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第十二章 正交编码与伪随机序列主要内容 主要内容 ¾ ¾正交编码 正交编码 ¾ ¾伪随机码 伪随机码 ¾ ¾伪随机序列应用 伪随机序列应用12.1 引言正交编码广泛用于纠错码、码分多址技术。
伪随机码广泛用于误码测量、扩频通信、通信加密等方面。
12.2 正交编码1. 正交的概念 模拟信号：周期为T的模拟信号s1（t），s1（t）相互正交，则有∫T0s1 (t )s 2 (t )dt = 0M个周期为T的模拟信号s1(t),s2(t),…,sM(t)构成正交信号集合∫T0s i (t )s j (t )dt = 0i ≠ j, i , j = 1,2,..., M数字信号：码组间的正交性用互相关系数表示。
x = ( x1 , x 2 ,..., x n )y = ( y 1 , y 2 ,..., y n )（1）xi，yj 取+1或-1，则x，y间的互相关系数定义为1 n ρ( x , y ) = ∑ x i y i n i =1若ρ=0，则称码组x，y正交。
− 1 ≤ ρ ≤ +1（2）xi，yj 取0或1，则x，y间的互相关系数可以表示为A−D ρ(x, y ) = A+DA: x，y中对应码元相同的个数, D: x，y中对应码元不同的个数.（3）若y为x的j次移位得到的码组，则得到x的自相关系数ρx(j). （4）若ρ<0, 则称两个码组互相超正交。
若编码中任意两码组间超正交， 则称这种编码为超正交编码。
（5）正交编码与其反码的集合构成双正交编码。
例：如图为4个数字信号波形。
1 4 由 ρ( x, y ) = ∑ x i y i 4 i =14个码组任意两个间的ρ=0均为0，故称 为正交编码。
2. 哈达玛（Hadamard）矩阵特点：其每一行（或列）均为正交码组，且由其容易构成超正交码和双正交码。
2阶H矩阵 高阶H矩阵⎡ + 1 + 1⎤ H2 = ⎢ ⎥ ⎣ + 1 − 1⎦或⎡+ + ⎤ H2 = ⎢ ⎥ ⎣+ − ⎦HN = HN/2 ⊗ H2⎡H 2 H4 = H2 ⊗ H2 = ⎢ ⎣H 2N = 2m+ + +⎤ − + −⎥ ⎥ + − −⎥ − − +⎥ ⎦+ − − + + − − + + + + + − − − − + − + − − + − + + + − − − − + + +⎤ −⎥ ⎥ −⎥ +⎥ −⎥ ⎥ +⎥ +⎥ ⎥ −⎦ ⎥⎡+ H 2 ⎤ ⎢+ =⎢ ⎥ − H 2 ⎦ ⎢+ ⎢ ⎣++ − + − + − + − + + − − + + − −⎡H H8 = H4 ⊗ H2 = ⎢ 4 ⎣H 4⎡+ ⎢+ ⎢ ⎢+ H 4 ⎤ ⎢+ =⎢ − H4 ⎥ ⎦ ⎢+ ⎢+ ⎢+ ⎢ ⎢+ ⎣H矩阵可以看成是一种长为n的正交编码,包含n个码组。
樊昌信《通信原理》（第6版）笔记和课后习题（含考研真题）详解第12章正交编码与伪随机序列12.1复习笔记一、正交编码1．正交编码的基本概念若M个周期为T模拟信号s1(t)，s2(t)，...，s M(t)构成一个正交集合，则有：设长为n的编码中码元只取+1和一1，以及x和y是其中的两个码组则x，y之间的相关系数为：若码组x和y正交，则：相关系数的性质：相关系数ρ的取值范围在±1之间，即有-1≤ρ≤1。
若两个码组间的相关系数ρ＜0，则称这两个码组互相超正交；如果一种编码中任意两码组间均超正交，则称这种编码为超正交编码。
2．阿达玛矩阵哈达玛(Hadamard)矩阵是一种方阵，且仅由元素+1和-1构成。
H矩阵各行(或列)是相互正交的，所以H矩阵是正交方阵。
若把其中每一行都看作一个码组，则这些码组也是互相正交的，而整个H矩阵就是一种长为n的正交编码，它包含n个码组。
3．沃尔什函数和沃尔什矩阵沃尔什函数具有完备正交性，可以用来表示任一波形。
若将哈达玛中行的次序按“+1”和“-1”交变次数的多少重新排列，可得到沃尔什(Walsh)矩阵。
二、伪随机序列伪随机噪声具有类似于随机噪声的某些统计特性，同时又能够重复产生。
1．m序列m序列是最长线性反馈移位寄存器的简称，它是由带线性反馈的移位寄存器产生的周期最长的序列。
（1）与产生m序列有关的3个方程：①递推方程：②特征方程：③母函数：用代数方程表示反馈移存器的输出序列{a}，且有f(x)g(x)=h(x)，式中，h(x)为次数低f(x)次数的多项式。
（2）原本多项式若一个n次多项式f(x)满足下列条件：①f(x)为既约的；②f(x)可整除(x m+1)，m=2n-1；③f(x)除不尽(x q+1)，q＜m，q＜m；则称f(x)为本原多项式。
（3）反馈移位寄存器能产生m序列的充要条件：反馈移存器的特征多项式为本原多项式。
一个n级线性反馈移位寄存器之相继状态具有周期性，周期为p＜2n-1。
扩频通信原理
一般的无线扩频通信系统都要进行三次调制。
一次调制为信息调制，二次调制为扩频调制，三次调制为射频调制。
接收端有相应的射频解调，扩频解调和信息解调。
根据扩展频谱的方式不同，扩频通信系统可分为：直接序列扩频（DS）、跳频（FH）、跳时（TH）、线性调频以及以上几种方法的组合。
在发端，信息码经码率较高的PN码调制以后，频谱被扩展了。
在收端，扩频信号经同PN码解调以后，信息码被恢复；
信息码经调制、扩频传输、解调然后恢复的过程，类似与PN码进行了二次"模二相加的过程。
正交编码与伪随机序列————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ3. 正交编码与伪随机序列在数字通信中,正交编码与伪随机序列都是十分重要的技术。
正交编码不仅可以用作纠错编码，还可用来实现码分多址通信。
伪随机序列在误码率测量、时延测量、扩频通信、通信加密及分离多径等方面有十分广泛的应用。
3.1. 正交编码一、几个概念 1、互相关系数设长为ｎ的编码中码元只取+１、-1，x 和ｙ是其中两个码组)...,(21n x x x x =，)...,(21n y y y y =,其中)1,1(,-+∈i i y x则ｘ、y 间的互相关系数定义为∑==ni i i y x n y x 11),(ρ如果用0表示+1、1表示-1，则DA DA y x +-=),(ρ,其中A 是相同码元的个数，D 为不同码元的个数。
2、自相关系数自相关系数定义为:∑=+=ni j i i x x x n j 11)(ρ，其中下标的计算按模n 计算。
3、正交编码若码组C y x ∈∀,，（C 为所有编码码组的集合)满足0),(=y x ρ,则称C 为正交编码。
即：正交编码的任意两个码组都是正交的。
例1：已知编码的4个码组如下:)1,1,1,1();1,1,1,1();1,1,1,1();1,1,1,1(4321--=--=--=++++=S S S S试计算1S 的自相关系数、21,S S 的互相关系数。
4、超正交编码若两个码组的互相关系数0<ρ，则称这两个码组互相超正交。
如果一种编码中任何两个码组间均超正交,则称这种编码为超正交编码。
例２:例1中取后三个码组,且去掉第１位构成的编码为超正交编码。
(０,1,1），（１,１,０)（1,0,１） 5、双正交编码由正交编码及其反码便组成双正交编码。
例3:正交编码(1,1，1，１)（1,１,0，0）（１,０，０，1）（1,0,1,0） 反码为（0,０，０,0）（０,0,1，1）(0,1，１，0）(０,1,0,１） 双正交码中任意两个码组间的互相关系数为０或-1。
