复数代数形式的加减运算及其几何意义(教案)

《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解复数的加法和减法运算规则。

2. 让学生掌握复数加法和减法运算的几何意义。

3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 复数的加法运算：两个复数相加，实部相加，虚部相加。

2. 复数的减法运算：两个复数相减，实部相减，虚部相减。

3. 复数加法和减法运算的几何意义：在复平面上表示复数的加法和减法。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：复数的加法和减法运算规则，复数加法和减法运算的几何意义。

2. 教学难点：复数加法和减法运算在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解复数的加法和减法运算规则。

2. 采用直观演示法，利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。

3. 采用案例分析法，分析实际问题中的复数加法和减法运算。

五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾实数加法和减法运算，引出复数的加法和减法运算。

2. 讲解：讲解复数的加法和减法运算规则，实部相加，虚部相加（减）。

3. 演示：利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。

4. 练习：让学生进行复数加法和减法运算的练习，巩固所学知识。

5. 案例分析：分析实际问题中的复数加法和减法运算，培养学生运用复数解决实际问题的能力。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，复数的加法和减法运算及其几何意义。

7. 作业布置：布置有关复数加法和减法运算的练习题，巩固所学知识。

六、教学评价：1. 评价学生对复数加法和减法运算规则的理解程度。

2. 评价学生对复数加法和减法运算几何意义的掌握程度。

3. 评价学生运用复数解决实际问题的能力。

七、教学反馈：1. 课堂讲解过程中，注意观察学生的反应，及时解答学生的疑问。

2. 练习环节，及时批改学生的作业，给予反馈，指出错误并指导改正。

3. 案例分析环节，鼓励学生积极参与讨论，提出自己的观点和看法。

八、教学拓展：1. 引导学生思考复数加法和减法运算在实际生活中的应用。

复数代数形式的四则运算（教学设计）（1）§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义教学目标：知识与技能目标：掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义过程与方法目标：培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力。

情感、态度与价值观目标：培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。

教学重点：复数代数形式析加法、减法的运算法则。

教学难点：复数加减法运算的几何意义。

教学过程：一、复习回顾：1、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法 2、. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3、 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)二、师生互动、新课讲解：1、复数代数形式的加减运算（1）复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .（2）复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .（3）复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R ).∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i .z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i .又∵a 1+a 2=a 2+a 1，b 1+b 2=b 2+b 1.∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律.（4）复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)证明：设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ).∵(z 1+z 2)+z 3=［(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )］+(a 3+b 3i )=［(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ］+(a 3+b 3)i=［(a 1+a 2)+a 3］+［(b 1+b 2)+b 3］i=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i .z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )+［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］=(a 1+b 1i )+［(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ］=［a 1+(a 2+a 3)］+［b 1+(b 2+b 3)］i=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i∵(a 1+a 2)+a 3=a 1+(a 2+a 3)，(b 1+b 2)+b 3=b 1+(b 2+b 3).∴(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3).即复数的加法运算满足结合律 讲解范例： 例1（课本P57例1）计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i例2计算：(1－2i )+(－2+3i )+(3－4i )+(－4+5i )+…+(－2002+2003i )+(2003－2004i )解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i .解法二：∵(1－2i )+(－2+3i )=－1+i ，(3－4i )+(－4+5i )=－1+i ，……(2001－2002i )+(－2002+2003)i =－1+i .相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i )+(2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i2.复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减). （1）复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r （2）复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r （3）复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i（4）复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =u u u u r u u u r ，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例4 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数.解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R )，是： OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ;OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i .∵BC AD =，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ，∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x 故点D 对应的复数为2－i .分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是(－2+i )+(x +yi )=0，∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用 课堂练习：（课本P58练习：NO ：1；2）三、课堂小结，巩固反思：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小复数的加法法则：(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i (a ，b ，c ，d ∈R ). 复数的加法，可模仿多项式的加法法则计算，不必死记公式。

§3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义（教学设计）教学目标：知识与技能：理解并掌握复数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义。

过程与方法：在问题探究过程中，体会和学习类比、数形结合等思想方法，感悟运算形成的基本过程。

情感态度价值观：培养学生观察、理解、推理论证的能力。

教学重点：理解并掌握复数的加减运算及其运算定律，准确进行加减运算，初步运用复数加减法的几何意义解决简单问题。

教学难点：复数加减法的几何意义及其应用。

课型与课时：新授课、1课时教学手段：课件教学方法：阅读、理解、类比教学过程：一．知识回顾1、复数的代数形式是什么？z=a+bi(a,b ∈R )2、复数相等的充要条件是什么？3、复数几何意义z= a+bi (a,b ∈R ) 复平面内的点z(a,b) 复平面内的向量OZ =(a ，b )想一想：类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？二、认识新知探究一：复数的加法运算设12z a bi Z c di =+=+与(a ,b,c,d ∈R )是任意两个复数，那么它们的和为12()()Z Z a c b d i +=+++。

说明：①复数的加法运算法则是一种规定。

当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致。

②两个复数的和仍然是一个复数，对于复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形。

探究一：复数的加法满足交换律、结合律吗？容易验证：对任意复数Z 1、Z 2、Z 3，有：Z 1+Z 2=Z 2+Z 1(Z 1+Z 2)+Z 3=Z 1+(Z 2+Z 3)即实数加法运算的交换律，结合律在复数集C 中仍然成立。

探究二：复数与复平面内的向量有一一对应的关系。

我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？设1OZ 及2OZ 分别与复数α+bi 复数c ＋di 对应，则1OZ =（α,b ），2OZ =（c ，d ）OZ =1OZ +2OZ =（α,b ）+（c ，d ）=(α+c,b+d )向量OZ 是向量1OZ 与2OZ 的和，就是复数（a+c ）+(b+d)i 对应的向量。

复数的加法与减法【学习目标】1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．2．了解复数代数形式的加、减法的几何意义．【重点、难点】重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义．难点：复数的代数形式的加、减法的几何意义．【学法指导】1．根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2．用红笔勾出疑难点，提交小组讨论．【自主探究】1．应用复数相等的充要条件解题时要确保复数必须化成a＋b i(a，b∈R)的形式，否则等量关系不成立．2．复数z1＝a＋b i与z2＝a－b i(其中a，b∈R，b≠0)在复平面内对应的点关于对称．1．复数的加、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝，z1－z2＝．即两个复数的和(或差)仍然是一个，它的实部是原来两个复数的的和(或差)，它的虚部是原来两个复数的的和(或差)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝复数加、减法有什么样的几何意义？提示：(1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ→所对应的复数．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向被减向量的终点所对应的复数．因此，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行．【合作探究】1．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝( )A ．0B ．2iC ．6D ． 6－2i2．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为( )A ．5－6iB ．3－5iC ．－5＋6iD ．－3＋5i3．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i4．若OA→、OB →对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则|AB →|＝________． 5．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．6．(2011年宁波高二检测)在复平面上复数i,1,4＋2i 所对应的点分别是A ，B ，C ，求平行四边形ABCD 的D 点所对应的复数．【巩固提高】1．如图，在平行四边形OABC 中，顶点O 、A 、C 分别表示0、3＋2i 、－2＋4i ，试求：(1)AO→所表示的复数，BC →所表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数；(3)对角线OB→所表示的复数及OB →的长度．2．已知z 1，z 2∈C ，且|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1．求|z 1＋z 2|．自我挑战 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝|z 1＋z 2|，z 1＋z 2＝2i ，求z 1，z 2．【方法小结】1．(1)两个复数的和差仍是一个复数．(2)复数的加减法运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行．(3)算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加减．2．(1)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．(2)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．3．复数加、减法几何意义的应用首先要结合向量加、减法的几何意义．|z1＋z2|，|z1－z2|分别是以复数z1，z2的对应向量为邻边的平行四边形的两对角线的长．由|z1|，|z2|，|z1＋z2|，|z1－z2|的大小关系可推出该平行四边形的性质，其次是|z1－z2|即为复数z1，z2对应的两点的距离．再结合直线，圆，圆锥曲线知识解题．。

第1课时复数的加、减运算及其几何意义（一）教学内容复数的加法运算及其几何意义，复数的减法运算及其几何意义.（二）教学目标掌握复数代数形式的加、减运算法则及其运算律，了解复数加、减法运算的几何意义.（三）教学重点与难点重点：复数代数形式的加、减运算法则及其运算律，复数加、减运算的几何意义.难点：复数减法的运算法则.（四）教学过程设计1.引入新课问题1：我们为了解决类似x2+1=0在实数范围无解的问题，引入了虚数单位i，从而把数集范围从实数集扩大到复数集.依据我们研究实数的经验，接下来我们要研究复数的哪些问题？答：接下来要研究讨论复数集中的运算问题.追问：还记的复数的概念吗？答：对于形如：z=a+bi（a，b∈R）的数叫做复数.其中i叫做虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.设计意图：通过复习回顾数集的扩展、复数概念为探究本节课的新知识作铺垫.2.课堂探究问题2：我们希望在扩充到复数集后加法、乘法运算与实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且复数的加法和乘法都满足交换律和结合律，设z1=a+bi, z2=c+ di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，该如何规定复数的加法法则呢？答：z1+z2=a+bi+c+di，由于期望加法结合律成立，故z1+z2=(a+c)+(bi+di);由于期望乘法对加法满足分配率，故z1+z2=(a+c)+(b+d)i，所以我们规定：设z1=a+ bi z2=c+di（a，b，c，d∈R），则z1+z2=(a+c)+(b+d)i.追问1：两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答：两个复数的和仍然是个复数，且是一个确定的复数，它可以推广到多个复数相加；追问2：当b=0，d =0时，与实数加法法则一致吗？答：当b=0，d,=0时，复数的加法与实数加法法则一致；追问3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答：实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项..设计意图：加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性.将实数的运算通性、通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣.问题3：实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？答：对任意的z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).证明：设z1=a+bi z2=c+di（a，b，c，d∈R），则z1+z2=(a+c)+(b+d)i.z2+z1=(c+a)+(d+b)i.因为a+c= c+a，b+d=d+b，所以z1+z2=z2+z1.证明:,设z1=a+bi z2=c+di z3=e+fi（a，b，c，d,e,f∈R），(z1+z2)+z3=(a+c)+(b+d)i+ e+fi=[(a+c)+e]+[(b+d)+f]i,z1+(z2+z3)=a+bi+(c+e)+(d+f)i =[(c+e)+a]+[(d+f)+b]i所以(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).问题4：我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？答：类比实数减法的意义，我们规定复数的减法是加法的逆运算即把满足(c+di) +(x+ yi)=a+bi的复数x+yi（x，y）∈R叫做复数a+bi（a，b）∈R减去复数c+ di（c，d）∈R的差，记作(a+bi)−(c+di) .根据复数相等的含义，c+x=a，d+y=b，因此x=a−c，y=b−d，所以x+yi=(a−c)+(b−d)i，即(a+bi)−(c+di)=(a−c)+ (b−d)i.追问1：两个复数的差是个什么数，它的值唯一确定吗？答：两个复数的差与和相同，仍然是个复数且是一个确定的复数.追问2：上述用什么方法来推导两个复数减法的运算法则的？答：我们在推导两个复数减法的运算法则时，应用了待定系数法，这种方法也是确定未知复数实部与虚部经常用的一种方法.追问3：复数的加法类似于两个多项式相加，复数的减法类似于实数的哪种运算方法呢？答：两个复数的差实质是实部与实部相减作为实部 ,虚部与虚部相减作为虚部类似于实数运算中的合并同类项.设计意图：加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,进行必要铺垫.问题5：我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量有一一对应的关系。

§一、内容和内容解析内容：复数的加减运算及其几何意义．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第2节第一课时的内容．复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的加法的运算法则是一种规定，复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.通过实例，明确复数的加减运算法则，发展数学运算素养.经历复数加减运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.二、目标和目标解析目标：（1）通过对定义复数加法法则的背景的分析，体会规定复数加法法则的合理性.（2）明确复数加法法则和减法法则的具体内容，经历应用法则解决复数加、减运算问题的过程，提升数学运算的核心素养.（3）经历复数代数形式的减法定义和复数加、减法几何意义的形成过程，培养直观想象的核心素养.目标解析：（1）复数的加法法则是直接规定的，教学中可以引导学生结合引入复数集的过程，即在将实数集扩充到复数集时，希望数集扩充后，在复数集中规定的加法、乘法运算，与实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且运算律也满足．（2）+bi中的实部和虚部a,b看作常数，i看作“变元”，从而将复数a+bi看成是“一次二项式”，进而可以得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项”.基于上述分析，本节课的教学重点定为：熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则．三、教学问题诊断分析教学问题一：在知识储备上，学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数a+bi和平面上的点Z(a，b)以及向量OZ一一对应；但探究复数加法的几何意义有一定难度.解决方案：在讲解本节前，可在课上先复习平面向量和复数的几何意义等相关知识，再进行新课的学习和探究，这是突破难点的一个重要举措.教学问题二：复数加法的几何意义是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过类比向量加法的几何意义得到复数加法的几何意义．教学问题三：如何得到复数的减法是第三个教学问题．学生很容易把类比向量的减法得到复数的减法．其实，类比多项式的加减我们既可以得到复数的加法法则，也可以得到复数的减法法则．基于上述情况，本节课的教学难点定为：理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到复数的加减运算及其几何意义，应该为学生创造积极探究的平台．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视加减法法则的发现与证明，让学生体会到类比思想的重要性．五、教学过程与设计 12OZ OZ +[问题3]向量的加减运算满足何种法则？[问题4] 设向量索交流，解决问题OZ2→分别与复数a＋b i，c＋d i对应，那么OZ1→＋OZ2→的坐标如何呢？[问题5]向量OZ1→＋OZ2→对应的复数是什么？[问题6]按照平面向量减法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？[问题7]类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？b＋d)．教师5：提出问题5．学生5：向量OZ1→＋OZ2→对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2.教师6：提出问题6．学生6：复数z1－z2的几何意义就是向量OZ1→－OZ2→对应的复数．教师7：小结一下：1. 加、减法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．2.加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．3.复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为OZ1→，OZ2→，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ→，与z1－z2对应的向量是Z2Z1→.教师8：提出问题7．学生7：|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．高学生分析问题、概括能力。

§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义）（教案） 教学目标： 知识与技能：掌握复数的加法运算及意义 过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

教学过程：一．学生探究过程：1. 与复数一一对应的有？2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。

3. 同时用坐标和几何形式表示复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ +u u u u r u u u u r 。

向量的加减运算满足何种法则？4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？二、讲授新课：1.复数的加法运算及几何意义①.复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则12()()Z Z a c b d i +=+++。

例1．计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(72)(14)i i -++ （3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。

例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)i i +-，(32),(43),(5)i i i --++所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。

③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12Z Z Z +=，则Z 叫做21Z Z 减去的差,21Z Z Z =-记作。

§3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义一、教学目标：掌握复数的加法与减法的运算及几何意义二、教学重点：掌握复数的加法与减法的运算及几何意义三、教学难点：复数减法的运算法则四、教学过程：（一）导入新课：复数的概念及其几何意义；（二）推进新课：建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。

设z 1=a +bi ，z 2=c +di 是任意两个复数，我们规定：1、复数的加法运算法则：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .2、复数的加法运算律:交换律：z 1+z 2=z 2+z 1结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)3、复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ， 由于OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i 对应的向量4、复数的减法运算法则：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .5、复数减法的几何意义：类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z = 1OZ -2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，b -d )，所以1OZ 和2OZ 的差就是与复数(a －c )+(b－d )i 对应的向量6、例题讲解：例1、计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)例2、已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：由已知得：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差。

复数代数形式的加减运算及其几何意义一教学目标根据新课标对教材的要求和学生的认知特点，从知识与技能、过程和方法、情感态度和价值观3个维度确定以下教学目标：知识与技能：理解复数加减运算法则，以及复数加减法的几何意义能够进行正确的计算。

过程与方法：通过让学生自主学习，合作探究，培养学生解决问题的能力。

情感态度与价值观：培养学生的合作交流意识，提高解决问题的能力，并在教学过程中培养学生的探索精神。

二教学重点和难点重点：正确理解复数的加减运算，复数加减运算的几何意义难点：对比复数加减法与向量加减法的异同，从而理解复数的几何意义三教法与学法分析从学生已有的知识水平和认知规律出发，为了更好的突出教学重点、突破难点，我采用以引导发现法为主，直观演示法、合作探究、讨论法为辅的教法。

学生的学法中主要让学生分组探究、讨论、归纳、总结，通过学生动脑、动口、动手等活动培养学生学习的积极性和主动性。

使学生掌握知识。

四教学过程为了更好的突出新课改以教为主导，学为主体的教学理念，我设计的教学过程由导入新课、讲授新课、巩固练习、归纳总结、布置作业五个环节构成。

（一）导入新课（1）复数的代数形式是什么？在什么条件下，复数z为实数、虚数、纯虚数？（学生回答）（2）复数相等的重要条件？实部与实部相等，虚部与虚部相等。

（3）复数几何意义？1.复数z=a+bi，表示向量：oz2.复数的模等于向量的模。

实数可以进行加减运算，复数是否也可以进行加减运算？（引出本节课）本环节设计的意图是：从学生熟悉的生活情景和已有的知识出发，找准了新知识的起点，激发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲望。

（二）讲授新课知识点一 复数的加法运算复数的加法法则：设z1=a+bi ，z2=c+di (a 、b 、c 、d ∈R)是任意两复数，那么它们的和：（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i说明:（1）复数的加法运算法则是一种规定。

当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义教学设计一、教学目标1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.二、教学重难点1.教学重点：复数代数形式的加、减运算法则2.教学难点：复数加、减运算法则三、教学过程1．复习引入在上一节，我们把实数集扩充到了复数集．引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算．下面就来讨论复数集中的运算问题．2.复数的加法法则我们规定，复数的加法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的和(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.老师强调：实部与实部相加，虚部与虚部相加.注：1）两个复数的和仍然是一个确定的复数．2）当z1,z2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和．3）两个复数相加，类似于两个多项式相加．思考：复数的加法满足交换律、结合律吗？老师板演：对任意z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d,∈R)，因为z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.z2+z1=(c+di)+(a+bi)=(a+c)+(b+d)i.所以z 1+z 2= z 2+z 1对任意z 1=a +bi,z 2=c +di ，z 3=e +fi (a,b,c,d,e,f ∈R)，因为(z 1+z 2)+z 3=[(a +bi )+(c +di )]+(e +fi )=(a +c +e)+(b +d +f)iz 1+(z 2+z 3)=(a +bi )+[(c +di )+(e +fi )]=(a +c +e)+(b +d +f)i所以(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)学生总结：复数的加法满足交换律、结合律.3.复数加法的几何意义探究：我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应．而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？设OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别与复数a +bi,c +di 对应，则OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b),OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c,d).由平面向量的坐标运算法则，得OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +c,b +d).这说明两个向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 1与OZ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的和就是与复数(a +c)+(b +d)i 对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义．设计意图：数形结合，便于学生的理解.4.复数的减法法则思考：我们知道，实数的减法是加法的逆运算．类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c +di)+(x +yi)=a +bi 的复数x +yi(x,y ∈R)叫做复数a +bi(a,b ∈R)减去复数c +di(c,d ∈R)的差，记作(a +bi)−(c +di).根据复数相等的含义，c +x =a,d +y =b,因此x =a −c,y =b −d,所以x +yi =(a −c)+(b −d)i,即(a +b i )−(c +d i )=(a −c)+(b −d)i .这就是复数的减法法则．老师强调：实部与实部相减，虚部与虚部相减.注：1）两个复数的差是一个确定的复数．2）两个复数相减，类似于两个多项式相减．5.复数减法的几何意义探究：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？设OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别与复数a +bi,c +di 对应，则OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b),OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c,d).由平面向量的坐标运算法则，得OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −c,b −d).这说明两个向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 1与OZ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的和就是与复数(a −c)+(b −d)i 对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义．设计意图：数形结合，形象生动.6．课堂训练例1计算(5−6i)+(−2−i)−(3+4i).解：(5−6i)+(−2−i)−(3+4i)=(5−2−3)+(−6−1−4)i=−11i.练习1计算(1)(2+4i)+(3-4i);(2)5-(3+2i);(3)(-3-4i)+(2+i)-(1-5i);(4)(2-i)-(2+3i)+4i .解：（1）(2+4i)+(3-4i)=5（2）5-(3+2i)=2−2i（3）(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)=−2+2i（4）(2-i)-(2+3i)+4i =0例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)之间的距离． 分析：由于复平面内的点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)对应的复数分别为z 1=x 1+y 1i,z 2=x 2+y 2i,由复数减法的几何意义知，复数z 2−z 1对应的向量为Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 从而点Z 1,Z 2之间的距离为|Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|z 2−z 1|.解：因为复平面内的点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)对应的复数分别为z 1=x 1+y 1i,z 2=x 2+y 2i ，所以点Z 1,Z 2之间的距离为|Z 1Z 2|=|Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|z 2−z 1|=|(x 2+y 2i)−(x 1+y 1i)|=|(x 2−x 1)+(y 2−y 1)i|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2.练习2．求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离：(1)z 1=2+i,z 2=3−i;(2)z 3=8+5i,z 4=4+2i.解：|z 1−z 2|=√(2−3)2+(1−(−1))2=√5 |z 3−z 4|=√(8−4)2+(5−2)2=5练习3 如图，向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是z ，分别作出下列运算的结果对应的向量： (1)z +1;(2)z −i;(3)z +(−2+i).设计意图：提高学生对课堂知识的应用.7.课堂小结复数的加法法则(a +bi)+(c +di)=(a +c)+(b +d)i 复数的加法满足交换律、结合律 z 1+z 2= z 2+z 1 (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 复数的加法可以按照向量的加法来进行复数的减法法则(a +b i )−(c +d i )=(a −c)+(b −d)i . 复数的减法可以按照向量的减法来进行复平面内的两点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)之间的距离|Z 1Z 2|=|Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|z 2−z 1|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)28.作业习题7.2 第1,2题。

新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学目标重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则． 难点:复数加法、减法的几何意义.知识点:1.掌握复数代数形式的加、减运算法则;2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力． 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神.自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题.考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点：复数的加法与减法的综合应用. 拓展点：复数与其他知识的综合.一、 引入新课复习引入1.虚数单位i ：它的平方等于1-,即2i 1=-;2.对于复数()i ,z a b a b =+∈R ：当且仅当0b =时,z 是实数a ; 当0b ≠时,z 为虚数;当0a =且0b ≠时,z 为纯虚数; 当且仅当0a b ==时,z 就是实数0.3.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .4.复数几何意义：我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算.【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫.二、探究新知探究一:复数的加法 1.复数的加法法则我们规定,复数的加法法则如下:设1i z a b =+,2i(,,,)z c d a b c d =+∈R 是任意两个复数,那么：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++提出问题：(1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? (2)当=0,0b d =时,与实数加法法则一致吗?(3)它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确:(1)仍然是个复数,且是一个确定的复数; (2)一致;(3)实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神． 2.复数加法的运算律实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的123,,z z z ∈C ,有1221z z z z +=+（交换律）, 123123()()z z z z z z ++=++（结合律）.【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力． 3.复数加法的几何意义复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设12,OZ OZ 分别与复数i,i a b c d ++对应,则有12(,),(,)OZ a b OZ c d ==,由平面向量的坐标运算有12(,)OZ OZ a c b d +=++.这说明两个向量12OZ OZ 与的和就是与复数()+()i a c b d ++对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：由图可以看出,以1OZ 、OZ 就是复数()+()i a c b d ++对应的向量.【设计意图】通过向量的知识,训练学生的形象思维能力,也培养了学生的数形结合思想.另外,当两复数的对应向量共线时,可直接运算;当不共线时,可类比向量加法的平行四边形,也培养了学生的类比思想. 探究二:复数的减法类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗? 1.复数的减法法则我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足(i)(i)i c d x y a b +++=+ 的复数i x y +叫做复数i a b +减去i c d +的差,记作(i)(i)a b c d +-+.根据复数相等的定义,有,c x a d y b +=+=, 因此,x a c y b d =-=-,所以i ()()i x y a c b d +=-+-,即(i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-.这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数.【设计意图】复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.让学生自己动手推导减法法则,有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力． 2.复数减法的几何意义设12,OZ OZ 分别与复数i,i a b c d ++对应,则这两个复数的差12z z —与向量12OZ OZ —（即21Z Z ）对应,这就是复数减法的几何意义.如图所示.【设计意图】两个复数的差12z z —（即12OZ OZ —）与连接两个终点1Z ,2Z ,且指向被减数的向量对应,这与平面向量的几何解释是一致的;它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有机的结合．注意：只有将差向量平移至以原点为起点时,其终点才能对应该复数.三、理解新知1.复数的加减法法则:设1i z a b =+,2i(,,,)z c d a b c d =+∈R 是任意两个复数,规定：12()()i z z a c b d +=+++; 12()()i z z a c b d -=-+-.2.复数加、减法的几何意义：(1)复数的加法按照向量加法的平行四边形法则; (2)复数的减法按照向量减法的三角形法则. 3.几点说明:(1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减．(4)复平面内的两点间距离公式:12d z z =—.其中12,z z 是复平面内的两点1Z 和2Z 所对应的复数,d 为点1Z 和点2Z 间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．【设计意图】加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力,使学生对所学的知识有一个整体的认识,解决问题时可以信手拈来.四、运用新知例1.计算：(1)(23i)(5i)-++-; (2)(1(1-+-; (3)(23i)(52i)--+; (4)(56i)(2i)(34i)-+---+;解:(1)(23i)(5i)(25)(31)i 32i -++-=-++-=+;(2)(1(1(11)0-++=-++=;(3)(23i)(52i)(25)(32)i 35i --+=-+--=--;(4)(56i)(2i)(34i)(523)(614)i 11i -+---+=--+---=-.【设计意图】直接运用复数的加、减法运算法则进行,就是将它们的实部、虚部分别相加、减,实数范围的运算律在复数范围内仍然成立. 变式训练:计算(12i)(23i)(34i)(45)i (19992000i)(20002001i)-+-++-+-+++-+-+. 解：（解法一）原式(12345619992000)(2345620002001)i =-+-+-++-+-+-+-+-+10001000i =-+.（解法二）(12i)(23i)1i -+-+=-+; (34i)(45i)1i -+-+=-+; …(19992000i)(20002001i)1i -+-+=-+. 将上列1000个式子累加,得1000(1i)10001000i -+=-+.【设计意图】复数的加减法,相当于多项式加减中的合并同类项的过程;如果根据给出复数求和的特征从局部入手,抓住了式子中相邻两项之差是一个常量这一特点,适当地进行组合,从而可简化运算.进一步巩固复数加减运算,并带有一定的规律性.例2.(1)设12,OZ OZ 分别与复数1253i,14i z z =+=+对应,计算12z z -,并在复平面内作出12OZ OZ -,yx x(2)设12,OZ OZ 分别与复数1213i,2i z z =+=+对应,计算12z z +,并在复平面内作出12OZ OZ +. 解：图1 图2(1)12=(5+3i)(14i)(51)(34)i 4i z z --+=-+-=-.（如图1所示）; (2)12(13i)(2i)(12)(31)i 34i z z =+++=+++=++.（如图2所示）.【设计意图】由复数的几何意义知,复数1z ,2z 所对应的的点分别为12,Z Z .12OZ OZ -就是表示向量21Z Z ,而12OZ OZ +可利用平行四边形法则作出.变式训练:已知复数213(5)i z a a =-++,221(21)i()z a a a a =-++-∈R 分别对应向量12,OZ OZ （O 为坐标原点）,若向量12Z Z 对应的复数为纯虚数,求a 的值. 答案：1a =-.例3.已知关于x 的方程：2(6i)9i 0()x x a a -+++=∈R 有实数根b .(1)求实数,a b 的值;(2)若复数z 满足i 20z a b z -+-=,求z 的最小值．解：(1)由题意,得2(6i)9i 0b b a -+++=,即2(69)()i 0b b a b -++-=.由复数相等的定义得26900b b a b ⎧-+=⎨-=⎩, 解得3a b ==.(2)设i(,)z x y x y =+∈R ,由i 20z a b z -+-=,得(3)(3)i 2x y z -++=,即222(3)(3)4()x y x y -++=+,整理得22(1)(1)8x y ++-=,即复数z 在复平面内所对应的点Z(,)x y 的轨迹是以C(1,1)-为圆心,半径长为. 又z 的几何意义是Z(,)x y 与原点O(0,0)的距离,如图,由平面几何知识知,min z CA CO =-=-=【设计意图】在问题(1)中由复数相等的概念,列方程组求出两个参数值,把复数问题实数化,既复习了概念,又锻炼了学生的计算能力和解决问题的能力; 在问题(2)中由z =把z 转化为复数z 所对应的点与原点的距离,解决此类问题的关键是利用复数的几何意义画出图形,在图形中寻求答案,把数转化成形,利用数形结合思想解决即可． 变式训练:复数z 的模为1,求1i z --的最大值和最小值.答案1-.【设计意图】通过变式训练,便于学生全面的认识利用复数差的模的几何意义解决问题,提高学生理解、运用知识的能力.五、课堂小结(一)知识:1.复数代数形式的加法、减法的运算法则;2.复数加法、减法的几何意义.3.几点说明:(1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减． (4)复平面内的两点间距离公式:12d z z =—.其中12,z z 是复平面内的两点1Z 和2Z 所对应的复数,d 为点1Z 和点2Z 间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．(二)思想方法:类比的思想、转化的思想、数形结合的思想．【设计意图】通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．深化对知识的理解,完善认识结构,领悟思想方法,强化情感体验,提高认识能力.引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成.六、布置作业必做题：1.计算：(1)(24i)(34i)++-; (2)(34i )(2i )(1--++--. 2.复数6+5i 与3+4i -对应的向量分别是OA 与OB ,其中O 是原点,求向量AB ,BA 对应的复数,并指出其对应的复数位于第几象限.3.复平面上三点,,A B C 分别对应复数1,2i,52i +,则由,,A B C 所构成的三角形△ABC 是 三角形.4.求复数2i +,3i -所对应的两点之间的距离．5.已知复数z 满足+28i z z =+,求复数z .6.已知平行四边形OABC 的三个顶点,,O A C 对应的复数分别为0,32i,24i +-+,试求:(1)AO 表示的复数; (2)CA 表示的复数; (3)B 点对应的复数.答案: 1.(1)5; (2)22i -+.2.9i --,位于第三象限; 9i +,位于第一象限.3.直角三角形.4.5.158i z =-+.6.(1)32i --; (2)52i -; (3)16i + 选做题：1.在复平面内,求满足方程z+i z i 4+-=的复数z 所对应的点的轨迹．2.复数12z ,z 满足12z z 1==,12z +z =求12z z -.答案：1.提示:方程可以变形为z (i)z i 4--+-=|,表示到两个定点(0,1)-和(0,1)距离之和等于4的点的轨迹,故满足方程的动点轨迹是椭圆．2.提示:法一:数形结合思想,构造边长为1的正方形,,则所求的另一条对.法二:(向量法)设12z ,z 所对应的向量分别是a ,b ,将12z +z =0a b =,则212(z z )2-=,所以12z z -=【设计意图】设计必做题是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯,是让学生会用复数代数形式的加法、减法的运算法则进行计算;设计选做题意在培养学生深刻理解复数差的模的几何意义,增加问题的多样性、趣味性,训练学生思维的发散性、深刻性.让学生理解知识之间的联系,培养学生用整体的观点看问题,起到巩固旧知的作用．七、教后反思1.本教案的亮点是:（）本节中由于复数的加法法则是规定的,从问题入手,引导学生思考,让学生理解这种规定的合理性．在复1数加法的运算律及几何意义的处理上,都是让学生自主探究,使学生在参与中学会学习,学会合作,突出体现以学生为主,教师为辅的新课程理念．(2)对于复数减法的处理,采用了类比的数学思想方法,让学生自主探究,自己总结,且法则可以用已学的知识推导,使学生体会其中的思想方法,培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力．(3)例题和练习的设计遵循由浅入深,循序渐进的原则,低起点,多落点,高终点,尽可能地照顾到各个层次的学生．2.本节课的弱项是:复数的几何意义的例题没能体现学生的动手能力.八、板书设计。

复数代数形式的加减运算及其几何意义【教学目标】知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用【教学重难点】重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系。

难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

【教学准备】多媒体、实物投影仪。

【教学设想】复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

复数z=a+bi（a、b∈R）与有序实数对（a，b）是一一对应关系何一个复数z=a+bi（a、b∈R），由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对（a，b）惟一确定。

【教学过程】一、复习回顾：1．复数的定义：2．复数的代数形式：3．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)+∈，当且仅当时，a bi ab R复数a+bi（a、b∈R）是实数a；当时，复数z=a+bi叫做虚数；当时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当时，z就是实数0.4．复数集与其它数集之间的关系：。

5．两个复数相等的定义：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。

如果两个复数都是实数，就可只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小6．复平面、实轴、虚轴：Array点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi（a、b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数。

故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这就是复数的一种几何意义。

第七章 复数7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义一、教学目标1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.3.通过对复数的加、减运算及其几何意义的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点复数代数形式的加、减运算及其几何意义．三、教学过程：1、创设情境：问题1：试判断下列复数i z i z 26,3121-=+=所对应的点在复平面中落在第几象限？画出其对应的向量，并计算生答：i z 311+=所对应的点为（1,3），i z 262-=所对应的点为（6,-2），12OZ OZ +=（7，-1）阅读课本，回顾向量间的加减运算，思考复数的加、减法与其是否相同？复数加法、减法的几何意义如何？小组合作探究，总结探究结果2、建构数学复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a 、b 、c 、d ∈R ），则①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1； 结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．复数加减法的几何意义如图所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，根据平行四边形法则，OZ →=OZ →1+OZ →2，则向量OZ →与复数z 1＋z 2对应；Z 2Z 1→=OZ →1-OZ →2，则向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．问题2：借助数轴，说出|x －x 0|的几何意义，同时进行类复平面中|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是什么？生答：|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．3、 数学应用例1.计算：(1)(3)(2)i i +-+；（2）5[(34)(13)]i i i -+--+；（3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.解：(1)()()32i i +-+=3+i-2-i=1；（2）5[(34)(13)]5(4)44i i i i i i -+--+=-+=-+；（3）()(23)3(2)[(3)3](43)a bi a bi i a a b b i a b i +---=-+---=-+- 变式训练1.计算：(a ＋2b i)－(3a －4b i)－5i(a ，b ∈R)．解：原式＝－2a ＋6b i －5i ＝－2a ＋(6b －5)i.例2.已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则求a 的取值范围.解:由题得12z z -=（2-a ）+(a-1)i ,因为复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，所以20,210a a a -<⎧∴>⎨->⎩.变式训练:已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，.求点B 所对应的复数0z ；解:由已知得(3,2),(2,4)OA OC ==-，∴(1,6)OB OA OC =+=，∴点B 对应的复数016z i =+．例3.(1)已知虚数z 满足||1z =.求|2|z +的取值范围；解:(1)设z a bi =+，（,a b ∈R 且0b ≠），因为||1z =，所以221a b +=，因此(,)a b 可看作以坐标原点为圆心的单位圆上的点；22|2|(2)+=++z a b 表示点(,)a b 与定点(2,0)-之间的距离；又点(2,0)-到坐标原点的距离为2， 所以2221(2)21-<++<+a b （1为单位圆半径），因此1|2|3z <+<；(2)已知复数z 满足等式1i 1z --=，则3z -的最大值为______ 解:|z ﹣1﹣i |＝1的几何意义为复平面内动点到定点（1，1）距离为1的点的轨迹， 如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.由图可知，|z ﹣3|22(31)(01)151-+-=．故答案为51．变式训练1:已知复数z 满足131z i -=，则z 的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】设z x yi =+，由题意得()(22131x y -+=，圆心到原点的距离为2，max 23z r =+=.故选：C.四、小结：1. 复数的加、减法运算2. 复数的加、减法运算的几何意义五、作业：习题7.2。

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 教学目标1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．问题导学知识点一 复数代数形式的加减法思考 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？【答案】两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.梳理 (1)运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.(2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．知识点二 复数加减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？【答案】如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，得OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，所以OZ 1→＋OZ 2→与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行． 思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？【答案】z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1→对应复数z 1－z 2.梳理 复数加法的几何意义 复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数复数减法的几何意义复数z 1－z 2是从向量OZ 2→的终点指向向量OZ 1→的终点的向量Z 2Z 1-→所对应的复数 类型一 复数的加法、减法运算例1 (1)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，复数z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________.(2)已知复数z 满足|z |i ＋z ＝1＋3i ，则z ＝________.【答案】(1)－1 (2)1＋43i 【解析】(1)z 1＋z 2＝(2＋i)＋(3＋a i)＝5＋(a ＋1)i ，由题意得a ＋1＝0，则a ＝－1.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，∴|z |i ＋z ＝x 2＋y 2i ＋x ＋y i ＝x ＋(x 2＋y 2＋y )i＝1＋3i ，∴⎩⎨⎧ x ＝1，x 2＋y 2＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝43，∴z ＝1＋43i. 反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般用待定系数法，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )． 跟踪训练1 (1)若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝________.(2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝________(a ，b ∈R )．(3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，则z ＝________.【答案】(1)6－2i (2)－a ＋(4b －3)i (3)－4＋3i【解析】(1)∵z ＋i －3＝3－i ，∴z ＝6－2i.(2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.(3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，|z |＝x 2＋y 2，∴|z |＋z ＝(x 2＋y 2＋x )＋y i ＝1＋3i ，∴⎩⎨⎧ x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，∴z ＝－4＋3i. 类型二 复数加、减法的几何意义例2 (1)如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应的复数为0，3＋2i ，－2＋4i.求：①AO →表示的复数；②CA →表示的复数；③OB →表示的复数．解 ∵A ，C 对应的复数分别为3＋2i ，－2＋4i ，由复数的几何意义，知OA →与OC →表示的复数分别为3＋2i ，－2＋4i.①因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i.②因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.(2)已知z 1，z 2∈C ，|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝3，求|z 1－z 2|.解 根据复数加减法的几何意义，由|z 1|＝|z 2|知，以OA →，OB →为邻边的平行四边形OACB 是菱形．如图，OA →对应的复数为z 1，OB →对应的复数为z 2，∴|OA →|＝|OB →|，OC →对应的复数为z 1＋z 2，∴|OC →|＝ 3.在△AOC 中，|OA →|＝|AC →|＝1，|OC →|＝3，∴∠AOC ＝30°.同理得∠BOC ＝30°，∴△OAB 为等边三角形，则|BA →|＝1，BA →对应的复数为z 1－z 2，∴|z 1－z 2|＝1.跟踪训练2 (1)已知复平面内的平面向量OA →，AB →表示的复数分别是－2＋i,3＋2i ，则|OB →|＝________.(2)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i ，复数z 2－z 1所对应的点在第四象限上，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(1)10 (2)(－∞，1)【解析】(1)∵OB →＝OA →＋AB →，∴OB →表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i ，∴|OB →|＝12＋32＝10.(2)z 2－z 1＝1＋(a －1)i ，由题意知a －1<0，即a <1.达标检测1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】∵z 1－z 2＝5－7i ，∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第四象限．2．已知复数z 1＝(a 2－2)－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－2或1 【答案】C【解析】由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋(a 2－3a ＋2)i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，得a ＝－2. 3．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i ，3＋2i,1＋5i ，则BC →表示的复数为( )A ．2＋8iB ．4－4iC ．6－6iD ．－4＋2i【答案】B【解析】BC →＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝4－4i.4．设f (z )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)等于( ) A.10B ．55 C. 2D ．52 【答案】D【解析】因为z 1－z 2＝5＋5i ，所以f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.5．设平行四边形ABCD 在复平面内，A 为原点，B ，D 两点对应的复数分别是3＋2i 和2－4i ，则点C 对应的复数是__________．【答案】5－2i【解析】设AC 与BD 的交点为E ，则E 点坐标为⎝⎛⎭⎫52，－1，设点C 坐标为(x ，y )，则x ＝5，y ＝－2，故点C 对应的复数为5－2i.。

§3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则(重点).2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题(重、难点).知识点 复数的加、减法法则及几何意义与运算律复数的和z 1＋z 2与向量 OZ 1→＋OZ 2→＝OZ →的坐标对应复数的差z 1－z 2与向量OZ 1→－OZ 2→＝Z 2Z 1→的坐标对应交换律 z ＋z ＝z ＋z 1.两个复数的和是个复数，它的值唯一确定.(√) 2.若复数z 1，z 2，满足z 1－z 2>0，则z 1>z 2.(×)提示 例如z 1＝3＋2i ，z 2＝2i ，满足z 1－z 2＝3＞0，但z 1与z 2不能比较大小.题型一 复数的加法与减法 互动探究探究1 复数加、减法的运算【例1－1】 (1)计算(2＋4i)＋(3－4i)； (2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i). 解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i ＝5.(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i ＝－2＋2i. 探究2 复数加、减运算的应用【例1－2】 设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围.解 ∵z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，∴z 1＋z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.∵z 1＋z 2是虚数，∴m 2－2m －15≠0，且m ＋2≠0.∴m ≠5，且m ≠－3，且m ≠－2，m ∈R ，即m 的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2，5)∪(5，＋∞).规律方法 (1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点. (2)复数的加、减运算结果仍是复数.(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算. (4)实数集中的加法交换律和结合律在复数集中仍适用.题型二 复数加、减法的几何意义【例2】 如图所示，在平行四边形OABC 中，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i.求：(1)AO→所表示的复数，BC →所表示的复数； (2)对角线CA→所表示的复数；(3)对角线OB→所表示的复数及OB →的长度.解 (1)因为O (0，0)，A (3，2)，所以AO →＝(－3，－2)，所以AO→所表示的复数为－3－2i. 因为BC→＝AO →，所以BC →所表示的复数为－3－2i. (2)因为CA→＝OA →－OC →，所以CA→所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线OB→＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，所以OB→所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 所以|OB→|＝12＋62＝37. 规律方法 复数z 与复平面内的向量OZ→是一一对应的关系，复数的加法可以按照向量的加法来进行，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则.类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算：减去一个复数等于加上这个复数的相反数.若用d 表示复平面内点Z 1和Z 2之间的距离，则d ＝|Z 1Z 2→|＝|z 1－z 2|，其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1，Z 2对应的复数.这就是复平面内两点间的距离公式. 【训练1】 满足条件|z ＋1－i|＝|4－3i|的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( ) A.一条直线B.两条直线C.一个圆D.一个椭圆解析 根据复数减法的几何意义，|z ＋1－i|表示复平面内复数z 对应的点Z 到点(－1，1)的距离，而|4－3i|表示复数4－3i 的模，等于5，故满足|z ＋1－i|＝5的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(－1，1)为圆心，5为半径的圆. 答案 C题型三 复数加、减法的综合应用【例3】 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|. 解 法一 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，① (a －c )2＋(b －d )2＝1，② 由①②得2ac ＋2bd ＝1，∴|z 1＋z 2|＝（a ＋c ）2＋（b ＋d ）2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3. 法二 设O 为坐标原点，z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C . ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴△OAB 是边长为1的正三角形， 又以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形， 且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长， ∴|z 1＋z 2|＝|OC→|＝|OA→|2＋|AC →|2＋2|OA →||AC →|cos 60°＝ 3. 规律方法 (1)设出复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x ，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用.(2)在复平面内，z 1，z 2对应的点为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB ：①为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形.【训练2】 已知|z 1|＝|z 2|＝1，z 1＋z 2＝12＋32i ，求复数z 1，z 2及|z 1－z 2|. 解 由于|z 1＋z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋32i ＝1，设z 1，z 2，z 1＋z 2对应的向量分别为OA→，OB →，OC→，则因|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，故A ，B ，C 三点均在以原点为圆心，1为半径的圆上，如图所示，由平行四边形法则和余弦定理易得cos ∠AOC ＝|OA →|2＋|OC →|2－|AC →|22|OA →||OC →|＝12，故∠AOC ＝60°，所以平行四边形OACB 为菱形，且△BOC ，△COA 都是等边三角形，即∠AOB ＝120°.又∵OC→与x 轴正半轴的夹角为60°，故点A 在x 轴上，即A (1，0). 而x B ＝|OB →|cos 120°＝－12，y B＝|OB →|sin 120°＝32，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.当A ，B 位置互换时也符合题意. ∴⎩⎨⎧z 1＝1，z 2＝－12＋32i ，或⎩⎨⎧z 1＝－12＋32i ，z 2＝1. |z 1－z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－32i ＝ 3.课堂达标1.若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( ) A.0 B.2i C.6D.6－2i解析 z ＝3－i －(i －3)＝6－2i.答案 D2.复数i ＋i 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 i ＋i 2＝－1＋i ，对应的点在第二象限. 答案 B3.在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i ，3＋2i ，1＋5i ，则BC →表示的复数为( ) A.2＋8i B.－6－6i C.4－4iD.－4＋2i解析 BC→＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝(3，2)－(1，5)－(－2，1)＝(4，－4)， ∴BC →表示的复数为4－4i.答案 C4.若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在( ) A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限D.第二象限解析 ∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1，0)和(－1，0)的距离相等，即点Z 在以(1，0)和(－1，0)为端点的线段的中垂线上. 答案 B5.已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.解析 z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 答案 －1课堂小结1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算.2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.。