正交编码与伪随机码(1)

第十二章正交编码与伪随机序列12-1、设3级线性反馈移位寄存器的特征方程为：f(x)?1?x2?x3，试验证它为本原多项式。

解：由题意n=3，所以m?2?1?7。

而xm?1?x7?1?(x3?x2?1)(x4?x3?x2?1)上式说明f(x)可整除x?1，且f(x)既约，除不尽x6?1,x5?1,x4?1所以f (x)为本原多项式。

12-2、己知三级移位寄存器的原始状态为111，试写出两种m序列的输出序列。

解：因为反馈移存器能产生m序列的充要条件为：反馈移位寄存器的特征多项式为本原多项式。

当n=3时，有2个3阶本原多项式：7nf1(x)?x3?x?1，f2(x)?x3?x2?1f1(x)和f2(x)为互逆的本原多项式，都可以产生m序列。

根据第5题，由f1(x)?x3?x?1产生的m序列为11101000，同理，由f2(x)?x3?x2?1产生的m序列为11100100。

12-3、设4级线性反馈移存器的特征方程为：f(x)?1?x?x?x?x，试证明此移位寄存器产生的不是m序列。

证明：方法一：由题意n＝4，得m?2?1?15。

因为(x?1)(x?x?x?x?1)?x?1f(x)可整除x?1，故f(x)不是本原多项式，它所产生的序列不是m序列。

方法二：由特征多项式f(x)?1?x?x?x?x构成的4级线性反馈移位寄存器如图9-4所示。

假设初始状态为：1 1 1 1状态转换位：0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 01 1 1 1可见输出序列的周期为6?2?1?15，故不是m 序列。

45n2344325234 图12-112-4、己知一个由9级移位寄存器所产生的m序列，写出在每一周期内所有可能的游程长度的个数。

解：该m序列中共有2?256个游程。

根据m序列游程分布的性质，长度为k的游程数目占游程总数的2?k,1?k?(n?1)。

而且在长度为k的游程中[其中1?k?(n?2)]，连“1”和连“0”的游程各占一半。

第十二章 正交编码与伪随机序列主要内容 主要内容 ¾ ¾正交编码 正交编码 ¾ ¾伪随机码 伪随机码 ¾ ¾伪随机序列应用 伪随机序列应用12.1 引言正交编码广泛用于纠错码、码分多址技术。

伪随机码广泛用于误码测量、扩频通信、通信加密等方面。

12.2 正交编码1. 正交的概念 模拟信号：周期为T的模拟信号s1（t），s1（t）相互正交，则有∫T0s1 (t )s 2 (t )dt = 0M个周期为T的模拟信号s1(t),s2(t),…,sM(t)构成正交信号集合∫T0s i (t )s j (t )dt = 0i ≠ j, i , j = 1,2,..., M数字信号：码组间的正交性用互相关系数表示。

x = ( x1 , x 2 ,..., x n )y = ( y 1 , y 2 ,..., y n )（1）xi，yj 取+1或-1，则x，y间的互相关系数定义为1 n ρ( x , y ) = ∑ x i y i n i =1若ρ=0，则称码组x，y正交。

− 1 ≤ ρ ≤ +1（2）xi，yj 取0或1，则x，y间的互相关系数可以表示为A−D ρ(x, y ) = A+DA: x，y中对应码元相同的个数, D: x，y中对应码元不同的个数.（3）若y为x的j次移位得到的码组，则得到x的自相关系数ρx(j). （4）若ρ<0, 则称两个码组互相超正交。

若编码中任意两码组间超正交， 则称这种编码为超正交编码。

（5）正交编码与其反码的集合构成双正交编码。

例：如图为4个数字信号波形。

1 4 由 ρ( x, y ) = ∑ x i y i 4 i =14个码组任意两个间的ρ=0均为0，故称 为正交编码。

2. 哈达玛（Hadamard）矩阵特点：其每一行（或列）均为正交码组，且由其容易构成超正交码和双正交码。

2阶H矩阵 高阶H矩阵⎡ + 1 + 1⎤ H2 = ⎢ ⎥ ⎣ + 1 − 1⎦或⎡+ + ⎤ H2 = ⎢ ⎥ ⎣+ − ⎦HN = HN/2 ⊗ H2⎡H 2 H4 = H2 ⊗ H2 = ⎢ ⎣H 2N = 2m+ + +⎤ − + −⎥ ⎥ + − −⎥ − − +⎥ ⎦+ − − + + − − + + + + + − − − − + − + − − + − + + + − − − − + + +⎤ −⎥ ⎥ −⎥ +⎥ −⎥ ⎥ +⎥ +⎥ ⎥ −⎦ ⎥⎡+ H 2 ⎤ ⎢+ =⎢ ⎥ − H 2 ⎦ ⎢+ ⎢ ⎣++ − + − + − + − + + − − + + − −⎡H H8 = H4 ⊗ H2 = ⎢ 4 ⎣H 4⎡+ ⎢+ ⎢ ⎢+ H 4 ⎤ ⎢+ =⎢ − H4 ⎥ ⎦ ⎢+ ⎢+ ⎢+ ⎢ ⎢+ ⎣H矩阵可以看成是一种长为n的正交编码,包含n个码组。

正交编码与伪随机序列————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ3. 正交编码与伪随机序列在数字通信中,正交编码与伪随机序列都是十分重要的技术。

正交编码不仅可以用作纠错编码，还可用来实现码分多址通信。

伪随机序列在误码率测量、时延测量、扩频通信、通信加密及分离多径等方面有十分广泛的应用。

3.1. 正交编码一、几个概念 1、互相关系数设长为ｎ的编码中码元只取+１、-1，x 和ｙ是其中两个码组)...,(21n x x x x =，)...,(21n y y y y =,其中)1,1(,-+∈i i y x则ｘ、y 间的互相关系数定义为∑==ni i i y x n y x 11),(ρ如果用0表示+1、1表示-1，则DA DA y x +-=),(ρ,其中A 是相同码元的个数，D 为不同码元的个数。

2、自相关系数自相关系数定义为:∑=+=ni j i i x x x n j 11)(ρ，其中下标的计算按模n 计算。

3、正交编码若码组C y x ∈∀,，（C 为所有编码码组的集合)满足0),(=y x ρ,则称C 为正交编码。

即：正交编码的任意两个码组都是正交的。

例1：已知编码的4个码组如下:)1,1,1,1();1,1,1,1();1,1,1,1();1,1,1,1(4321--=--=--=++++=S S S S试计算1S 的自相关系数、21,S S 的互相关系数。

4、超正交编码若两个码组的互相关系数0<ρ，则称这两个码组互相超正交。

如果一种编码中任何两个码组间均超正交,则称这种编码为超正交编码。

例２:例1中取后三个码组,且去掉第１位构成的编码为超正交编码。

(０,1,1），（１,１,０)（1,0,１） 5、双正交编码由正交编码及其反码便组成双正交编码。

例3:正交编码(1,1，1，１)（1,１,0，0）（１,０，０，1）（1,0,1,0） 反码为（0,０，０,0）（０,0,1，1）(0,1，１，0）(０,1,0,１） 双正交码中任意两个码组间的互相关系数为０或-1。

3. 正交编码与伪随机序列在数字通信中，正交编码与伪随机序列都是十分重要的技术。

正交编码不仅可以用作纠错编码，还可用来实现码分多址通信。

伪随机序列在误码率测量、时延测量、扩频通信、通信加密及分离多径等方面有十分广泛的应用。

3.1. 正交编码一、几个概念1、互相关系数设长为n 的编码中码元只取+1、-1，x 和y 是其中两个码组)...,(21n x x x x =，)...,(21n y y y y =，其中)1,1(,-+∈i i y x则x 、y 间的互相关系数定义为∑==n i i i y x n y x 11),(ρ 如果用0表示+1、1表示-1，则DA D A y x +-=),(ρ，其中A 是相同码元的个数，D 为不同码元的个数。

2、自相关系数 自相关系数定义为：∑=+=ni j i i x x x n j 11)(ρ，其中下标的计算按模n 计算。

3、正交编码若码组C y x ∈∀,，（C 为所有编码码组的集合）满足0),(=y x ρ，则称C 为正交编码。

即：正交编码的任意两个码组都是正交的。

例1：已知编码的4个码组如下：)1,1,1,1();1,1,1,1();1,1,1,1();1,1,1,1(4321--=--=--=++++=S S S S 试计算1S 的自相关系数、21,S S 的互相关系数。

4、超正交编码若两个码组的互相关系数0<ρ，则称这两个码组互相超正交。

如果一种编码中任何两个码组间均超正交，则称这种编码为超正交编码。

例2：例1中取后三个码组，且去掉第1位构成的编码为超正交编码。

（0，1，1），（1，1，0）（1，0，1）5、双正交编码由正交编码及其反码便组成双正交编码。

例3：正交编码（1，1，1，1）（1，1，0，0）（1，0，0，1）（1，0，1，0） 反码为（0，0，0，0）（0，0，1，1）（0，1，1，0）（0，1，0，1）双正交码中任意两个码组间的互相关系数为0或-1。

第12章正交编码与伪随机序列思考题12-1 何谓正交编码？什么是超正交码？什么是双正交码？答：（1）几个码组中任意两者之间的相关系数为零，即这些码组两两正交，把这种两两正交的编码称为正交编码。

（2）如果一种编码中任意两码组间均超正交，则称这种编码为超正交码。

（3）由正交码和其反码构成的码称为双正交码。

12-2 何谓阿达玛矩阵？它的主要特性如何？答：（1）定义：每一行（或列）都是一个正交码组的矩阵称为阿达玛矩阵。

（2）特性：仅由元素＋1和－1构成，交换任意两行，或交换任意两列，或改变任一行中每个元素的符号，或改变任一列中每个元素的符号，都不会影响矩阵的正交性质。

12-3 何谓m序列？答：m序列是指由带线性反馈的位移寄存器产生的周期最长的序列，是最长线性反馈位移寄存器序列的简称。

12-4 何谓本原多项式？答：若一个几次多项式f（x）满足下列条件：（1）f（x）为既约的；（2）f（x）可整除（x m＋1），m＝2n－1；（3）f（x）除不尽（x q＋1），q<m；则称f（x）为本原多项式。

12-5 线性反馈移存器产生m序列的充要条件是什么？答：线性反馈移存器产生m序列的充要条件：一个n级移存器的特征多项式f（x）若为既约的，则由其产生的序列A＝{a k}的周期等于使f（x）能整除的（x p＋1）中最小正整数p，再结合本原多项式的概念可知：反馈移存器产生m序列的充要条件是其特征多项式为本原多项式。

12-6 本原多项式的逆多项式是否也为本原多项式？为什么？答：本原多项式的逆多项式也是本原多项式，例如，（x4＋x＋1）与（x4＋x3＋1）互为逆多项式，即10011与11001互为逆码。

12-7 何谓m序列的均衡性？答：m序列的均衡性是指在m序列的一个周期中，“1”和“0”的数目基本相等。

准确的说，“1”的个数比“0”的个数多一个。

12-8 何谓“游程”？m序列的“游程”分布的一般规律如何？答：（1）定义：把一个序列中取值相同的那些相继的（连在一起的）元素合称为一个“游程”。