高考数学一轮复习 第2章 第6节《幂函数与二次函数》名师首选练习题 新人教A版

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第二章第6节二次函数与幂函数[基础训练组]1．(2018·蚌埠市二模）函数y＝错误!的图象大致是（）解析：A ［由题意,函数在(－1,1）上单调递减，在（－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减,故选A。

]A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜bA．0 B．1C．2 D．3解析：C ［∵y＝xm2－4m (m∈Z）的图象与坐标轴没有交点,∴m2－4m〈0,即0<m〈4，又∵函数的图象关于y轴对称,且m∈Z，∴m2－4m为偶数，因此m＝2.］4．(理科)若定义在R上的二次函数f(x)＝ax2－4ax＋b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f（0），则实数m的取值范围是( ）A．0≤m≤4 B．0≤m≤2C．m≤0 D．m≤0或m≥4解析：A [∵f(x)＝a(x－2）2＋b－a，对称轴为x＝2，∴由已知得a〈0,结合二次函数图象知，要使f(m)≥f(0），需满足0≤m≤4.］4．（文科)已知函数f(x)＝ax2＋（a－3）x＋1在区间［－1,＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．[－3,0）B．(－∞,－3]C．［－2,0］D．[－3,0］解析:D [当a＝0时,f(x)＝－3x＋1，满足题意；当a〉0时，函数f（x)在对称轴右侧单调递增，不满足题意;当a<0时，函数f(x)的图象的对称轴为x＝－a－32a，∵函数f（x）在区间[－1，＋∞)上单调递减，∴－错误!≤－1,得－3≤a〈0。

高考数学一轮强化训练 2.8幂函数与二次函数 文 新人教A版强化训练1.在函数222123y y x y x x y x x=,=,=+,=中,幂函数的个数为( ) A.0B.1C.2D.3答案:B 解析:显然,根据幂函数可知,只有21y x=是幂函数. 2.函数y =|x |1(nn ∈N ,n >2)的图象只可能是( )答案:C解析:显然,y =|x |1(n n ∈N ,n >2)是偶函数,故可排除A 和B.又n ∈N ,n >2,所以应选C.3.若2()1f x x ax =-+有负值,则实数a 的取值范围是( )A.2a ≤-B.-2<a <2C.a >2或a <-2D.1<a <3 答案:C解析:因为2()1f x x ax =-+有负值,∴240a ∆=->.∴a >2或a <-2.4.设α∈{11132-,,,},则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为 . 答案:1,3解析:当1α=-及12α=时y x α,=的定义域都不是R ,当1α=及3α=时y x α,=的定义域都是R ,并且都是奇函数.5.函数2()44f x x x =--在闭区间[]1t t ,+(t ∈R )上的最小值记为g (t ). (1)试写出g (t )的函数关系式;(2)作出g (t )的大致图象,并写出g (t )的最小值.解:22(1)()44(2)8f x x x x =--=--.当t >2时,f (x )在[]1t t ,+上是增函数.∴2()()44g t f t t t ==--;当21t t ≤≤+,即12t ≤≤时,g (t )=f (2)=-8;当t +1<2,即t <1时,f (x )在区间[]1t t ,+上是减函数.∴g (t )=f 2(1)27t t t +=--.综上可知:g (t )=22271812442t t t t t t t ⎧--,<,⎪-,≤≤,⎨⎪--,>.⎩(2)g (t )的大致图象如图所示,由图象易知g (t )的最小值为-8.见课后作业A题组一 幂函数的图象与性质1.在下列函数中,定义域和值域不同的函数是( ) A.13y x = B.12y x -= C.53y x = D.23y x =答案:D解析:因为23y x =的定义域为R ,值域为[0),+∞.2.设a =0.1270b ,=.128c ,=lo g 30.7,则( )A.c <b <aB.c <a <bC.a <b <cD.b <a <c答案:B解析:∵幂函数12y x =在(0),+∞上是增函数,∴0<a <b ,∵lo g 30.7<0,∴c <a <b .3.若函数f(x)=121220 (3)0 x xxxx-⎧,>,⎪⎪-,=,⎨⎪⎪+,<⎩则f(f(f(0)))= .答案:1解析:f(f(f(0)))=f(f(-2))=f(12(23))-+12(1)11f-===.4.若1122(1)(32)a a--+<-,则a的取值范围是 .答案:32()32,解析:令12()f x x-=,则f(x)在(0),+∞上是减函数,故得10320132aaa a+>,⎧⎪->,⎨⎪+>-,⎩解得3232a<<.5.如图所示,曲线是幂函数y xα=在第一象限内的图象,已知α分别取11122-,,,四个值,则相应图象依次为 .答案:4c、c2、c3、c1解析:根据幂函数的图象特征知,当α分别取11122-,,,时,相应图象依次为4c、c2、c3、c1. 题组二二次函数的图象与性质6.已知函数2()f x x bx c=++且f(1+x)=f(-x),则下列不等式中成立的是( )A.f(-2)<f(0)<f(2)B.f(0)<f(-2)<f(2)C.f(0)<f(2)<f(-2)D.f(2)<f(0)<f(-2)答案:C解析:∵f(1+x)=f(-x),∴22(1)(1)x b x c x bx c++++=-+.∴22(2)1x b x b c x bx c +++++=-+.∴2+b =-b ,即b =-1.∴2()f x x x c =-+,其图象的对称轴为12x =. ∴f (0)<f (2)<f (-2).7.函数2()45f x x mx =-+在区间[-2,+)∞上是增函数,则f (1)的取值范围是( )A.(1)25f ≥B.f (1)=25C.(1)25f ≤D.f (1)>25 答案:A解析:由题知28m ≤-,∴16m ≤-. ∴f (1)925m =-≥.8.方程|22x x -|21[(0a a =+∈,+∞)]的解的个数是( )A.1B.2C.3D.4 答案:B 解析:∵(0)a ∈,+∞,∴211a +>.∴y =|22x x -|的图象与21y a =+的图象总有两个交点.∴方程有两解.故选B.9.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ,满足不等式f (x )>-2x 的解集为(1,3),且方程f (x )+6a =0有两个相等的实根,求f (x )的解析式.解:设2()(0)f x ax bx c a =++≠.∵f (x )>-2x ,∴22ax bx c x ++>-,即2(2)ax b x +++c >0.∵解集为(1,3), 021313a b a c a ⎧<⎪⎪++=-⎨⎪⎪⨯=⎩⇒ 0423a a b a c <,⎧⎪=--,⎨⎪=.⎩①②由于f (x )=-6a 有两个相等的实根,故26ax bx c a +++=0中0∆=.∴24(6)b a c a -+=0. ③联立①②③,故631555a b c =-,=-,=-,∴2631()555f x x x =---. 题组三 幂函数与二次函数的综合应用10.方程2210mx mx ++=有一根大于1,另一根小于1,则实数m 的取值范围是 . 答案:103m -<<解析:令2()21f x mx mx =++,当m >0时,f (1)=3m +1<0, 即13m <-,舍去.当m <0时,3m +1>0,即13m >-. ∴103m -<<.11.不等式2(2)2(2)a x a -+-x -4<0对一切x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是 . 答案:(-2,2]解析:当a -2=0,即a =2时,-4<0恒成立;当20a -≠时,2204(2)16(2)0a a a -<,⎧⎨∆=-+-<,⎩解之得-2<a <2.∴a 的取值范围是22a -<≤.12.设2()f x ax bx c =++,若6a +2b +c 0(1)f =,⋅f (3)>0,(1)若a =1,求f (2)的值;(2)求证:方程f (x )=0必有两个不等实根1x 、2x ,且1235x x <+<.解:(1)∵6a +2b +c =0,a =1,∴f (2)=4a +2b +c =-2a =-2.(2)证明:首先说明0a ≠,∵(1)(3)(f f a b ⋅=++c )(9a +3b +c )=-(5a +b )(3a +b )>0,若a =0,则2(1)(3)0f f b ⋅=-<与已知矛盾,∴0a ≠.其次说明二次方程f (x )=0必有两个不等实根1x 、2x ,∵f (2)=4a +2b +c =-2a ,∴若a >0,二次函数2()f x ax bx c =++开口向上,而此时f (2)<0. ∴若a <0,二次函数2()f x ax bx c =++开口向下,而此时f (2)>0.故二次函数图象必与x 轴有两个不同交点.∴二次方程f (x )=0必有两个不等实根1x 、2x .(或利用22222244(62)824(4)80b ac b a a b b ab a b a a ∆=-=++=++=++>来说明)∵0a ≠,∴将不等式-(5a +b )(3a +b )>0两边同除以2a -得(3)(5)0b b a a ++<, ∴53b a -<<-.∴1235b x x a <+=-<.。

§2.4 幂函数与二次函数1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )． 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象和性质知识拓展1．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数； 当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数．2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( × )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( × )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ )(4)函数y ＝212x 是幂函数．( × )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( × ) 题组二 教材改编2．[P79T1]已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 C解析 由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k ·⎝⎛⎭⎫12α. ∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.3．[P44A 组T9]已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3 D ．a ≤－3答案 D解析 函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D. 题组三 易错自纠4．幂函数f (x )＝x 21023a a －＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2， f (x )＝x2(5)2a －－(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.5．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )答案 D解析 由a ＋b ＋c ＝0和a >b >c 知，a >0，c <0， 由c <0，排除A ，B ，又a >0，排除C.6．已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是______． 答案 －1解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上单调递减，∴y min ＝2－6＋3＝－1.题型一 幂函数的图象和性质1．已知点⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数答案 A解析 设f (x )＝x α，由已知得⎝⎛⎭⎫33α＝3，解得α＝－1，因此f (x )＝x －1，易知该函数为奇函数． 2．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．d ＞c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞d ＞c答案 B解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a ＞b ＞c ＞d ，故选B. 3．若a <0，则0.5a ，5a ，5－a的大小关系是( )A ．5－a <5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a <5－a <5aD ．5a <5－a <0.5a答案 B解析 5－a ＝⎝⎛⎭⎫15a ，因为a <0时，函数y ＝x a在(0，＋∞)上单调递减，且15<0.5<5， 所以5a <0.5a <5－a .思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．题型二 求二次函数的解析式典例 (1)已知二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为__________________． 答案 f (x )＝12x 2－2x ＋1解析 依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图象过点(0,1)，∴4a －1＝1， ∴a ＝12，∴f (x )＝12(x －2)2－1＝12x 2－2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .思维升华 求二次函数解析式的方法跟踪训练 (1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.答案 (1)x 2＋2x ＋1 (2)－2x 2＋4解析 (1)设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a ， 由已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1，∴a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴－a ＝－⎝⎛⎭⎫－2ab ，即b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2， 又f (x )的值域为(－∞，4]，∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4.题型三 二次函数的图象和性质命题点1 二次函数的图象典例 两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b 2a ，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－b 2a 与－a2b 同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧．只有D 满足． 命题点2 二次函数的单调性典例 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知f (x )必为二次函数且a <0， 又3－a2a＝－1，∴a ＝－3. 命题点3 二次函数的最值典例 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a ＞0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a ＜0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解 f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a ＜12即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5，(2)当－a ≥12即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ，综上，f (x )max＝⎩⎨⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.命题点4 二次函数中的恒成立问题典例 (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 (－∞，－1)解析 f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0， 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，∴a <12.综上，实数a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－∞，12. 思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．跟踪训练 (1)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0，从而由abc ＞0，所以ab ＜0，所以对称轴x ＝－b2a＞0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B 知f (0)＝c ＞0，所以ab ＞0，所以x ＝－b2a＜0，B 错误．(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －1或3解析 由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)， 所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4， 当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1， 即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 由题意得a ＞2x －2x 2对1＜x ＜4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14＜1x ＜1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a ＞12.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用典例 (12分)设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．思想方法指导 研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论． 规范解答解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.[2分] 当t ＋1＜1，即t ＜0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数， 所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；[5分]当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；[8分]当t ＞1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.[11分] 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.[12分]1．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( ) A ．先减后增 B ．先增后减 C ．单调递减 D ．单调递增答案 D2．(2017·江西九江七校联考)若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x －＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2 答案 B解析 由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8＞0， 解得m ＝1.3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－120，0 答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0，得a >120.4．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案 C解析 由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4.5．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关 答案 C解析 该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x ＝14， 又依题意，得x 1<0，x 2>0，又x 1＋x 2＝0，∴当x 1，x 2在对称轴的两侧时，14－x 1>x 2－14，故f (x 1)<f (x 2)． 当x 1，x 2都在对称轴的左侧时，由单调性知f (x 1)<f (x 2)．综上，f (x 1)<f (x 2)．6．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6) 答案 A解析 不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解等价于a ＜(x 2－4x －2)max ，令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，所以f (x )＜f (4)＝－2，所以a ＜－2.7．已知P ＝ ，Q ＝⎝⎛⎭⎫253，R ＝⎝⎛⎭⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________． 答案 P ＞R ＞Q解析 P ＝ ＝⎝⎛⎭⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22＞12＞25， 得⎝⎛⎭⎫223＞⎝⎛⎭⎫123＞⎝⎛⎭⎫253， 即P ＞R ＞Q .8．已知幂函数f (x )＝12x -，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________．322-322-答案 (3,5)解析 ∵幂函数f (x )＝12x-单调递减，定义域为(0，＋∞)，∴由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得3<a <5.9．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是__________． 答案 (－4,4)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，Δ＝36－4(5－a )(a ＋5)<0， 解得－4<a <4.10．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (0,1]解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g (x )＝a x ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0， 故0<a ≤1.11．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________． 答案 －1或2解析 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ＝2，即a ＝2；当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1＝2，此时无解；当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ＝2，∴a ＝－1.综上，a ＝－1或a ＝2.12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.13．已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24， f (x )min ＝－b 24，令t ＝x 2＋bx ≥－b 24， 则f (f (x ))＝f (t )＝t 2＋bt ＝⎝⎛⎭⎫t ＋b 22－b 24， 当b ＜0时，f (f (x ))的最小值为－b 24，所以“b ＜0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0，所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b ＜0”，选A.14．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－5]解析 方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立，即m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立，令y ＝x ＋4x ，则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1,2)上是减函数．∴4<y <5，∴－5<－⎝⎛⎭⎫x ＋4x <－4， ∴m ≤－5.方法二 设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，由f (x )<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4，即m ≤－5.15．若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞)，x 2＋ax －a ，x ∈(－∞，1)， 当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2－ax ＋a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a －a 24， 当x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2＋ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a －a 24. ①当a 2>1，即a >2时，f (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增，不合题意； ②当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意； ③当a 2<0，即a <0时，不符合题意． 综上，a 的取值范围是[0,2]．16．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a＝－1， 解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由题意得，f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0. 故b 的取值范围是[－2,0]．。

第6讲 幂函数与二次函数一、选择题1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14B ．4 C.22 D. 2解析 设f (x )＝x α，因为图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，代入解析式得：α＝－12，∴f (2)＝2－12＝22. 答案 C2．若函数f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f (12)的值为( ) A ．－3B ．－13C ．3D.13 解析 设f (x )＝x α，则由f 4f 2＝3，得4α2α＝3. ∴2α＝3，∴f (12)＝(12)α＝12α＝13. 答案 D3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )． A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)解析 f (a )＝g (b )⇔e a －1＝－b 2＋4b －3⇔e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－2<b <2＋ 2.答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，2a ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝ －3.答案 A5 .函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b 2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )．A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}解析 设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2. 而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－b2a 对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－b 2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642. 答案 D6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝12，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，a >4，由于a 为正整数，即a 的最小值为5.答案 C二、填空题7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．其中正确的有________．解析 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．答案 ①②⑤⑥8．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4ac －164a ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0. 答案 a >0，ac ＝49．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1β. ∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1β在(1,2)上是增函数， ∴1＋1＜m ＜2＋12，即m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 10．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，则m 的取值范围是________．解析 当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m >0时不符合第①条的要求；当m <0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，2m <－(m ＋3)，2m <－4，－(m ＋3)<1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，－(m ＋3)<2m ，2m <1，－(m ＋3)<－4，解第一个不等式组得－4<m <－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)． 答案 (－4，－2)三、解答题11．设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝⎛⎭⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．解 设在[－1,1)上，f (x )＝x n ，由点⎝⎛⎭⎫12，18在函数图象上，求得n ＝3.令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)，∴f (x －2k )＝(x －2k )3.又f (x )周期为2，∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )．12．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4, 6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)[理]当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6 或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋3，x ∈，6]x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．13．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．解 不等式ax 2－2x ＋2>0等价于a >2x －2x 2， 设g (x )＝2x －2x 2，x ∈(1,4)，则 g ′(x )＝2x 2－x －x x 4＝－2x 2＋4x x 4＝－2x x －x 4， 当1<x <2时，g ′(x )>0，当2<x <4时，g ′(x )<0，g (x )≤g (2)＝12，由已知条件a >12， 因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 14．已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数．故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q >0满足题设，由(1)知g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝⎛⎭⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178， g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2，∴存在q ＝2满足题意．。

第6讲幂函数与二次函数A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·临州质检)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()．11??x??(x∈R)B．y＝xA．y＝(x∈R，且≠0) 2x??3(x∈＝－xR)D．y yC．＝x(x∈R)3333是xx)＝－(x)，∴f＝－(－x)(＝－(－xf)＝－x解析对于f()＝－x－，∵f(x)33在Rx上是减函数．在R上是增函数，∴yx奇函数，又∵y＝＝－答案 D 2．(2013·怀远模拟)如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()．1121－x，④yxy＝＝，③y＝x．①Ay＝x，②231321－＝x，④，③y＝xB．①y＝x＝，②yxy21231－xx，④yy，②＝x＝，③y＝＝C．①yx21321－x，④y ＝x，③yD．①＝x，②y＝xy＝232为开口向上x＝的定义域为R且为奇函数，故应为图①；yxy解析因为＝的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．B答案．2x的取值范围ba)＝g(b)，g(x)＝－x，则＋4x－3，若有f(3．已知函数fx)＝e(－1 ．() 为2) ，2 B．(2＋－A．[2－2，22＋2](1,3)C．[1,3] ．D22a2a b＋44＋b－2＋4b－3?e成立，故－＝－bb解析f(a)＝g(b)?e1－＝－b＋2. 2<b－2>0，解得2<2－答案B，>0x，x2??．) (a)＋f(1)＝0，则实数a4．已知函数f(x)＝的值等于若f(，0x≤x＋1，?3． D C．1 ．－3 B．－1 A，≤0a>0，a????＝或解得a(a)＋2＝0?(1)解析f(a)＋f＝0?f，01＋2＝2a＋2＝0a＋??3. －A答案) 分每小题5分，共10二、填空题(1??4f????＝________.3.5．若f(x)是幂函数，且满足则f＝2????2fα4?f?4α＝3，解得α＝log3，故f(xx，由＝3，得)＝xlog3，所＝解析设f(x)α222?2f?1111????????log3＝2－flog＝3＝2log＝.以2222233????1答案32－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a6．若二次函数f(x)＝ax，c满足的条件是________．，>0a??，>0a???解析由已知得?16－ac40.＝4－ac?0＝?a4?4＝，a答案>0ac)三、解答题(分共25y时，<1x≤1当－为最小正周期的周期函数．2上以R是定义在)x(f设)分(12．7．11??，??.求函数在[2k－1,2k)的表达式是幂函数，且经过点＋1)(k∈Z)上的＝f(x 82??表达式．11??n，??在函数图象上，求得n，由点＝3.－1,1)上，f(x)＝x解设在[82??令x∈[2k－1,2k＋1)，则x－2k∈[－1,1)，3.又f(x)周期为－(x2k)2，∴f(x－2k)＝33(k∈Z)．＝(x－2k2k)＝(x－k)).即f(x)f ∴(x)＝f(x－22－2ax＋5(ax)＝x>1)．(8．(13分)已知函数f(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x，x∈[1，a＋1]，总有|f(x)112－f(x)|≤4，求实数a的取值范围．222(a>1)，) ＋5－a(1)∵f(x)＝(x－a解∴f(x)在[1，a]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a]，5＝a1－2a＋f?1?＝a，????2. a∴即＝解得22，＝1－2a＋5f?a?＝1，a??2. a≥(－∞，2]上是减函数，∴∵(2)f(x)在区间，－a≤a1＋1]，且(a＋1)－a又x ＝∈[1，a2.＝5－ax)＝f(a)2∴f(x)＝f(1)＝6－a，f(minmax，)|≤4x)－f(x|∵对任意的x，x∈[1，a＋1]，总有f(21213.≤a≤a≥2，∴2≤f(x)≤4，得－1a≤3，又∴f(x)－minmax B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)2，1x≤x＋ax，??＝f(x)．1(2013·合肥八中月考)已知函数2，x>1ax＋x，?则“a≤－2”是“f(x)在R上单调递减”的()．B ．必要而不充分条件A．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件C．充分必要条件a11解析若a≤－2，则－≥1，且－≤<1，则f(x)分别在区间(－∞，1]和(1，422a)x(f若上单调递减，R在)x(f故处的值相同，1＝x又函数在上为减函数，)∞＋1?，≤－1?a2?得a≤－2.故选在R上单调递减，则a<0，且C. a??，－≥12C答案22＋axbx≥1，方程1，a＋b＋c(x)＝axbx＋＋c，a为正整数，c≥2．二次函数f＋c＝0有两个小于1的不等正根，则a的最小值是()．6．B．4 C．5 DA．3解析由题意得f(0)＝c≥1，f(1)＝a＋b＋c≥1.当a越大，y＝f(x)的开口越小，当a越小，y＝f(x)的开口越大，而y＝f(x)的开口最大时，y＝f(x)过(0,1)，(1,1)，b12－4ac>0，a(a－，a＝－b，－＝，又b4)>0，1则c＝，a＋b＋c＝1.a＋b＝022aa>4，由于a为正整数，即a的最小值为5.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)2－ax＋2)在(2，＋∞log)＝(x)上为增函数，则实数a的取值范围3．已知函数f(x a 为________．2－ax＋2)在(2，＋＝log(x∞)上为增函数，包含两个方面：函解析函数f(x)a2－ax ＋2在(2，＋∞)上恒正，以及其在(2，＋＝数g(x)x∞)上的单调性．由于2－ax＋2开口向上，因此在(2，＋∞)上只能是增函g(x)＝x数，所以，>1a??，0?≥g?2?∴1<a≤3.a?，≤2?2答案(1,3]x－2.若同时满足条件：＝2 ＋3)，g(x)－f)已知(x)＝m(x2m)(x＋m(2012·4．北京①?x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，则m的取值范围是________．解析当x<1时，g(x)<0，当x>1时，g(x)>0，当x＝1时，g(x)＝0，m＝0不，a[的单调性，一定存在区间)x(g和函数)x(f时，根据函数>0m符合要求；当．时不符合第①m>0≥0，故≥0且g(x)＋∞)使f(x)时，如图所示，如果符合①的m<0条的要求；当，如果符的两个零点都得小于1(x)要求，则函数f至少有一个零点小于－x)则函数f(合第②条要求，有两个不相等的零点，其x)，问题等价于函数f(4，函数，较小的零点小于－4中较大的零点小于1满足m＋3)，故m)的两个零点是2m，－(f(x，m<0m<0，??，＋m＋3?，3?<2m－?m2m<－???－<4<m解第一个不等式组得－或，2<－4，m<12m??，－?＋3?<1m＋3?<－4－?m ．，－2)m的取值范围是(－42，第二个不等式组无解，故所求2) ，－－4答案()分共25三、解答题(2．f(3))满足fk(2)<＋k＋2(k∈Z5．(12分)已知函数f(x)＝x －)的解析式；的值并求出相应的f(xk(1)求＋x)1－qf(>0，使函数g(x)＝，试判断是否存在(2)对于(1)中得到的函数f(x)q17?，－??请1,2]上的值域为；若不存在，？若存在，求出q(2q－1)x在区间[－8??说明理由．在第一象限是增函数．(x)f(2)<f(3)，∴f(1)解∵2<2. k2>0，解得－故－k1<＋k＋1.＝0或k∈Z，∴k＝又∵k22. ＝xf(x)时，－kk＋＋2＝2，∴或当k＝0k＝1 (1)知q(2)假设存在>0满足题设，由2 1,2]．∈[－－q1)x＋1，xg()＝－qxx＋(221＋14qq2－????处和顶点，g(－1))－∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(1，qq42??222214qq?4－1?＋4q1＋4q＋1＝)＝xg，≥0＝q－－(2＝－g－(取得．而1)3)∴(max q4q4q4q4．17，8g(x)＝g(－1)＝2－3q＝－4. min解得q＝2，∴存在q＝2满足题意．2＋|2x－a|(x∈R x)＝x，a为实数)．6．(13分)设函数f((1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；(2)设a>2，求函数f(x)的最小值．解(1)∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即|2x－a|＝|2x＋a|，解得a＝0.1?2，aa，x≥x＋2x－?2?＝(x)(2)f1?2?，<a2x＋a，xx－21122－(a ＋1)，由a>2，x＝(x＋1)≥a，得x>1xa①当x≥时，f(x)＝，＋2x－a2221aa????a，＋∞????＝；)在的最小值为f 时单调递增，f(x故f(x)224????1a22＋(a－1)，故当1<x<1)a＝(x－时，f(x)单调递＝f<②当xa时，(x)x2－x＋22增，当x<1时，f(x)单调递减，则f(x)的最小值为f(1)＝a－1.22?a－2?a1.－的最小值为a)，故1)(a－＝>0f(x－由于44。

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第二章§2.6　二次函数与幂函数1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象y ＝x α(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y ＝x α为 ；当α为偶数时，y ＝x α为 .(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f (x )＝ .顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为 .零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的 .ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(m ，n )零点(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)R定义域___值域______________________________对称轴x＝______顶点坐标_______________函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)奇偶性当b ＝0时是 函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性偶减增增减1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝ 是幂函数.( )(2)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( )(3)二次函数y ＝a (x －1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞).( )(4)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数.( )××√×1212x√1x23.(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，则函数f(x)的值域为A.(2,10)B.[1,2)√C.[2,10]D.[1,10)当x∈(－2,2)时，－3<x－1<1，则f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1∈[1,10).4.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数(－∞，4]a的取值范围是___________.由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4].返回第二部分探究核心题型题型一　幂函数的图象与性质例1　(1)(2023·合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n 依次为√根据幂函数y＝x n的性质，在第一象限内的图象：(2)(2023·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件√C.充要条件D.既不充分也不必要条件因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数，所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2，所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件.思维升华(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.跟踪训练1　(1)幂函数y ＝ (0≤m ≤3，m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为A.0 B.2 C.3 D.2或3√22m m x+-当m＝0时，y＝x－2，由幂函数性质得，y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减；当m＝1时，y＝x0，由幂函数性质得，y＝x0在(0，＋∞)上是常函数；当m＝2时，y＝x4，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，y＝x4在(0，＋∞)上单调递增；当m＝3时，y＝x10，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递增.(2)(2023·临沂模拟)如图所示是函数y ＝ (m ，n 均为正整数且m ，n 互质)的图象，则√mn x由幂函数性质可知，y ＝与y ＝x 的图象恒过定点(1,1)，即在第一象限内的交点坐标为(1,1)，m n x mn x又y ＝ 的图象关于y 轴对称，mnx ∴y ＝ 为偶函数，mn x ()mn x mnx 又m ，n 互质，∴m 为偶数，n 为奇数.题型二　二次函数的解析式例2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.方法一　(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二　(利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，解得a＝－4，方法三　(利用“零点式”解题)由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.解得a＝－4.故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.思维升华求二次函数解析式的三个策略(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式.跟踪训练2　已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且f(x)＝x2－4x＋3方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________________.依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3，所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，所以ax2－4ax＋3＝0，设方程的两根为x1，x2，所以f(x)＝x2－4x＋3.题型三　二次函数的图象与性质命题点1　二次函数的图象例3　(多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法正确的是A.2a ＋b ＝0 B.4a ＋2b ＋c <0C.9a ＋3b ＋c <0D.abc <0√√√又因为f (0)＝c >0，所以abc <0.f (2)＝f (0)＝4a ＋2b ＋c >0，f (3)＝f (－1)＝9a ＋3b ＋c <0.命题点2　二次函数的单调性与最值例4　(2024·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；由题意知a≠0.所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立.(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.f(x)在区间[1,2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3.微拓展二次函数定轴动区间和动轴定区间问题在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：(1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”.(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.√所以f(x)在区间[a，b]上单调递增，(2)若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值√A.与a无关，与b有关B.与a有关，与b无关C.与a有关，且与b有关D.与a无关，且与b无关函数f(x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b，①当b>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关；②当b<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关；③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关，∴M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关，综上，M－m的值与a无关，与b有关.思维升华二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.跟踪训练3　(1)(2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是A.α<m<n<βB.m<α<n<β√C.m<α<β<nD.α<m<β<n。

[B 组 因材施教·备选练习]1．设函数f (x )＝x －1x，对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 B.⎝⎛⎭⎫－12，0 C.⎝⎛⎭⎫－12，12 D. ⎝⎛⎭⎫0，12 解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )<0恒成立，即2mx －12mx＋2m ⎝⎛⎭⎫x －1x <0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即8m 2x 2－(1＋4m 2)2mx<0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，故m <0，因为8m 2x 2－(1＋4m 2)>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以x 2>1＋4m 28m 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以1>1＋4m 28m 2，解得m <－12或m >12(舍去)，故m <－12. 答案：A2．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A 、B 两点(B 点在A 点右侧)．由规定可知，在A 点左侧、B 点右侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A 、B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．因此h (x )有最小值－1，无最大值．答案：C3．(2014年济南模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝f (1)＝0，且f (x )的最小值是－14. (1)求f (x )的解析式；(2)设函数h (x )＝ln x －2x ＋f (x )，若函数h (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，m －1上是单调函数，求实数m 的取值范围．解析：(1)∵f (0)＝0，∴c ＝0，∵f (1)＝0，∴b ＝－a ，∴f (x )＝ax 2－ax ＝a ⎝⎛⎭⎫x －122－a 4，又f (x )的最小值为－14，∴－a 4＝－14，∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x .(2)由(1)得h (x )＝ln x －2x ＋x 2－x ＝ln x ＋x 2－3x (x >0)，∴h ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x. 易知函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，12，()1，＋∞，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤12，1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1>12，m －1≤1，∴32<m ≤2.。

高效测试6：二次函数与幂函数一、选择题 1．已知二次函数y ＝x2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a≤2或a≥3 B ．2≤a≤3 C ．a≤－3或a≥－2 D ．－3≤a≤－2解析：由y ＝(x －a)2＋(1－a2)在区间(2,3)内是单调函数得对称轴在区间(2,3)之外，即a≤2或a≥3，选A. 答案：A2．(2013·黄冈质检)设y1＝0.413，y2＝0.513，y3＝0.514，则( ) A ．y3＜y2＜y1 B ．y1＜y2＜y3 C ．y2＜y3＜y1 D ．y1＜y3＜y2解析：幂函数y ＝x 13是定义域上的单调递增函数，所以0.413＜0.513，指数函数y ＝0.5x 是定义域上的单调递减函数，所以0.513＜0.514，故y1＜y2＜y3. 答案：B3．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x2，③y ＝x 12，④y ＝x －1 B ．①y ＝x3，②y ＝x2，③y ＝x 12，④y ＝x －1 C ．①y ＝x2，②y ＝x3，③y ＝x 12，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x2，④y ＝x －1解析：注意到函数y ＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y ＝x 12＝x 的定义域、值域都是[0，＋∞)，结合选项知，该函数图象应与③对应；y ＝x －1＝1x，结合选项知，其图象应与④对应．综上所述，选B.答案：B4．设b ＞0，二次函数y ＝ax2＋bx ＋a2－1的图象为下列之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1C.－1－52D.－1＋52解析：∵b ＞0，∴图象①②不可能，又∵③④过原点．∴f(0)＝0，即a2－1＝0，a ＝±1， 又b ＞0，如 a ＝1，－b2a＜0与③④图形矛盾．∴a ＝－1. 答案：B 5．(2013·长春月考)设二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c ，如果f(x1)＝f(x2)(x2≠x1)，则f(x1＋x2)等于( ) A ．－b 2a B ．－b aC ．c D.4ac －b24a解析：由题意可得x1＋x2＝－b a ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝a·b2a2－b·b a ＋c ＝c. 答案：C6．(2013·山西月考)已知f (x)＝ (x －a)(x －b)－2(a ＜b)，并且α，β是方程f(x)＝0的两根(α＜β)，则实数a ，b ，α、β的大小关系是( ) A ．α＜a ＜b ＜β B ．a ＜α＜β＜b C ．a ＜α＜b ＜β D ．α＜a ＜β＜b解析：由题意得a 、b 是g(x)＝(x －a)(x －b)＝0的两个根，当α，β是方程f(x)＝0的两根(α＜β)时，α、β相当于直线y ＝2与y ＝g(x)的交点的横坐标，由于函数g(x)＝(x －a)(x －b)的图象是开口向上的抛物线，故必在α＜a ＜b ＜β. 答案：A 二、填空题7．(2013·青岛模拟)已知函数f(x)＝x 12，且f(2x －1)＜f(3x)，则x 的取值范围是__________．解析：f(x)＝x 12在[0，＋∞)上为增函数，f(2x －1)＜f(3x)，则0≤2x－1＜3x ，∴x≥12.答案：x≥128．若(a ＋1)12-＜(3－2a)12-，则a 的取值范围是______________．解析：∵函数y ＝x 12-在定义域(0，＋∞)上递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＞3－2a ，即23＜a ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 9．(2012·北京卷)已知f(x)＝m(x －2m)(x ＋m ＋3)，g(x)＝2x －2.若∀x ∈R ，f(x)＜0或g(x)＜0，则m 的取值范围是__________．解析：m≥0时，不能保证对∀x ∈R ，f(x)＜0或g(x)＜0，当m ＝－1时，f(x)＝－(x ＋2)2，g(x)＝2x －2，画出图象如下图，显然成立．当－1＜m ＜0时，2m ＞－(m ＋3)，由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m ＜0，2m ＜1，即－1＜m ＜0，当m ＜－1时，－(m ＋3)＞2m ，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，－＋＜1，∴－4＜m ＜－1，综上得－4＜m ＜0.答案：(－4,0) 三、解答题10．已知函数f(x)＝x2＋2x·tan θ－1，x ∈[]－1，3，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f(x)的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f(x)在区间[]－1，3上是单调函数． 解析：(1)当θ＝－π6时，[中国教育出版网]f(x)＝x2－233x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[]－1，3， ∴x ＝33时，f(x)的最小值为－43. x ＝－1时，f(x)的最大值为233. (2)函数f(x)＝(x ＋tan θ)2－1－tan2θ， ∵y ＝f(x)在区间[]－1，3上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.因此，θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.11．已知函数f(x)＝11335x x--，g(x)＝11335x x -+.(1)证明f(x)满足f(－x)＝－f(x)，并求f(x)的单调区间；(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．解析：(1)证明：f(－x)＝11335x x -(-)-(-)＝11335x x--+＝－f(x)，设x1＞x2＞0，由于y ＝x 13在R 上递增，∴x113＞x213.又(x1x2)13-＞0，∴f(x1)－f(x2)＝15(x113－x113-－x213＋x213-)＝15(x113－x213)[1＋(x1x2)13-]＞0. 即f(x)在(0，＋∞)上递增．同理f(x)在(－∞，0)上也递增． 故f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增． (2)f(4)－5f(2)g(2)＝0，f (9)－5f(3)g(3)＝0， 且f(x2)－5f(x)g(x)＝0. 证明如下：f(x2)－5f(x)g(x)＝15(x 23－x 23-)－15(x 13－x 13-)(x 13＋x 13-)＝15(x 23－x 23-)－15(x 23－x 23-) ＝0.12．(2013·银川质检)已知f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12. (1)求f(x)的解析式；(2)是否存在整数m ，使得方程f(x)＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等实数根？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．解析：(1)∵f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5)，∴可设f(x)＝ax(x －5)(a ＞0)．∴f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a. 由已知，得6a ＝12，∴a ＝2，∴f(x)＝2x(x －5)＝2x2－10x(x ∈R)．(2)方程f(x)＋37x ＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0.设h(x)＝2x3－10x2＋37，则 h′(x)＝6x2－20x ＝2(3x －10)．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，103时，h′(x)＜0，h(x)是减函数．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫103，＋∞时，h′(x )＞0，h(x)是增函数．∵h(3)＝1＞0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫103＝－127＜0，h(4)＝5＞0，∴方程h(x)＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，⎝ ⎛⎭⎪⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根．∴存在唯一的整数m ＝3，使得方程f (x)＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不同的实数根.。