1.1 复数及其代数运算
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1.1 复数及其代数运算页数:35
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复数与复变函数
非零复数ｚ的整数n次根式 为:
n
z
=n
iϕ +2kπ
ρe n
=n
ρ (cos ϕ + 2kπ
+ i sin ϕ + 2kπ )
n
n
(k = 0,1,2....n −1)
2. 无穷远点
复平面上一点与球面上的点 一一对应 ，复平面上∝ 点与 球面上N相对应，点的幅角无 意义。复平面+ ∝为闭平面。
（全平面扩充平面）。
ii) 复数“零”的幅角无定义，其模为零.
iii) 当ρ=1时, z = cosϕ + isinϕ = eiϕ称为单位复数.
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
z1 z2
=
ρ1 ρ 2 [cos(ϕ1
+ ϕ2 ) + i sin(ϕ1
+ ϕ2 )] =
ρ ρ ei(ϕ1 +ϕ2 ) 12
z1 z2
上却有很大的区别，这是因为实变函数Δx 只沿实轴逼近零
，而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此
复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.
z x
例： f (z) = z = x − iy 在复平面上处处不可导
∵ z + ∆z − z = ∆z
∆z
∆z
当 Δz→0 沿实轴
∆z = ∆x, ∆z = ∆x → 1 ∆x ∆x
立。
4. 复变函数
例 ： 初等单值函数
幂函数： w=zn n=1,2, - - - - -
多项式： a0+a1z1+a2z2+- - - - +anzn n 为整数
第一节 复数及其代数运算
若 z = x + iy ,
则 z = x − iy .
例2 计算共轭复数 = x + yi 与 z = x − yi 的积 z . 解
( x − yi )( x + yi ) = x − ( yi ) = x + y .
2 2 2 2
结论：两个共轭复数 z, z 的积是实数.
即 zz = x + y . ：
3) Im(i + z ) = 4 .
解：1) 表示与 −i 的距离等于 2 的所有复数 z 的集合 的集合. 为圆心， 为半径的圆. 此曲线是以 −i 为圆心，2 为半径的圆
y
o
2
⋅ −i
x
24
2) | z − 2i | = | z + 2 | ;
20
（3）三角表示法 ）
x = r cosθ , 利用直角坐标与极坐标的关系 y = r sinθ ,
复数可以表示成 z = r (cosθ + i sinθ ) （4）指数表示法 ） 利用欧拉公式 e iθ = cosθ + i sinθ , 复数可以表示成
z = re iθ
的指数表示式. 称为复数 z 的指数表示式
解
(5 − 5i )( −3 − 4i ) z1 5 − 5i = = z2 − 3 + 4i ( −3 + 4i )( −3 − 4i ) ( −15 − 20) + (15 − 20)i 7 1 = = − − i. 25 5 5
z1 7 1 = − + i. 5 5 z2
4
2 例1 实数 m 取何值时 , 复数 ( m − 3m − 4) +
第一章 复变函数和解析函数解析
f (z) u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,) 在z点可导 C-R条件
u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
16
据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
10
(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
11
2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式
u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
16
据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
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第一章 复变函数和解析函数
10
(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
11
2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
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第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式
复数概念与运算
4
2kπ 4
k 0,1, 2, 3
w0 2(1 i ), w1 2(1 i ),
w2 2(1 i ), w3 2(1 i ).
1
一般情况下, n z z n n个根就是以原点为中心、
1
半径为 r n 的圆的内接正多边 形的n个顶点所表示的复数.
y
w1
w0
o
w2
x
w3
1.4 复数在几何上的应用举例
z x iy z x iy z x iy z x iy
共轭复数的性质
1 z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2
z1 z2
.
2 z z z
3 z z Re(z)2 Im(z)2 .
4 z z 2 Re(z), z z 2i Im(z).
z1 z3 z2 z1 z2 z1
z1z3z2 3
z1
z2
z2
z12
z22
i
z3 z2 e 3
i
z1 z3 e 3
z32 z1z2
z1 z2
z2 z3
z2 z3
z3 z1
z1 z3 z2 z3
1.5 复球面与无穷远点 复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法
Argz2 .
两个复数相乘的几何意义
y •z
z1 z2
r
i sin(1 2 )].
复数的乘幂
zk rk (cosk i sink )
o
12
r1
•
r2
z2
x
k 1, 2, , n ,
z1z2 zn r1r2 rn[cos(1 2 n )
对虚数单位的规定：
2kπ 4
k 0,1, 2, 3
w0 2(1 i ), w1 2(1 i ),
w2 2(1 i ), w3 2(1 i ).
1
一般情况下, n z z n n个根就是以原点为中心、
1
半径为 r n 的圆的内接正多边 形的n个顶点所表示的复数.
y
w1
w0
o
w2
x
w3
1.4 复数在几何上的应用举例
z x iy z x iy z x iy z x iy
共轭复数的性质
1 z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2
z1 z2
.
2 z z z
3 z z Re(z)2 Im(z)2 .
4 z z 2 Re(z), z z 2i Im(z).
z1 z3 z2 z1 z2 z1
z1z3z2 3
z1
z2
z2
z12
z22
i
z3 z2 e 3
i
z1 z3 e 3
z32 z1z2
z1 z2
z2 z3
z2 z3
z3 z1
z1 z3 z2 z3
1.5 复球面与无穷远点 复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法
Argz2 .
两个复数相乘的几何意义
y •z
z1 z2
r
i sin(1 2 )].
复数的乘幂
zk rk (cosk i sink )
o
12
r1
•
r2
z2
x
k 1, 2, , n ,
z1z2 zn r1r2 rn[cos(1 2 n )
对虚数单位的规定：
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
数学物理方法-1.1 复数及点集,复变函数
z 1 | z 1|
提示3：
z zz
_
思考题：圆的方程用复数如何表示？
虚数符号i的由来
许凯是最先考察负数开平方运算的人，在1484年， 他在解方程4+x2=3x时得到的x值,如以现代的符号 表示他的成果，即
x
9 4 4
3 9 4 2 4
由于
是负数，所以他认为不可能解这方程。
例如：w=z2 w=Arg(z) w=arg(z)
注明：一个复变函数是由一对双元实函数所确定的
–
单值性和多值性 如果一个z对应于一个w，则称w=f(z)为单值函数； 如果一个z对应于多个w，则称w=f(z)为多值函数；
例如：w=z2 w=Arg(z) w=arg(z)
w z 是多值函数
复变函数的连续性
复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 1. 两复数的和: z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ).
2. 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 3. 两复数的商: z x 2 y 2 i x 2 y 2 . 2 2 2 2 2 复数的四则运算与实数的四则运算保持一致
幂和开方 [r exp(iφ)]n = rn exp(inφ) [r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n) 共轭复数 _ z = x + iy → z =_x – iy z = r exp(iφ) → z = r exp(-iφ)
复数的几何含义
点表示
复数和x-y平面上的 点一一对应
提示3：
z zz
_
思考题：圆的方程用复数如何表示？
虚数符号i的由来
许凯是最先考察负数开平方运算的人，在1484年， 他在解方程4+x2=3x时得到的x值,如以现代的符号 表示他的成果，即
x
9 4 4
3 9 4 2 4
由于
是负数，所以他认为不可能解这方程。
例如：w=z2 w=Arg(z) w=arg(z)
注明：一个复变函数是由一对双元实函数所确定的
–
单值性和多值性 如果一个z对应于一个w，则称w=f(z)为单值函数； 如果一个z对应于多个w，则称w=f(z)为多值函数；
例如：w=z2 w=Arg(z) w=arg(z)
w z 是多值函数
复变函数的连续性
复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 1. 两复数的和: z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ).
2. 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 3. 两复数的商: z x 2 y 2 i x 2 y 2 . 2 2 2 2 2 复数的四则运算与实数的四则运算保持一致
幂和开方 [r exp(iφ)]n = rn exp(inφ) [r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n) 共轭复数 _ z = x + iy → z =_x – iy z = r exp(iφ) → z = r exp(-iφ)
复数的几何含义
点表示
复数和x-y平面上的 点一一对应
复变函数(全)解析
1
2
1
2
1
2
乘法
z z (x x y y ) i(x y x y ),
12
12
12
21
12
商
z 1
xx 12
yy 12
i
xy 21
xy 12
z
x2 y2
x2 y2
2
2
2
2
2
第一节 复数及其代数运算
(2)性质
z z z z , zz zz;
1
2
2
1
12
21
z (z z ) (z z ) z ,z (z z ) (z z )z
1
2
3
1
2
3 1 23
12 3
z (z z ) z z z z
12
3
12
13
第二节 复数的几何表示
1.复平面 （ 1 ） 定 义 复 数 z x iy 与 有 序 实 数
(x, y) 一一对应，对于平面上给定的直角 坐标系，复数的全体与该平面上的点的全
体成一一对应关系，从而复数 z x iy 可
对复平面内任一点z ,用一条直线将N 与z 连结起来,该直线与球面交于异于N 的 唯一点P ,这样除了N 之外,复平面内点与 球面上的点存在一一对应的关系.这样的 球面称为复球面.
第三节 复数的乘幂与方根
1. 乘积与商
设有两个复数
（1）乘积
z1
r1 (cos 1
sin1 )
r e i1 1
,
z2
r2 (cos2
z2 r2
第二节 复数的几何表示
2.幂与根 (1) 幂 n个相同复数z 的乘积称为z 的n次幂,记作zn ,即
《复变函数》第1章
实部：x = Re(z) 虚部：y = Im(z)
纯虚数：z = iy ( y ≠ 0 )
2020/7/21
《复变函数》(第四版)
第2页
共轭复数： x iy x iy
z=0 x=y=0
z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , z1 = z2 x1 = x2 , y1 = y2
连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点, 又在平面上引入一个假想点∞与球面北极对应, 构成扩充复平面 与球面点的一一对应, 即复数与球面上的点的一一对应, 球面称 为复球面.
2020/7/21
《复变函数》(第四版)
第16页
规定: | ∞| = +∞
α≠∞, α + ∞ = ∞ + α = ∞
解: 1) 几何上看 | z + i | = | z －(－i ) | = 2 : 与点－i
的距离为2的点轨迹, 即中心为(－i ),半径为2的圆.
代数推导: 设 z = x + iy
则 | x + (y + 1)i | = 2
(见书P10 图1.5)
x2 + (y + 1)2 = 4
解: 2) | z － 2i | = | z +2 | —— 到点 2i 和－2 距离
复变函数
（第四版）
电子教案
中山大学公共卫生学院 刘素芳 邓卓燊 编写
第一章 复数与复变函数
复变函数——自变量为复数的函数. 复变函数研究的中心对象: 解析函数． 复变函数论又称为解析函数论．
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念
i — 虚数单位
i 2 =－1
1.1复数的表示及其运算
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
(k 0, 1, 2, )
当 k 0,1,2, ,n 1时,得到 n 个相异的根 :
w0
r
1 n
cos
n
i
sin
n
,
w1
r
1 n
cos
2π n
i
sin
2π n
,
对于 x, y R, 称 z x yi或 z x iy 为复数.
实部（Real）
记做：Re(z)=x
虚部(Imaginary) 记做：Im(z)=y
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数;
当 y 0时, z x 0i x为实数.
3. 两复数相等: 当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
n(cosn i sin n ) r(cos i sin )
于是 n r, cosn cos , sin n sin ,
显然 n 2kπ, (k 0, 1, 2, )
故
1
rn,
2kπ ,
n
w
n
z
r
1 n
z1 z2 z1 z2 z1 z2
等号成立的充要条件是 z1, z2位于同一直线上．
y
几何意义如图：
z2 z1 z2
z1 z2
z1
o
x
5、 复数的三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x r cos
y
复变函数论
arg
z
arctg
3 1
3
2 3
，
Argz arg z 2k 2 2k ,
3
(k 0,1,2,3)
z
2(cos(
2
)
sin(
2
))
i(
2e
2 3
)
3
3
二、复数的运算：
1．相等： x1 iy1 x2 iy2 x1 x2, y1 y2 2.四则运算：运算规律
复数形式的方程表示时更简明。
2
2i
实数形式复数形式
z xiy
例 6: 连接 z1及 z2两点的线段的参数方程为：
z z1 t(z2 z1) (o t 1)
过 z1及z2两点直线的参数方程为：
z z1 t(z2 z1) ( t )
例 7: 求下列方程所表示的曲线
2
2
当 x 0, y 0 时，
x 0, y 0, arg z 0
x
0,
y
0, arg
z
当 x 0 时，
一象限 二象限
arg z( (0, )) arctan y ( (0, ))
2
x
2
arg
z (
(
,
))
arctan
y
(
(
,0))
(x 2)2 y2 9 .
2）几何上，该方程表示到复平面上点 2 和点 4
距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接
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1 2 1 2
其中，“ ”可以是 , , , ; (3) z z [Re z ]2 [Im z ]2 x 2 y 2 ;
21
§1.1 复数 第 一 章 复 数
三、小结与思考
本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点.
22
§1.1 复数 第 二、复数的代数运算 一 1. 复数的四则运算 章 复 数 (3) 运算法则 交换律 z1 z2 z2 z1 ;
z1 z2 z2 z1 .
结合律 ( z1 z 2 ) z 3 z1 ( z 2 z 3 ) ;
( z1 z 2 ) z 3 z1 ( z 2 z 3 ) .
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 ) ;
如果存在复数 z，使得 z1 z2 z , 则 z
z1 . z2
复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域 ( 对加、 减、乘、除运算封闭），记为C，复数域可以看成实数域的 扩张。 18
为了解方程的需要 , 引入一个新数 i , 称为虚数单位.
对虚数单位的规定:
(1) i 2 1;
( 2) i 可以与实数在一起按同 样的法则进行 四则运算.
14
§1.1 复数 第 一、复数的概念 一 1. 虚数单位: 章 虚数单位的特性: 复 1 2 i i ; i 1; 数
i 3 i i 2 i;
复 分析基础
黄丽丽
huang-lili@ 广西科技大学理学院
1
一、教学及考核方式
选用教材：《复分析基础》 廖良文 编 科学出版社 2014
参考书目：《复变函数论》 (第三版) 钟玉泉 编 高等教育出版社 2011
课堂教学： 56 学时
作业：
每周一交作业 (信纸)
考试方式： 闭卷 考试成绩： 平时成绩占 30%，考试成绩占 70% 2
分配律 z1 ( z 2 z 3 ) z1 z 2 z1 z 3 .
19
§1.1 复数 第 二、复数的代数运算 一 2. 共轭复数 章 定义 设 z x i y 是一个复数， 复 数 称 z x i y 为 z 的共轭复数， 记作 z 。 注 共轭复数有许多用途。
y Im z .
(3) 当 x 0 时，z 0 i y i y 称为纯虚数； 当 y 0 时，z x i 0 x 就是实数。 因此，实数可以看作是复数的特殊情形。 16
§1.1 复数 第 一、复数的概念 一 2. 复数 章 相等 设 z1 x1 i y1 与 z2 x2 i y2 是两个复数， 复 数 如果 x1 x2 , y1 y2 , 则称 z1 与 z2 相等。 特别地，z x i y 0 当且仅当 x y 0 . 注 复数与实数不同，两个复数(虚部不为零)不能比较大小， 它们之间只有相等与不相等的关系。
17
§1.1 复数 第 二、复数的代数运算 一 1. 复数的四则运算 —相当于代数中的多项运算 章 设 z1 x1 iy1 , z2 x2 i y2 复 数 (1) 复数的加减法：z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ); (2) 复数的乘除法 乘法 除法
计算
i2
.
2 i 6i 3i 2 1 i . 2 2 ( 2 ) i
26
第 一 章 复 数
例4
z1 z1 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2
解
(5 5i )( 3 4i ) z1 5 5i z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i )
i 5 i 4 i 1 i;
i i i 1;
4 2 2
i 6 i 4 i 2 1;
i 7 i 4 i 3 i;
……
i 8 i 4 i 4 1;
一般地，如果n是正整数, 则
i 4 n 1,
i 4 n 1 i ,
i 4 n 2 1,
2
则当 b 2 4ac 0 时无解，当 b 2 4ac 0 时有解
b b 2 4ac x 2a
二千多年没有进展。
7
背景介绍
2. 在十六世纪中叶， G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程
x 10 x 40
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个
证明 z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ). z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) 2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ).
3 1 ( 1 2i )(1 i ) i. 2 2 2
25
7
7
第 一 章 复 数
例3
i 1 i i 1 i2 ( i 2)( i 1) 解 i ( 1 i )( i 1 ) i 1 i i 1 (1 3i )( 2 i ) i 2 i 2i 2 1 3 i 2 2 i ( 2 i )( 2 i ) i 1 i
( x1 i y1 ) ( x2 i y2 ) z1 z2 z1 比如 z ( x 2 i y2 ) ( x 2 i y2 ) z2 z2 z2
x1 x2 y1 y2 x2 y2
2 2
i
x2 y1 x1 y2 x2 2 y2 2
20
§1.1 复数 第 二、复数的代数运算 一 2. 共轭复数 章 性质 (1) z z ; 复 数 (2) z z z z ,
二、教学内容
《复分析》，又称《复变函数论》，是在《数学分析》的基
础上，应用分析与积分方法研究复变量复值可微函数的一门分
析数学，它是学习与研究《泛函分析》、《微分方程》等课程 的重要基础。
复分析的内容包括：复数理论、解析函数、积分理论、级 数理论及共形映射理论。
3
复变函数
4
我们以复数为自变量 的函数—复变函数，研究 其在复数域上的微积分， 并以解析函数为中心内容。
根形式地表为 5 15与5 15 。在当时，包括他自己在内， 谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被Cardano引 入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意
义的，不能接受的“虚数”。
8
背景介绍 3. 直到十七与十八世纪，
随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L. Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家 所熟知的Euler公式 e cos i sin 揭示了复指数函数
第 一 章 复 数
第一章 复数
§1.1 复数及其代数运算 §1.2 复数的几何表示 §1.3 复平面的拓扑
12
§1.1 复数 第 一 章 复 数
§1.1 复数及其代数运算
一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考
13
§1.1 复数 第 一 章 复 数
一、复数的概念
1. 虚数单位:
实例 : 方程 x 2 1在实数集中无解 .
10
背景介绍
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy (1789-1866)和 K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和
级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函
数的映射性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们 的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了 数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方 方面也得到了很多的应用。 二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、 弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日 益密切。 11
由m 2 5m 6 0知m 6或m 1.
( 2) 如果复数是纯虚数 , 则x 0且y 0,
由m 2 3m 4 0知m 4或m 1.
但由y 0知m 1应舍去. 即只有m 4.
24
第 一 章 复 数
例2 将下列复数表示为x iy 的形式.
§1.1 复数 第 一 章 复 数
思考题
复数能否比较大小，为什么？
观察复数 i 和 0, 由复数的定义可知 i 0,
(1) 若 i 0, 则 i i 0 i , 即 1 0, 矛盾; ( 2) 若 i 0, 则 i i 0 i , 同样有 1 0, 矛盾.
解
i 1 i 1 i (1) ( 2) . ; 1 i i 1 i (1 i )2 (1 i )2 1 i i , (1) 2 1 i (1 i )(1 i ) 1 i 7 i. ( i ) 1 i 2 2 i ( 1 i ) i 1 i 1 2i ( 2) (1 i )i 1 i i 1 i
由此可见, 在复数中无法定义大小关系.
23
第 一 章 复 数
例1
2 ( m 3m 4) 实数m取何值时, 复数
(m 2 5m 6)i 是(1)实数; ( 2)纯虚数.
解
令 x m 2 3m 4,
y m 2 5m 6,(1) 如果复数是实数 , 则y 0,
i
与三角函数之间的关系。
9
其中，“ ”可以是 , , , ; (3) z z [Re z ]2 [Im z ]2 x 2 y 2 ;
21
§1.1 复数 第 一 章 复 数
三、小结与思考
本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点.
22
§1.1 复数 第 二、复数的代数运算 一 1. 复数的四则运算 章 复 数 (3) 运算法则 交换律 z1 z2 z2 z1 ;
z1 z2 z2 z1 .
结合律 ( z1 z 2 ) z 3 z1 ( z 2 z 3 ) ;
( z1 z 2 ) z 3 z1 ( z 2 z 3 ) .
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 ) ;
如果存在复数 z，使得 z1 z2 z , 则 z
z1 . z2
复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域 ( 对加、 减、乘、除运算封闭），记为C，复数域可以看成实数域的 扩张。 18
为了解方程的需要 , 引入一个新数 i , 称为虚数单位.
对虚数单位的规定:
(1) i 2 1;
( 2) i 可以与实数在一起按同 样的法则进行 四则运算.
14
§1.1 复数 第 一、复数的概念 一 1. 虚数单位: 章 虚数单位的特性: 复 1 2 i i ; i 1; 数
i 3 i i 2 i;
复 分析基础
黄丽丽
huang-lili@ 广西科技大学理学院
1
一、教学及考核方式
选用教材：《复分析基础》 廖良文 编 科学出版社 2014
参考书目：《复变函数论》 (第三版) 钟玉泉 编 高等教育出版社 2011
课堂教学： 56 学时
作业：
每周一交作业 (信纸)
考试方式： 闭卷 考试成绩： 平时成绩占 30%，考试成绩占 70% 2
分配律 z1 ( z 2 z 3 ) z1 z 2 z1 z 3 .
19
§1.1 复数 第 二、复数的代数运算 一 2. 共轭复数 章 定义 设 z x i y 是一个复数， 复 数 称 z x i y 为 z 的共轭复数， 记作 z 。 注 共轭复数有许多用途。
y Im z .
(3) 当 x 0 时，z 0 i y i y 称为纯虚数； 当 y 0 时，z x i 0 x 就是实数。 因此，实数可以看作是复数的特殊情形。 16
§1.1 复数 第 一、复数的概念 一 2. 复数 章 相等 设 z1 x1 i y1 与 z2 x2 i y2 是两个复数， 复 数 如果 x1 x2 , y1 y2 , 则称 z1 与 z2 相等。 特别地，z x i y 0 当且仅当 x y 0 . 注 复数与实数不同，两个复数(虚部不为零)不能比较大小， 它们之间只有相等与不相等的关系。
17
§1.1 复数 第 二、复数的代数运算 一 1. 复数的四则运算 —相当于代数中的多项运算 章 设 z1 x1 iy1 , z2 x2 i y2 复 数 (1) 复数的加减法：z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ); (2) 复数的乘除法 乘法 除法
计算
i2
.
2 i 6i 3i 2 1 i . 2 2 ( 2 ) i
26
第 一 章 复 数
例4
z1 z1 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2
解
(5 5i )( 3 4i ) z1 5 5i z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i )
i 5 i 4 i 1 i;
i i i 1;
4 2 2
i 6 i 4 i 2 1;
i 7 i 4 i 3 i;
……
i 8 i 4 i 4 1;
一般地，如果n是正整数, 则
i 4 n 1,
i 4 n 1 i ,
i 4 n 2 1,
2
则当 b 2 4ac 0 时无解，当 b 2 4ac 0 时有解
b b 2 4ac x 2a
二千多年没有进展。
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背景介绍
2. 在十六世纪中叶， G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程
x 10 x 40
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个
证明 z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ). z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) 2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ).
3 1 ( 1 2i )(1 i ) i. 2 2 2
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第 一 章 复 数
例3
i 1 i i 1 i2 ( i 2)( i 1) 解 i ( 1 i )( i 1 ) i 1 i i 1 (1 3i )( 2 i ) i 2 i 2i 2 1 3 i 2 2 i ( 2 i )( 2 i ) i 1 i
( x1 i y1 ) ( x2 i y2 ) z1 z2 z1 比如 z ( x 2 i y2 ) ( x 2 i y2 ) z2 z2 z2
x1 x2 y1 y2 x2 y2
2 2
i
x2 y1 x1 y2 x2 2 y2 2
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§1.1 复数 第 二、复数的代数运算 一 2. 共轭复数 章 性质 (1) z z ; 复 数 (2) z z z z ,
二、教学内容
《复分析》，又称《复变函数论》，是在《数学分析》的基
础上，应用分析与积分方法研究复变量复值可微函数的一门分
析数学，它是学习与研究《泛函分析》、《微分方程》等课程 的重要基础。
复分析的内容包括：复数理论、解析函数、积分理论、级 数理论及共形映射理论。
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复变函数
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我们以复数为自变量 的函数—复变函数，研究 其在复数域上的微积分， 并以解析函数为中心内容。
根形式地表为 5 15与5 15 。在当时，包括他自己在内， 谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被Cardano引 入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意
义的，不能接受的“虚数”。
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背景介绍 3. 直到十七与十八世纪，
随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L. Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家 所熟知的Euler公式 e cos i sin 揭示了复指数函数
第 一 章 复 数
第一章 复数
§1.1 复数及其代数运算 §1.2 复数的几何表示 §1.3 复平面的拓扑
12
§1.1 复数 第 一 章 复 数
§1.1 复数及其代数运算
一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考
13
§1.1 复数 第 一 章 复 数
一、复数的概念
1. 虚数单位:
实例 : 方程 x 2 1在实数集中无解 .
10
背景介绍
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy (1789-1866)和 K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和
级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函
数的映射性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们 的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了 数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方 方面也得到了很多的应用。 二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、 弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日 益密切。 11
由m 2 5m 6 0知m 6或m 1.
( 2) 如果复数是纯虚数 , 则x 0且y 0,
由m 2 3m 4 0知m 4或m 1.
但由y 0知m 1应舍去. 即只有m 4.
24
第 一 章 复 数
例2 将下列复数表示为x iy 的形式.
§1.1 复数 第 一 章 复 数
思考题
复数能否比较大小，为什么？
观察复数 i 和 0, 由复数的定义可知 i 0,
(1) 若 i 0, 则 i i 0 i , 即 1 0, 矛盾; ( 2) 若 i 0, 则 i i 0 i , 同样有 1 0, 矛盾.
解
i 1 i 1 i (1) ( 2) . ; 1 i i 1 i (1 i )2 (1 i )2 1 i i , (1) 2 1 i (1 i )(1 i ) 1 i 7 i. ( i ) 1 i 2 2 i ( 1 i ) i 1 i 1 2i ( 2) (1 i )i 1 i i 1 i
由此可见, 在复数中无法定义大小关系.
23
第 一 章 复 数
例1
2 ( m 3m 4) 实数m取何值时, 复数
(m 2 5m 6)i 是(1)实数; ( 2)纯虚数.
解
令 x m 2 3m 4,
y m 2 5m 6,(1) 如果复数是实数 , 则y 0,
i
与三角函数之间的关系。
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