复数代数形式的乘除运算

第8讲 复数的四则运算一、考点梳理考点1 复数的加减法、乘法运算设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .几个常用结论（1）()i i 212=+，（2）()i i 212-=-，（3）()()22b a bi a bi a +=-+例1．（1）设i 是虚数单位，复数z 1＝1+2i ，z 2＝1﹣3i ，那么z 1+z 2＝（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2﹣iD ．﹣2+i【分析】利用复数的加法运算即可求解．【解答】解：∵复数z 1＝1+2i ，z 2＝1﹣3i ，∴z 1+z 2＝2﹣i ，故选：A ．（2）复数（2+i ）2＝（ ）A ．4﹣3iB ．3﹣4iC ．4+3iD ．3+4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：因为（2+i ）2＝3+4i ，故选：D ．（3）设z ＝i 3+1（i 是虚数单位），是z 的共轭复数，则﹣z 2＝（ ）A ．3﹣iB ．1+3iC ．﹣1﹣iD ．1﹣2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：z ＝i 3+1＝﹣i +1，∴＝1+i，∴﹣z2＝1+i﹣（1﹣i）2＝1+i﹣1+2i﹣i2＝1+3i，故选：B．（4）已知复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，则z1•z2虚部为（）A．﹣4B．4C．3D．3i【分析】利用复数的四则运算求出z1•z2，然后由复数的定义即可得到答案．【解答】解：因为复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，所以z1•z2＝（2+i）（﹣1+2i）＝﹣2+4i﹣i+2i2＝﹣2+3i﹣2＝﹣4+3i，由复数的定义可知，z1•z2虚部为3．故选：C．（5）已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（）A．2﹣i B．﹣4C．2D．4【分析】由题意利用实系数一元二次方程虚根成对定理，韦达定理，求得实数a．【解答】解：∵已知z＝2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2﹣i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2+i+（2﹣i）＝﹣a，解得a＝﹣4，故选：B．【变式训练1】．若（1+i）+（2﹣3i）＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，﹣2B．3，2C．3，﹣3D．﹣1，4【分析】由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得a，b的值．【解答】解：由（1+i）+（2﹣3i）＝3﹣2i＝a+bi，得a＝3，b＝﹣2．故选：A．【变式训练2】．（1﹣i）（4+i）＝（）A．3+5i B．3﹣5i C．5+3i D．5﹣3i【分析】根据复数代数形式的运算法则，计算即可．【解答】解：（1﹣i）（4+i）＝1×4+1×i﹣i×4﹣i2＝5﹣3i．故选：D．【变式训练3】．若Z＝1+i，则|Z2﹣Z|＝（）A．0B．1C．D．2【分析】由Z＝1+i，得到Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝﹣1+i，再求出|Z2﹣Z|．【解答】解：∵Z＝1+i，∴Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝1+2i+i2﹣1﹣i＝i2+i＝﹣1+i，∴|Z2﹣Z|＝＝．故选：C．【变式训练4】．若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，实数m＝（）A．1B．0C．0或1D．1或﹣1【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，∴m（m﹣1）＝0，m﹣1≠0，∴m＝0，故选：B．【变式训练5】．若2﹣i是关于x的实系数方程x2+ax+b＝0的一根，则a+b＝（）A．1B．﹣1C．9D．﹣9【分析】题目给出的是实系数一元二次方程，2﹣i是该方程的一个虚根，则方程的另一个根为2+i，则根据韦达定理即可求出．【解答】解：因为2﹣i是关于x的实系数方程x2+ax+b＝0的一根，根据实系数方程虚根成对原理知，方程x 2+ax +b ＝0的另一根为2+i ，根据韦达定理得2﹣i +2+i ＝﹣a ，（2+i ）（2﹣i ）＝b ，∴a ＝﹣4，b ＝5，∴a +b ＝1，故选：A ．考点2 复数的除法运算复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化） 几个常用结论（1）i i -=1， （2） i ii =-+11 ， （3） i i i -=+-11 例2．（1）复数＝（ ）A ．﹣2﹣9iB ．C ．﹣D ． 【分析】利用复数除法的运算法则，分子分母同乘以分母的共轭复数，即可求出所求．【解答】解：＝， 故选：C ．（2）复数（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i B ．﹣i C ．1+iD ．1﹣i 【分析】利用复数的运算法则求出复数＝i ，由此能求出复数（i 为虚数单位）的共轭复数． 【解答】解：复数＝＝＝＝i ，∴复数（i 为虚数单位）的共轭复数为﹣i ． 故选：B ．（3）设z ＝+i ，则|z |＝（ ） A ． B ． C ． D ．2【分析】先求z ，再利用求模的公式求出|z |．【解答】解：z＝+i＝+i＝．故|z|＝＝．故选：B．（4）＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝．故选：D．【变式训练1】．＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．【解答】解：＝＝＝2﹣i，故选：D．【变式训练2】．已知z＝，则＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i【分析】先根据复数除法的运算法则进行化简，然后根据复数的共轭复数的定义进行求解即可．【解答】解：z＝＝，所以＝﹣1﹣3i，故选：D．【变式训练3】．设i是虚数单位，则复数i3﹣＝（）A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i【分析】通分得出，利用i的性质运算即可．【解答】解：∵i是虚数单位，则复数i3﹣，∴＝＝＝i，故选：C．【变式训练4】．复数（）2＝（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．【解答】解：（）2＝[]2＝（1﹣2i）2＝﹣3﹣4i．故选：A．考点3 解方程例3．（1）已知＝1+i（i为虚数单位），则复数z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知＝1+i（i为虚数单位），∴z＝＝＝﹣1﹣i，故选：D．（2）已知，则复数z＝（）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：，∴＝（1+i）（2+i）＝1+3i．则复数z＝1﹣3i．故选：A．（3）若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．【解答】解：复数z满足2z+＝3﹣2i，设z＝a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i．解得a＝1，b＝﹣2．z＝1﹣2i．故选：B．（4）已知＝b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b＝（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i＝bi﹣1，所以由复数相等的意义知a＝﹣1，b＝2，所以a+b＝1另解：由得﹣ai+2＝b+i（a，b∈R），则﹣a＝1，b＝2，a+b＝1．故选：B．（5）若i（x+yi）＝3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x＝4，y＝﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|＝|4﹣3i|＝＝5．【解答】解：∵i（x+yi）＝xi﹣y＝3+4i，x，y∈R，∴x＝4，﹣y＝3，即x＝4，y＝﹣3．∴|x+yi|＝|4﹣3i|＝＝5．故选：D．【变式训练1】．若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】利用复数的运算法则求解即可．【解答】解：由z（1+i）＝2i，得z＝＝1+i．故选：D．【变式训练2】．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【解答】解：＝i，则＝i（1﹣i）＝1+i，可得z＝1﹣i．故选：A．【变式训练3】．若复数z满足3z+＝1+i，其中i是虚数单位，则z＝．【分析】设z＝a+bi，则＝a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z＝a+bi，则＝a﹣bi（a，b∈R），又3z+＝1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）＝1+i，化为4a+2bi＝1+i，∴4a＝1，2b＝1，解得a＝，b＝．∴z＝．故答案为：．【变式训练4】．已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）＝bi，则a+bi＝1+2i．【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果．【解答】解：因为（a+i）（1+i）＝bi，所以a﹣1+（a+1）i＝bi，所以，解得a＝1，b＝2，所以a+bi＝1+2i．故答案为：1+2i．【变式训练5】．若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【分析】由题意可得z＝＝，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z 的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴z＝＝＝＝+i，故z的虚部等于，故选：D．二、课堂检测1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．【解答】解：A．i（1+i）2＝i•2i＝﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）＝﹣1+i，不是纯虚数．C．（1+i）2＝2i为纯虚数．D．i（1+i）＝i﹣1不是纯虚数．故选：C．2．设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（）A．1B．C．D．2【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x＝1+yi，∴x+xi＝1+yi，即，解得，即|x+yi|＝|1+i|＝，故选：B．3．若z＝4+3i，则＝（）A．1B．﹣1C．+i D．﹣i【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．【解答】解：z＝4+3i，则＝＝＝﹣i．故选：D．4．＝（）A．i B．C．D．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：＝＝+．故选：D．5．若z＝1+2i，则＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z＝1+2i，则＝＝＝i．故选：C．6．（多选）设复数z满足＝i，则下列说法错误的是（）A．z为纯虚数B．z的虚部为﹣iC．在复平面内，z对应的点位于第二象限D．|z|＝【分析】利用复数的运算法则化简z，再利用有关知识即可判断出正误．【解答】解：复数z满足＝i，∴z＝＝＝﹣﹣i，则z不是纯虚数，虚部为﹣，在复平面内，z对应的点位于第三象限，|z|＝＝．故说法错误的是ABC．故选：ABC．7．（多选）设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2【分析】利用复数的模的有关性质和运算，结合共轭复数的概念对各个选项逐一分析判断即可．【解答】解：由复数的形式可知，选项A错误；当z1z2＝z1z3时，有z1z2﹣z1z3＝z1（z2﹣z3）＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故选项B正确；当＝z3时，则，所以＝，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则，可得，所以，故选项D错误．故选：BC．8．计算：（2+7i）﹣|﹣3+4i|+|5﹣12i|+3﹣8i＝13﹣i．【分析】根据复数的基本运算法则和复数模长的定义进行化简即可．【解答】解：原式＝2+7i﹣5+13+3﹣8i＝13﹣i，故答案为：13﹣i．9．已知复数z满足1+2zi＝i，其中i是虚数单位，则|z|＝．【分析】先化简复数z，再直接求模即可．【解答】解：依题意，，故．故答案为：．10．设复数z满足＝|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z＝﹣i．【分析】利用复数模的计算公式、共轭复数的定义即可得出结论．【解答】解：复数z满足＝|1﹣i|+i＝+i＝+i，则复数z＝﹣i，故答案为：﹣i．11．已知复数在z1＝a+i，z2＝1﹣i，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求z1•的值：（Ⅱ）若z1﹣z2是纯虚数，求a的值；（Ⅲ）若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）把a＝1代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（Ⅱ）利用复数代数形式的减法运算化简，再由实部为0求解；（Ⅲ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0求解．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，z1•＝（1+i）（1+i）＝1+i+i﹣1＝2i；（Ⅱ）由z1﹣z2＝（a+i）﹣（1﹣i）＝a﹣1+2i是纯虚数，得a﹣1＝0，即a＝1；（Ⅲ）由＝在复平面上对应的点在第二象限，得，即﹣1＜a＜1．12．已知：复数z＝（1+i）2+，其中i为虚数单位．（1）求z及|z|；（2）若z2+a，求实数a，b的值．【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解；（2）把z代入z2+a，整理后利用复数相等的条件列式求解．【解答】解：（1）∵，∴；（2）由z2+a，得：（﹣1+3i）2+a（﹣1﹣3i）+b＝2+3i，即（﹣8﹣a+b）+（﹣6﹣3a）i＝2+3i，∴，解得．。

高中新课程实验教科书—数学选修2-2[人教版A]§3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d，当两个复数不全是实数时不能比较大小。

教学过程：讲解新课：１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2计算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i ）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i 2=1+2 i-1=2 i.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z 的共轭复数为z 。

复数代数形式的乘除运算说课稿说课教师：张晶晶一教材分析1、教材的地位和作用《§3.2.2 复数代数形式的乘除运算》是高中数学选修2-2（人教A版）第三章的第二小节，其主要内容是复数代数形式的乘除运算。

前面已学习了《§3.1.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义》, 在此基础上，继续学习复数的乘除运算，让学生认识到实数集中的许多性质在复数集中仍然适用，同时也是对学习复数知识的加深和巩固。

它进一步揭示了虚数与实数辩证统一的关系，对培养学生类比学习的观点和转化的思想起到了一定的帮助作用，为提高学生的推理论证能力和解决问题的能力也起到了十分重要的作用。

2．教学重点与难点教学重点：复数代数形式的乘法与除法运算法则.教学难点：对复数除法运算法则的运用(分母实数化的问题)。

3. 教学目标（1）知识与技能：通过类比学习熟练掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则，深刻体会复数的除法运算实质是分母实数化的问题。

（2）过程与方法：通过学生自学、兵教兵、探究等教学形式提高学生分析问题和解决问题的能力。

（3）情感与价值观：在教学中要注重培养学生思维的灵活性，辩证性和创新性，活跃课堂气氛，激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心。

二教法分析1、要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化，注意知识前后的联系，形成知识框架；其次要了解学生的现状和认知结构，了解学生此阶段的知识水平，以便因材施教；再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。

2、根据上述教材分析和目标分析，在教学中采用“洋思模式”，以学生为主体，学生自学为核心构建课堂教学，培养问题意识，孕育创新精神，提出恰当的对学生的数学思维有适度启发的问题，引导学生自学，培养学生良好的学习方法。

3、“先学后教，当堂训练”：通过展示“自学指导”让学生阅读课本，小组内讨论，结合前面学习的知识来解决提出的问题，强化类比转化的思想。

1 3.2.2 复数的代数形式的乘除运算教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。

教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：乘除运算教学过程：一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（1）(1(2⨯ （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。

例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。

变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。

②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。

注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。

练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。

=，试写出复数的除法法则。

2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1i i -+- 2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。