3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

3．2复数代数形式的四则运算3．2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学设计教学目标1．知识与技能目标：掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义．2．过程与方法目标：培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力．3．情感、态度和价值观：培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．重点难点1、重点：复数代数形式的加法、减法的运算法则．2、难点：复数加法、减法的几何意义．教学过程一、复习回顾：1、复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法2、. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3、 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)4、回顾复习，检查落实：1、在复平面内，复数z ＝1－i 对应的点的坐标为( )A ．(1，i)B ．(1，－i)C ．(1,1)D ．(1，－1)2、已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是3、复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________．4、若复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是纯虚数，则k ＝二、引入新课提出问题，引入新课：我们把实数系扩充到了复数系，那么复数之间是否存在运算呢？答案是肯定的，这节课我们就来研究复数的加减运算．探究新知：我们规定，复数的加法法则如下：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di 是任意两个复数，那么(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i.提出问题：问题1：两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？问题2：当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？活动设计：学生独立思考，口答．活动成果：1.仍然是个复数，且是一个确定的复数；2.一致；3.实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．设计意图加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性．提出问题：实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明．活动设计：学生先独立思考，然后小组交流．活动成果：满足，对任意的z1，z2，z3∈C，有交换律：z1＋z2＝z2＋z1.结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋a)＋(d＋b)i，显然，z1＋z2＝z2＋z1.同理可得(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．设计意图引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力．下面我们根据复数的几何意义，探究一下复数加法的几何意义． 提出问题：复数与复平面内的向量有一一对应关系，那么请同学们猜想一下，复数的加法也有这种对应关系吗？并验证．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：学生可能会很快类比出结果，却不知如何验证，教师适时引导，在图形中解决．设向量OZ1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di 对应， 则OZ 1＝(a ，b)，OZ2→＝(c ，d)，由平面向量的坐标运算，有OZ 1＋OZ 2＝(a ＋c ，b ＋d)．这说明两个向量OZ1→与OZ 2→的和就是与复数(a ＋c)＋(b ＋d)i 对应的向量．活动成果：复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义．设计意图既训练了学生的类比思想，也训练了学生的数形结合思想．下面我们来研究复数的减法提出问题：类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则及其几何意义．活动设计：学生独立完成，口述，教师板书．活动成果：1.我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c ＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi的复数x＋yi叫做复数a＋bi减去复数c＋di的差，记做(a＋bi)－(c＋di)．2．复数减法的几何意义是可以按照向量的减法来进行的．设计意图考查学生的类比思想，提高学生主动发现问题，探究问题的能力．提出问题：你能试着推导复数减法法则吗？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流．学情预测：大多数学生可能很快就会想到用复数相等的定义来验证，部分学生可能会想到把减法运算转化为加法运算，即(a＋bi)－(c＋di)＝(a＋bi)＋(－1)(c＋di)＝(a＋bi)＋(－c－di)＝(a－c)＋(b－d)i.活动成果：证明：根据复数相等的定义，有c＋x＝a，d＋y＝b，因此x＝a－c，y＝b－d，即(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. 设计意图让学生自己动手推导减法法则，有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯．理解新知：提出问题：问题1：复数的加(减)法法则规定的合理性在哪里？问题2：复数的加(减)法实质是什么？问题3：多个复数相加减怎样运算？ 活动设计：学生独立完成，口述，教师完善．活动成果：1.它既与实数运算法则，运算律相同，又与向量完美地结合起来；2．实质是复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减；3．可将各个复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减． 设计意图加深对复数加(减)法法则的理解，并为例题打下基础．小结：复数加法的几何意义 复数z 1＋z 2是以OZ1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数复数减法的几何意义 复数z 1－z 2是从向量OZ2→的终点指向向量OZ 1→的终点的向量Z 2Z 1→所对应的复数运用新知：例1计算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝________. (2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z .思路分析：根据复数的加减运算法则即可得出．点评：本题是一道巩固复数加减运算的题目，且是一道加减混合运算题，考查了学生对公式把握的准确性．解法一是直接将它们的实部与虚部分别相加(减)，解法二是前两个复数相加，得到的和再与第三个复数相减，解法一更好．变式练习：计算复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( )A ．－1＋iB ．1－iC ．iD ．－i例2：如图3­2­1，已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i.图3­2­1(1)求AO →表示的复数；(2)求CA →表示的复数；(3)求B 点对应的复数．变式练习2．(1)向量OZ1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ1→＋OZ 2→对应的复数是( ) A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i(2)在复平面内，平行四边形ABCD (顶点顺序为ABCD )的三个顶点A ，B ，C 对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，则点D 对应的复数为________．[探究共研型]复数加、减法的几何意义的应用12【提示】 复数|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应两点Z 1与Z 2间的距离．已知z ∈C ，且|z ＋3－4i|＝1，求|z |的最大值与最小值.课堂小结：知识整理，形成系统(由学生归纳，教师完善)．1．若干个复数相加(减)，可以将它们的实部与虚部分别相加(减)，复数的加(减)法则与多项式的加(减)法是类似的．2．复数加(减)法的几何意义可以按照向量的加(减)法来进行．3．两个复数差的模的几何意义是两个复数所对应的两个点之间的距离．当堂过关检测：1．设z 1＝2＋i ，z 2＝1－5i ，则|z 1＋z 2|为( )A.5＋26B ．5C ．25 D.372．已知z 1＝3＋i ，z 2＝1＋5i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________.4．在复平面内，O 是原点，OA→，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC→对应的复数为________. 5．计算(1)(13－5i)＋(－3＋4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(10－9i)＋(－8＋7i)－(3＋3i)；(4)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)－(2 012－2 013i)．复数代数形式的加、减运算及其几何意义的学情分析这一部分是比较简单的内容，学生学习起来比较轻松，通过自己预习新课及小组讨论可以很好的完成导学案。

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□06终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数． (3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□07|z 1－z 2|. 其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.2．复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i探究1 复数的加减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. 拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. 探究2 复数加减运算的几何意义例2 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设D 点对应复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )． 又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．[解] 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当ABCD 是平行四边形时，D 点对应的复数是3＋5i.②当ABDC 是平行四边形时，D 点对应的复数为1－3i.③当ADBC 是平行四边形时，D 点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能． 【跟踪训练2】 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， 所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)， 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210，所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 探究3 复数加减运算的几何意义的应用 例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解]解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【跟踪训练3】若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，所以0≤1－y＝x2＋y－12≤2，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝y i(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ， ∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限． 2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D．4i 答案 B解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3.故选B.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( ) A ．O A →＝O B → B ．|O A →|＝|O B →| C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数； (2)向量CA →对应的复数； (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义一、选择题1.已知i为虚数单位，复数z1＝2＋i，z2＝1－2i，则z1＋z2等于()A． 1＋iB． 2－iC． 3－iD．－i2.已知复数z 1＝－i和复数z2＝cos 60°＋isin 60°，则z1＋z2为()A． 1B．－1C．－iD．＋i3.复数满足(a＋3i)＋(2－i)＝5＋b i，则a＋b等于()A．－4B． 7C．－8D． 54.设复数z满足i－z＝2－i，则z等于()A．－1＋2iB．－2＋2iC． 1＋2iD． 1－2i5.设z1＝1－i，z2＝a＋2a i(a∈R)，其中i是虚数单位，若复数z1＋z2是纯虚数，则有()A．a＝1B．a＝C．a＝0D．a＝－16.已知复数z满足z＋i－3＝3－i(i为虚数单位)，则z的实部、虚部分别是()A． 6，－2B． 6，－2iC． 0，－2D． 0，－2i二、填空题7.已知复数z1＝2＋a i，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是____．8.若复数z1＝3＋4i，z2＝1＋2i(i是虚数单位)，则z1－z2＝____.9.若复数z1＝a＋i，z2＝1－i，且z1－z2为纯虚数，则实数a的值为____．三、解答题10.已知m是实数，n是纯虚数，且2m＋n＝4＋(3－m)i，求m，n的值．答案解析1.【答案】C【解析】z1＋z2＝(2＋i)＋(1－2i)＝3－i.2.【答案】A【解析】复数z 2＝cos 60°＋isin 60°＝＋i，∴z 1＋z2＝－i＋＋i＝1.3.【答案】D【解析】由(a＋3i)＋(2－i)＝5＋b i，得a＋2＋2i＝5＋b i，则a＋2＝5且b＝2，解得a＝3，b＝2，则a＋b＝3＋2＝5.4.【答案】B【解析】复数z满足i－z＝2－i，则z＝－2＋2i.5.【答案】D【解析】∵z1＝1－i，z2＝a＋2a i，∴复数z1＋z2＝1－i＋a＋2a i＝1＋a＋(2a－1)i，∵复数z1＋z2是纯虚数，∴a＋1＝0，∴a＝－1.6.【答案】A【解析】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＋i－3＝3－i可化为a－3＋(b＋1)i＝3－i，∴解得7.【答案】(2，＋∞)【解析】复数z1＝2＋a i，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2＝2＋a i－a－i＝(2－a)＋(a－1)i.复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，∴解得a∈(2，＋∞)．8.【答案】2＋2i【解析】z1－z2＝(3＋4i)－(1＋2i)＝2＋2i.9.【答案】1【解析】z1－z2＝(a－1)＋2i，要使其为纯虚数需a－1＝0，解得a＝1.10.【答案】解∵m是实数，n是纯虚数，且2m＋n＝4＋(3－m)i，设n＝b i，则解得m＝2，b＝1.∴m＝2，n＝i.【解析】。

第一节数系的扩充与复数的引入A组基础题组1.复数z=m(3+i)-(2-i)的共轭复数表示的点位于复平面的第三象限,则实数m的范围是( )A.(-∞,-1)B.C.D.2.已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)=( )A.5-5iB.7-5iC.5+5iD.7+5i3.已知(1-i)z=2+i,则z的共轭复数=( )A.+iB.-iC.+iD.-i4.(2017福建基地综合测试)已知=1-yi,其中x,y是实数,i是虚数单位,则x+yi的共轭复数为( )A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i5.(2017安徽十校联考)若复数z满足z(1-i)=|1-i|+i,则z的实部为( )A. B.-1 C.1 D.6.设i是虚数单位,若复数a+(a∈R)是纯虚数,则a等于.7.已知t∈R,i为虚数单位,复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1·z2是实数,则t等于.8.若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为.9.计算:(1);(2)+;(3).10.(2018云南昆明调研)如图所示,平行四边形OABC,顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i,试求:(1)、所表示的复数;(2)对角线所表示的复数;(3)B点对应的复数.B组提升题组1.已知=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则a+b=( )A.-7B.7C.-4D.42.已知复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x-2y+m=0上,则实数m= .3.已知复数z的共轭复数是,且满足z·+2iz=9+2i.求i.4.若虚数z同时满足下列两个条件:①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.答案精解精析A组基础题组1.C ∵z=m(3+i)-(2-i)=(3m-2)+(m+1)i,∴=(3m-2)-(m+1)i,由题意得∴-1<m<.2.C (2+i)(3+i)=6+5i+i2=5+5i,故选C.3.B z====+i,则=-i.4.D =(x-xi)=1-yi,∴解得x=2,y=1,x+yi=2+i,其共轭复数为2-i,故选D.5.A 由z(1-i)=|1-i|+i,得z===+i,故z的实部为,故选A.6.答案 2解析因为a+=a+=a+=a-2+i是纯虚数,所以a=2.7.答案-解析因为z1=3+4i,z2=t+i,所以z1·z2=(3t-4)+(4t+3)i,又z1·z2是实数,所以4t+3=0,所以t=-.8.答案解析∵|4+3i|==5,∴z===+i,∴z的虚部为.9.解析(1)====+i.(2)+=+=+=-1.(3)====--i.10.解析(1)∵=-,∴所表示的复数为-3-2i.∵=,∴所表示的复数为-3-2i.(2)∵=-,∴所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)∵=+=+,∴所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即B点对应的复数为1+6i.B组提升题组1.A 因为=1++=-3-4i,所以-3-4i=a+bi,则a=-3,b=-4,所以a+b=-7.故选A.2.答案-5解析z====1-2i,复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,-2),将其代入x-2y+m=0,得m=-5.3.解析设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.因为z·+2iz=9+2i,所以(a+bi)(a-bi)+2i(a+bi)=9+2i,即a2+b2-2b+2ai=9+2i,所以由②得a=1,代入①,得b2-2b-8=0.解得b=-2或b=4.所以z=1-2i或z=1+4i.4.解析这样的虚数存在,z=-1-2i或z=-2-i.设z=a+bi(a,b∈R且b≠0),z+=a+bi+=a+bi+=+i.∵z+是实数,∴b-=0.又∵b≠0,∴a2+b2=5.①又z+3=(a+3)+bi的实部与虚部互为相反数,∴a+3+b=0.②由①②得解得或故存在虚数z,同时满足题设的两个条件,z=-1-2i或z=-2-i.。

§3.2 复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 课时目标 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则z 1＋z 2＝____________，z 1－z 2＝____________.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝__________，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(__________)．2．复数加减法的几何意义如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是_________，与z 1－z 2对应的向量是__________．一、选择题1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i2．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( ) A ．0 B ．32＋52i C ．52－52i D ．52－32i 3．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i4．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量OA →与OB →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则向量OA →与OB →的关系是( )A.OA →＝OB → B ．|OA →|＝|OB →|C ．OA →⊥OB →D ．OA →，OB →共线5．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4二、填空题6．设纯虚数z 满足|z －1－i|＝3，则z ＝____________.7．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC→对应的复数为________________________________________________________________．8．设f (z )＝z －2i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝__________.三、解答题9．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－3＋2i.(1)求z 1－z 2；(2)在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量．10．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．能力提升11．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．512．复数3＋3i ，－5i ，－2＋i 的对应点分别为平行四边形的三个顶点A ，B ，C ，求第四个顶点对应的复数．1．复数的加减法运算，可以类比多项式中的合并同类项．2．根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．§3.2 复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义答案知识梳理1．(1)(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i(2)z 2＋z 1 z 2＋z 32．OZ → Z 2Z 1→作业设计1．C [z 1－z 2＝(3＋i)－(－1－i)＝4＋2i.]2．C [z 1＋z 2＝⎝⎛⎭⎫2＋12－⎝⎛⎭⎫12＋2i ＝52－52i.] 3．C [OZ 1→＋OZ 2→＝5－4i ＋(－5＋4i)＝0.]4．C [由向量的加法及减法可知：在▱OACB 内，OC →＝OA →＋OB →，AB →＝OB →－OA →.非零复数z 1，z 2分别对应复平面内向量OA →，OB →，由复数加减法的几何意义可知：|z 1＋z 2|对应OC →的模，|z 1－z 2|对应AB →的模，又因为|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则|OC →|＝|AB →|，所以四边形OACB是矩形，因此OA →⊥OB →，故选C.]5．A [z 1＋z 2＝a －3＋(4＋b )i ，z 1－z 2＝a ＋3＋(4－b )i ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋b ＝0a ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－4.] 6．(±22＋1)i解析 ∵z 是纯虚数，设z ＝b i (b ∈R 且b ≠0)．由|z －1－i|＝3得|－1＋(b －1)i|＝3.∴1＋(b －1)2＝9，∴b －1＝±22，∴b ＝±22＋1，即z ＝(±22＋1)i.7．4－4i解析 由AB →＝OB →－OA →，得OB →＝AB →＋OA →＝1＋5i ＋(－2＋i)＝－1＋6i ，BC →＝OC →－OB →＝3＋2i －(－1＋6i)＝4－4i.8．5＋3i解析 ∵f (z )＝z －2i ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2－2i＝(3＋4i)－(－2－i)－2i＝(3＋2)＋(4＋1)i －2i ＝5＋3i.9．解 (1)因为z 1＝－2＋i ，z 2＝－3＋2i ，所以z 1－z 2＝(－2＋i)－(－3＋2i)＝1－i.(2)在复平面内复数z 1－z 2所对应的向量是OZ →＝1－i ，如图所示．10．解 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i.BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)可得，|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8，∵|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×8＝2. 11．B [由已知|z －(－2＋2i)|＝1，所以复数z 的对应点的轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，如图所示，|z －2－2i|＝|z －(2＋2i)|表示复数z 的对应点到(2,2)点的距离，即圆上的点到(2,2)点的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3.]12．解 当四点顺序为ABCD 时，第四个顶点D 对应的复数为1＋9i ；当四点顺序为ADBC 时，第四个顶点D 对应的复数为5－3i ；当四点顺序为ABDC 时，第四个顶点D 对应的复数为－5－7i.。