12阶群的特征标表

12阶群的特征标表12阶群有很多不同的特征标表。

在这个回答中，我将提供一个基于置换群和矩阵群的特征标表。

在给出特征标表之前，让我们先介绍一些必要的定义和结果。

定义1：置换群置换群是由有限个元素构成的群，其中每个元素是一个置换，即一种排列集合中元素的方式。

定义2：矩阵群矩阵群是由具有特定属性的矩阵组成的群，其中这些属性保证了群的封闭性、结合律、单位元和逆元等。

定义3：特征标现在让我们给出一个基于置换群和矩阵群的12阶群的特征标表。

特征标表：```群元素，置换表示，特征标-------------------------------------e，(1)(2)(3)...(12)，1a，(12)，1b，(13)，1c，(14)，1d，(15)，1f，(16)，1g，(17)，1h，(18)，1i，(19)，1j，(110)，1k，(111)，1l，(112)，1m，(12)(34)(56)(78)(910)(1112)，-1n，(12)(36)(48)(510)(712)(911)，a+b+c+d+f+g+h+i+j+k+l o，(12)(38)(44)(57)(69)(1011)，a+b^2+c^2+d^2+f^2+g^2+h^2+i^2+j^2+k^2+l^2p，(12)(310)(46)(512)(79)(811)，a+b^3+c^3+d^3+f^3+g^3+h^3+i^3+j^3+k^3+l^3q，(12)(312)(42)(511)(68)(710)，a+b^4+c^4+d^4+f^4+g^4+h^4+i^4+j^4+k^4+l^4r，(12)(311)(410)(59)(67)(812)，a+b^5+c^5+d^5+f^5+g^5+h^5+i^5+j^5+k^5+l^5s，(12)(39)(412)(58)(66)(711)，a+b^6+c^6+d^6+f^6+g^6+h^6+i^6+j^6+k^6+l^6t，(12)(37)(411)(56)(810)(912)，a+b^7+c^7+d^7+f^7+g^7+h^7+i^7+j^7+k^7+l^7u，(12)(35)(49)(610)(712)(86)，a+b^8+c^8+d^8+f^8+g^8+h^8+i^8+j^8+k^8+l^8v，(12)(33)(512)(611)(76)(89)，a+b^9+c^9+d^9+f^9+g^9+h^9+i^9+j^9+k^9+l^9w，(12)(311)(42)(67)(84)(95)，a+b^10+c^10+d^10+f^10+g^10+h^10+i^10+j^10+k^10+l^10x，(12)(36)(44)(510)(75)(97)，a+b^11+c^11+d^11+f^11+g^11+h^11+i^11+j^11+k^11+l^11y，(12)(34)(56)(78)(912)(1011)，a+b^12+c^12+d^12+f^12+g^12+h^12+i^12+j^12+k^12+l^12```在这个特征标表中，群元素列给出了群的所有元素，置换表示列给出了每个元素对应的置换表示，特征标列给出了每个元素对应的特征标。

12阶循环群的运算表
摘要：
1.循环群的定义与性质
2.12 阶循环群的概念
3.12 阶循环群的运算表
4.12 阶循环群的运算规则
5.总结
正文：
一、循环群的定义与性质
循环群是数学中的一个基本概念，它是由一个元素生成的群。

设G 为一个群，a 是G 中的一个元素，如果对G 中的任意元素x，都有a^n*x=x，则称G 为循环群，并称a 为循环群的生成元，n 为循环群的阶。

循环群具有以下性质：
1.循环群的阶为生成元的最小正幂次；
2.循环群中的元素都可以表示为生成元的某个正整数次幂；
3.循环群中的子群只有它本身和单位子群。

二、12 阶循环群的概念
12 阶循环群是指由一个元素生成，且元素个数为12 的循环群。

设G 为一个12 阶循环群，a 为生成元，则G 中的元素可以表示为：{a, a^2,
a^3,..., a^11, a^12}。

三、12 阶循环群的运算表
在12 阶循环群中，元素之间的运算遵循以下规则：
1.a^i * a^j = a^(i+j)，其中i, j 为0 到11 之间的整数；
2.a^i * a^k = a^(i+k)，其中i 为0 到11 之间的整数，k 为0 到11 之间的整数；
3.a^j * a^k = a^(j+k)，其中j, k 为0 到11 之间的整数。

第一部分群论基础第三章群表示特征标理论(2)(七) 不可约表示特征标表的计算 2一, 正交法(1) 将群分类, 并由此可确定类数 C.再根据不可约表示数定理( r = C ), 可得不可约表示数 r 值.从而可确定不可约表示特征标表的行数( r ) 和列数( C ).(2) 由维度定理 ( ∑i n i2 = h ) 和不可约表示数定理 ( r = C ),可求得所有不可约表示的维度 { n i },(3) 如此, 可确定不可约表示特征标表的第一行 ( 都是“ 1 ” )和第一列( { n i } )例: D3 群: E A B C D F ( h = 6 )分类: C1 C2 C3 ( r = C = 3 )由∑i n i2 = h = 6 可得, n1 = n2 = 1, n3 = 2从而可得不可约表示特征标表的第一行和第一列 *D3 E 3C2 2C3 3D1 1 1 1D2 1 a bD3 2 c d(3) 由不可约表示特征标正交性和完全性定理求其它各未知数正交性定理: ∑C ( h C /h )χi *( C ) χj ( C ) = δij( 行间正交 ) 完全性定理: ∑j ( h m /h ) χi*( C m ) χi ( C n ) = δmn( 列间正交 ) 1, 利用正交性定理确定一维表示D2的 a 和 b, 有1 • 1 • 1 + 3 • 1 • a +2 • 1 • b = 0 ( 第1, 2 行正交 )1 + 3 a +2 b = 0 ---------------------------- (13)对于一维(么正)表示, 只有一个矩阵元, 其模为1[ 提问: 其模可以大于或小于 1 吗? 为什么? ][ 答案: 不可, 否则不能满足群的封闭性 ] *尝试法: 不妨取 “+1” 或 “-1” ( 其正确性需通过下面的检验 ) 4由 (13) 式可得 a = -1, b = 12, 利用完全性定理确定二维表示D3的 c 和 d,1) 1 • 1 + 1 • a + 2 • c = 0 ( 第 1, 2 列正交 )1 + a + 2c = 0 , 则 c = 02) 1 • 1 + 1 • b + 2 • d = 0 ( 第 1, 3 列正交 )1 + b + 2d = 0, 则 d = -1因此有 D3 E 3C2 2C3D1 1 1 1D2 1 -1 1D3 2 0 -1其结果满足正交性和完全性关系的要求, 是正确的. *5二, 利用商群和母群的同态关系• 当群元较多时, 因未知数较多, 直接利用正交法有困难.• 有时可利用商群Ｇ/ H和大群Ｇ的同态关系G　~　Ｇ/ H ( H为不变子群 )• 商群的表示也是大群的表示 ( 彼此同态 )• 商群的不可约表示也是大群的不可约表示 [ 提问: 为什么? ] [ 答案: 群元数目增加, 表示的不可约性不会改变 ]• 由商群不可约表示的特征标可得大群相应不可约表示的特征标*6例, 由C2 群的不可约表示特征标表求D3 群的不可约表示特征标表 D3群 ( 大群 ) C2群 ( 商群）E, D, F (不变子群 H ) ↔ EA, B, C ↔ C2D3 E D F A B C C2 E C2D1 1 1 1 D1 1 1D2 1 1 -1 D2 1 -1D3 2 a b(1) 由C2 群不可约表示D1 和D2 的特征标可得D3 群不可约表示D1 和 D2 的特征标 ( 注意两群间群元的对应关系 )(2) D3 群不可约表示特征标表中的 a 和 b 可由完全性定理求得a = -1,b = 0 *7 [ 思考题: 一般说来, 不可约表示是唯一确定的吗? ][ 答案: 不是, 可作相似变换, 彼此等价 ][ 思考题: 不可约表示的特征标是唯一确定的吗? ][ 答案; 是, 矩阵相似变换特征标不变 ]习题: 利用商群和大群的同构关系及正交法求四置换群S4的不可约表示特征标表. 已知D3群不可约表示特征标表, 且知三置换群S3与D3同构, 并S3群与S4群的类之间有如下对应关系: S4 : 1C1 , 3C4 ( 不变子群 ) , 6C5 , 6C2 , 8C3 ( h4 = 24 )S3 : 1C1,3C2 , 2C3 ( h3 = 6 )( 注：要求不用尝试法）*习题: 试用类和法求D2d 群的二维不可约表示特征标. 17已知D2d群的乘积表(可不用)和一维不可约表示特征标为:D2d E C2 C2x’ C2y’ σd1 σd2 iC4 iC4-1E E C2 C2x’ C2y’ σd1 σd2 iC4 iC4-1C2 C2 E C2y’ C2x’ σd2 σd1 iC4-1 iC4C2x’ C2x’ C2y’ E C2 iC4 iC4-1 σd1 σd2C2y’ C2y’ C2x’ C2 E iC4-1 iC4σd2 σd1σd1 σd1 σd2 iC4-1iC4 E C2 C2y’ C2x’σd2 σd2 σd1 iC4iC4-1 C2E C2x’ C2y’iC4 iC4 iC4-1 σd2 σd1 C2y’ C2x’ C2 EiC4-1 iC4-1 iC4σd1 σd2 C2x’ C2y’ E C2D2d E C2 2C2 ’ 2σd 2iC4 D1 1 1 1 1 1D2 1 1 -1 -1 1D3 1 1 1 -1 -1D4 1 1 -1 1 -1 *。

1主要用半直积的方法。

p群要按中心非平凡逐渐归纳。

需要用到的会说出自同构群。

未知的群记为G，若能找到正规子群，一般记做N；和N构成半直积的子群一般记做H，同态H→Aut(N)记做φ。

为了方便，循环群记做Cn，二面体群Dn等，不再用下标。

元素的幂次记为x^n。

每一个不同的同构类型用蓝色标出，如果指出了自同构群，用红色标出。

22阶群C2，自同构群平凡群1。

33阶群，素数阶。

C3，Aut(C3)≌C2，由乘以-1生成。

44阶群，素数平方阶，交换。

C4，循环群，Aut(C4)≌C2，由乘以-1生成；C2xC2，Klein4群，Aut(C2xC2)≌GL2(F2)≌S3。

S3作用于C2xC2上任意置换3个2阶元，GL2(F2)作用在上面表示为矩阵作用于线性空间。

55阶群，素数阶。

C5，循环群，Aut(C5)≌C4，由乘以模5的原根2生成。

66阶群，2p型，3阶群正规，C2与C3半直积，要考察同态C2→Aut(C3)≌C2。

平凡同态得到C2xC3≌C6；非平凡同态得到D3≌S3。

77阶群，p型。

C7，循环群，Aut(C7)≌C6，由乘以3生成。

88阶群，素数幂型或p群。

A)若G有8阶元，则G≌C8，Aut(G)≌C2xC2，由乘以3和乘以5生成。

B)若G无8阶有4阶元x，N=<x>正规，取y∈G\N；y^2∈N。

BA)若y^2=1，则要考虑y在N上作用（半直积）。

Aut(C4)≌C2。

考察同态C2→C2。

BAA)若y在N上是平凡作用，则G≌C2xC4。

自同构群可以用2x2矩阵来表达，矩阵的列表示生成元y,x的像，Aut(G)是8阶群，把Aut(G)中生成元写出发现Aut(G)同构于F2上的3x3对角线为1的上三角矩阵群。

Aut(C2xC4)≌D4。

BAB)若y在N上非平凡作用，则G≌D4。

计算同构群要考虑生成元可能的像，然后用映射复合计算同构群乘法表，Aut(D4)≌D4。

BB)若y^2=x^2，y^4=x^4=1,因此y是4阶元。

12阶群的特征标表12阶群是指具有12个元素的群。

接下来，我将介绍12阶群的特征标表。

首先，我们需要确定12阶群的不可约表示。

根据群论的定理，任何有限群的特征标表的行数等于其共轭类的个数，因此我们需要找到12阶群的所有共轭类。

12阶群共有五个共轭类，它们分别是:1.单位元素类：{e}2.阶为2的元素类：{a,a^-1}，其中a是12阶群中阶为2的元素。

3.阶为3的元素类：{b,b^4,b^7}，其中b是12阶群中阶为3的元素。

4.阶为4的元素类：{c,c^3,c^9}，其中c是12阶群中阶为4的元素。

5.阶为6的元素类：{d,d^5}，其中d是12阶群中阶为6的元素。

接下来，我们需要计算这些共轭类的特征标。

特征标是将群的元素映射为一个复数的函数，满足以下性质:1.对于单位元素，特征标为12.对于非单位元素，则特征标的绝对值等于其共轭类大小的平方根。

下面是12阶群的特征标表:12阶群，{e}，{a,a^-1}，{b,b^4,b^7}，{c,c^3,c^9}，{d,d^5}--------，-----，-----------，--------------，---------------，---------χ1，1，1，1，1，1χ2，1，1，1，1，-1χ3，1，1，1，-1，1χ4，1，1，1，-1，-1χ5，1，1，-1，1，1χ6，1，1，-1，1，-1χ7，1，1，-1，-1，1χ8，1，1，-1，-1，-1χ9，2，-1，0，2，0χ10，2，-1，0，-2，0χ11，2，-1，0，0，2χ12，2，-1，0，0，-2在特征标表中，χ1至χ8都是行对称的，而χ9至χ12则是列对称的。

这就是12阶群的特征标表。

特征标是研究群表示论中非常重要的工具，它们不仅可以帮助我们确定一个群的结构，还可以在许多数学和物理学领域中找到应用。