复数及其代数运算
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复数代数形式的四则运算页数:6
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复数的代数形式与运算页数:15
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典型例题：复数的代数形式及其运算页数:2
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复数代数形式的乘除运算ppt页数:13
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复数的代数形式及运算-19页文档资料
a 3i 1 2i
数，则实数a的值为(
A．-2
C．-6
(a∈R，i为虚数单位)是纯虚
C
B． 4 D．6
【解析】∵
a3i (a3i)(12i)
12i
5
是纯虚数，
第89讲 复数的代数形式及运算
2019高考复习方案
5．满足 1 1 1 的复数z是 ( A z 13i 3i
A．2+i
2019高考复习方案
基础训练
1．复数z=i+i2+i3+i4的值是( B )
A.-1 B．0 C．1 D．i
【解析】z=i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0.
第89讲 复数的代数形式及运算
2019高考复习方案
2．复数 2 i 3
1 2i
A ．i
C ．2 2 - i
等于( A ) B ．- i D ．-2 2 + i
【解析】
第89讲 复数的代数形式及运算
2019高考复习方案
3．(1 i)(1 2i) A 1． i-2-i
等于( C ) B ．-2+i
C ．2-i
D ．2+ i
【解析】原式= 2 i(12 i) i(12 i)2i
2
第89讲 复数的代数形式及运算
2019高考复习方案
4．若复数
B．-2+3i
C．2+2i
D．2-i
【解析】
1 1 1 z 13i 3i
∴z=2+i .
A
第89讲 复数的代数形式及运算
2019高考复习方案
知识要点 1．复数的运算法则 ①(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a、b、c、d∈R，以下同) ②(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ③(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i；
复数的有关运算
z1 z1 ③. = z z 2 2
⑤. z = z
⑥. z = z ⇔ z ∈ R
数或0 数或
( z 2 ≠ 0) ⑦. z + z = 0 ⇔ Z为纯虚 为纯虚
④ . z = ( z)
n
n
四.共轭复数与模的性质及其运算 共轭复数与模的性质及其运算
① . | z1 ⋅ z2 |=| z1 | ⋅ | z2 |
| z−z1 | +| z −z2 | =2a (|z1 -z2 |=2a) (5).双曲线： z − z1 | −| z − z2 | = ±2a 双曲线： 双曲线 | (|z1 - z2 |> 2a)
(6).射线：z−z1 | −| z −z2 | =±2a 射线： 射线 |
(7).圆环 圆环: r <| z − z0 |< R 圆环 复数方程与直角坐标方程的转化
1 3 1 3 二. ω = - + i(或ω＝- - i) 的性质 2 2 2 2 2 ①. 1+ ω + ω = 0
② . ω = 1 (周 T = 3) 期
3
③. ω =
1
ω
=ω
2
④ . ω n + ω n +1 + ω n + 2 = 0
一、复数的四则运算问题
1、已知复数z = 1 + i (1)设ω = z 2 + 3 z − 4，求ω； z 2 + az + b = 1 − i，求实数a，b的值 （2）如果 2 z − z +1
a + b = 1 a = −1 ⇒ ∴ a + 2 = 1 b = 2
4 2、设z + ∈ R，z − 2 |= 2，求z | z 解：设z = x + yi( x、y ∈ R，且z ≠ 0)
⑤. z = z
⑥. z = z ⇔ z ∈ R
数或0 数或
( z 2 ≠ 0) ⑦. z + z = 0 ⇔ Z为纯虚 为纯虚
④ . z = ( z)
n
n
四.共轭复数与模的性质及其运算 共轭复数与模的性质及其运算
① . | z1 ⋅ z2 |=| z1 | ⋅ | z2 |
| z−z1 | +| z −z2 | =2a (|z1 -z2 |=2a) (5).双曲线： z − z1 | −| z − z2 | = ±2a 双曲线： 双曲线 | (|z1 - z2 |> 2a)
(6).射线：z−z1 | −| z −z2 | =±2a 射线： 射线 |
(7).圆环 圆环: r <| z − z0 |< R 圆环 复数方程与直角坐标方程的转化
1 3 1 3 二. ω = - + i(或ω＝- - i) 的性质 2 2 2 2 2 ①. 1+ ω + ω = 0
② . ω = 1 (周 T = 3) 期
3
③. ω =
1
ω
=ω
2
④ . ω n + ω n +1 + ω n + 2 = 0
一、复数的四则运算问题
1、已知复数z = 1 + i (1)设ω = z 2 + 3 z − 4，求ω； z 2 + az + b = 1 − i，求实数a，b的值 （2）如果 2 z − z +1
a + b = 1 a = −1 ⇒ ∴ a + 2 = 1 b = 2
4 2、设z + ∈ R，z − 2 |= 2，求z | z 解：设z = x + yi( x、y ∈ R，且z ≠ 0)
复数代数形式的乘除运算
如：|z+(1+2i)|表示：_________________
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1
i2
(
1
i
)
i2 2
2 2
（
2
）
( )
[
]
( )
i
1
1
i
(
1
i
)
(
1
i
)
2
1
1 (
3
2
i
)(
32
i
)4
i
（
3
）
3
2
i 3
2
i (
3
23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1
i2
(
1
i
)
i2 2
2 2
（
2
）
( )
[
]
( )
i
1
1
i
(
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)
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1
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2
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3
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（
3
）
3
2
i 3
2
i (
3
23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
复数的代数运算与形式
即：
两个复数的和（或差）仍然是一个复数，它 们的实部是原来两个复数的实部的和（或 差），它的虚部是原来两个复数的虚部的 和（或差）.
或：
实部和实部相加减作为实部， 虚部和虚部相加减作为虚部.
思考：
1.复数的加法满足交换律和结合律吗？ 即z1+z2=z2+z1吗？请举例说明
复数的加法满足交换律和结合律 即对任意的复数z1，z2，z3，有
(ac+bd)+(bc-ad)i =
c2+d2
分母实 数化！
=
ac+bd + c2+d2
bc-ad c2+d2
i (c+di ≠0)
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0，
所以商
a+bi c+di
是唯一确定的复数.
例题分析
例1 计算:（1+2i)(3-4i)
解：（1+2i)(3-4i)=
1+2i 3-4i
（2i）8 2
i8 1
练习 1.已知复数z1 1 i, z1 • z2 1 i,则复数z2 ______ 2.计算：
(1) (7 - 6i)(3i)
(2) (3 4i)(-2 3i)
(3) (1 2i)(3 4i)(2 i) (4) (1 i)(2 i) i
例4 解下列一元二次方程： （1）2x2 3x 1 0; (2)x2 4x 4 0; (3)x2 x 1 0.
z1+z2=z2+z1， （z1+z2）+z3= z1+（z2+z3）.
例题分析
例1 设复数z1=-3+2i,z2=5-3i,计算： (1) z1+z2 ; (2) z1-z2; (3) z2+z1; (4) z2-z1.
高三数学 复数的运算,在复数集中解方程,复数运算的几何意义 知识精讲
高三数学 复数的运算，在复数集中解方程，复数运算的几何意义 知识精讲（一）复数的运算（1）复数的代数形式：()z a bi a b R =+∈,；（2）复数的加法与减法：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±； （3）复数的乘法与除法：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++；a bi c di ac bd c d bc adc d i ++=+++-+2222； （4）z z z z z z z z z m n m n m n mn n n n⋅==⋅=⋅+，，()()1212； （5）i 的周期性ii i i i i n Z n n n n 414243411++-+==-=-=∈，，，()； （6）ω的性质及应用：若n 为虚数，且ω31=，则称ω为1的虚立方根， 1的立方根为112321232，，-+--i i 且有性质：102++=ωω。
ωωωωω3211===-，，（7）常用计算结果：①()()a bi a bi a b +-=+22； ②()122±=±i i ；③11+-=ii i ； ④122±⎛⎝⎫⎭⎪=±i i 。
（二）在复数集中解方程（1）形如()f z z z ，，||=0型的复数方程解法，通常设()z x yi x y R =+∈,，利用复数相等的充要条件，将复数问题实数化。
（2）一元二次方程ax bx c 20++=，若a 、b 、c 中至少有一个虚数，则 ①求根公式仍适用； ②韦达定理仍适用；③判别式判别根的情况无效； ④虚根成对出现性质无效。
（3）解形如ax b n+=0的二项方程()a b C ,∈（三）复数运算的几何意义（1）复数加、减法的几何意义（平行四边形和三角形法则） （2）复数乘法的几何意义（逆时针和顺时针旋转） （3）复数除法的几何意义 （4）复数开方的几何意义注意：有关模与辐角（主值）的变化。
复数的运算
2 2
(a bi) (c di) （a c) (b d )i
（a c) (b d )
复数乘法：按二项式相乘法则进行， 把i2换成-1,然后把实部和虚部分别 合并．
Z1〃Z2=(a+bi)〃(c+di) =ac+adi+bci+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i
复数的运算
复数的几种表示方法：
代数表示: Z=a+bi(a,b∈R) 几何表示:复平面上的点Z(a,bx
o z 即表示z=a + bi
定义
设z1=a+bi,z2=c+di,加法规则
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 两个复数的和仍然是复数,实部与实部 相加,虚部与虚部相加. 例题
1.（5 + 4 i)- (3 + 2 i)= (5-3)+(4-2)i =2+2i
2. (5 – 6 i) + (-2 - i) - (3 + 4 i) =(5-2-3) +(- 6-1-4 ) i =-11i
几何意义
两个复数相减法,即为 它们对应的向量相减.
oz1 oz2 z2 z1
复数乘方：用二项式定理展开计算．
复数除法：分子、分母同乘以分母的 共轭虚数，根据z〃z =|z|2,使分母 实数化。
z1 a bi (a bi )(c di ) z2 c di (c di )(c di ) ac bd bc ad 2 i 2 2 2 c d c d
1.已知f ( z) 1 z, z1 2 3i, z2 5 i, 求f ( z1 z2 )
(a bi) (c di) （a c) (b d )i
（a c) (b d )
复数乘法：按二项式相乘法则进行， 把i2换成-1,然后把实部和虚部分别 合并．
Z1〃Z2=(a+bi)〃(c+di) =ac+adi+bci+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i
复数的运算
复数的几种表示方法：
代数表示: Z=a+bi(a,b∈R) 几何表示:复平面上的点Z(a,bx
o z 即表示z=a + bi
定义
设z1=a+bi,z2=c+di,加法规则
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 两个复数的和仍然是复数,实部与实部 相加,虚部与虚部相加. 例题
1.（5 + 4 i)- (3 + 2 i)= (5-3)+(4-2)i =2+2i
2. (5 – 6 i) + (-2 - i) - (3 + 4 i) =(5-2-3) +(- 6-1-4 ) i =-11i
几何意义
两个复数相减法,即为 它们对应的向量相减.
oz1 oz2 z2 z1
复数乘方：用二项式定理展开计算．
复数除法：分子、分母同乘以分母的 共轭虚数，根据z〃z =|z|2,使分母 实数化。
z1 a bi (a bi )(c di ) z2 c di (c di )(c di ) ac bd bc ad 2 i 2 2 2 c d c d
1.已知f ( z) 1 z, z1 2 3i, z2 5 i, 求f ( z1 z2 )
复变函数-1
机动
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虚单位
称 i 1 为虚单位，且 i 一般地，
2
1, i i , i
3 4k 3
4
1;
i
4k
1, i
4 k 1
i, i
4k2
1, i
i。
复数
称形如 z x iy 或 x yi ( x , y R ) 的数为复数。
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解 (2)
r | z |
sin
2
5
cos
2
5
1;
3 sin cos , cos 5 5 10 2
3 cos sin , sin 5 5 10 2
所以 z 的三角表示式为 ：
x1 x 2 y 1 y 2 x2
2
y2
2
i
x 2 y 1 x1 y 2 x2
2
y2
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2
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复数的运算律
（1）加法、乘法运算律
交换律
z1 z 2 z 2 z1 , z1 z 2 z 2 z1
结合律
z1 ( z 2 z 3 ) ( z1 z 2 ) z 3 , z1 ( z 2 z 3 ) ( z1 z 2 ) z 3
证明（方法二）
2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) 2 Re( z 1 z 2 )
z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 2 Re( z 1 z 2 )
复数的代数形式及运算
第三节 复数的代数形式及运算【目录】题型1 复数代数形式的运算 题型2 复数代数形式的综合应用三、解答题题型1 复数代数形式的运算1．计算：（1）54)31()22(i i -+； （2）1996)12(32132i ii-+++-。
解：（1）原式===-=+--+=-⋅+w wi i i i i 22)2()2321(2])1[()231(2)1(5252254i i 31)2321(2+-=+-。
（其中ω=i 2321+-）。
（2）原式=9989989982)22(])12[(321)321(i i i i i ii i +=-+=-+++=i+i 4×249+2=i+i 2=-1+i.2．设f(x, y)=x 2y-3xy+y 2-x+8，求：（1）f(1+i, 2-i)的值； （2）[f(2-5i, 2-5i)]-1的值。
解：（1）f(1+ i, 2-i)=(1+i)2·(2-i)-3(1+i)(2-i)+(2-i)2-(1+i)+8 =2i(2-i)-3(3+i)+(3-4i)-1-i+8=2+4i-9-3i+3-4i+7-i=3-4i ；（2）若x=y ，则f(x, y)=x 3-2x 2-x+8，又x=2-5i ，∴(x-2)2=(-5i)2，即x 2-4x+9=0，而x 3-2x 2-x+8=(x 2-4x+9)(x+2)-2x-10, ∴f(2-5i, 2-5i)=0-2(2-5i)-10=-14+25i,∴[f(2-5i, 2-5i)]-1=i i i 108510872165221614)52()14(521422--=--=+---. （3）∵(1-i 3)10=1-C 110·i 3+C 210·(i 3)2-C 310·(i 3)3+…，∴(1-i 3)10的展开式中奇数项之和为复数(1-i 3)10的实数。
又(1-i 3)10=[-2·10)]2321(i +-=210ω10=210ω=210)2321(i +-=-29+29i 3，∴(1-i 3)10的展开式中各奇数项的和为-29。
第1章复数与复变函数资料
(3)幅角主值的求法
arc
tan
y x
,
arg
z
arc tan
y x
,
arc
tan
y x
,
,
arc
tan
y x
,
当x在第一象限 当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限
2
arg
z
2
0,
,
当z在正y轴上
当z在负y轴上 当z在正x轴上 当z在负x轴上
4.复球面
扩充复平面的 一个几何模型就是 复球面。
对满足α＜t1＜β, α≤t2≤β, t1≠ t2的t1及t2,当 z(t1)=z2(t)成立时，点z(t1)称为此曲线C的重点；凡 无重点的连续曲线，称为简单曲线或Jordan
目录
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
§2 复数几何表示 §3 复数的乘幂与方根 §4 区 域 §5 复变函数 §6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 复数 形如
z=x+iy 或 z=x+yi
的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i·0=x
点z0为G的边界点，点集G的全部边界点称为G的边 界(如图1.4.1)
注意 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤
立的点所组成的(如图1.4.2)
定义1.4.3 若点集G的点皆为内点，则称G为
开集
定义1.4.4 点集G称为一个区域，如果 它满足：
(1)G是一个开集； (2)G是连通的，就是说G中任何两点z1 和z2都可以用完全属于G的一条折线连接起 来(图1.4.1)
(6) z z 2 Re z, z-z 2i Im z.
arc
tan
y x
,
arg
z
arc tan
y x
,
arc
tan
y x
,
,
arc
tan
y x
,
当x在第一象限 当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限
2
arg
z
2
0,
,
当z在正y轴上
当z在负y轴上 当z在正x轴上 当z在负x轴上
4.复球面
扩充复平面的 一个几何模型就是 复球面。
对满足α＜t1＜β, α≤t2≤β, t1≠ t2的t1及t2,当 z(t1)=z2(t)成立时，点z(t1)称为此曲线C的重点；凡 无重点的连续曲线，称为简单曲线或Jordan
目录
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
§2 复数几何表示 §3 复数的乘幂与方根 §4 区 域 §5 复变函数 §6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 复数 形如
z=x+iy 或 z=x+yi
的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i·0=x
点z0为G的边界点，点集G的全部边界点称为G的边 界(如图1.4.1)
注意 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤
立的点所组成的(如图1.4.2)
定义1.4.3 若点集G的点皆为内点，则称G为
开集
定义1.4.4 点集G称为一个区域，如果 它满足：
(1)G是一个开集； (2)G是连通的，就是说G中任何两点z1 和z2都可以用完全属于G的一条折线连接起 来(图1.4.1)
(6) z z 2 Re z, z-z 2i Im z.
选修2-3 复数代数形式的四则运算
D.－i
2.设 i 是虚数单位，若复数 m＋31＋0 im∈R是纯虚
数，则 m 的值为( A )
A.－3
B.－1
C.1
D.3
3.若复数 z＝1＋2 3i，则z＝( C )
1
3
A.2
B. 2
C.1
D.2
4.在复平面内与复数 z＝1＋5i2i所对应的点关于虚
轴对称的点为 A，则 A 对应的复数为( C )
四、复数的综合问题
例4(1) 已知 a∈R，则复数 z＝(a2－2a＋4)－(a2
－2a＋2)i 所对应的点在第__四__象限，复数 z 对应点的
轨迹是 一条射线
.
(2)已知复数 ω 满足 ω－4＝(3－2ω)i(i 为虚数单
位)，z＝ω5 ＋|ω－2|.则以 z 为根的一个一元二次实系数
方程为_x_2－6x＋10＝0_. _.
(a,-b)
(0,-b)
(a,0) x
结论（2z）1=：a+任bi意两个互为共轭z1=复bi数的乘积是一个z1=实a 数且 结论（1）：在复平面内，共轭复数 z1 ,z2 所对应的点关于实轴对称.
6、复数的除法
例3 计算(1 2i) (3 4i).
解 (1 2i) (3 4i)
Step2：分母实数化, 分子分母同时乘以
1 2i
分母的共轭复数
3 4i
Step1：先写 成分式形式
(1 2i)(3 4i) 3 8 6i 4i
(3 4i)(3 4i)
32 42
5 10i 1 2 i.
25
55
实数化因式
Step3：结果化
简成代数形式
【基础检测】
1.复数（1－2ii）2＝( B )