即 设z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 则
z1 z2 x1 x2 , y1 y2 .
一、复数的概念及其表示 二、复数的运算
一、复数的概念及其表示
1. 虚数单位:
实例 : 方程 x 2 1在实数集中无解 .
为了解方程的需要 , 引入一个新数 i, 称为虚数单位.
对虚数单位的规定:
(1) i 2 1;
(2) i 可以与实数在一起按同 样的法则进行 四则运算 .
(3)虚数单位的特性:
复数z x iy也可用复平面上的向量 OP 表示
向量具有两个重要的属 性：长度、方向 .
（ⅰ）复数的模
y
记为 z r x2 y2 .
y
Pz x iy
注意:复数不能比较大小？
r
o x
x
但复数的模可以比较大小.
二、复数的运算
1、复数的代数形式的四则运算
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
1） 两复数的和差: z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ). 2） 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ).
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i . 3）两复数的商: 2 2 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2

第一章复数与复变函数1.1复数1.1.1复数及其代数运算1.复数概念，i虚数单位复数：z=x+iy（x，y），x，y分别称为实部与虚部，x=Re（z），y=Im（z）x=0，y，z=iy，纯虚数；y=0，z=x实数复数的相等，复数等于零，复数不可比较大小，只能说相等与否。

共轭复数：实部相等，虚部互为相反数，及x+iy与x-iy互为共轭复数，记。

2.复数的代数运算：加减乘除满足定理：（1）交换律（2）结合律（3）分配律注意：（1）z+0=z ，0*z=0 （2）z*1=z ，z*=1（3）若，则，中至少有一个为零，反之亦然；（4）（5）共轭复数运算性质：（1）（2）（3）（4）1.1.2复数的几何表示1.复平面：x轴定义为实轴，y轴虚轴；z=x+iy与一对有序实数（x，y）唯一确定。

xOy定义为复平面2.复数的模与辐角复数的向量表示；复数的模：向量z的长度为复数z的模，记(1)(2)，z(3)，，(4)(5)推论：（6）复数的辐角：Argz，无穷多个，相差2π的整数倍。

辐角主值：-π，称为辐角主值，记argz1.1.3复数四则运算的几何意义直角坐标与极坐标的关系：z=x+iy，z=r（），复数z的三角表达式。

讲解例题：复数乘除法的几何表达：（），（）（）（）（）定理1.1 两个非零复数乘积的模它们模的乘积，乘积的辐角等于它们辐角的和。

定理1.2 两个非零复数商的模它们模的商，商的辐角等于被除数与除数的辐角差。

复数的代数表达：z=x+iy复数的三角表达：z=r（）欧拉公式：复数的指数表达：z=r（）（）习题讲解：1.1.4扩充复平面1.复数的球面表示（概念的理解）2. “无穷远点”的概念。

扩充复平面：包含无穷远点在内的复平面称为扩充复平面。

无穷远点是唯一的。

3.复数复数与扩充复平面上的无穷远点相对应。

复数的实部、虚部、辐角均无意义。

z=的运算规定（了解）1.2复数的乘幂与方根1.2.1复数的乘幂复数的指数表达：z=r，对于任何整数n，复数z的乘幂下列公式都成立：当r=1时，（）欧拉公式：即可得出：（）（）1.2.2复数的方根（w，），复数w为复数z的n次根，记作w=，或者w=。

复数的代数形式与三角形式的互化关系式复数的代数形式与三角形式是复数的两种常见表示方法。

它们之间存在着一定的互化关系，可以通过一定的转换公式相互转换。

我们来了解一下复数的代数形式。

复数的代数形式由实部和虚部组成，通常用a+bi的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

实部和虚部都是实数。

复数的代数形式可以表示为z=a+bi。

接下来，我们来了解一下复数的三角形式。

复数的三角形式由模长和幅角组成，通常用r(cosθ+isinθ)的形式表示，其中r为模长，θ为幅角。

模长表示复数到原点的距离，幅角表示复数与实轴正方向的夹角。

复数的三角形式可以表示为z=r(cosθ+isinθ)。

我们可以通过一定的转换公式将复数的代数形式转换为三角形式。

转换公式如下：r = √(a^2 + b^2)cosθ = a / rsinθ = b / r通过上述转换公式，我们可以将复数的代数形式转换为三角形式。

首先计算模长r，然后计算幅角θ，最后将r和θ代入到三角形式中即可得到结果。

例如，将复数z=3+4i转换为三角形式。

首先计算模长r：r = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5然后计算幅角θ：cosθ = 3 / 5sinθ = 4 / 5θ = arccos(3 / 5) ≈ 53.13°最后将r和θ代入到三角形式中：z = 5(cos53.13° + isin53.13°)同样地，我们可以通过一定的转换公式将复数的三角形式转换为代数形式。

转换公式如下：a = rcosθb = r sinθ通过上述转换公式，我们可以将复数的三角形式转换为代数形式。

首先计算实部a，然后计算虚部b，最后将a和b组合起来即可得到代数形式。

例如，将复数z=5(cos53.13° + isin53.13°)转换为代数形式。

首先计算实部a：a = 5cos53.13° ≈ 3然后计算虚部b：b = 5sin53.13° ≈ 4最后将a和b组合起来：z = 3 + 4i通过上述的转换公式，我们可以实现复数的代数形式与三角形式的互化。

复数的运算与代数式的化简一、复数的运算复数是由一个实部和一个虚部组成的数，表示为a + bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位。

复数的运算主要包括加法、减法、乘法和除法。

1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法可按照实部和虚部进行分别计算。

例如，对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i：加法：z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i减法：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i2. 复数的乘法：复数的乘法可通过分配律进行计算。

对于两个复数z1 = a1 + b1i 和z2 = a2 + b2i：乘法：z1 * z2 = (a1 * a2 - b1 * b2) + (a1 * b2 + a2 * b1)i3. 复数的除法：复数的除法需要先求出共轭复数。

对于复数z = a + bi，其共轭复数表示为z* = a - bi，共轭复数与原复数实部相同，虚部符号相反。

使用共轭复数计算复数的除法。

对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i：除法：z1 / z2 = [(a1 * a2 + b1 * b2) / (a2 * a2 + b2 * b2)] + [(a2 * b1 - a1 * b2) / (a2 * a2 + b2 * b2)]i二、代数式的化简代数式的化简是将复杂的代数表达式简化为简洁明了的形式，常用的化简方法包括合并同类项和因式分解。

1. 合并同类项：合并同类项是将具有相同变量和指数的项进行合并。

例如，对于代数式3x + 2y - 5x - 4y：合并同类项：3x - 5x + 2y - 4y = -2x - 2y2. 因式分解：因式分解是将代数式分解为几个乘积的形式。

常用的因式分解方法包括提取公因子、配方法和完全平方差公式。

以式子2x^2 + 4xy + 2y^2为例：因式分解：2x^2 + 4xy + 2y^2 = 2(x^2 + 2xy + y^2) = 2(x + y)^2三、总结复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，可以按照实部和虚部分别计算。

�7 � �
(
2)
1
i -
i
+
1
i
i
解
(
1)
�1 � �1 +
i i
�7 � �
=
(
1
(
+
1 - i ) 14 i) 7 ( 1-
i
)
7
=
� �( 1 - i )
27
2 � �7
( -2i ) 7
= 27
= i.
(
2)
i 1-
i
+
1i
i
=
i( 1+ i) (1-i) (1+
i)
+
(
1-i)
i ﾹi
i
zn = r n (cos nq + i sin nq ). r=1,De Movie 公式
复数的
n
次 方 根对 给 定 的 复 数 1
z,
方程 wn=z 的解 w 称为 z
次方根 记作 n z or z n
z = r(cosq + i sinq ), w = r (cos + i sin ),
1.3 复数的乘幂与方根
复数乘积和商的模与幅角
z1 = r1 (cosq1 + i sinq1 ) = r1e iq1 z2 = r2 (cosq2 + i sinq2）= r2e iq2
z1 �z2 = r1 �r2[cos(q1 + q2 ) + i sin(q1 + q2 )].
z1z2 = r1 �r2 = z1 �z2
r n (cos n + i sin n ) = r(cosq + i sinq ).